Leonhard Euler
Leonhard Euler (Vorlage:LaS; * 15. April 1707 in Basel; † Vorlage:JULGREGDATUM in Sankt Petersburg) war ein Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur.
Er machte wichtige und weitreichende Entdeckungen in vielen Bereichen der Mathematik, beispielsweise der Infinitesimalrechnung und der Graphentheorie. Gleichzeitig leistete Euler fundamentale Beiträge auf anderen Gebieten wie der Topologie und der analytischen Zahlentheorie. Er prägte große Teile der bis heute weltweit gebräuchlichen mathematischen Terminologie und Notation, beispielsweise führte er den Begriff der mathematischen Funktion in die Analysis ein. Er ist zudem für seine Arbeiten in der Mechanik, Strömungsdynamik, Ballistik, Optik, Astronomie und Musiktheorie bekannt.
Euler, der den größten Teil seines Lebens in Sankt Petersburg und in Berlin verbrachte, gilt als einer der brillantesten und produktivsten Mathematiker aller Zeiten. Seine bekannten gesammelten Schriften (Opera omnia) umfassen 76 Bände.
Leonhard Euler zu Ehren erhielten zwei mathematische Konstanten seinen Namen: die Eulersche Zahl <math> \mathrm{e} \approx 2{,}71828</math> (Basis des natürlichen Logarithmus) und die Euler-Mascheroni-Konstante <math> \gamma \approx 0{,}57721</math> aus der Zahlentheorie, die gelegentlich auch Eulersche Konstante genannt wird.
Eulers Arbeiten inspirierten viele Generationen von Mathematikern, darunter Pierre-Simon Laplace, Carl Gustav Jacobi und Carl Friedrich Gauß, nachhaltig. Laplace soll zu seinen Schülern gesagt haben: «Lest Euler, er ist unser aller Meister!».
Biographie
[Bearbeiten]Kindheit, Jugend und Ausbildung
[Bearbeiten]Euler wurde als ältestes Kind des Pfarrers Paul III. Euler (1670–1745) und dessen Ehefrau Margaretha Brucker (1677–1761), einer Pfarrerstochter, in Basel geboren. Er hatte zwei jüngere Schwestern, Anna Maria und Maria Magdalena, und einen jüngeren Bruder, Johann Heinrich.<ref>Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 11.</ref>
Bald nach der Geburt von Leonhard zog die Familie Euler wegen einer Versetzung des Vaters von Basel in das benachbarte Dorf Riehen, wo Leonhard ab 1708 den größten Teil seiner Kindheit verbrachte.<ref>Vorlage:Internetquelle</ref> Das geistige Klima im Pfarrhaushalt war inspirierend: Eulers Mutter kam selbst aus einer gebildeten Familie, und der Vater hatte mathematische Interessen und bei Jakob I Bernoulli nicht nur Vorlesungen gehört, sondern sogar 1688 eine mathematische Dissertation verfasst.<ref name="Sonar-s448">Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen. Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S. 448.</ref> Leonhard Euler besuchte das Gymnasium am Münsterplatz in Basel und bekam gleichzeitig Privatunterricht beim Theologen Johannes Burckhardt (1691–1743). Dies hatte sein Vater für ihn arrangiert, da der Mathematikunterricht an der Schule gestrichen worden war. Es gilt zudem als gesichert, dass der junge Euler das Buch Behend und hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeinicklich die Coß genennt werden von Christoph Rudolff (1499–1545) erfolgreich studierte.<ref>Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig, 1982, S. 16.</ref> Der mathematikbegeisterte Vater war mit den Bernoullis und speziell Europas führendem Mathematiker Johann I Bernoulli, der später großen Einfluss auf den jungen Leonhard nehmen sollte, befreundet.
Im Jahr 1720 schrieb er sich im Alter von 13 Jahren an der Universität Basel ein. Auf Wunsch seines Vaters, der für seinen Sohn eine Pastorenlaufbahn vorgesehen hatte, begann Euler ein Studium der Theologie sowie der griechischen und hebräischen Sprache. Drei Jahre später erhielt er die Magisterwürde. In der dabei eingereichten Dissertation verglich er die Naturphilosophie in den Systemen von Descartes und von Newton miteinander. Die Verteidigungsrede ist zwar nicht schriftlich überliefert, doch wird Eulers naturphilosophisches Bild später Elemente beider großen Systeme beibehalten: von Descartes die Metaphysik der Nahwirkung aller Kräfte und von Newton die rein mathematische Durcharbeitung von Fernkräften auf Punktmassen, die er zeit seines Lebens mit den Mitteln der von ihm geprägten Analysis weiterentwickeln wird.<ref>Siehe dazu S. 14 in R. Thiele (2008): Euler und Basel.</ref>
Zwischenzeitlich hatte er wöchentlich Unterricht bei Johann Bernoulli genommen, der zu damaliger Zeit führende Mathematiker auf dem Kontinent. Bernoulli war mit dem damaligen Entwicklungsstand der Infinitesimalrechnung vertraut und bildete sie weiter. Euler hatte somit bereits in seinen Jugendjahren direkten Zugang zu aktuellen Problemen der Mathematik, die seine Erforschung der Analysis bestimmen sollten.<ref>Siehe etwa dazu S. 16 in R. Thiele (2008): Euler und Basel.</ref><ref>H. Heuser: Eulers Analysis. (2008), S. 147.</ref> Bernoulli war es auch, der die außergewöhnliche Begabung seines neuen Schülers für Mathematik erkannte und zu fördern begann.<ref>Ioan James: Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge, 2002, S. 2.</ref> Bernoulli überzeugte daraufhin Paul Euler, dass sich Leonhard besser der Mathematik und Physik zuwende. Sein Einfluss auf Eulers Entwicklung war prägend.<ref>Siehe hier unter ‚Autobiographische Notizen‘.</ref> Mit Johann Bernoulli pflegte Euler seit Beginn seiner wissenschaftlichen Karriere bis zu dessen Lebensende, also etwa zwanzig Jahre lang, eine freundschaftliche und kollegiale Briefbeziehung.<ref>Siehe Fellmann: Leonhard Euler. (1995), S. 12 und 31.</ref>
1726 schloss Euler eine weitere Dissertation mit dem Titel De Sono, ein Werk über die Schallausbreitung, ab.<ref>Vorlage:Internetquelle</ref> Im Jahr 1727 nahm er erstmals am Wettbewerb um den Pariser Akademiepreis teil, in dem es galt, das Problem der optimalen Platzierung von Schiffsmasten zu lösen. Jedes Jahr stellte die Pariser Akademie einen Preisbericht zusammen, und die Berichte wurden anschließend in ihren Preisbänden Pièces qui ont remporté le prix de l’académie royale des sciences de Paris (Arbeiten, die den Preis der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Paris gewonnen haben) veröffentlicht.<ref name="Calinger31">Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 31.</ref> Eulers eingereichte Arbeit belegte nur den dritten Platz, löste jedoch ein Problem.<ref name="Calinger31" /> Den Wettbewerb gewann Pierre Bouguer, der später als „Vater des Schiffbaus“ Bekanntheit erlangte. Spätere Austragungen des Wettbewerbs konnte Euler in insgesamt zwölf Fällen für sich entscheiden.<ref>Vorlage:Literatur</ref> Von der ersten Ausschreibung im Jahr 1720 bis zum größten Teil des achtzehnten Jahrhunderts galt der Prix de Paris als die bedeutendste wissenschaftliche Auszeichnung in Europa.<ref name="Calinger31" />
Zeit in Sankt Petersburg
[Bearbeiten]Um diese Zeit arbeiteten die beiden Söhne von Johann Bernoulli, Daniel und Nikolaus, an der 1725 neu eröffneten Kaiserlich Russischen Akademie der Wissenschaften in Sankt Petersburg, nachdem bereits Eulers Studienkollege Jakob Hermann ein Jahr zuvor dort die Professur für Mathematik angenommen hatte.<ref>Rudolf Wolf: Leonhard Euler von Basel. In: Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz. Vierter Cyclus. Orell, Füssli & Comp., Zürich 1862, Seite 91, online in: books.google.de, abgerufen am 4. November 2024.</ref> Am 31. Juli 1726 starb Nikolaus an einer Blinddarmentzündung.<ref name="Calinger125">Vorlage:Literatur</ref> Als Daniel die Stelle seines Bruders in der Abteilung Mathematik/Physik übernahm, empfahl er, die von ihm frei gewordene Stelle in der Physiologie mit seinem Freund Euler zu besetzen. Im November 1726 nahm Euler das Angebot an, verzögerte aber die Reise nach Sankt Petersburg, während er sich erfolglos um eine Physikprofessur an der Universität Basel bewarb.<ref name="Calinger125" />
Euler kam am 17. Mai 1727 in Sankt Petersburg an. Er wurde sehr bald von seiner Junior-Stelle in der medizinischen Abteilung der Akademie auf eine Stelle in der mathematischen Abteilung befördert und trat damit die Nachfolge Jakob Hermanns an, der wieder nach Basel zurückkehrte.<ref>Siehe Seite 92 in Wolf: Leonhard Euler von Basel (1862), im u. a. Literaturverzeichnis. In seiner autobiographischen Notiz, die in Emil A. Fellmann: Leonhard Euler (1995) abgedruckt ist (S. 13 im u. a. Literaturverzeichnis), benennt Euler hingegen die Stelle des ebenfalls mit Hermann in die Heimat zurückkehrenden Herrn Büflinger.</ref> Während dieser Zeit wohnte er bei Daniel Bernoulli, mit dem er oft eng zusammenarbeitete. Euler beherrschte bereits nach kurzem Aufenthalt die russische Sprache fließend und ließ sich in Sankt Petersburg nieder.<ref>Peter Hoffmann: Leonhard Euler and Russia. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 63.</ref> Einige Quellen (primär ältere Sekundärwerke) behaupten, dass er (auf der Grundlage eines Preises der Pariser Akademie für Schiffsmasten und Physiologiekurse) zum Sanitäter der russischen Marine wurde. Hierüber gibt es jedoch keine Aufzeichnungen.<ref>Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 68.</ref>
Die von Peter dem Großen gegründete Akademie in Sankt Petersburg sollte die Ausbildung in Russland verbessern und den wissenschaftlichen Vorsprung Westeuropas aufholen. Zu diesem Zweck wurde sie für ausländische Wissenschaftler wie Euler besonders attraktiv gemacht. Die Akademie verfügte über reichlich finanzielle Mittel und eine umfangreiche Bibliothek, die aus den Privatbibliotheken Peters und des Adels stammte. Um die Lehrtätigkeit der Fakultät zu entlasten, wurden nur sehr wenige Studenten an der Akademie eingeschrieben. Die Akademie legte gesteigerten Wert auf die Forschung und bot ihren Mitgliedern sowohl die Zeit als auch die Freiheiten, wissenschaftlichen Fragen nachzugehen.<ref name="CalingerFirst126">Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 23 (2), 1996, S. 126.</ref>
Katharina I., die die fortschrittliche Politik ihres verstorbenen Mannes fortgesetzt und die Akademie unterstützt hatte, starb am Tag von Eulers Ankunft. Mit dem Aufstieg des zwölfjährigen Peter II. gewann der russische Adel an Einfluss. Der Adel, der den ausländischen Wissenschaftlern der Akademie ablehnend gegenüberstand, kürzte die Mittel und bereitete Euler und seinen Kollegen damit zunehmende Schwierigkeiten.<ref name="CalingerFirst126" />
Nach dem Tod Peters II. Anfang 1730 verbesserten sich die Bedingungen für die Wissenschaft wieder ein wenig. Euler stieg dank seiner Leistungen rasch auf und wurde 1731 zum Professor für Physik ernannt. Zwei Jahre später reiste Daniel Bernoulli, der die Zensur und die Feindseligkeiten in Sankt Petersburg nicht mehr ertrug, nach Basel. Euler trat schließlich 1733 als dessen Nachfolger die Professur für Mathematik an.<ref>Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 23 (2), 1996, S. 128–129.</ref>
Am 7. Januar 1734 heiratete er Katharina Gsell (1707–1773), eine Tochter des Malers Georg Gsell aus dessen erster Ehe mit Marie Gertrud van Loen.<ref>I. R. Gekker, A. A. Euler: Leonhard Euler’s family and descendants. In Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow, G. K. Michaĭlow, Adolf Pawlowitsch Juschkewitsch (Hrsg.): Euler and Modern Science. Übersetzt von Robert Burns. Mathematical Association of America, 2007, S. 402.</ref> Das junge Paar kaufte ein Haus an der Newa. Von ihren 13 Kindern überlebten nur fünf die Kindheit.<ref>Vorlage:Internetquelle</ref> Eulers Enkelin Charlotte Anna Wilhelmine (* 1773; † 1831), die Tochter seines Sohnes Johann Albrecht (* 1734; † 1800), war mit Jakob Bernoulli, dem zweiten Jakob der Bernoulli-Familie (* 1759; † 1789), kinderlos verheiratet.<ref>Vorlage:Internetquelle</ref>
Nach Eulers eigener Einschätzung ließen ihn die Petersburger Jahre zu einem starken Wissenschaftler heranreifen. Dies geht aus verschiedenen überlieferten Briefen aus seiner Berliner Zeit hervor.<ref>Peter Hoffmann: Leonhard Euler and Russia. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 63.</ref>
Zeit in Berlin
[Bearbeiten]Besorgt über die anhaltenden politischen Wirren und Machtkämpfe in Folge des Todes der Zarin Anna I. in Russland verließ Euler am 19. Juni 1741 Sankt Petersburg, um eine Stelle an der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin zu übernehmen, die ihm von Friedrich II. von Preußen angeboten worden war. Euler korrespondierte dort mit Christian Goldbach und verglich dessen Theorien mit seinen eigenen.
Darüber hinaus wurde Euler gebeten, Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt, Friedrichs Cousine zweiten Grades, als Tutor zu dienen. Anfang der 1760er-Jahre schrieb Euler über 200 Briefe an sie, die später zu einem Buchband mit dem Titel Briefe an eine deutsche Prinzessin – über verschiedene Gegenstände aus der Physik und Philosophie zusammengestellt wurden.<ref>Vorlage:Internetquelle</ref> Dieses Werk enthielt Eulers Ausführungen zu verschiedenen Themen der Physik und Mathematik und bot wertvolle Einblicke in seine Persönlichkeit und religiösen Überzeugungen. Das Buch wurde populärer als jedes seiner mathematischen Werke und in ganz Europa und in den Vereinigten Staaten veröffentlicht. Die Popularität der „Briefe“ zeugt von Eulers Fähigkeit, wissenschaftliche Themen einem Laienpublikum effektiv zu vermitteln, etwas, was unter engagierten Forschern als selten galt.<ref>William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. 1999, S. XXIV–XXV.</ref>
Eulers Sehkraft verschlechterte sich im Laufe seines Lebens. Im Jahr 1738, drei Jahre nachdem er zwischenzeitlich lebensgefährlich erkrankt war (es ist aus den Aufzeichnungen Eulers damaligen Arztes nicht zu erkennen, welche Erkrankung genau vorlag),<ref>Emil. René Bernoulli: Leonhard Eulers Augenkrankheiten. In: Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk. S. 473.</ref> erblindete er auf seinem rechten Auge fast vollständig. Euler machte jedoch die mühsame Arbeit an der Kartographie für die Sankt Petersburger Akademie dafür verantwortlich. Seine Sehkraft auf diesem Auge verschlechterte sich während seines Aufenthalts in Deutschland so sehr, dass Friedrich ihn bald als „mein Zyklop“ bezeichnete.<ref>Thomas Sonar: 3000 Jahr Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen. Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S. 458.</ref> Euler bemerkte zu seinem Sehverlust: „Jetzt werde ich weniger Ablenkung haben“.<ref>David S. Richeson: Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press, 2012, S. 17 (zitiert von Howard W. Eves: In Mathematical Circles: A Selection of Mathematical Stories and Anecdotes. Prindle, Weber, & Schmidt, 1969, S. 48).</ref>
Trotz Eulers immensen Beitrags zum Ansehen der Akademie geriet er mit Friedrich in Streit. Der preußische König hatte einen großen Kreis von Intellektuellen an seinem Hof. Er fand den Mathematiker jedoch unkultiviert und zu schlecht informiert über die Dinge jenseits von Zahlen und Werten. In einem Brief an seinen Bruder August Wilhelm schrieb Friedrich:
Als einfacher, frommer Mann, der nie die bestehende Gesellschaftsordnung oder konventionelle Überzeugungen in Frage stellte, galt Euler in vielerlei Hinsicht als das genaue Gegenteil von Voltaire, der an Friedrichs Hof einen hohen Stellenwert genoss. Euler war kein geübter Redner und machte es sich oft zur Aufgabe, über Themen zu streiten, über die er wenig wusste, was ihn zum Ziel von Spott seitens Voltaires machte.<ref>William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America, 1999, S. XXIV–XXV.</ref> In der als Akademiestreit bezeichneten Auseinandersetzung zwischen Pierre Maupertuis und Voltaire stand Euler, neben Friedrich II., als einer der wenigen auf Maupertuis’ Seite.<ref>Emil. A. Fellmann: Leonhard Eulers Stellung in der Geschichte der Optik. In: Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk. S. 310.</ref>
Friedrich hatte für Eulers Arbeits- und Ausdrucksweise nur wenig Verständnis. Ihm war die ‹Strenge der Mathematik […] ein Greuel›.<ref>G. Kröber: Einleitung zu: Leonhard Euler, Briefe an eine deutsche Prinzessin – Philosophische Auswahl, 1983, Seite 5–27, in der u. a. Literatur: Sonstiges, S. 8. Friedrich hat eine Abhandlung mit dem Titel Betrachtungen über die Betrachtungen der Mathematiker über die Dichtkunst verfasst (1762), in der er seiner Abneigung gegenüber mathematischem Denken und Vorgehen Ausdruck verleiht. Zu finden in G. Volz, F. Oppeln-Bronikowski (Hrsg.): Die Werke Friedrichs des Großen. Bd. 8: Philosophische Schriften. Berlin 1913, S. 62–73. Online: Vorlage:Archive.org, abgerufen am 4. November 2024.</ref> Unter anderem konnten Eulers Versuche, die Musik auf Basis der Mathematik zu behandeln, bei Friedrich nur hämische Bemerkungen hervorrufen.<ref>Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen. Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S. 457.</ref> Auch soll Euler sich einmal auf einen Wettstreit mit Friedrichs Kapellmeister eingelassen haben, in dem er ein Menuett nach den Grundsätzen der von ihm entwickelten und nach ihm benannten Tonlehre komponierte. Doch erwies sich diese Musik als ‹unsangbar, steif, ohne die mindeste Anmut; man war froh, als er die letzte Note anschlug›.<ref>Wortlaut aus O. Spiess: Leonhard Euler. (1929), S. 174; wiedergegeben in G. Kröber: Einleitung zu: Leonhard Euler, Briefe an eine deutsche Prinzessin – Philosophische Auswahl, 1983, Seite 5–27, beide Schriften in der unten angegebenen Literatur, S. 8.</ref>
Friedrich II. brauchte Eulers mathematische Fertigkeiten vor allem für praktische Dienste, wie für die Nivellierung des Finowkanals, für die Anlage der Wasserwerke in Sanssouci, zur Aufsicht über die Salzwerke in Schönebeck, oder zur Begutachtung von Lotterieplänen, Witwenkassen und anderen Finanzprojekten.<ref>G. Kröber: Einleitung zu: Leonhard Euler, Briefe an eine deutsche Prinzessin – Philosophische Auswahl, 1983, Seite 5–27, in der u. a. Literatur: Sonstiges, S. 8.</ref> Dabei äußerte er seine Enttäuschung über Eulers praktische Fähigkeiten als Ingenieur:
Nach Einschätzung des Physikers Michael Eckert ist das Scheitern des Bauprojektes jedoch nicht auf Rechenfehler Eulers, sondern minderwertiges Baumaterial zurückzuführen.<ref>M. Eckert: Euler and the Fountains of Sanssouci. In: Archive for History of Exact Sciences 56 (2002) 451–468, S. 451 ff.</ref>
Als Grund für den endgültigen Bruch zwischen Euler und Friedrich gilt jedoch die Weigerung des Monarchen, nach dem Tode von Pierre Maupertuis Euler als dessen Nachfolger für das Amt des Präsidenten der Akademie zu ernennen. Stattdessen favorisierte Friedrich den französischen Mathematiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert. Als d’Alembert aber den Posten des Präsidenten der Akademie nicht annahm und stattdessen Euler vorschlug, ignorierte Friedrich dies. Euler zeigte zu wenig ‹staatmännischen Schliff›, zu wenig Eloquenz, er hatte kein sicheres Auftreten: Merkmale, auf die Friedrich viel Wert legte.<ref>Emil A. Fellmann: Leonhard Euler. (1995), S. 96.</ref> Überliefert sind auch Vorkommnisse, bei denen Euler in der Akademie gewisse Führungsschwäche an den Tag legte und die Friedrich verärgert haben.<ref>Emil A. Fellmann: Leonhard Euler. (1995), Seite 99; sowie Wolf (1862), S. 100.</ref> Als Reaktion auf Friedrichs Ablehnung reichte Euler ein Entlassungsgesuch ein, blieb mit seiner Bitte jedoch erfolglos. Erst nach einem zweiten Versuch ließ Friedrich ihn ziehen.<ref>Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. Leipzig, 1982, S. 137.</ref> Kurz nach Eulers Abreise ernannte Friedrich den Mathematiker Joseph-Louis Lagrange, mit dem Euler bei der Entwicklung der Variationsrechnung zusammengearbeitet hatte, zum Präsidenten.<ref>Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen. Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S. 459.</ref>
Euler lebte insgesamt 25 Jahre lang in Berlin, wo er über 380 Artikel schrieb. In Berlin veröffentlichte er zwei seiner bekanntesten Werke: die Introductio in analysin infinitorum, ein 1748 veröffentlichter Text über Funktionen, und die Arbeit Institutiones calculi differentialis,<ref>Vorlage:Internetquelle</ref> die die Differentialrechnung behandelt und 1755 veröffentlicht wurde. 1755 wurde er zum ausländischen Mitglied der Königlich-Schwedischen Akademie der Wissenschaften gewählt.
Rückkehr nach Sankt Petersburg und Tod
[Bearbeiten]1760, als der Siebenjährige Krieg im Gange war, wurde Eulers Hof in Charlottenburg von den vorrückenden russischen Truppen geplündert. Als General Iwan Petrowitsch Saltykow von diesem Zwischenfall erfuhr, zahlte er eine Entschädigung an Euler für dessen verloren gegangenen Besitz, wobei Kaiserin Elisabeth von Russland später eine weitere Zahlung von 4000 Rubel hinzufügte – damals eine enorme Summe.<ref>Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 43–44.</ref> Die politische Situation in Russland stabilisierte sich nach der Thronbesteigung von Katharina der Großen, so dass Euler 1766 eine Einladung zur Rückkehr an die Sankt Petersburger Akademie annahm. Euler stellte Bedingungen: ein Jahresgehalt von 3000 Rubel, eine Rente für seine Frau und das Versprechen, seine Söhne in hohe Positionen zu berufen. All diesen Bitten wurde stattgegeben.<ref>Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 47.</ref> Er sollte den Rest seines Lebens in Russland verbringen.
1771 erblindete er vollständig. Es hatte sich ein Grauer Star in seinem linken Auge entwickelt, der 1766 entdeckt wurde. Die Wiederherstellung des Sehvermögens durch einen chirurgischen Eingriff an seinem linken Auge verbesserte seine Sehkraft temporär. Im Oktober wurde er jedoch durch eine Komplikation, möglicherweise eine Infektion, fast vollständig blind und hatte gelegentlich Schmerzen.<ref>Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 51.</ref> Er war damals 59 Jahre alt. Sein Zustand schien aber kaum Auswirkungen auf seine Produktivität zu haben, da er vieles mit seinen geistigen Rechenfähigkeiten und seinem außergewöhnlichen Gedächtnis kompensierte. Mit Hilfe seiner Schreiber konnte Euler seine Publikationsrate sogar noch erhöhen.<ref>Edna Ernestine Kramer: The Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton University Press, S. 217.</ref> Die Eulers trugen einen Doppelnamen, Euler-Schölpi, der sich von „schelb“ und „schief“ ableitet und für schielende oder krumme Augen steht.<ref>Fritz Nagel: Leonhard Euler und die Wonnen der Wissenschaft. Begleittext zur Ausstellung in der Universitätsbibliothek Basel vom 17.03. bis 9. Juni 2007, S. 15.</ref> Dies deutet darauf hin, dass die Eulers möglicherweise alle eine Anfälligkeit für Augenprobleme hatten.<ref>Ronald Calinger: Leonhard Euler mathematical genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 8.</ref>
Trotz Erblindung entstand fast die Hälfte seines Lebenswerks in der zweiten Petersburger Zeit. Hilfe erhielt er dabei von seinen Söhnen Johann Albrecht, Karl und Christoph sowie von seinem Sekretär Nikolaus Fuss.<ref>Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 53.</ref> Trotz seiner wissenschaftlichen Produktivität wurde er nie Präsident der Universität. Eulers Beziehungen zum Direktor der Petersburger Akademie Wladimir Grigorjewitsch Orlow, der den Posten im Alter von 23 Jahren angetreten hatte, gestalteten sich erneut schwierig. Euler zog sich bald von seinen offiziellen akademischen Pflichten an der Petersburger Akademie zurück, was ihm mehr Freiraum für seine wissenschaftliche Arbeit gab.<ref>Peter Hoffmann: Leonhard Euler and Russia. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 69.</ref>
Sein zweiter Aufenthalt in Russland war, neben seiner Erblindung, auch von weiteren einschneidenden Ereignissen geprägt. Ein Brand in Sankt Petersburg im Jahr 1771 kostete ihn seine Wohnstätte und fast sein Leben. Unter anderem seine Bibliothek und Möbel fielen den Flammen zum Opfer, doch durch die schnelle Reaktion von Wladimir Orlow konnten viele Manuskripte gerettet werden. Ein Verlust war ein Werk über Mondtheorie, das 1772 von der Akademie in Paris hätte veröffentlicht werden sollen. Johann Albrecht Euler musste es anschließend Wort für Wort neu aufschreiben.<ref>Ronald Calinger: Leonhard Euler mathematical genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 487.</ref> 1773 starb schließlich seine erste Frau Katharina.<ref name="Calinger52">Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Life and Thought. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 52.</ref> Der Verlust erschwerte das häusliche Leben enorm, da Katharina den kompletten Haushalt geführt hatte. Euler war entschlossen, unabhängig zu bleiben und sich nicht auf seine Söhne zu verlassen, obwohl es damals durchaus üblich war, dass ein älterer Elternteil bei den Kindern wohnte und unter ihrer Obhut stand.<ref name="Calinger52" /> Er arbeitete wie in der ersten Sankt Petersburger Periode in der Kunstkammer.
Drei Jahre nach dem Tod seiner Frau heiratete Euler ihre Halbschwester Salome Abigail Gsell (1723–1794), Tochter von Georg Gsell und dessen dritter Ehefrau Maria Dorothea Gsell,<ref name="eulerstammbaum">Vorlage:Internetquelle</ref> der Tochter von Maria Sibylla Merian. Diese Ehe währte bis zu seinem Tod. Im Jahr 1782 wurde er zum ausländischen Ehrenmitglied der Amerikanischen Akademie der Künste und Wissenschaften gewählt.<ref>Vorlage:Internetquelle</ref>
Am 18. September 1783 (des gregorianischen Kalenders) diskutierte Euler in Sankt Petersburg nach einem Mittagessen mit seiner Familie und seinem Kollegen Anders Johan Lexell über den neu entdeckten Planeten Uranus und seine Umlaufbahn, als er in Folge einer Hirnblutung kollabierte. Einige Stunden später, gegen elf Uhr in der Nacht, starb er.<ref>Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, herausgegeben von Robert E. Bradley, Ed Sandifer, S. 56.</ref> Jacob von Staehlin schrieb einen kurzen Nachruf für die Russische Akademie der Wissenschaften, und Nikolaus Fuss hielt bei einem Gedenktreffen eine ausführlichere Lobrede. Marquis de Condorcet schrieb angesichts Eulers Ableben:
Euler wurde neben seiner Frau auf dem lutherischen Smolensker Friedhof auf der Wassiljewski-Insel in Sankt Petersburg begraben. Die Russische Akademie der Wissenschaften setzte 1837 einen Stein auf das Grab.<ref>Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, herausgegeben von Robert E. Bradley, Ed Sandifer, S. 57.</ref> Zum Gedenken an den 250. Jahrestag von Eulers Geburtstag wurde der Grabstein 1956 zusammen mit seinen sterblichen Überresten in die Nekropole auf den Lazarus-Friedhof des Alexander-Newski-Klosters umgebettet.
Eulers bahnbrechende Leistungen auf vielen Gebieten waren bereits seinen Zeitgenossen bewusst. So wurde er als „fleischgewordene Analysis“ und „Sonne aller Mathematiker“ gefeiert.<ref name="Sonar-s448" /> In seiner ausführlichen Lobrede betonte Nikolas Fuss Eulers Einfluss auf die Wissenschaft:
Bei diesem Nachruf handelt es sich um einen der berühmtesten, die aus der Geschichte der Wissenschaften überliefert sind. Die ursprüngliche Fassung war auf Französisch geschrieben und wurde am 23. Oktober 1783 (gregorianisch: 3. November) in der Kayserlichen Akademie der Wissenschaften zu Sankt Petersburg vorgelesen.<ref>Vorlage:Internetquelle</ref>
Nach der Oktoberrevolution von 1917 kehrte ein Teil seiner Nachkommen von Russland in die Schweiz zurück, darunter die Eltern des späteren Nationalrats Alexander Euler (1929–2012).<ref>Vorlage:HLS</ref>
Wissenschaftliches Werk
[Bearbeiten]Eulers Forschung war sehr vielseitig. Er arbeitete in fast allen Bereichen der Mathematik und gilt als einer der produktivsten Mathematiker der Geschichte.<ref name="Sonar-s448" /><ref>Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute. S. vii.</ref><ref>Andreas Verdun: Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik. Springer, S. XI.</ref> Unter anderem publizierte er über Geometrie, Infinitesimalrechnung, Trigonometrie, Algebra und Zahlentheorie, sowie Kontinuumsmechanik, Mondtheorie und andere Bereiche der Physik. Seine gesammelten Schriften der Opera omnia umfassen 76 Bände.<ref>Walter Gautschi: Leonhard Euler: His Life, the Man, and His Works, SIAM Review, Bd. 50, Nr. 1, S. 3–33, doi:10.1137/070702710, S. 3.</ref> Insgesamt sind 866 Publikationen von ihm bekannt.<ref>James J. Tattersall: Elementary Number Theory in Nine Chapters. S. 18.</ref> Sein Gesamtwerk umfasst damit schätzungsweise ein Drittel des gesamten Korpus mathematischer, physikalischer und mechanischer Forschung innerhalb der letzten drei Viertel des 18. Jahrhunderts.<ref>W. Dunham: The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work. S. 15.</ref> Eulers Name ist mit einer großen Anzahl von Resultaten und wissenschaftlichen Themenbereichen verbunden.
Nach Leonhard Euler sind gleich zwei mathematische Konstanten benannt: die Eulersche Zahl <math> \mathrm{e} \approx 2{,}71828 </math> aus der Analysis und die Euler-Mascheroni-Konstante γ (Gamma) aus der Zahlentheorie, die manchmal nur als Eulersche Konstante bezeichnet wird und ungefähr gleich 0,57721 ist.
Sein mathematisches Werk inspirierte viele Generationen von Mathematikern nachhaltig. Unter anderem beeinflusste er die Arbeit von Pierre-Simon Laplace, Joseph-Louis Lagrange, Carl Friedrich Gauß, Carl Gustav Jacobi, Niels Henrik Abel, Évariste Galois, Karl Weierstraß und Bernhard Riemann.<ref>Herbert Pieper: Der Euler des 19. Jahrhunderts: C.G. Jacob Jacobi. Elemente der Mathematik, Swiss Mathematical Society, 2005, S. 98.</ref><ref>Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute. S. xix.</ref>
Mathematische Notationen
[Bearbeiten]Euler hat in seinen zahlreichen Lehrbüchern mehrere Notationskonventionen eingeführt. Durch die weite Verbreitung der Bücher setzten sich viele seiner Notationen nachhaltig durch. Er führte das Konzept der mathematischen Funktion ein<ref>William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America 1999, S. 17.</ref> und schrieb als erster f(x), um die Funktion f zu bezeichnen, die auf das Argument x angewandt wird.
Der Funktionsbegriff: Allgemeine Definitionen einer Funktion stellt Euler erstmals in seinen Schriften über die Analysis des Unendlichen Introductio in Analysin infinitorum (1748, E101, 1745 verfasst<ref>Introductio in analysin infinitorum, volume 1, auf scholarlycommons.pacific.edu.</ref>) und über die Differentialrechnung Institutiones calculi differentialis (1755, E212, verfasst 1748<ref>Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, volume 1, auf scholarlycommons.pacific.edu</ref>) an den Anfang.<ref>Beide Schriften sind hier auch in den Publikationen (Auswahl) zu finden.</ref> So wie für Euler die ganze Mathematik eine Lehre zur Analyse von Größen (als lateinische quantitas) darstellte, so bezeichnet er die Funktion als eine ‹Abhängigkeit einer Größe von einer anderen›.<ref>Wortlaut in H. Heuser (2008), S. 152.</ref> Besonders in diesem Funktionsbegriff zeigt sich der ‚mechanisch‘ geprägte Hintergrund, den Euler von seinen Lehrern wie aus seinen Lektüren übernommen hatte.<ref>R. Thiele (2008): Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte. S. 172.</ref> Während er aber in der erstgenannten Schrift noch rechnerische Abhängigkeiten für die Variablen erklärt – und damit noch im Bereich des arithmetischen Funktionsbegriffs nach seinem Lehrer Joh. Bernoulli bleibt,<ref>Man vergleiche den lateinischen Wortlaut in der Online-Ausgabe: Introductio in Analysin infinitorum, Digitalisat der Bayerischen Staatsbibliothek, München, S. 4. Von H. Heuser (2008), S. 153, so übersetzt: «Eine Funktion einer veränderlichen Zahlgröße ist ein analytischer Ausdruck, der auf irgendeine Weise aus der veränderlichen Größe und aus eigentlichen Zahlen oder aus konstanten Zahlgrößen zusammengesetzt ist». Johann Bernoullis Funktionsbegriff von 1718 ist in R. Thiele (2008): Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte, S. 172, im französischen Original wiedergegeben. Übersetzt: «Ich nenne hier Funktion einer veränderliche Größe, eine Quantität, die in beliebiger Weise aus variablen und konstanten Größen zusammengesetzt ist.»</ref> sind es in der zweiten Schrift schon beliebige Arten von bestimmenden Abhängigkeiten zwischen den Variablen. Damit eröffnete Euler bewusst den Weg zum Funktional und ermöglicht die Zuordnung zu infinitesimalen Größen.<ref>C. Carathéodory (1952), S. XII bemerkt, dass Euler in seiner Kurventheorie auch Funktionen zulässt, die Differentiale der ursprünglichen Funktion enthalten, also Fragestellungen, ‹welche heute gar nicht mehr betrachtet werden›.</ref> Vorlage:Zitat
Symbolische Konventionen: Von Euler stammen auch die bis heute gebräuchlichen Notationen für die trigonometrischen Funktionen, der Buchstabe e für die Basis des natürlichen Logarithmus, der griechische Buchstabe Σ (Sigma) für Summen und der Buchstabe i zur Bezeichnung der imaginären Einheit.<ref name="Boyer">Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach: A History of Mathematics. John Wiley & Sons, 1991, S. 439–45.</ref> Die Verwendung des griechischen Buchstabens π zur Bezeichnung des Verhältnisses von Kreisumfang und -durchmesser (Kreiszahl) wurde ebenfalls von Euler popularisiert, obwohl sie ursprünglich auf den walisischen Mathematiker William Jones zurückgeht.<ref>Vorlage:Internetquelle</ref>
Rechtwinklige Raumkoordinaten: Euler war der erste mathematische Physiker, der von den 1740ern an sämtliche Bewegungsgleichungen seiner Untersuchungsobjekte aus der Mechanik in voneinander unabhängigen, zueinander rechtwinkligen kartesischen Komponenten formuliert hat.<ref>So die Behauptung C. Truesdells von Seite 229 in Truesdell (1960): The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies. Hier in der Literatur → Monographien, Sammelbände. Truesdell datiert diese Neuerung auf die 1744 entstandene und 1751 veröffentlichte Mechanikschrift De Motu Corporum Flexibilium (E174).</ref><ref>Von der Nützlichkeit der Zerlegung von Bewegungsgleichungen in zueinander rechtwinklige Koordinaten konnte Euler sich exemplarisch an Vorgängern überzeugen, allen voran an der Schrift Propositiones Variae Mechanico-Dynamicae (1742) seines in vieler Hinsicht prägenden Lehrers Johann Bernoulli. Siehe dazu G. Maltese: On the Relativity of Motion In Leonhard Euler's Science. In: Archive for History of Exact Sciences. 54 (2000), S. 323, insbes. Anm. 21, dort Bezug nehmend auf Feststellungen Truesdells.</ref> Damit begründete er den heute für gewöhnlich angesehenen Standard in der Mechanik, während zu Eulers Zeit und der Generation vor ihm vorrangig radiale und tangentiale Komponenten der Bahnkurven herangezogen wurden.<ref>Siehe etwa N. Guicciardini: An Episode in the History of Dynamics: Jakob Hermann’s Proof (1716–1717) of Proposition 1, Book 1, of Newton’s ›Principia‹. In: Historia Mathematica. 23 (1996), Seite 172.</ref>
Analysis
[Bearbeiten]Euler kann als einer der Begründer der Analysis angesehen werden. Wegen anhaltender Forschung war die Infinitesimalrechnung im 18. Jahrhundert auf dem Vormarsch. Insbesondere Eulers Freunde, die Bernoullis, waren für einen Großteil der frühen Fortschritte auf diesem Gebiet verantwortlich. Dank ihres Einflusses wurde das Studium der Infinitesimalrechnung zum Hauptschwerpunkt von Eulers Arbeit.
Wegweisend waren vor allen Dingen sein Beweis der Taylor-Reihe der Exponentialfunktion
- <math> \mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots, </math>
sowie seine Lösung des sog. Basler Problems:
- <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}.</math>
Euler verwendete erstmals die Exponentialfunktion und Logarithmen in analytischen Beweisen und definierte sie erfolgreich für komplexe Zahlen. Dadurch wurde deren Anwendungsbereich stark erweitert.<ref name="Boyer" /> Damit fand er die enge Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen. Für jede reelle Zahl <math>\varphi</math> (im Bogenmaß) besagt die Eulersche Formel, dass die komplexe Exponentialfunktion diese Gleichung erfüllt:
- <math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i}\sin(\varphi)</math>
Ein spezieller Fall der obigen Formel ist als die Eulersche Identität bekannt:
- <math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0</math>
Der Pentagonalzahlensatz aus der Funktionentheorie und Kombinatorik ist eine weitere Entdeckung von Leonhard Euler. Er besagt, dass folgendes Eulersches Produkt als Maclaurinsche Summenreihe mit Hilfe der Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen als Exponenten dargestellt werden kann:
- <math>\prod_{n = 1}^{\infty}(1-q^n) = \sum_{k = 0}^{\infty} \left[q^{k(6k + 1)} - q^{(2k + 1)(3k + 1)} - q^{(2k + 1)(3k + 2)} + q^{(k + 1)(6k + 5)}\right]</math>
Für alle komplexen Zahlen <math>q \in \C</math> mit <math>|q| < 1</math> ist diese Formel gültig. Später wurde der Pentagonalzahlensatz ebenso von Carl Gustav Jacobi und Srinivasa Ramanujan in ihren Werken behandelt.
Zahlentheorie
[Bearbeiten]Eulers Interesse an der Zahlentheorie lässt sich auf den Einfluss von Christian Goldbach, einem Freund in der Sankt Petersburger Akademie, zurückführen. Viele von Eulers frühen Arbeiten zur Zahlentheorie basieren auf den Werken von Pierre de Fermat. Euler entwickelte einige von Fermats Ideen und widerlegte manche seiner Vermutungen.
Euler verknüpfte die Natur der Primzahlverteilung mit Ideen aus der Analysis. Zum Beispiel bewies er, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen divergiert. Dabei fand er die Verbindung zwischen der Riemannschen Zeta-Funktion und den Primzahlen; seine Entdeckung ist heute als Euler-Produktformel für die Riemannsche Zeta-Funktion bekannt. Er verwendete analytische Methoden, um ein gewisses Verständnis für die Verteilung der Primzahlen zu gewinnen. Eulers Arbeiten auf diesem Gebiet führten zur Entwicklung des Primzahlsatzes.<ref>William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America, 1999, Kapitel 3 und 4.</ref>
Euler bewies den kleinen fermatschen Satz, Fermats Satz über die Summe zweier Quadrate, und er leistete wichtige Beiträge zu Lagranges Vier-Quadrate-Satz. Er führte auch die Eulersche Phi-Funktion ein. Mit Hilfe der Eigenschaften dieser Funktion verallgemeinerte er Fermats kleinen Satz zu dem, was heute als Satz von Euler bekannt ist. Er trug wesentlich zur Theorie der vollkommenen Zahlen bei, die die Mathematiker seit Euklid fasziniert hatten. Euler bewies, dass die von Euklid gezeigte Beziehung zwischen (geraden) vollkommenen Zahlen und Mersenne-Primzahlen sogar eins zu eins ist, ein Ergebnis, das als Euklid-Euler-Satz bekannt ist. Euler vermutete auch das Gesetz der quadratischen Reziprozität, das später durch Carl Friedrich Gauß bewiesen wurde. Dabei handelt es sich um eines der grundlegendsten Konzepte der Zahlentheorie. 1772 hatte Euler bewiesen, dass <math>2^{31} - 1 =</math> 2.147.483.647 eine Mersenne-Primzahl ist. Sie galt bis 1867 als die größte gefundene Primzahl.<ref>Vorlage:Internetquelle</ref>
Nach Euler sind verschiedene Zahlen und Zahlenfolgen benannt, siehe dazu Eulersche Zahlen (Begriffsklärung).
Variationsrechnung
[Bearbeiten]Leonhard Euler beschäftigte sich bereits seit Beginn seiner wissenschaftlichen Karriere, vor allem in den frühen 1730ern von J. Hermann ermuntert,<ref>Siehe C. Carathéodory: Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung. 1952, S. VIII f.</ref> mit der mathematischen Beschreibung von einzelnen Kurven und ihren Variationen. Die analytische Problemstellung hatte häufig in der Mechanik ihren Ursprung: Spezielle Forschungsfragen und Ergebnisse zu Beschleunigungen und Kraftwirkungen, in der Art von Differentialausdrücken und ihnen korrespondierenden Kurven, untersuchte er in diesen Jahren intensiv, auch im Austausch mit seinem freundschaftlichen Kollegen Daniel Bernoulli.<ref>Siehe insbes. S. 172 u. 202 in: C. Truesdell: The Rational Mechanics of flexible or elastic Bodies. (1638–1788), 1960.</ref> Das Jahr 1744 schließlich datiert die Veröffentlichung des epochalen Werks Methodus inveniendi lineas curvas,<ref>Der ausführliche und deutlich längere Titel findet sich hier in den Schriften, und in Paul Stäckel (Hrsg.): Abhandlungen über Variationsrechnung von Joh. Bernoulli (1696), Jakob Bernoulli (1697) und Leonhard Euler (1744). Engelmann, Leipzig 1894, siehe hier: Schriften → Deutsche Übersetzungen.</ref> das Euler schon spätestens 1741 fertiggestellt haben muss.<ref>Siehe C. Carathéodory: Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung. 1952, S. VIII f.</ref> Hierbei handelt es sich nicht nur um die gewünschte Zusammenführung und Vereinheitlichung der vielen Einzelergebnisse auf diesem Gebiet; sondern es wird auch rückblickend als der ‹Durchbruch zu einer methodischen Variationsrechnung› gesehen.<ref>H. Heuser: Eulers Analysis. 2008, S. 151, daraus der Wortlaut.</ref><ref>Entsprechend auch P. Stäckel: Abhandlungen über Variationsrechnung von Joh. Bernoulli (1696), Jakob Bernoulli (1697) und Leonhard Euler (1744). 1894, S. 134, wenn es dort heißt: «Leonhard Euler hat das Verdienst, die Einzeluntersuchungen der Brüder Bernoulli zusammengefasst und die Variations-Rechnung als besonderen Zweig der Analysis begründet zu haben.»</ref> Wissenschaftshistoriker sind sich (weitestgehend) einig, in Euler den ‹Schöpfer› dieses neuen Zweigs der Analysis zu sehen.<ref>Siehe etwa O. Neumann: Leonhard Euler und die Zahlen. 2008, S. 151.</ref><ref>E. Friedell: Kulturgeschichte der Neuzeit – Band 1. 1928, (dtv) 16. Auflage, München 2005, S. 672.</ref><ref>A. O. Gelfond: Über einige charakteristische Züge in den Ideen L. Eulers auf dem Gebiet der Analysis und seiner «Einführung in die Analysis des Unendlichen». In: E. Fellmann (Hrsg.): Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk. 1983, S. 102; daraus der Wortlaut.</ref><ref>E. Knobloch: Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis. 2008, S. 80, betont, dass die Bernoulli-Brüder zusammen mit Leibniz die Problemstellung und die analytische Herangehensweise zur Variationsrechnung entwickelt haben, Euler die systematische ‹Zusammenfassung aller Einzelergebnisse› gebührt. So P. Stäckel: Abhandlungen über Variationsrechnung von Joh. Bernoulli (1696), Jakob Bernoulli (1697) und Leonhard Euler (1744). 1894, S. 134.</ref><ref>In A. Kneser: Das Prinzip der kleinsten Wirkung. Wiesbaden 1928, S. 22, werden Anfänge der Variationsrechnung in das punktmechanische Werk der Mechanica Tomus 1 (E015) von 1736 gefunden.</ref>
Die Aufgabenstellung und Motivation zur Variationsrechnung ist ‹ein Stockwerk über der gewöhnlichen Minimum – Maximum – Rechnung›.<ref>Wortlaut aus: H. Heuser: Eulers Analysis. 2008, S. 151.</ref> Es geht nunmehr darum, Kurven bzw. deren Funktionsgleichungen zu bestimmen, die hinsichtlich einer Kenngröße extremal sind. Der Ursprung zu dieser Fragestellung war in der sich entwickelnden Analysis von allgemeinem Forschungsinteresse und wurde intuitiv mit der abstrakteren ‹Lehre von den Kurven›, wie es zur Zeit Eulers noch hieß,<ref>Siehe dazu Euler (1744/1894), E065, in der Übersetzung von P. Stäckel, S. 31.</ref> verbunden. Historisch nahm sie in dem von Eulers Lehrer Johann Bernoulli gestellten Problem der Brachistochrone ihren Anfang.<ref>P. Stäckel: Abhandlungen über Variationsrechnung von Joh. Bernoulli (1696), Jakob Bernoulli (1697) und Leonhard Euler (1744). 1894, S. 133.</ref><ref>R. Thiele: Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte. 2008, Seite 166, hier in der Literatur → Sonstiges.</ref> Daneben gab es viele weitere isoperimetrische Probleme, wie Euler sie nannte,<ref>Siehe dazu Euler (1744/1894), E065. In: Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli. (1894), S. 22.</ref> die einer allgemeinen methodischen Behandlung bedurften. Gesucht war ein zusammenfassendes, analytisches Verfahren, und Euler hat es in der Variationsrechnung gefunden.<ref>Die Bezeichnung der ‹Calculum Variationum› geht ebenso auf Euler zurück, was C. Carathéodory: Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung. 1952, S. IX, bemerkt.</ref> Im Resultat findet sich in den Methodus inveniendi lineas curvas erstmals dieses Instrument der Euler-Lagrange-Gleichung.
Im Anschluss an die Deduktion dieser allgemeinen Variationsgleichung wendet Euler sie dann auf zahlreiche Kurvenintegrale an (Exempla), wobei er dabei zusätzliche Randbedingungen an die Art der fraglichen Kurven zu stellen weiss. Der Herausgeber der Variationsrechnung in den Euleri Opera Omnia, Constantin Carathéodory, bemerkt dazu: «Der größte Reiz des Lehrbuches von 1744 besteht in der Behandlung von etwa 66 Einzelproblemen, die fast jede Seite dieses Werkes beleben».<ref>C. Carathéodory: Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung. 1952, S. X.</ref> Hierunter findet sich, wie ein beiläufiges Lemma, die Lösung zur Aufgabe der Brachistochrone: Sie tritt als ein Spezialfall der Variation über eine ganze Kurvenschar von Potenzfunktionen auf.<ref>Euler (1744/1894), E065, S. 61 f.</ref><ref>Weiteres zu Eulers Methode und ihren Anwendungen befindet sich im Eintrag Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers unter Begründung der Variationsrechnung.</ref>
Angewandte Mathematik
[Bearbeiten]Zu Eulers größten Erfolgen gehören analytische Lösungen praktischer Probleme und die Beschreibung zahlreicher Anwendungen der Bernoulli-Zahlen, Fourier-Reihen, Euler-Zahlen, der Konstanten e und π, der Kettenbrüche und Integrale. Er integrierte die Differentialrechnung von Leibniz mit der Method of Fluxions (Newtons Beschreibung der Ableitung) und entwickelte Techniken, die die Anwendung der Mathematik auf physikalische Probleme erleichterten. Er machte große Fortschritte bei der Verbesserung der numerischen Approximation von Integralen. Die bemerkenswertesten dieser Annäherungen sind das explizite Euler-Verfahren und die Euler-Maclaurin-Formel. Er erkannte den Nutzen von Differentialgleichungen und führte die Euler-Mascheroni-Konstante ein:
- <math>\gamma := \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \log(n) \right],</math>
die u. a. beim Zipfschen Gesetz, aber auch in zahlreichen weiteren Feldern, eine Rolle spielt. In anderen Arbeiten setzte Euler sich mit der Anwendung mathematischer Methoden in den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften auseinander (zum Beispiel Bevölkerungswachstum,<ref>A. J. Lotka: Studies on the mode of growth of material aggregates. American Journal of Science, 24, S. 199–216.</ref> Rentenrechnung, Lotterien,<ref>R. E. Bradley: Euler’s analysis of the Genoese lottery. 2004.</ref> Lebenserwartung und Lebensversicherung<ref>Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute. S. 341.</ref>). Wegen seiner Beiträge zur Populationsdynamik ist die Euler-Lotka-Gleichung zum Teil nach ihm benannt.
Graphentheorie und Topologie
[Bearbeiten]Im Jahr 1735<ref>Vorlage:Literatur</ref> (1736 erschienen und 1741 veröffentlicht)<ref>Vorlage:Internetquelle</ref> mit der Arbeit Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis<ref>Vorlage:Internetquelle</ref> präsentierte Euler eine Lösung für das Königsberger Brückenproblem. Die Stadt Königsberg in Preußen lag am Fluss Pregel und umfasste zwei große Inseln, die durch sieben Brücken miteinander und mit dem Festland verbunden waren. Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob es möglich ist, einen Weg zu wählen, der jede Brücke genau einmal überquert und zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Das ist nicht möglich, da es keinen Eulerkreis für diesen Graphen gibt. Diese Lösung Eulers gilt als der erste Satz der Graphentheorie, insbesondere der planaren Graphentheorie.<ref>Vorlage:Literatur</ref>
Euler entdeckte die Formel <math>E - K + F = 2</math> bezüglich Anzahl der Ecken (E), Kanten (K) und Flächen (F) eines konvexen Polyeders,<ref>David Richeson: The Polyhedral Formula. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 421.</ref> eines planaren Graphen. Die Konstante in dieser Formel wird heute als Euler-Charakteristik des Graphen (oder eines anderen mathematischen Objekts) bezeichnet und steht mit dem mathematischen Geschlecht des Objekts direkt in Zusammenhang.<ref>David Richeson: The Polyhedral Formula. In: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. S. 430.</ref> Die Untersuchung und Verallgemeinerung dieser Formel, insbesondere durch Cauchy<ref>A. L. Cauchy: Recherche sur les polyèdres – premier mémoire. In: Journal de l’École Polytechnique. 9 (Cahier 16), 1813, S. 66–86.</ref> und L’Huilier,<ref>S.-A.-J. L’Huillier: Mémoire sur la polyèdrométrie. In: Annales de Mathématiques. Band 3, 1861, S. 169–189.</ref> markierte den Beginn der Topologie.<ref>Andreas Verdun: Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik. Springer, S. 10.</ref>
Logik
[Bearbeiten]Euler wird die Verwendung geschlossener Kurven zur Veranschaulichung der syllogistischen Argumentation zugeschrieben. Diese Diagramme sind als Euler-Diagramme bekannt geworden.<ref>Vorlage:Literatur</ref> Euler verwandte sie in den Briefen an eine deutsche Prinzessin 101 bis 108, die im Februar und März 1761 verfasst wurden. Diagramme für mathematische Darstellungen in der Logik tauchten in einigen Abhandlungen des achtzehnten Jahrhunderts zu diesem Thema auf, und es ist möglich, dass Johann Heinrich Lambert sie kurz vor Eulers Briefen verwendete. In den Briefen 101 und 102 betonte Euler die Notwendigkeit einer disziplinierten Sprache bei der Darstellung allgemeiner Ideen und ihrer Erweiterung; er verwendete Kreise in Diagrammen, um verschiedene Formen von Syllogismen und hypothetischen Propositionen zu erklären.<ref>Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 467.</ref>
Physik und Astronomie
[Bearbeiten]Euler hat sich in sehr vielen klassischen Gebieten der Physik verdient gemacht, allem voran in den Hauptzweigen der Klassischen Mechanik.
Mechanik
[Bearbeiten]In der frühen Schrift Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736) und in seiner späteren Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765) wandte Euler die Mathematik auf Fragen der Physik an. Die neue Ausrichtung, die Mechanik zu mathematisieren, wird von Euler selbst in seiner ersten Mechanik programmatisch erklärt und dann in der gesamten Folge seiner mechanischen Schriften konsequent fortgesetzt.<ref>Siehe H. Iro: Eulers analytische Mechanik. 2008, S. 237 und 243.</ref> Euler ging es vorrangig darum, die Mechanik auf die Mittel der Analysis (im heutigen Verständnis) anzuwenden und sie so nach, wie er sagt, analytischer Methode umzugestalten und zu ergänzen.<ref>Siehe dazu auch Emil A. Fellmann: Leonhard Euler. 1995, in der Literatur, S. 44.</ref><ref>Nach Nicolas Marquis de Condorcet: Éloge de M. Euler. 1786, im Literatur-Verzeichnis → Sonstiges, S. 41 f. In der englischen Übersetzung von Letters of Euler on different subjects in Natural Philosophy, Euler (1795). S. xliii.</ref> Insbesondere finden sich bei Euler erstmals Differentialgleichungen zu einzelnen Grundgesetzen der Mechanik starrer und elastischer Körper sowie zur Fluidmechanik.<ref>Siehe Ronald S. Calinger: Leonhard Euler. Mathematical Genius in the Enlightenment. 2016, u. a. Literatur, S. 2 (Introduction).</ref>
Vorlage:Zitat Diese analytische Umgestaltung in Eulers Werk wurde schon frühzeitig von Condorcet als eine ‹Revolution› in der Mechanik gesehen. Sie gehört zu dem allgemeinen und vorrangigen Beitrag Eulers in der Mechanik, der ihm seither historisch zugeeignet wird.<ref>Siehe H. Iro: Eulers analytische Mechanik. 2008, S. 237. Dort wird auch bemerkt, dass Eulers Beiträge für die Mechanik historisch sehr unterschiedlich bewertet worden sind.</ref> Die methodische Erneuerung ebnete den Weg zur Analytischen Mechanik, indem sie den damals schon als ‹steif› und ‹schwerfällig› wahrgenommenen, geometrischen Beweiskonstruktionen ein schnelleres und allgemeineres Verfahren an die Hand gab. Euler hat seit seinem ersten Buch und Meisterwerk, die Mechanica von 1736, uneingeschränkten Gebrauch von der Analysis gemacht und sie im Gebrauch erweitert.<ref>H. Heuser: Eulers Analysis. 2008, S. 148 f., daraus auch die Wortlaute. Das soll nicht heißen, dass Euler auf jegliche geometrische Beweisverfahren verzichtet hätte, wie schon sehr bald später Lagrange seine ‹Analytische Mechanik› konstruiert haben wird. Das Gegenteil war der Fall, neue Kontexte wurden von Euler in der Mechanik zunächst nur geometrisch erschlossen. Siehe dazu auch hier Abschnitt Variationsrechnung → Verfechter der geometrischen Verfahrensweise.</ref>
In Eulers Mechanica (E15<ref>Mechanica, volume 1, auf scholarlycommons.pacific.edu.</ref> und E16<ref>Mechanica, volume 2, auf scholarlycommons.pacific.edu.</ref>) sind die allgemeinen Grundgrößen der Punktmechanik in der Fassung Newtons wiederzufinden und als quantitative Bewegungsmasse (das ist die traditionelle Quantitas Motus) bereits vollständig anerkannt.<ref>Allein ihr grundlegender (primitiver) Charakter wird noch offen gelassen. Die qualitative Eigenständigkeit der Kraft wird hingegen in späteren Werken Eulers in Frage gestellt. Zu diesem metaphysischen Unterschied siehe Helmut Pulte: Konstanter Cartesianismus. 1989, in der hier angegebenen Literatur → Monografien und Sammelbände. Darin insbes. Abschn. 1.1 (Die Mechanica von 1736), S. 106–110.</ref> Euler formuliert von Beginn an den Kraftbetrag auf eine Punktmasse <math>\mathrm dm</math> als infinitesimale Grösse der Bewegungsänderung <math>\mathrm dv</math>, um sie der Analysis zugänglich zu machen:
- <math>\mathrm dF = \mathrm dm \cdot \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}</math>
und leitet damit die mechanische Energieerhaltung als Folgerung her:<ref>Siehe Euler (1736), S. 61 ff.: Prop. 19 und Coroll. 1 u. 2; zur Energieerhaltung insbes. Prop. 20, S. 64, Coroll. 3 ; sowie in Deutsch: Euler, Wolfers (1848), S. 48.f. Zur Energieerhaltung S. 51.</ref>
- <math>m\cdot v \cdot \mathrm dv = F \cdot \mathrm ds </math>.
Zusammen mit der analytischen Methode für die Mechanik formuliert Euler dort auch eine Art Programm, demgemäß die Mechanik nach der „Beschaffenheit der Körper“ zu gestalten wäre. Es ist eine Einteilung nach Materietyp, die seitdem in der Technischen Mechanik beibehalten wurde. Vorlage:Zitat Eulers mechanische Schriften zeigen neue Resultate in allen sechs Bereichen der Mechanik.
Am 3. September 1750 las Euler vor der Berliner Akademie der Wissenschaften ein Mémoire,<ref>D. i. Euler (1752): Découverte d’un nouveau principe de Méchanique. Zuerst veröffentlicht in: Mémoires de l’académie des sciences de Berlin, Band VI, pp. 185–217. E177.</ref> in dem er das Prinzip „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ im Kontext der „Eulerschen Gleichung der Starrkörper-Rotation“ als eigene und neue Entdeckung vorstellte.<ref>Andreas Verdun: Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik. Springer, S. 11.</ref> Im Keim werden hier die heute sog. Eulerschen Gleichungen formuliert.
Im Jahr 1757 veröffentlichte er wichtige Gleichungen, die den Fluss reibungsfreier elastischer Fluide beschreiben. Diese sind heute als Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik bekannt. Außerdem arbeitete Leonhard Euler in der Mechanik auf den Gebieten der Turbinengleichung und der Kreiseltheorie (Eulersche Kreiselgleichungen).
Die erste analytische Beschreibung der Knickung eines mit einer Druckkraft belasteten Stabes geht auf Euler zurück; er begründete damit die Stabilitätstheorie. Er half bei der Entwicklung der Euler-Bernoulli-Balkengleichung, die zu einem Eckpfeiler des Ingenieurwesens wurde.
Weitere Gebiete der Physik
[Bearbeiten]Abgesehen von der erfolgreichen Anwendung seiner analytischen Werkzeuge auf Probleme der klassischen Mechanik wandte Euler diese auch in der Astronomie an – diese Arbeiten wurden im Laufe seiner Karriere durch eine Reihe von Preisen der Pariser Akademie anerkannt. Zu seinen Errungenschaften gehören die genaue Bestimmung der Bahnen von Kometen und anderen Himmelskörpern, das Verständnis der Natur von Kometen und die Berechnung der Sonnenparallaxe.<ref>Andreas Verdun: Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik. Springer, 2015, S. 283.</ref> Seine Berechnungen trugen zur Entwicklung präziser Längengradtabellen bei.<ref>Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. 2016, S. 384.</ref>
In der Optik veröffentlichte er Werke zur Wellentheorie des Lichts und zur Berechnung von optischen Linsen zur Vermeidung von Farbfehlern. Er widersprach Newtons Korpuskeltheorie des Lichts, die damals vorherrschend war, in den Opticks.<ref>Christa Jungnickel, Russell McCormmach: Cavendish – The Experimental Life. American Philosophical Society. 1999, S. 155.</ref> Seine Arbeiten zur Optik aus den 1740er-Jahren trugen dazu bei, dass die von Christiaan Huygens vorgeschlagene Wellentheorie des Lichts zur vorherrschenden Denkweise wurde,<ref>Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk, hrsg. von Emil Fellmann. Birkhäuser, 1983, S. 67.</ref> zumindest bis zur Entwicklung der Quantentheorie des Lichts.<ref>Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute. S. 361.</ref>
1745 übersetzte Euler das Werk New principles of gunnery des Engländers Benjamin Robins ins Deutsche, wobei er dessen Umfang stark erweiterte. Somit wurde dank Robins und mit Eulers Hilfe „das erste Lehrbuch der Ballistik“ geschaffen. Es wurde zum Beispiel in Frankreich (in französischer Übersetzung) als offizielles Lehrbuch in den Militärschulen eingeführt. Napoleon Bonaparte musste es als Leutnant studieren.<ref>L. Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen: Erster Teil. Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH, 1748 (Reprintausgabe 1983), S. 11 (Einführung).</ref>
Weniger bekannt sind seine Arbeiten zur Hydrodynamik und zum Stabilitätskriterium von Schiffen,<ref>Anne-Marie Dubler, Charlotte Kunz Bolt: Schiffbau. In: Historisches Lexikon der Schweiz (HLS), 2014, abrufbar unter hls-dhs-dss.ch.</ref> in denen er das bereits erworbene, aber wieder verlorengegangene Wissen von Archimedes erneuerte.<ref>Bouguer und Euler: Zur Begründung der Theorie der hydrostatischen Schiffsstabilität. In: Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft, Band 98, 2004, S. 183.</ref>
Beachtlich ist, dass Euler auf dem Gebiet der technischen Mechanik und Schiffswissenschaft nicht nur der analytische Geist gewesen war, der sich in seinen Konstruktionen auf die Richtigkeit des mathematischen Beweises verlassen hätte. Eulers Nachlass in Petersburg konnte G. Michailow vor einigen Jahrzehnten entnehmen, dass er bis ins hohe Alter gezielt Experimente zu seinen Theorien entworfen und selbst durchgeführt hat, so etwa zur Brückentheorie oder zu den Grundlagen des Schiffbaus.<ref>R. Thiele: Euler und Basel. 2008, S. 18.</ref>
Mathematische Musiktheorie
[Bearbeiten]Auch im Bereich der Musik beruhten Eulers Gedanken hauptsächlich auf der Mathematik. Obwohl seine Schriften über Musiktheorie nur einen kleinen Teil seiner Arbeit ausmachen (einige hundert Seiten, bei einer Gesamtproduktion von etwa 30.000 Seiten), spiegeln sie dennoch ein bereits früh gewecktes Interesse wider, das ihn sein ganzes Leben lang nicht mehr verlassen hat.<ref>Peter Pesic: Music and the Making of Modern Science. S. 133.</ref> Einer seiner Schwerpunkte war die Zuordnung eines „Grades der Lieblichkeit“ zu Mehrklängen wie musikalischen Intervallen oder auch Akkorden wie Dreiklängen. Dieser kann abstrakt als zahlentheoretische Funktion aufgefasst werden und impliziert mit steigenden Werten eine erhöhte Komplexität (also fallende Annehmlichkeit) des Klangs.<ref>Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 73–74.</ref>
Populäre Darstellungen und Themen
[Bearbeiten]Besondere Bedeutung in der breiten Öffentlichkeit erlangte seine populärwissenschaftliche Schrift Lettres à une princesse d’Allemagne von 1768, in der er in Form von Briefen an die Prinzessin Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt, eine Nichte Friedrichs II., die Grundzüge der Physik, der Astronomie, der Mathematik, der Philosophie und der Theologie vermittelt. Vorlage:Hauptartikel Darüber hinaus widmete er sich Aufgaben der Schachmathematik, zum Beispiel dem Springerproblem.<ref>Leonhard Euler: Solution d’une question curieuse que ne paroit soumise à aucune analyse. E309, erschienen 1766.</ref> Er ist der Erfinder des lateinischen Quadrats, einer Vorform des Sudoku.<ref>Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute. S. 162.</ref>
Überzeugungen gegenüber Philosophie und Religion
[Bearbeiten]Der allgemein und in Prinzipien denkende Geist Leonhard Euler beschäftigte sich auch mit den naturphilosophischen Fragen und Positionen seiner Zeit. Nach Condorcet hat Euler von seinen Mentoren und Lehrern aus den Basler Studienzeiten, allen voran von Johann Bernoulli, die Auffassung übernommen, dass ein physikalisches Phänomen nur durch eine naturphilosophische und metaphysische Betrachtung vollständig erfasst werden könne.<ref>Siehe dazu insbes. Nicolas de Condorcet: Éloge de M. Euler (1786), S. 37–38.</ref> Dieses Bestreben ist im gesamten Werk Eulers verankert: In jedem physikalischen Bericht, in jedem mechanischen Mémoire, und erst recht in jedem Buch Eulers finden sich grundsätzliche Einleitungen zum Themenbereich, die eine naturphilosophische Perspektive eröffnen. Sie sind zwar vielfach nur ein Beiwerk zur mathematischen Arbeit, für den allgemeinen Kontext aber unverzichtbar.
Ebenso typisch ist, dass Euler nur zur wissenschaftlichen Veröffentlichung seiner konzeptuellen Beiträge motiviert war, wenn er von einzelnen Fehlvorstellungen in den überlieferten Lehrauffassungen überzeugt war.<ref>W. Breidert: Leonhard Euler and Philosophy. (2007), S. 98.</ref><ref>So auch R. Thiele (2008): Leonhard Euler und die Philosophie. S. 500.</ref> Nicht das geschlossene Begriffssystem, sondern die aspektbezogene Kritik und die mathematische Ausformulierung der naturphilosophischen Grundbegriffe – und das waren damals die der klassischen Mechanik – finden Eulers Forschungsinteresse.<ref>Siehe dazu H. Pulte: Konstanter Cartesianismus. (1989), S. 112.</ref><ref>Auch Émile Saisset stellt das in seiner Einleitung zu den Lettres à une princesse d’Allemagne fest: in der 9. Auflage, (Charpentier) Paris 1843, S. iv f. Online: Vorlage:Archive.org, abgerufen am 4. November 2024.</ref>
Wirklichkeitsbezug der Mathematik
[Bearbeiten]Und hierbei gelangen ihm originelle wie neuartige Sichtweisen.<ref>Wissenschaftshistoriker halten unterschiedliche Aspekte in Eulers philosophischem Werk für ‹originell›. G. Kröber: Einleitung zu: Leonhard Euler: Briefe an eine deutsche Prinzessin – Philosophische Auswahl. 1983, Seite 5–27 etwa, S. 17 f., hebt z. B. das Neuartige der Materiekonzeption hervor. A. Speiser (1960), S. XXVII f., erklärt die Konzeption der Willensfreiheit in Eulers Briefe an eine deutsche Prinzessin (2. Teil von E344) für wegweisend.</ref> Sie lassen sich allesamt mit Eulers Überzeugung kennzeichnen, dass die mathematische Analyse unmittelbaren Realitätsbezug haben muss. Mathematik ist für ihn das vorrangige Instrument, um über naturphilosophische Fragen zu Raum, Zeit und Materie sicher entscheiden und metaphysischen Spekulationen, denen er selbst nur wenig abgewinnen konnte,<ref>Die historische Diskussion zu diesem Punkt rangiert zwischen den Positionen, dass Euler entweder wenig Interesse daran zeigte oder aber wenig Talent in der eigenen Umsetzung. Dazu W. Breidert: Leonhard Euler and Philosophy. (2007), S. 97; oder aber H. E. Timerding, Kant und Euler. In: Kant-Studien. Bd. 23, Reuther & Reichard, Berlin 1919, S. 18.</ref> ein Ende bereiten zu können. Die Mathematisierung der Grundbegriffe und -gesetze, mit denen die Natur beschrieben wird, ist für Euler ein wesentlicher Schritt dahin. Vorlage:Zitat
Mit den folgenden Beiträgen, die Kontinuumsanschauung, die Undurchdringlichkeit der Materie und das raumzeitliche Anschauungsvermögen betreffend, konnte Euler vor allem die metaphysikkritische Haltung in der Transzendentalphilosophie Immanuel Kants wesentlich beeinflussen.<ref>Detaillierte Nachweise siehe M. Friedman: Kant’s Construction of Nature. Cambridge; New York, Melbourne 2013. Darin insbes. S. xii, S. 135, 139 (Kap. 12: Matter as an originally fluid an elastic medium). Kant hat nachweislich viele seiner physikalischen Erkenntnisse und Überzeugungen durch Eulers Lettres à une princesse d’Allemagne sur quelques sujets e physique et de philosophie, Petersburg 1768–1772 (E343, E344), erworben. Friedman belegt auch Kants Lektüre der folgenden Schriften: Principes generaux de l’ état d’équilibre des fluides (E225), Réflexions sur l’espace et le tems (E149), Nova theoria lucis et colorum (E088), Gedancken von den Elementen der Cörper (E081) sowie nicht zuletzt Eulers Mechanica, sive motus scientia analyticae (E015, E016), abgerufen am 4. November 2024.</ref><ref>H. E. Timerding: Kant und Euler. In: Kant-Studien. Bd. 23, Reuther & Reichard, Berlin 1919, S. 18–64 (online).</ref> Auch für Euler galten diese Elemente als ‚metaphysische Anfangsgründe‘, die eine Gültigkeit vor jeder Erfahrung haben.
Die Kontinuitätsauffassung
[Bearbeiten]Viele grundlegende Vorstellungen Eulers zum Aufbau der Materie haben ihren Ursprung in der Naturphilosophie Descartes’ und Leibniz’, wenn vielleicht nicht durch eigene Lektüre, so doch über die Unterrichtung des Cartesianers Johann Bernoulli.<ref>S. Gaukroger: The Metaphysics of Impenetrability: Euler’s Conception of Force. In: The British Journal for the History of Science, Volume 15, Issue 2, Juli 1982, S. 134.</ref> So ist auch Euler von der uneingeschränkten Gültigkeit des Kontinuitätsprinzips (nach Leibniz und Bernoulli) in allen Bewegungsabläufen überzeugt und stellt sie in seinen Aufbauten zur Mechanik der Fluida und der Elastika an den Anfang.
Die Natur macht keine Sprünge – Natura non facit saltus – so der Leitgedanke der Kontinuumsauffassung.<ref>Man findet den lateinischen Wortlaut Natura non operatur per saltum etwa in der Schrift von Eulers Lehrmeister Johann I Bernoulli, Discours sur les loix de la communication du mouvement. In: Johannis Bernoulli, Opera Omnia, Band III. Lausanne, Genf 1742, S. 9, § 5 des Kap. 1. Siehe auch C. I. Gerhardt (Hrsg.): Leibnizens Mathematische Schriften, Berlin 1860, Bd. 6, S. 248. Online: Specimen Dynamicum – II.</ref> Materie besitzt demnach eine allumspannende Dichte und Ausdehnung, aus der alle mechanischen Vorgänge durch Stöße und Kontaktkräfte in der Natur entstehen. Vorlage:Zitat
Ein Vakuum, ein leerer Raum ist (wie schon für Descartes und Leibniz) nicht denkbar. Die inneren Wechselwirkungen dieses materiellen Kontinuums treten zwischen „subtilen“<ref>Das ist auch der Wortlaut in Eulers Anleitung zur Naturlehre (E842), Kapitel XIII (Von den besonderen Eigenschaften der groben und subtilen Materie), S. 510.</ref> und dicht gedrängten Partikeln auf, wie eine Art ideale Flüssigkeit, welche fluide und elastische Zustandsänderungen hervorbringen. Damit schließt Euler allerdings nicht aus, dass es auch auf größerer Ebene „grobe“ atomare Elemente geben muss, welche die Grundlage einer Molekularphysik bilden und die Vielfalt der Stoffe erklären würden.<ref>Man vergleiche zu Descartes’ und Leibniz’ Materiekonzeption R. Dugas, La Mécanique au XVIIe siècle, Dunod, Paris 1954, Kap. 7 (La pensée mécanique de Descartes), § 20 (Le mécanisme au sens des Principes), S. 186–193; und Kap. 14 (La pensée mécanique de Leibniz), § 3 (Theoria motus concreti), S. 463–466.</ref>
Materie ist nach der Kontinuitätsauffassung bis ins Unendliche teilbar.<ref>Auch mit Blick auf Eulers Konzeption spricht Immanuel Kant später noch im Kommentar seiner zweiten Antinomie der reinen Vernunft von einem „mathematischen Beweisgrund“. Siehe Seite 307 der Akademie-Ausgabe der 2. Auflage der Kritik der reinen Vernunft, 1787. De Gruyter, Berlin / New York 1968.</ref> Es ist eine wesentliche Eigenschaft aller Körper, insofern diese im Raum ausgedehnt sind.<ref>Zu dieser cartesianischen Tradition bei Euler siehe L. B. Kraus, Ontologie der Grenzen ausgedehnter Gegenstände, De Gruyter, Berlin, Boston 2016, Abschn. 2.1 (Ausdehnung : Teile), S. 17, 28, Anm. 33.</ref><ref>W. Breidert: Leonhard Euler and Philosophy. 2007, S. 102.</ref> Hierbei findet Euler in den Infinitesimalen wie etwa dx, dt, dm und ihren Zahlwerten die mathematischen Repräsentanten für unendlich kleine, materielle Partikel. Jedes Integral <math>\int f(x) dm</math> bringt entsprechend die endliche Größe über dem materiellen Feld zum Ausdruck.<ref>Diesen analytischen Zusammenhang zwischen Materieauffassung und Analysis erläutert Euler insbesondere in Institutiones Calculi Differentialis, Vol. 1, Petersburg 1755, Kap. III (De infinitis atque infinite paruis). Neu veröffentlicht in Opera Omnia, Series 1, Volume 10, S. 1–676. Eneström-Index (E212). Siehe auch: archive.org.</ref> Hieraus erwachsen auch Eulers ablehnende Bedenken gegen kraftbegabte Letztelemente der Materie, wie sie in der Monadenlehre vorkommen. Man findet diese Kritik vor allem in seiner Schrift Gedancken von den Elementen der Cörper von 1746.<ref>In: Opera Omnia, Series 3, Volume 2, S. 347–366. Online: E081.</ref>
Begründung der Kontinuumsmechanik
[Bearbeiten]Nach Euler ist die mathematische Kontinuität Abbild der materiellen Kontinuumshypothese. Damit gilt Euler als Begründer der formalen Konfiguration in der Kontinuumsmechanik. Jedes Partikel mit Anfangskoordinaten <math>(x_0, y_0, z_0)</math> im Raum ist nun durch stetige und differenzierbare Ortsfunktionen <math> f_i (x_0, y_0, z_0, t), \, i \in (1,2,3)</math> beschreibbar.<ref>Siehe v. a. C. Truesdell. R. Toupin, J. Ericksen: The Classical Field Theories. In: S. Flügge: Handbuch der Physik. Band III-1: Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1960. §§ 5 u. 6 (Deformation, Continuity), S. 243 f., Anm. 1, sowie § 65 (Motion and Continuity) S. 325 f.</ref><ref>G. A. Tokaty, A History and Philosophy of Fluid Mechanics. (Dover) New York, 1971, S. 76–77.</ref> In demselben Zusammenhang der Mathematisierung des Feldes gelingt Euler zugleich die Formulierung der allgemeinen Kontinuitätsgleichung in der Form<ref>L. Euler: Principes généreaux du mouvement des fluides. In: Mémoires de l’académie des sciences de Berlin. Volume 11, Berlin 1757, S. 274. Außerdem in: Opera Omnia. Ser. 2, Volume 12, § 1, S. 284 und § 24, S. 288. Online-Präsenz unter: E226. (Zugriffsdatum: 12. Februar 2023). Englische Übersetzung: U. Frisch, Translation of Leonhard Euler’s: General Principles of the Motion of Fluids. In: archive.org. (Zugriffsdatum: 12. Februar 2023), § 17, S. 6 und § 24, S. 7.</ref><ref>In neuerer Darstellung vgl. v. a. mit A. Sommerfeld, Mechanik der deformierbaren Medien. (= Vorlesungen über Theoretische Physik. Band II). 6. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt. a. M. 1992, S. 83/84.</ref>
- <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \left(\rho \vec v \right) = 0 ~</math> und <math>~\frac{\mathrm d \vec v}{\mathrm d t} + \frac{1}{\rho}\vec \nabla \vec p = \vec{F}</math>.
Mit dem mathematischen Kunstgriff der Kontinuumshypothese hat Euler wohl „nicht zur Fluidmechanik beigetragen, sondern sie erfunden“, wie J. L. Lagrange gesagt haben soll.<ref>Zitiert in G. A. Tokaty, A History and Philosophy of Fluid Mechanics. (Dover) New York, 1971: S. 77.</ref>
Undurchdringlichkeit
[Bearbeiten]Euler betont an vielen Stellen, dass die Eindeutigkeit der Partikelkonfiguration in einem fluiden Medium gewährleistet werden muss. Andernfalls wäre die Undurchdringlichkeit der Materie verletzt, was nach Eulers bzw. nach Cartesischer Auffassung unvorstellbar ist. Vorlage:Zitat Neben Trägheit und Ausdehnung gehört Undurchdringlichkeit in Eulers Naturphilosophie zu den wesentlichen metaphysischen Eigenschaften der Materie. Sie ist nicht messbar oder quantifizierbar, da auch überabzählbare Infinitesimalen <math>\mathrm dm </math> von Körpern darunter fallen. Sie bildet den Letztgrund aller physischen Kräfte.<ref>Zu Eulers Kraftbegriff siehe hier den Eintrag Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers, und darin insbes. Abschnitt Mechanik. Siehe außerdem im Eintrag Briefe an eine deutsche Prinzessin Abschnitt Metaphysik der Materie.</ref><ref>S. Gaukroger: The Metaphysics of Impenetrability: Euler’s Conception of Force. In: The British Journal for the History of Science. Volume 15, Issue 2, July 1982: S. 135–138.</ref><ref>Pulte: Konstanter Cartesianismus. (1989), darin insbes. Abschn. 3.2 (Die Rationalisierung des Kraftbegriffs (2): Undurchdringlichkeit), S. 161–170.</ref><ref>L. B. Kraus, Ontologie der Grenzen ausgedehnter Gegenstände. (De Gruyter) Berlin, Boston 2016: S. 29 (Abschn. 2.4: Materielle Gegenstände), u. S. 161 (Abschn. 5.3: Vergleich mit der hier vertretenen Charakterisierung ausgedehnter Gegenstände).</ref>
Die logische Notwendigkeit der Undurchdringlichkeit aus dem Kontinuitätsprinzip ist zwar von Euler an vielen Stellen formuliert worden. Der logische bzw. analytische Beweis wurde allerdings weit später erbracht.<ref>Laut Truesdell, Toupin (1960), im obigen Einzelnachw, S. 326 Anm. 1, findet sich dieser Beweis erstmals in J. Hadamard, Leçons sur la Propagation des Ondes et les Équations de l’Hydrodynamique (Herman) Paris 1903, § 46, S. 60. Siehe auch B. Russell, The Principles of Mathematics. 2. Aufl.(Norton) New York 1903: Chapter LIII (Matter), § 440, S. 467.</ref>
Idealität der Raumzeit
[Bearbeiten]In der kleinen Schrift Réflexions sur l’espace et le temps von 1750<ref>In: Mémoires de l’académie des sciences de Berlin. Vol. 4, S. 324–333. Außerdem in: Opera Omnia. Series 3, Volume 2, S. 376–383. Man vergleiche auch mit der englischen Übersetzung von M. P. Saclolo, P. Wake (2009): Reflections On Space and Time (Zugriffsdatum: 18. Februar 2023).</ref> und später in seiner Theoria Motus von 1765 stellt Euler die damaligen Argumente für und gegen die Realität einer absoluten Raumzeit (u. a. nach Newton und entgegen Leibniz) in Frage. Jede raumzeitliche Konzeption der sichtbaren Gegenstände müsse deren Realität erkenntnistheoretisch vorausgehen. Der ‚Ort‘ eines einzeln betrachteten Körpers habe eine von dem Körper selbst eigenständige und mehrdeutige Realität: Vorlage:Zitat Hinsichtlich dieser Frage greift Euler der transzendentalen Ästhetik I. Kants voraus.<ref>H. Pulte, Leonhard Euler’s Theory of Space and Time and its Reception by Kant. In: I. Grattan-Guinness, H. Pulte: Mini-Workshop: The Reception of the Work of Leonhard Euler (1707–1783). Oberwolfach Rep. 4 (2007), 2251-2254. Online: Math. Forschungsinst. Oberwolfach, Workshop Report 2007,38 (Zugriffsdatum 18. Februar 2023).</ref>
Teleologische Sicht auf die Natur
[Bearbeiten]Euler teilte eine, wie man mit Kant sagt, physiko-teleologische Sichtweise:<ref>R. Thiele: Leonhard Euler und die Philosophie. S. 501.</ref><ref>zu der Bezeichnung siehe auch I. Kant (Zur Unmöglichkeit eines physikoteleologischen Gottesbeweises), ab Seite 413 der Akademie-Ausgabe der 2. Auflage der Kritik der reinen Vernunft von 1787. De Gruyter, Berlin / New York 1968</ref> dass jede Wirkung der Natur nach einer zweckdienlichen Ordnung, einer höheren Vernunft gemäß, eingerichtet sein, alle Dinge in der Natur einem höheren Zweck dienen müsse. Dieser teleologische Hintergrund hat seine prominenteste und damals viel beachtete Fassung in der Naturphilosophie G. W. Leibniz’.<ref>Diese Parallelen zwischen Euler und Leibniz werden insbes. dargestellt in A. Kneser, Das Prinzip der kleinsten Wirkung. (Vieweg, Teubner), Wiesbaden 1928, S. 3–26. Darin heißt es auf Seite 24: «Euler, der später so scharf gegen die Leibnizische Monadologie streitet, steht ganz auf dem Boden der Leibnizischen Teleologie».</ref>
Hierzu gehört im Besonderen, dass alles in der Natur nach einem rational zugänglichen «Sparsamkeitsprinzip» eingerichtet sein müsse.<ref>E. Knobloch: Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis. (2008): S. 80.</ref><ref>H. Heuser (2008), S. 151.</ref>
- «Immer nämlich gibt es in den Dingen ein Prinzip der Bestimmung, welches vom Maximum oder Minimum hergenommen ist, daß nämlich die größte Wirkung hervorgebracht werde mit dem kleinsten Aufwande so zu sagen» (Leibniz).<ref>A. Kneser, Das Prinzip der kleinsten Wirkung. (Vieweg, Teubner), Wiesbaden 1928. Die hier übersetzte lateinische Passage ist entnommen: G. W. Leibniz, De rerum originatione radicali, (Zugriffsdatum 23. Februar 2024.). Erstveröffentlichung in: Autographum Leibnitii nondum editum; e scriniis Bibliotlhecæ Regiæ Hanoveranæ (1697), p. 267–294. Die Passage befindet sich dort auf Seite 660: «Semper scilicet est in rebus principium determinationis quod al maximo minimove petendum est, ut nempe maximus præstetur effectus minimo ut sic dicam sumtu».</ref>
- «Tritt in der Natur irgendeine Änderung ein, so ist die für diese Änderung notwendige Aktionsmenge die kleinstmögliche» (Maupertuis).<ref>H. Heuser (2008), S. 151, dort zitiert in der Übersetzung aus I. Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996: Seite 93. Die französische Originalschrift lautet: P. Maupertuis, Les Loix du mouvement et du repos, (Zugriffsdatum 23. Februar 2024.). Erstveröffentlichung in: Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles Lettres (1746), p. 267–294. Die Passage befindet sich auf Seite 290: «Lors qu’il arrive quelque changement dans la Nature, la Quantité d’Action, nécessaire pour ce changement, est la plus petite qu’il soit possible».</ref>
Weder für diese naturphilosophische Position noch für ihre mathematisch-analytische Konzeption erhob Euler irgendeine Priorität. So hat er mehrere philosophische Verteidigungsschriften verfasst, in denen er seinen Kollegen P. de Maupertuis zum Urheber des Prinzips der kleinsten Aktion erklärt.<ref>Dazu Knobloch: Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis. (2008), und H. Pulte: Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen der rationalen Mechanik. (Franz Steiner) Stuttgart, 1989 (Kap. II): S. 200 f. (Der Prioritätsverzicht Eulers).</ref><ref>Die Streitschriften Eulers hierzu datieren vor allem aus den anfänglichen 1750er Jahren: etwa Sur le principe de la moindre action Berlin, 1753 (E198).</ref> Hingegen lassen sich historische Belege finden, die Euler als gleichberechtigten Entdecker neben Maupertuis auszeichnen.<ref>H. Pulte: Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen der rationalen Mechanik. (Franz Steiner) Stuttgart, 1989 (Kap. II): S. 193 f. (Kap. III: Euler und Maupertuis als gleichzeitige Entdecker).</ref><ref>H. C. Goldstine, A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century. (Springer) New York, Heidelberg, Berlin 1980: S. 67 f. (Kap. 2: Euler)</ref>
Ein frühes und häufig wiedergegebenes Bekenntnis Eulers zu einem zielgerichteten Wirken und deren Erkennbarkeit in der Natur findet man im ersten Additamentum (De Curvis Elasticis) seiner epochalen Schrift Methodus inveniendi lineas curvas (1744, E065), woraus die folgende philosophische Exposition stammt. Sie enthält zugleich die verallgemeinerte Vorstellung (und die auch auf Leibniz zurückgeht),<ref>Siehe A. Kneser, Das Prinzip der kleinsten Wirkung. (Vieweg, Teubner), Wiesbaden 1928, S. 9 f.</ref> dass jeder geometrischen Aufgabe eine eigene Erhaltungs-Größe (‹Quantitas›) korrespondieren müsse, die auf ein Extremum hin zu betrachten ist.
Euler nahm für sich in Anspruch, nachträglich oder empirisch dieses universell angenommene Prinzip der kleinsten Aktion vielfältig und ohne Ausnahmen bestätigt zu haben, indem er nach dieser analytischen Methode viele materielle Kurven der Mechanik und Statik hatte finden bzw. wieder auffinden können. In einem formalen Sinn, zu einer allgemeinen Mechanik und Naturbetrachtung reichend, bildet es neben dem Prinzip der Undurchdringlichkeit<ref>Das wird auch hier unter Überzeugungen gegenüber Philosophie und Religion → Undurchdringlichkeit genannt.</ref> einen Grundpfeiler seines naturphilosophischen Denkens.<ref>Siehe dazu insbesondere Pulte: Konstanter Cartesianismus. (1989), S. 146 und 176.</ref>
Religiöse Überzeugungen
[Bearbeiten]Euler und sein Freund Daniel Bernoulli lehnten beide die Monadologie von Leibniz und die Philosophie von Christian Wolff ab.<ref>W. Breidert: Leonhard Euler and Philosophy. (2007), S. 98.</ref> Euler war davon überzeugt, dass Wissen (zumindest in Teilen) auf präzisen quantitativen Gesetzen beruht, etwas, was die Monadologie und die Wolffsche Wissenschaft nicht zu leisten vermochten. Eulers religiöse Neigungen könnten einen Einfluss auf seine Abneigung gegen diese Lehre gehabt haben; er ging sogar so weit, Wolffs Ideen als „heidnisch und atheistisch“ zu bezeichnen.<ref>Ronald Calinger: Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 23 (2), 1996: 121–166. doi:10.1006/hmat.1996.0015, S. 153–154.</ref> Eine religiöse Überzeugung im Sinne des reformierten Glaubens wurde auch in seiner Grabrede betont.<ref>Vorlage:Internetquelle</ref> Dies macht verständlich, dass er und der Aufklärer Voltaire, zeitgleich am preußischen Hof, keinen Konsens bezüglich Weltanschauung fanden.
In einem Brief vom August 1736 an den Danziger Mathematiker Karl Leonhard Gottlieb Ehler begann Euler, der wissenschaftliche Streitigkeiten meist vermied, vorsichtig mit der Kritik an Christian Wolffs Philosophia prima sive ontologia (1729), Cosmologia generalis (1731) und der «Theorie der positiven und negativen Unendlichkeit», die in der letzten Ausgabe von Elementa matheseos universae (1710) gegeben wurde.<ref>Leonhard Euler: Opera omnia. ser. IVA, vol. 1 (Hrsg.): Adolph Pavlovitch Jusˇkevicˇ et al.: Briefwechsel. Birkhäuser, Basel 1975, S. 115.</ref> Er akzeptierte nicht die Art und Weise, wie Wolff bei Verwendung der Regel von de L’Hospital den Ausdruck <math> \tfrac{0}{0}</math> interpretierte. Er stimmte zwar mit Leibniz und Wolff darin überein, dass infinitesimale Größen „absolute Nullen“ sind (diese Anschauung Eulers war ein Resultat von dessen „Nullenrechnung“<ref>Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen. Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S. 462.</ref>), aber er war formal der Auffassung, dass das Verhältnis <math> \tfrac00</math> nur in besonderen Situationen eine feste „endliche Zahl“ darstellt. Michael Segre zeigt, dass Euler dieses Problem später in seiner Institutiones calculi differentialis (1755) über die Schlussfolgerung <math>n \cdot 0 = 0</math> und damit <math>n \cdot 1 = \tfrac00</math> aufgriff.<ref>Leonhard Euler: Opera omnia. ser. I, vol. 10, Gerhard Kowalewski (Hrsg.): Institutiones calculi differentialis. Teubner, Leipzig 1913, esp. 69–71, S. 136.</ref>
Vieles von dem, was über Eulers religiöse Überzeugungen bekannt ist, lässt sich aus seinen Briefen an eine deutsche Prinzessin und einem früheren Werk, der Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister, ableiten. Diese Werke zeigen, dass Euler ein gläubiger Christ war, der die Bibel als wegweisend empfand; die Rettung war in erster Linie ein Argument für die göttliche Verbalinspiration.<ref>Leonhard Euler: Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister. Leonhardi Euleri Opera Omnia (3. Auflage), 1960. 12.</ref> Euler war in aktiven Funktionen in der reformierten Gemeinde tätig.<ref>Michael Raith: Der Vater Paulus Euler. Zur geistigen Herkunft Leonhard Eulers. In: Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk. S. 465.</ref> Jegliche Kritiken der Offenbarungslehre (zur Zeit der Aufklärung von P. Bayle und M. Montaigne erwogen) waren für Euler abwegig und fehlerhaft. Euler hatte seine theologischen Auffassungen wohl vom Vater und Pfarrer Paul Euler übernommen und war (nach dem Biografen O. Spieß) darin überzeugt und ernst.<ref>Man vgl. hier S. 497 und 504 in R. Thiele (2008), Leonhard Euler und die Philosophie.</ref>
Anekdote über «Gottesbeweis»
Es gibt eine berühmte Anekdote,<ref name="Calinger501">Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 501.</ref> die von Eulers Auseinandersetzungen mit säkularen Philosophen über Religion inspiriert wurde und die während Eulers zweiter Amtszeit an der Sankt Petersburger Akademie spielt. In dieser soll Euler gegenüber Denis Diderot als Gottesbeweis das non sequitur: «Mein Herr! <math> \tfrac{a+b^n}{n} = x </math>, also existiert Gott. Antworten Sie mir!» vorgebracht haben, woraufhin dieser nichts erwidern konnte und Russland gedemütigt verließ. Die Anekdote ist apokryph, da Diderot selbst in der Mathematik forschte.<ref>Jacques Marty: Quelques aspects des travaux de Diderot en Mathematiques Mixtes. Recherches Sur Diderot et Sur l’Encyclopédie. 4 (1), 1988, S. 145–147.</ref> Die Legende wurde offenbar zuerst von Dieudonné Thiébault erzählt (in seinem Buch Mes souvenirs de vingt ans de séjour à Berlin im Jahr 1801<ref name="Calinger501" />), mit weiteren starken Verzierungen durch Augustus De Morgan.<ref>Dirk J. Struik: A Concise History of Mathematics (3. überarbeitete Edition). Dover Books, 1967, S. 129.</ref><ref>R. J. Gillings: The So-Called Euler-Diderot Anecdote. American Mathematical Monthly. 61 (2), Februar 1954, S. 77–80. doi:10.2307/2307789.</ref> Dies geschah möglicherweise, um die religiösen Überzeugungen Eulers hervorzuheben.<ref name="Calinger501" /> Für den angeblichen Vorfall liegen jedoch keine zeitgenössischen Quellen vor.<ref>Dirk J. Struik: A Concise History of Mathematics. Dover, dritte überarbeitete Auflage, 1967, (Online-Kopie), S. 129.</ref>
Korrespondenzen
[Bearbeiten]Euler unterhielt umfangreiche Kontakte und Korrespondenz mit vielen der bedeutendsten mathematischen Wissenschaftler der damaligen Zeit, darunter Christian Goldbach, Alexis Clairaut, Jean d’Alembert, Joseph Louis Lagrange und Pierre Simon Laplace. Besonders mit Goldbach und Clairaut tauschte er sich über aktuelle Probleme der Zahlentheorie, der mathematischen Analysis, der Differentialgleichungen, der Strömungsmechanik und der Himmelsmechanik aus. Weder Meinungsverschiedenheiten noch Ansprüche des einen gegen andere dominierten den Austausch. Sie diskutierten vielmehr alle mathematischen Ideen und Probleme offen, oft schon deutlich vor ihrer Veröffentlichung. Besonders Euler in Berlin und d’Alembert in Paris hatten über viele Jahre eine umfangreiche mathematische Korrespondenz. Im Jahre 1757 hatten sie dabei schließlich doch eine starke Meinungsverschiedenheit, die zu einer Entfremdung darüber führte, ob diskontinuierliche oder nichtdifferenzierbare Funktionen zulässige Lösungen des Schwingsaitenproblems sind. Auch über die Theorie der Präzession, der Tagundnachtgleichen und der Nutation der Erdachse gab es zwischen ihnen einen Prioritätsstreit. Nachdem d’Alembert 1763 Euler in Berlin besuchte, wurde ihr Verhältnis jedoch wieder vertrauter. 1759 beteiligte sich der junge Lagrange mit einem kontroversen Artikel, der sowohl von Euler als auch von d’Alembert kritisiert wurde, an der Diskussion der Lösungen. Lagrange schloss sich jedoch den meisten von Eulers Ansichten an. 1761 versuchte Lagrange, den Kritiken von d’Alembert und anderen zu begegnen, indem er eine andere Behandlung des Problems der schwingenden Saiten vorsah. Die Debatte dauerte weitere zwanzig Jahre, ohne dass eine Lösung gefunden wurde. Die strittigen Fragen wurden erst gelöst, als Joseph Fourier das Thema im nächsten Jahrhundert aufgriff. Obwohl Euler einen wichtigen und wegweisenden Beitrag zur Variationsrechnung leistete, machte Lagrange im Alter von 19 Jahren die erste Formulierung der Gleichungen der analytischen Dynamik nach den Prinzipien der Variationsrechnung, und sein Ansatz war Eulers semi-geometrischen Methoden überlegen. So führte das klassische Euler-Lagrange-Variationsproblem der Bestimmung des Extremwertes einer Funktionalanalyse zu der berühmten Euler-Lagrange-Gleichung.<ref>Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute. S. ix–x.</ref>
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Daniel Bernoulli
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Johann I Bernoulli
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Pierre Louis de Maupertuis
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Alexis-Claude Clairaut
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Jean Baptiste le Rond d’Alembert
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Joseph-Louis Lagrange
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Pierre-Simon Laplace
Die wissenschaftliche Korrespondenz fußte in erster Linie auf zahlreichen Briefen. Besonders regen Austausch gab es mit Jean d’Alembert (mind. 39 Briefe), Daniel Bernoulli (mind. 100 Briefe), Johann I Bernoulli (mind. 38 Briefe), Alexis Clairaut (mind. 61 Briefe), Christian Goldbach (mind. 196 Briefe) sowie Pierre Louis Maupertuis (mind. 129 Briefe, davon 124 von Euler).<ref>Leonhard Euler: Briefwechsel. Opera omnia, Series Quarta A, Vol, 1, S. 505–509.</ref>
Vorlage:Annotiertes Bild
Legende in oberer Graphik:<ref name="Fellmann32" />
A: 1738 erkrankte Euler schwer und verlor die Sehkraft seines rechten Auges.
B: Im Januar 1745 wurde die Berliner Akademie eröffnet, und Euler, der sich seit 1741 in Berlin aufhielt, hatte als Direktor der Mathematischen Klasse viele administrative Arbeiten zu erledigen. Zudem erkrankte er in diesem Jahr ernsthaft.
C: In die Jahre 1751/52 fällt die aufreibende Kontroverse Maupertuis’ mit J. S. Koenig, die den «Akademiestreit» zur Folge hatte.
D: 1753 lässt sich Maupertuis beurlauben und reist nach Frankreich. Euler obliegt – inoffiziell zwar, aber de facto – die Leitung der Akademie.
E: Der Siebenjährige Krieg (1756–1763) unterbindet – in der ersten Hälfte wenigstens – weitgehend den Postverkehr.
F: Eulers Zerwürfnis mit Friedrich II., das schließlich
G: 1766 zur Abreise Eulers nach Petersburg führt.
H: Euler hat sich neu einzurichten, stark behindert durch den sich verschlimmernden Star am linken Auge.
J: 1771 gänzlicher Verlust der Sehkraft (vollständige Erblindung).
Rezeption
[Bearbeiten]Zeitgenössisch
[Bearbeiten]Eulers Ansehen und Einfluss galten schon zu seinen Lebzeiten als äußerst groß. Etwa zwei Jahrzehnte lang war er der „geistige Führer der gebildeten Kreise“ im protestantischen Teil Deutschlands. Wichtige Dienste leistete er als „goldene Brücke zwischen zwei Akademien“, wovon seine Korrespondenzen ein ebenso eindrückliches Zeugnis ablegen wie die Tatsache, dass während seiner Berliner Zeit 1741–1766 in den Petersburger Akten (den Zeitschriftenbünden der Akademie) 109 Publikationen aus seiner Feder stammten, gegenüber 119 in den Memoires der Preussischen Akademie. Insgesamt gewann Euler zwölf internationale Akademiepreise, die acht Preise seiner Söhne Johann Albrecht (7) und Karl (1), zu denen er entscheidende Beiträge leistete, nicht mitgerechnet. Ludwig XVI. schenkte ihm für seine zweite Schiffstheorie 1000 Rubel, und Katharina II. bescherte ihn mit dem doppelten Betrag.<ref name="Fellmann33">Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 33.</ref>
Eulers erste Mondtheorie hatte eine nicht zu unterschätzende praktische Konsequenz: Der Göttinger Astronom Tobias Mayer stellte 1755 nach Eulers Formeln Mondtafeln zusammen, die gestatteten, die Position des Erdtrabanten und damit die geographische Länge eines Schiffes auf hoher See mit einer damals in der Navigationslehre noch nie erreichten Exaktheit zu bestimmen. Das britische Parlament hatte 1714 einen beachtlichen Geldpreis für die Längenbestimmung auf hoher See unterhalb einer Fehlergrenze von einem halben Grad ausgesetzt. Dieser Preis wurde erstmals 1765 vergeben: Die Witwe Mayers erhielt 3000 Pfund, und Euler für die den Mayerschen Tafeln zugrunde gelegte Theorie 300 Pfund. Diese Mondtafeln wurden in alle Navigationsalmanache aufgenommen und die Methode mehr als ein Jahrhundert lang in der Seefahrt genutzt.<ref>Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 71.</ref>
Pierre-Simon Laplace soll zu seinen Schülern gesagt haben:
Vorlage:Zitat Eulers wissenschaftlicher Kollege Nicolas Marquis de Condorcet pflegte über viele Jahre einen privaten Briefwechsel mit Euler und hatte die Entwicklung seiner mathematischen Ergebnisse genau mitverfolgt.<ref>Siehe vor allem C. Gilain, V. Hug, R. Taton (Hrsg.) Correspondance de Leonhard Euler avec M.J.A.N. Caritat, Marquis de Condorcet et A.R.J. Turgot. Publikationen des Bernoulli-Euler-Zentrums. In: Opera Omnia IVA 9, edition en ligne, Bale 2020. Online-Prescript: Band 5 (2020).</ref> Er schrieb eine vielbeachtete Lobrede für Euler, stellvertretend für die Pariser Akademie der Wissenschaften,<ref>Das ist Condorcet (1786), im u. a. Literaturverzeichnis. Siehe auch Calinger (2016), im Literatur-Verz. (→Monografien und Sammelbände), Seite 532 f.: Major Eulogies and an Epilogue.</ref> die in mehreren kommenden Auflagen und Übersetzungen der von ihm neu herausgegebenen Lettres à une princesse d’Allemagne wiederzufinden ist.<ref>Das ist Condorcet (1787), im u. a. Literaturverzeichnis. Diese Fassung wurde von H. Hunter ins Englische übersetzt. Siehe etwa die zweite englische Auflage der Letters of Euler to a German Princess. p. xxxiii – xvii. Onlinezugang: Vorlage:Archive.org.</ref> Darin bemerkt Condorcet, dass durch Eulers mathematisches Werk eine ‚Revolution‘, ein Umsturz in der Bedeutung der Algebra und Analysis für die Mathematik einsetzte. Galten zuvor noch anschaulich-geometrische Methoden als die einzig überzeugenden, so erhielten die Algebra und Infinitesimalrechnung (Analysis) durch Eulers Werk erst diejenige Verständlichkeit und Relevanz, die seit dem 19. Jahrhundert in der Mathematik und Physik weit verbreitet ist. Vorlage:Zitat Ebenso einzigartig sei Eulers Bemühen um vielseitige Beweiskonstruktionen. Für Euler galt es als Festigung und Vergewisserung einer Erkenntnis, wenn weitere Beweise dasselbe mathematische Ergebnis bestätigen. So blieb er niemals bei nur einem Beweisverfahren stehen, sondern suchte weitere Deduktionen, die zu tiefer liegendem Verständnis der zugrundeliegenden Theorie führen.<ref>Eulers gesamte Arbeit der Variationsrechnung steht unter diesem Vorzeichen der festigenden Bestätigung vorangehender Resultate. Anders kann das Additamentum I de curvis elaticis zur Theorie der Elastica in Eulers Methodus Inveniendi (1744, E065) nicht verstanden werden. Siehe dazu C. Truesdell (1960), Seite 200. Sämtliche Propositionen in seinen großen Werken enthalten oft mehrere Ergänzungen und Korrollarien, die auf weitere Deduktionen hinweisen.</ref> Vorlage:Zitat Fehlkonstruktionen und unvollständige Beweise verstand Euler oft als eine Herausforderung zum Neuansatz unter anderen Voraussetzungen. In dieselbe Richtung zielt auch die Einschätzung Goethes, der die Farbenlehre dieses „außerordentlichen Menschen“, wie er ihn nennt, mindestens über die Lettres (E343/344) gut kannte und eingehend studiert haben muss:<ref>Man vergleiche auch mit Emil A. Fellmann: Leonhard Euler. (1995), S. 88.</ref><ref>O. Krätz, Goethe und die Naturwissenschaften. (Callwey), München 1992, S. 174.</ref> Vorlage:Zitat
Im 19. Jahrhundert
[Bearbeiten]Eulers Bücher, die sich nach Emil Fellmann „durchweg durch höchstes Streben nach Klarheit und Einfachheit auszeichnen“ und die „ersten eigentlichen Lehrbücher im modernen Sinne darstellen“, etablierten Euler nicht nur „zum Lehrer Europas seiner Zeit“, sondern bis tief ins 19. Jahrhundert hinein: Die Werke Bernhard Riemanns trügen so beispielsweise „unverkennbare Eulersche Züge“. Henri Poincaré berichtet, dass nach Theodore Strong „Euler der Gott der Mathematik sei, dessen Tod den Niedergang der mathematischen Wissenschaften markiere“.<ref name="Fellmann33" />
Im Gegensatz dazu fand Eulers Spekulation über „subtile“ und „grobe“ Materie<ref>Siehe oben Abschnitt Die Kontinuitätsauffassung</ref> im 19. Jahrhundert kaum Resonanz. Die metaphysische Begründung einer plenistischen Materieauffassung blieb, vor allem in der Nachfolge der zweiten Antinomie Kants, als wissenschaftliche Hypothese unbeantwortet und ungelöst.<ref>Vgl. mit M. Stöckler, Materie. S. 1507 in: P. Kolmer, A. G. Wildfeuer (Hrsg.): Neues Handbuch philosophischer Grundbegriffe, Band 2. (Alber) Freiburg, München 2011.</ref> Sie wurde im Allgemeinen nicht weiter verfolgt.<ref>David R. Speiser, Eulers Schriften zur Optik, zur Elektrizität und zum Magnetismus. In: J. J. Burghardt, E. Fellmann, W. Habicht (Hrsg.): Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. (Birkhäuser) Basel 1983, S. 226.</ref> Stattdessen suchte man nach empirischen Modellen und experimentellen Ergebnissen auf den Gebieten der Elektrodynamik und der Elastizitätstheorie, um ein umfassendes Ätherkonzept befürworten zu können.<ref>Siehe Max Born, Die Relativitätstheorie Einsteins. (Springer) Berlin, Göttingern, Heidelberg 1964. Abschn. IV.6: Der Äther als elastischer Körper. S. 93.</ref>
Eulers metaphysische Überlegungen zu einer materiellen Dualität, die sich im systematischen Zusammenhang in der Schrift Anleitung zur Naturlehre finden, wurden posthum erst 1862 veröffentlicht.<ref>In: P.H. Fuss u. N. Fuss (Hrsg.): Opera Postuma, Bd. 2: Mathematica et Physica. Petersburg 1862. Online: E842. Gesamtband: archive.org (Zugriffsdatum: 27. Februar 2023).</ref> Demnach ist die „grobe Materie“ für „diverse Stoffe“ (deren genaue Untersuchung Euler der Chemie überließ) und die «subtile Materie» (ein Äther) für Schwerkraft, Elektrizität, Magnetismus und Optik verantwortlich. Es gilt jedoch als möglich, dass Bernhard Riemann die Anleitung studierte und von ihr beeinflusst war.<ref>David R. Speiser, Eulers Schriften zur Optik, zur Elektrizität und zum Magnetismus. In: J. J. Burghardt, E. Fellmann, W. Habicht (Hrsg.): Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. (Birkhäuser) Basel 1983, S. 226.</ref>
Die Schriften Eulers sollen einen ganz besonderen Einfluss auf Carl Gustav Jacobi gehabt haben, einen der bedeutendsten Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Er sammelte Bücher Eulers, studierte diese voller Eifer, und bemerkte 1849 in einem Brief an seinen Bruder:
Vergeblich versuchte er, die 1783 und 1785 in Petersburg erschienenen beiden Bände Opuscula analytica Eulers zu erhalten. Als Eulers Urenkel Paul Heinrich von Fuss ihm die Bände aus Petersburg sandte, antwortete Jacobi ihm am 3. Mai 1841 in einem Brief:
Die Eulerschen Schriften wurden für Jacobi eine „Fundgrube der Anregung“ und seine Resultate und Methoden führten Jacobi zu neuen „scharfsinnigen Entdeckungen“.<ref name="Pieper98" /> Dies bezieht sich vor allen Dingen auf das von Jacobi gefundene Tripelprodukt, welches er als das „wohl das wichtigste und fruchtbarste, was [er] in reiner Mathematik erfunden habe“ bezeichnete.<ref>Herbert Pieper: Der Euler des 19. Jahrhunderts: C.G. Jacob Jacobi. Elemente der Mathematik, Swiss Mathematical Society, 2005, S. 100.</ref> Dieses ist eine direkte Verallgemeinerung des Eulerschen Pentagonalsatzes und zieht wichtige Konsequenzen für die Theorie der Thetafunktionen nach sich.
Carl Friedrich Gauß lobte Eulers Arbeit und betonte ihren Wert für kommende Generationen von Mathematikern:
20. Jahrhundert bis heute
[Bearbeiten]Aus Sicht der heutigen Wissenschaftshistorie wird Leonhard Euler einschlägig eine sehr bedeutende Rolle bezüglich Fortschritt von Mathematik und Technik eingeräumt. Bezüglich seiner nicht strengen Ausführung analytischer Techniken werden jedoch vereinzelt „logische Lücken“ moniert. Insbesondere sein Umgang mit dem unendlich Großen stieß auf Kritik, obgleich ihm wegen der trotz allem vielen korrekten Endergebnisse öfters eine große „analytische Kraft“ zugesprochen wird.
Ronald Calinger ordnet das Phänomen Euler und seine Leistungen wie folgt in die Geschichte der Wissenschaft ein: In der Mathematik wurden mit Beginn der Aufklärung nur wenige große neue Errungenschaften oder grundlegende Innovationen erwartet. Das 17. Jahrhundert – als die meisten Fachleute auf diesem Gebiet aus der Aristokratie kamen oder Positionen in Medizin, Recht oder Religion innehatten – galt als ein „goldenes Zeitalter“ der Mathematik. Mitte des Jahrhunderts hatten René Descartes und Pierre de Fermat unabhängig das geschaffen, was heute als analytische Geometrie bezeichnet wird. Diese Periode gipfelte in den Anfängen der Differentialrechnung in der Method of fluxions von Newton und dem Werk von Gottfried Wilhelm Leibniz. Viele gingen nun davon aus, dass es nur noch wenig von allgemeiner Bedeutung zu verfolgen gäbe. Doch andere Gelehrte erwarteten stattdessen eine «fruchtbare Ära» nicht nur in der Analysis, einschließlich der Schaffung ihrer Kernzweige, sondern auch in der gesamten Mathematik – sowohl in Theorie als auch in Anwendung. Vor allem die umfangreichen Forschungen und Schriften Leonhard Eulers sollten sicherstellen, dass all dies geschehen würde. Nach Ansicht von Calinger war Euler angetrieben von „enormer Energie“, einer „Leidenschaft für die Mathematik“ und die exakten Wissenschaften, einem „Engagement“ für den Aufbau einer „starken institutionellen Basis“ für diese Felder und einer „beharrlichen Verteidigung“ des reformierten Christentums. Er verfolgte seit seiner Zeit in Basel mit Ausnahme einiger schwerer Fieberschübe „fleißig“ ein „immenses Forschungs-, Rechen- und Schreibprogramm“ in reiner und angewandter Mathematik und verwandten Feldern. Allein im Kalkül der Differentialrechnung lieferte er Hunderte von Entdeckungen und Beweisen, zusammen mit vielen „furchtlosen“ Berechnungen zur Vereinfachung und Verdeutlichung von Techniken für Differentialrechnung, unendlichen Reihen und Integralrechnung. Er war der Haupterfinder der Kernzweige von Differentialgleichungen in einer semi-geometrischen analytischen Form und (zusammen mit Lagrange) später der analytischen Variationsrechnung. In Hunderten von Artikeln und einer Analysis-Trilogie, beginnend mit der zweibändigen Introductio in analysin infinitorum (Einführung in die Analyse des Unendlichen, E101 und E102, 1748), legte Euler Grundlagen: diese wurden von ihm „methodisch arrangiert“, „ausgearbeitet“ und „als Kalkül vermittelt“. Er legte damit den Grundstein für das anfängliche Programm für die Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Als ein primäres Ergebnis seiner Studien verdrängte die Analysis die euklidische Geometrie von ihrer zwei Jahrtausende währenden Vorherrschaft in der Mathematik und war das Vorbild für die Vernunft im esprit géométrique der Epoche. In der reinen Mathematik tat Euler mehr: er leistete «wesentliche Fortschritte» in Zahlentheorie, Algebra, Kombinatorik, Graphentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Topologie und Geometrie, wie auch Pionierarbeit der Differentialgeometrie von Oberflächen. Auch in den exakten Wissenschaften der Mechanik, Optik und Astronomie war Euler „tief verwurzelt“ und leistete Beiträge zur angewandten Mathematik, die in ihrer Kombination von Umfang und Tiefe „ihresgleichen suchten“.<ref>Ronald S. Calinger: Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016, S. 1–2.</ref>
Die Eulersche Identität in der Form <math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0 </math> wurde vom Nobelpreisträger Richard P. Feynman als «die bemerkenswerteste Formel in der Mathematik» bezeichnet wegen ihrer genau einmaligen Verwendung von Addition, Multiplikation, Potenz und Gleichheit sowie der einmaligen Verwendung der wichtigen Konstanten 0, 1, e, i und π.<ref>Richard Feynman: Chapter 22: Algebra. The Feynman Lectures on Physics, 1970. I, S. 10.</ref> 1988 wählten die Leser des Mathematical Intelligencer sie (in der Form <math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} = -1</math>) zur «schönsten mathematischen Formel aller Zeiten». Insgesamt war Euler für drei der fünf besten Formeln dieser Umfrage verantwortlich: Gleich auf Platz zwei rangierte der Polyedersatz und auf Platz fünf das Basler Problem<ref>David Wells: Are these the most beautiful? Mathematical Intelligencer. 12 (3), 1990: 37–41. doi:10.1007/BF03024015</ref>
- <math> 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}.</math>
Eulers Analysis aus heutiger Sicht
[Bearbeiten]Nach Einschätzung von Alexander Gelfond war für Leonhard Euler die Mathematik „unzertrennlich mit ihren Anwendungen verbunden“. Bei der Suche nach einem Algorithmus zur Lösung von Aufgaben hätten „an erster Stelle Methoden, die mit bequemsten, praktischen und einfachsten Operationen zum Ziel führten“ gestanden. Euler habe in der Mathematik ein „mächtiges Hilfsmittel“, das zum Aufsuchen von Lösungsalgorithmen „unumgänglich“ ist, gesehen. Dies habe stets im Vordergrund gestanden und „die algebraische und konstruktive Färbung“ der Methoden bestimmt, die Euler in die Analysis einführte. Bezüglich des Begriffs des Unendlichen führe Euler „statt irgendwelchen exakten Definitionen lange philosophische Erläuterungen“ durch, die „das Wesen der Frage nicht erhellen“. Er mache jedoch im Umgang mit unendlich wachsenden oder abnehmenden Größen „keine Fehler“, weil er stets die „Schnelligkeit des Anwachsens oder Abnehmens“ dieser Größen beachtet, wenn sie ihm z. B. in Form von Verhältnissen begegnen. An verschiedenen Stellen spreche „er auch über das Unendliche unendlich großer Ordnung im Vergleich zu einem andern Unendlich“. So sage er beispielsweise in der Arbeit De summa seriei ex numeris primis formatae, dass „das Unendliche, das durch die Reihe
- <math> \sum_{p \, \mathrm{Primzahl}} \frac1p = \infty</math>
entsteht, der Logarithmus desjenigen Unendlichen ist, das durch die harmonische Reihe
- <math> \sum_{n=1}^\infty \frac1n = \infty </math>
repräsentiert wird“. Somit sei „die zweite Unendlichkeit von unendlich höherer Ordnung als die erstere“. Aufkommende Probleme mit fehlender Konvergenz (etwa bei Werten der Riemannschen Zeta-Funktion an negativen Stellen) habe er stets „umgangen“, indem er unter anderem „die sogenannte Abelsche Summationsmethode verwendet“ und somit „um ein Jahrhundert vorweggenommen“ habe.<ref>Aleksander O. Gelfond: Über einige charakteristische Züge in den Ideen L. Eulers auf dem Gebiet der mathematischen Analysis und seiner Einführung in die Analysis des Unendlichen. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 100–101.</ref>
Detlef Laugwitz bemerkt in diesem Kontext die Gewohnheit Eulers, Gleichheiten wie
- <math> \sum_{k=1}^{\Omega} \frac{\xi^k}{k!} = \left( 1 + \frac{\xi}{\Omega}\right)^\Omega </math>
oder auch
- <math> \sum_{n=1}^\Omega \frac{1}{n} = \log(\Omega + 1) + C </math>
verwendet zu haben (wobei hier <math> \Omega</math> „größer als jede endliche Zahl ist“), was „zu mancher Kritik Anlass gegeben“ habe.<ref>Detlef Laugwitz: Die Nichtstandard-Analysis: Ideen und Methoden von Leibniz und Euler. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 187–188.</ref>
Emil Fellmann verweist wegen Eulers Schwächen bezüglich des Umgangs mit dem Unendlichen auf das Fehlen einer axiomatischen Einführung der reellen Zahlen:
Thomas Sonar hebt in besonderer Weise die Bedeutung der Eulerschen „Nullenrechnung“ als große Leistung hervor. Diese sei von Euler „zur höchsten Perfektion“ gebracht worden. Dabei bezieht sich Sonar unter anderem auf Leibnizsche Beiträge zur Bewegungslehre, in der von „Rudimenten und Anfängen von Linien und Figuren“ die Rede ist, welche „kleiner als jede angebbare Größe“ sind.<ref>Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen. Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S. 415.</ref> Auf „virtuose“ Weise gelänge es Euler mit diesem Werkzeug, als richtig bekannte unendliche Reihen für die Exponentialfunktion und den Logarithmus, aber auch Ableitungen wie
- <math> \mathrm{d}(\log(x)) = \frac{\mathrm{d}x}{x}</math>
herzuleiten.<ref>Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen. Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S. 462–464.</ref>
Einschätzung der Arbeitsweise und Produktivität
[Bearbeiten]Der Wissenschaftshistoriker Emil Fellmann nennt bezüglich des Phänomens der Produktivität und Arbeitsweise Eulers drei Schlüsselkomponenten. Erstens hätte Euler «die Gabe eines wohl einmaligen Gedächtnisses» besessen. Was Euler je gehört, gesehen oder geschrieben hatte, scheint sich «ihm für immer fest eingeprägt» zu haben. Davon gebe es «unzählige zeitgenössische Zeugnisse». Noch in hohem Alter solI er beispielsweise «seine Familienangehörigen, Freunde und Gesellschaften mit der wortgetreuen Rezitation jedes beliebigen Gesanges aus Vergils Aeneis entzückt haben, und Protokolle der Akademiesitzungen kannte er nach Jahrzehnten noch auswendig – von seinem Gedächtnis für mathematische Belange ganz zu schweigen». Als zweiten Punkt hebt Fellmann Eulers «seltene Konzentrationsfähigkeit» hervor. Lärm und Betrieb in seiner unmittelbaren Umgebung hätten ihn «kaum in seiner Gedankenarbeit gestört». Das Zitat: «Ein Kind auf den Knien, eine Katze auf dem Rücken, so schrieb er seine unsterblichen Werke» ist von Dieudonné Thiébault überliefert. Der dritte Schlüssel bestehe «ganz einfach in steter, ruhiger Arbeit».<ref>Emil A. Fellmann: Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk. In: Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk. S. 31.</ref>
Nach François Arago äußerte sich Eulers Genie in der Leichtigkeit, mit der er jede mathematische Frage zu behandeln wusste: Vorlage:Zitat
Zum Schreibstil
[Bearbeiten]Eulers Schriften weisen auch für heutige Leser einen besonderen Reiz auf. Sie sind didaktisch konzipiert, in vielen Detailfragen ausführlich, ursprünglich und selbstkritisch, um einen breiteren Zugang zu ermöglichen. Rudolf Fueter beschrieb Leonhard Eulers Arbeitsweise als „besonders wertvoll“, weil Euler in seinen wissenschaftlichen Abhandlungen den Leser aktiv an seinem Denkprozess teilhaben ließ. Anstatt nur die erfolgreichen Ergebnisse zu präsentieren, zeige Euler auch die Wege, die er eingeschlagen hatte, selbst wenn sie nicht zum Ziel führten. Dies ermögliche es dem Leser, Eulers methodischen Ansatz nachzuvollziehen und zu verstehen, wie er seine Entdeckungen gemacht hat. Fueter hob hervor, dass Euler seine Arbeiten häufig mit einer gründlichen Analyse des Problems begann, bei der er das Problem auf seine einfachste und zugleich tiefgründigste Form reduzierte. Danach folgte die Entwicklung von Begriffen und Konzepten, die oft nach nur wenigen Überlegungen zu überraschenden und bedeutenden Ergebnissen führten.<ref>R. Fueter (1948), S. 14 (Rechtschreibung dem heutigen Stand angepasst).</ref>
Mehrere Wissenschaftshistoriker bemerken, dass Eulers Monographien zur Mechanik, die Mechanica (1736) und die Theoria Motus Corporum Solidorum seu Rigidorum (1765), als erste Schriften ihrer Art genannt werden können, die den Charakter eines theoretischen Lehrbuches haben. Sie stellen den Gegenstand im sachlichen und didaktischen Aufbau bereits so dar, wie er z. T. auch in heutigen Lehrbüchern noch zu finden ist.<ref>Charles Blanc: Préface de l’éditeur. In: Leonhardi Euleri Opera Omnia. Ser. 2 (Opera Mechanica et Astronomica), Vol. 3: Theoria Motus Corporum Solidorum Seu Rigidorum (E289), Bern 1948. Seite VII.</ref><ref>I. Szabó, Einführung in die Technische Mechanik (Springer) Berlin, Göttingen, Heidelberg 51961, Kap. 1 (Einführende Betrachtungen), S. 8.</ref><ref>R. Dugas, A History of Mechanics. (Dover) New York 1988, S. 242.</ref> In der letztgenannten Mechanikschrift Euler (1765) findet man beispielsweise eine umfassende Rekonstruktion der Punktmechanik in kartesischen Koordinaten, wie sie Euler selbst in vielen Einzelartikeln vorbereitet hat. Dazu bemerkt der Herausgeber: Vorlage:Zitat
Autobiographische Notizen
[Bearbeiten]Von Euler gibt es einige wenige autobiographische Notizen, die er 1767 seinem Sohn Johann Albrecht auf Deutsch diktiert hat.<ref>Sie sind originalgetreu in Emil A. Fellmann: Leonhard Euler. (1995), in d. u. a. Literatur, S. 11 - 13, wiedergegeben worden.</ref> Als einziges Werk nennt Euler darin seine «Disputationem de Sono»<ref>D. i. die Dissertation E002, die auch in englischer Übersetzung vorliegt (I. Bruce): Euler (1727).</ref> und verliert sich sonst in einigen Reise- und Gehälterdetails.
Zum Beispiel erfährt man, dass er zu seiner ersten Überfahrt im Frühjahr 1727 nach St. Petersburg ein Schiff über Lubec genommen hat. Ausführlicher gedenkt er dort auch seines früheren Mentors und Lehrers aus Studienzeiten Johann I Bernoulli, der ihm anstelle von mehreren wöchentlichen Privatlektionen den «weit heilsameren Rath» zum autodidaktischen Erlernen der Mathematik mitgab:
Ehrungen
[Bearbeiten]Namensgeber für Preise und Auszeichnungen
[Bearbeiten]Nach Leonhard Euler sind mehrere Preise benannt. Seit 1991 wird von der Russischen Akademie der Wissenschaften die Leonhard-Euler-Goldmedaille für besonders herausragende Leistungen in den Bereichen Mathematik und Physik vergeben. Für besondere Leistungen im Bereich Kombinatorik verleiht das Institute of Combinatorics and its Applications seit 1993 jährlich die Euler-Medaille.
Der Euler Book Prize wird jährlich von der Mathematical Association of America für «ein hervorragendes Buch über Mathematik» vergeben.<ref>Euler Book Prize, Mathematical Association of America, abgerufen am 29. Februar 2020.</ref>
Ausstellungen, Kolloquien und Vorträge
[Bearbeiten]Zu seinem 200. Todesjahr 1983 veranstaltete die Technische Universität Berlin ein Euler-Kolloquium, in welchem unter anderem Emil Fellmann, Erhard Heinz, Olli Lehto und Kurt Strebel Vorträge hielten.<ref>Eberhard Knobloch: Zum Werk Leonhard Eulers: Vorträge des Euler-Kolloquiums im Mai 1983 in Berlin. Birkhäuser, 1984, S. XI</ref>
Anlässlich seines 300. Geburtstages widmete das Landesmuseum Braunschweig Leonhard Euler eine Ausstellung und Vortragsreihe. Dabei ging es «in der Erforschung, Darstellung und Vermittlung von wissenschaftsgeschichtlichen Fragestellungen um Kooperation unterschiedlicher Fachrichtungen, für die sich das «Projekt Euler» in hervorragender Weise angeboten habe.»<ref>Gerd Biegel, Angela Klein und Thomas Sonar (Hrsg.): Leonhard Euler 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker. Disquisitiones Historiae Scientiarum. Braunschweiger Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte Bd. 3. Braunschweigisches Landesmuseum. Braunschweig 2008, S. 9.</ref> Andere Ausstellungen veranstalteten u. a. die Universität Basel<ref>Ausstellung zu Eulers Leben und Werk. Abgerufen am 29. Februar 2020.</ref> und die Universität Würzburg.<ref>Ausstellung zum 300. Geburtstag von Leonhard Euler. Abgerufen am 29. Februar 2020.</ref>
Leonhard Euler als Namensgeber
[Bearbeiten]Von Leonhard Euler entwickelte Methoden oder Ideen, die seinen Namen tragen, sind:
Gleichungen:
- Euler-Bernoulli-Gleichung, Differentialgleichung vierter Ordnung, die der Kontinuumsmechanik des Balkens zugrunde liegt, siehe Biegelinie (Bestandteil der Euler-Bernoulli-Balkentheorie)
- Eulersche Differentialgleichung, lineare gewöhnliche Differentialgleichung beliebiger Ordnung
- Eulersche Gleichungen der Strömungsmechanik, Grundgleichungen zur Dynamik idealer (reibungsfreier) Flüssigkeiten
- Eulersche Kreiselgleichungen
- Euler-Lagrange-Gleichung
- Euler-Lotka-Gleichung
Formeln:
- Euler-Eytelwein-Formel, Formel für Seilhaftung
- Eulersche Formel
- Eulersche Formel oder Satz von Euler in der Flächenkrümmung, siehe Hauptkrümmung
- Euler-Maclaurin-Formel
- Euler-Rodrigues-Formel
- Eulersche Reihe
- Euler-Produkt
Sätze und Theoreme:
- Euler-Theorem, Theorem in den Wirtschaftswissenschaften
- Satz von Euler-Fermat (Zahlentheorie)
Konstanten und Zahlenfolgen:
- Euler-Mascheroni-Konstante <math>\gamma = 0{,}5772\dots</math>, auch Eulersche Konstante genannt
- Eulersche Zahl <math>\mathrm e = \exp(1) = 2{,}71828\dots</math>
- Eulersche Zahlen, verwandt mit den Bernoulli-Zahlen, treten als Taylor-Koeffizienten der Sekans-hyperbolicus-Funktion auf
- Euler-Zahlen bilden das dem Pascalschen Dreieck ähnliche Euler-Dreieck in der Kombinatorik
- Euler-Zahl ist eine dimensionslose Kennzahl in der Strömungsmechanik
- Eulersche Pseudoprimzahl
Vermutungen:
- Eulersche Vermutung, Vermutung der Zahlentheorie und Verallgemeinerung der fermatschen Vermutung
Funktionen und (mathematische) Verfahren:
- Eulersches Integral erster und zweiter Gattung (Eulersche Betafunktion und Gammafunktion)
- Euler-Maruyama-Verfahren zur Lösung von stochastischen Differentialgleichungen
- Eulersches Polygonzugverfahren (Integrationsverfahren für Differenzialgleichungen)
- Eulersche Phi-Funktion <math>\varphi(m)</math> = Anzahl der zu <math>m</math> teilerfremden ganzen Zahlen <math>a</math> mit <math>0 < a \leq m</math>
- Eulersche Reihentransformation
- Manchmal als Euler-Funktion bezeichnet wird das Euler-Produkt in der Theorie der Partitionsfunktion (siehe auch Pochhammer-Symbol).
- Eulersches Kriterium zur Berechnung des Legendre-Symbols
- Eulersche Substitution in der Integralrechnung
Geometrie und Topologie:
- Eulersche Gerade: die Verbindungsgerade von Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt eines Dreiecks
- Satz von Euler (Geometrie)
- Satz von Euler (Vierecksgeometrie)
- Eulersches Dreieck, eine besondere Form des Kugeldreiecks
- Euler-Ziegel, ein Quader mit ganzzahligen Längen der Kanten und Flächendiagonalen
- Eulerscher Polyedersatz
- Eulersche Winkel
- Euler-Charakteristik, in der Topologie eine Kennzahl für geschlossene Flächen
- Euler-Wiege, eine kardanische Aufhängung, die in allen drei Eulerschen Winkeln drehbar ist
- Euler-Klasse
Graphentheorie:
- Euler-Hierholzer-Satz
- Eulersche Linie (auch «Eulertour» oder «Eulerkreis»), ein Kantenzug, der jede Kante eines Graphen enthält
Musiktheorie:
- Eulersches Tonnetz, Darstellung des Tonumfanges der reinen Stimmung in einem zweidimensionalen Gitternetz aus reinen Quint- und Terzintervallen
Physik und Mechanik:
- Euler-Bernoulli-Balkentheorie, siehe Bernoullische Annahmen
- Eulersche Knickfälle
- Eulersche Turbinengleichung als Grundlage für die Kraftmaschine der modernen Stromerzeugung
- Eulersche Last in der Balkentheorie die minimale axiale Last, die nötig ist, um eine Verbiegung zu bewirken
- Euler-Kreisel
- Eulerkraft
- Euler-Wind
Widmungen
[Bearbeiten]Nach Euler benannt ist das Leonhard-Euler-Teleskop, ein Spiegelteleskop der Sternwarte Genf am La-Silla-Observatorium der Europäischen Südsternwarte in Chile.<ref name="kuleuven">Swiss 1.2-metre Leonhard Euler Telescope. In: ster.kuleuven.be.</ref><ref name="phot-13c-00">Swiss 1.2-metre Leonhard Euler Telescope. In: eso.org.</ref> Weiterhin sind zu seinen Ehren der Mondkrater Euler und der Asteroid (2002) Euler benannt. Letzteres geschah im Jahr 2002 in Anerkennung «seiner Beiträge zur Mathematik und den Wissenschaften».<ref>Ronald S. Calinger, Ekaterina (Katya) Denisova, Elena N. Polyakhova: Leonhard Euler’s Letters to a German Princess. IOP Concise Physics, Morgan and Claypool Publishers, 2019, S. 3–25.</ref>
Seit 1983 trägt die Mathematische Schülergesellschaft in Berlin seinen Namen.
Euler ist Namensgeber des sog. Project Euler, einer Website, auf der eine Reihe von Problemen gestellt sind, welche zumeist mittels mathematischer Programmierung gelöst werden müssen. Ziel des Projektes ist es, interessierte Menschen dabei zu unterstützen, spielerisch Programmierkenntnisse zu vertiefen oder bereits Gelerntes aufzufrischen. Auch eine Software für numerische und symbolische Berechnungen (Euler Math Toolbox) sowie eine Linux-Distribution (EulerOS) tragen seinen Namen.
Die Eulersche Scheibe (englisch Euler’s Disc) ist ein physikalisches Spielzeug für die Demonstration der Energiedissipation einer rotierenden Scheibe. Die Scheibe wurde etwa 1987 von Joe Bendik erfunden, die dieser nach Leonhard Euler benannte, weil Euler sich bereits mit mathematischen Aspekten dieses physikalischen Problems beschäftigt hatte.<ref>Euler’s Disc bei Experimentis.de. Abgerufen am 2. November 2017.</ref>
Seit 1976 zeigte die Vorderseite der 10-Schweizer-Franken-Banknote das Porträt Eulers. Das Motiv des Scheins auf der Rückseite zeigte eine Wasserturbine (eine solche mit hohem Wirkungsgrad wurde von Euler erstmals konstruiert), unser Sonnensystem und der Strahlengang in einem Linsensystem. In der in den 1980er-Jahren entworfenen Reserveserie (sog. Geheimreserve, die im Falle massenhafter Fälschungen im Umlauf gekommen wäre), war Leonhard Euler ebenfalls auf dem 10-Franken-Schein abgebildet. Allerdings änderte sich sowohl Porträt als auch Motiv. Auf dem Reserveschein sind die Gammafunktion, das Sonnensystem und im Hintergrund eine Zahlentabelle abgebildet.
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10-Schweizer-Franken-Note von 1976 bis 1995
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Gegenstände des Eulerschen Schaffens: Wasserturbine, Sonnensystem, Linsensystem
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10-Schweizer-Franken-Note (Reserveserie ab 1984)
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Auf dem Reserveschein änderte sich das Motiv: Andere Gegenstände von Eulers Forschung wurden abgebildet.
In Basel wurde 1875 zu Ehren von Leonhard Euler beim Eingang des Bernoullianums eine Büste aufgestellt.<ref>Gustaf Adolf Wanner: Rund um Basels Denkmäler. Basel 1975, S. 40 ff.</ref> Auf einer Texttafel wird darauf hingewiesen, dass das Bernoullianum in den Jahren 1872–1874 von Johann Jakob Stehlin der Jüngere (1826–1894) zur 400-Jahr-Feier der Universität für die Naturwissenschaftlichen Disziplinen auf dem Areal des 1530 errichteten Wasenbollwerks, eines wichtigen Teils der Basler Stadtbefestigung im 16. Jahrhundert, erbaut wurde. Es handelte sich um eine spezielle Art von Verteidigungsanlage, die entwickelt wurde, um die Stadt besser gegen die zunehmende Feuerkraft von Kanonen zu schützen.<ref>Zeugnisse zu Mathematikern: Büsten von Daniel, Jakob und Johann Bernoulli sowie Leonhard Euler im Bernoullianum in Basel (Schweiz), abgerufen am 16. Mai 2020.</ref> Zudem wurden unter anderem in Basel Straßen nach Leonhard Euler benannt. An seine Tätigkeit und sein damaliges Wohnhaus in Berlin erinnert eine Gedenktafel an der Behrenstraße 21/22, dem heutigen Haus der Bayerischen Vertretung in Berlin, die 1907 angebracht wurde. Eine weitere Gedenktafel sowie eine Darstellung der Eulerschen Dreiecke befinden sich im Stadtbezirk Mitte am Bundesamt für Statistik, Otto-Braun-Straße 70–72.<ref>Euleriana, berlin-brandenburgische Akademie der Wissenschaften, abgerufen am 4. Februar 2024.</ref>
Die Pflanzengattung Euleria Vorlage:Person aus der Familie der Sumachgewächse (Anacardiaceae) wurde 1925 nach ihm benannt.<ref>Lotte Burkhardt: Verzeichnis eponymischer Pflanzennamen. Erweiterte Edition. Botanic Garden and Botanical Museum Berlin, Freie Universität Berlin, Berlin 2018. bgbm.org</ref>
Leonhard Euler wurde mehrfach auf Briefmarken geehrt: in der Schweiz 1957 und 2007,<ref>Leonhard Eulers 300. Geburtstag – Basel 2007. Abgerufen am 20. Februar 2020.</ref> in der DDR 1950, 1957 und 1983 und in der Sowjetunion 1983. 2007 wurde in Russland eine Gedenkmünze zu Ehren Eulers herausgegeben.
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Briefmarke DDR 1950
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Briefmarke DDR anlässlich des 250. Geburtstages (1957)
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Briefmarke Sowjetunion anlässlich des 250. Geburtstages (1957)
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Silbermünze Russland 2007 mit der Lösung des Basler Problems
Die Evangelisch-Lutherische Kirche in Amerika erinnert mit einem Gedenktag am 24. Mai an Leonhard Euler, gemeinsam mit Nikolaus Kopernikus.<ref>Gail Ramshaw: More Days for Praise: Festivals and Commemorations in Evangelical Lutheran Worship. Augsburg Fortress 2016, S. 117.</ref>
Schriften
[Bearbeiten]Publikationen (Auswahl)
[Bearbeiten]- Mechanica sive motus scientia analytice exposita. 2 Bände, 1736 (E015, E016).
- Tentamen novae theoriae musicae. 1739 (E033).
- Einleitung zur Rechen-Kunst zum Gebrauch des Gymnasii bey der Kayserlichen Academie der Wissenschafften in St. Petersburg. 2 Bände, Academische Buchdruckerey, Sankt Petersburg; Band 1 1738, Band 2 1740. (Vorlage:DTAW Band 1, Vorlage:DTAW Band 2).
- Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. 1741 (E053).
- Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti. Erstveröffentlichung (M. Bousquet) Lausanne, Genf 1744. (E065). Neu erschienen in den Opera Omnia Ser. I, Bd. 24, S. 1–322, hrsg. v. C. Carathéodory. (Orell) Turici 1952.
- Introductio in analysin infinitorum. 2 Bände. Erstveröffentlichung (M. Bousquet) Lausanne, Genf 1748 (E101, E102). Neu erschienen in den Opera Omnia Ser. I, Bde. 8 u. 9, hrsg. v. A. Krazer u. A. Speiser. (Teubner), Leipzig 1922 u. 1945.
- Découverte d’un nouveau principe de Mécanique. In: Mémoires de l'académie des sciences de Berlin. Band 6, 1752, S. 185–217 (E177).
- Institutiones calculi differentialis. 2 Bände. Erstveröffentlichung Bd. 1 (Akademie) St. Petersburg 1755. (E212). Neu erschienen im Opera Omnia Ser. I, Bd. 10, S. 1–676, hrsg. v. G. Kowalewski. (Teubner) Leipzig 1913.
- In englischer Übersetzung erschienen als Euler – Foundations auf Differential Calculus. Hrsg. v. J. D. Blanton, (Springer) New York, Berlin, Heidelberg, 2000.
- Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum. 1765 (E289).
- Lettres à une princesse d’Allemagne. 3 Bände, 1768 (E343, E344, E417).
- Institutiones calculi integralis. 3 Bände, 1768–1770 (E342, E366, E385).
- Vollständige Anleitung zur Algebra. 2 Bände, 1770 (E387, E388, Band 2 Vorlage:DTAW).
Deutsche Übersetzungen und Ausgaben seiner Werke
[Bearbeiten]- Leonhard Euler’s vollständige Anleitung zur Integralrechnung, Hrsg. Joseph Solomon, 3 Bände, Wien 1828 bis 1830 (Band 1 e-rara.ch, Band 1 Vorlage:Archive.org, Band 2 Vorlage:Archive.org, Band 3 Vorlage:Archive.org).
- Leonhard Euler’s Mechanik oder analytische Darstellung der Wissenschaft, 3 Bände, Hrsg. J. Ph. Wolfers, Greifswald 1848 bis 1853 (Band 1 Vorlage:Archive.org, Band 2 Vorlage:Archive.org, Band 3 Vorlage:Archive.org).
- Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli: Abhandlungen über Variationsrechnung, Hrsg. v. P. Stäckel, 1. Teil, Ostwalds Klassiker 46. (W. Engelmann) 1894, zweite Auflage Leipzig, Berlin 1910.
- Darin enthalten E065, die Methodus inveniendi lineas curvas (1744), ohne Anhänge (Additamenta). Erschienen als Kapitel III mit dem Titel: Methode Curven zu finden, denen eine Eigenschaft im höchsten oder geringsten Grade zukommt oder Lösung des isoperimetrischen Problems, wenn es im weitesten Sinne des Wortes aufgefasst wird. Seite 21–132.
- Zwei Abhandlungen über Sphärische Trigonometrie, Ostwalds Klassiker 73, Leipzig 1896 (Vorlage:Archive.org).
- Drei Abhandlungen über Kartenprojektion, Ostwalds Klassiker 93, Leipzig 1898 (Vorlage:Archive.org).
- Von den elastischen Kurven Deutsche Übersetzung von Additamentun I: De Curvis Elasticis zu Methodus Inveniendi Lineas Curvas (E065), siehe hier unter Schriften. In: Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven: S. 18 – 99. Hrsg. v. H. Linsenbarth, Ostwalds Klassiker Band 175. (W. Engelmann) Leipzig 1910.
- Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven, Ostwalds Klassiker 175, Leipzig 1910
- Vollständigere Theorie der Maschinen, die durch Reaktion des Wassers in Bewegung versetzt werden (1754), Ostwalds Klassiker 182, Leipzig 1911
- Drei Abhandlungen über die Auflösung der Gleichungen (1783, 1764, 1790). Ostwalds Klassiker 226, Leipzig 1928
- Einleitung in die Analysis des Unendlichen, Teil 1, Einführung Wolfgang Walter, Springer 1983
- Zur Theorie komplexer Funktionen, Einleitung A. P. Juschkewitsch, Ostwalds Klassiker 261, Akademische Verlagsgesellschaft 1983
- Eine Methode sich der Eigenschaft des Maximums oder Minimums erfreuender Kurven zu finden, oder die Lösung des im weitesten Sinn aufgefassten isoperimetrischen Problems. Vollständige deutsche Übersetzung der Methodus Inveniendi Lineas Curvas (E065), siehe hier unter Schriften, von A. Aycock und A. Diener; herausgegeben vom Euler-Kreis Mainz.
- Grundlagen des Differentialkalküls, der vollständige Erklärung dieses Kalküls enthält, Teil 1. Übersetzung der Institutiones calculi differentialis, Partis Prioris (E212), siehe hier unter Schriften → Publikationen (Auswahl), übersetzt von A. Aycock und A. Diener, herausgegeben vom Euler-Kreis Mainz.
Opera Omnia
[Bearbeiten]Euler veröffentlichte rund zwei Dutzend Bücher und 500 wissenschaftliche Aufsätze. Der deutsche Mathematiker Ferdinand Rudio (1856–1929) initiierte die Herausgabe von Eulers sämtlichen Werken. Zu Lebzeiten Rudios wurden mehr als 30 Bände publiziert. Bis 2013 sind über 70 Einzelbände erschienen, außerdem vier Bände aus dem umfangreichen Briefwechsel. Die Arbeiten erscheinen in der Originalsprache, meist Französisch oder Latein.
Die gesammelten Werke wurden durch die Euler-Kommission seit 1911 als Opera Omnia im Birkhäuser (Springer) Verlag herausgegeben, die von Ferdinand Rudio gegründet wurde. Damals waren auch Adolf Krazer, Rudolf Fueter, Heinrich Weber, Paul Stäckel und Karl von der Mühll an der Herausgabe beteiligt. Zu den späteren Herausgebern von Einzelbänden gehörten Ludwig Schlesinger, Friedrich Engel, Andreas Speiser, Clifford Truesdell (Physik, Mechanik, der ganze Band 11-1 ist eine Geschichte der Elastizitätstheorie im 17. und 18. Jahrhundert, verfasst von Truesdell),<ref>Das ist C. Truesdell (1960).</ref> Alexander Michailowitsch Ljapunow, Georg Faber, August Gutzmer, Carl Boehm, Constantin Carathéodory, Henri Dulac, Max Herzberger, Emile Cherbuliez, Charles Blanc und Eric Aiton (Physik). Hauptherausgeber nach Rudio waren Andreas Speiser (ab 1928), Walter Habicht (ab 1965) und seit 1985 Hans-Christoph Im Hof. Weitere Herausgeber waren unter anderem Emil Fellmann, Adolf Juschkewitsch, Henri Dulac, Pierre Costabel, René Taton, Wladimir Iwanowitsch Smirnow, Alot T. Grigorjan, Joachim Otto Fleckenstein, Johann Jakob Burckhardt, Gleb K. Mikhailov, Franz Lemmermeyer, Andreas Kleinert und Martin Mattmüller.
Die Edition besteht aus
- Reihe 1: Mathematik, 30 Bände (vollständig). Erster Band war 1911 die Anleitung zur Algebra. Band 16 besteht aus zwei Teilbänden.
- Reihe 2: Mechanik und Astronomie, 27 Bände in 30 Teilbänden (vollständig).
- Reihe 3: Physik und Sonstiges, 12 Bände (vollständig).
- Reihe 4a: Briefwechsel. Geplant: 10 Bände für die rund 3100 Briefe mit rund 300 Korrespondenten. Bisher erschienen: 4 Bände.
- Reihe 4b: Notizbücher, Tagebücher und Unveröffentlichtes (geplant).<ref>Hans-Christoph Im Hof, Andreas Kleinert u. a.: Leonhard Euler, Opera omnia. In: Birkhäuser Wissenschaftsgeschichte. (springer.com) Abgerufen am 24. Dezember 2016.</ref><ref>Andreas Kleinert, Matthias Mattmüller: Leonhardi Euleri Opera Omnia: a centenary project. EMS Newsletter, September 2007, Vorlage:ISSN (PDF; 1,9 MB), online auf: Euler-2007.ch. Abgerufen am 24. Dezember 2016.</ref>
Seit 2014 widmet sich die Bernoulli-Euler-Gesellschaft um die Veröffentlichung und Vermittlung der Lebensleistung Eulers.
Briefe
[Bearbeiten]Beim Briefwechsel sind im Rahmen der Opera Omnia erschienen:
- Band 1 (Zusammenfassung Inhalte, Übersicht, 1975),
- Band 2 (mit Johann I. und Nikolaus I. Bernoulli),
- Band 5 (mit Clairaut, d’Alembert und Lagrange) und
- Band 6 (mit Maupertuis und Friedrich II.).
Außerdem sind außerhalb der Opera Omnia folgende Briefwechsel erschienen:
- mit Goldbach (Akademie Verlag, Berlin 1965),
- mit den Berliner und Petersburger Akademien (Akademie Verlag, Berlin, 3 Bände: 1959, 1961, 1976),
- mit Tobias Mayer (American Elsevier, 1971).
Paul-Heinrich Fuss veröffentlichte 1845 Teile des Briefwechsels von Euler mit Goldbach, Nikolaus Fuss, Johann I, Nikolaus und Daniel Bernoulli. Im Band 14 der Werkausgabe von Lagrange ist auch der Briefwechsel mit Euler.<ref>Lagrange, Œuvre. Band 14 (gallica.bnf.fr).</ref>
Literatur
[Bearbeiten]Monografien und Sammelbände
[Bearbeiten]- Gerd Biegel, Angela Klein, Thomas Sonar (Hrsg.): Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker (= Disquisitiones historiae scientiarum. Braunschweiger Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Bd. 3). Braunschweigisches Landesmuseum, Braunschweig 2008, ISBN 978-3-927939-79-0.
- Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow, Gleb K. Michailow, Adolf Juschkewitsch: Euler and modern science. Englische Ausgabe. (Erstveröffentlichung auf Russisch, Isdatelstvo Nauka 1988.) Mathematical Association of America. Washington DC. 2007.
- Robert E. Bradley, C. Edward Sandifer (Hrsg.): Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier 2007.
- Horst Bredekamp, Wladimir Velminski (Hrsg.): Mathesis & Graphe. Leonhard Euler und die Entfaltung der Wissensysteme. Akademie-Verlag, Berlin 2010, ISBN 978-3-05-004566-5.
- Ronald S. Calinger: Leonhard Euler. Mathematical Genius in the Enlightment. Princeton University Press. New Jersey, Oxfordshire 2016.
- Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler. A tricentennial tribute. Imperial College Press, London 2010.
- William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America, 1999, ISBN 0-88385-328-0.
- William Dunham (Hrsg.): The Genius of Euler. Reflections on his life and work. Mathematical Association of America, Washington DC. 2007
- Emil Fellmann (Hrsg.): Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk. Gedenkband des Kantons Basel-Stadt. Birkhäuser, Basel 1983, ISBN 3-7643-1343-9.
- Emil A. Fellmann: Leonhard Euler. Rowohlt, Reinbek 1995, ISBN 3-499-50387-5.
- Emil Fellmann: Leonhard Euler. Birkhäuser 2007
- Rudolf Fueter, Leonhard Euler. Beiheft Nr. 3 zur Zeitschrift Elemente der Mathematik. (Birkhäuser) Basel 1948, S. 1–22.
- Xavier Hascher, Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique. CNRS Editions, Paris 2015, ISBN 978-2-271-08331-9.
- Helmut Pulte, Konstanter Cartesianismus: Eulers rationale Mechanik und seine materietheoretische Interpretation des Prinzips der kleinsten Wirkung. Kap. B.II (S. 104 – 192) in: H. Pulte, Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen. Studia Leibnitiana (Sonderheft 19). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 1989.
- C. Edward Sandifer: How Euler did it. Mathematical Association of America 2007 (monatliche Kolumne von Sandifer in MAA Online 2003 bis 2007).
- C. Edward Sandifer: How Euler did even more. Mathematical Association of America 2015
- C. Edward Sandifer: The early math of Leonhard Euler. Mathematical Association of America 2007
- Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen. Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8.
- Otto Spiess: Leonhard Euler. Ein Beitrag zur Geistesgeschichte des 18. Jahrhunderts. Frauenfeld 1929.
- Wilhelm Stieda: Die Übersiedlung Leonhard Eulers von Berlin nach St. Petersburg. Hirzel, Leipzig 1931 Vorlage:URN.
- Dieter Suisky: Euler as physicist. Springer, Berlin 2009.
- Margaret B. W. Tent: Leonhard Euler and the Bernoullis: Mathematicians from Basel. 2009, ISBN 978-1-56881-464-3.
- Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. (= Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner. Band 56) B. G. Teubner, Leipzig 1982, ISBN 3-322-00576-3.
- Clifford Truesdell, The Rational Mechanics of flexible or elastic Bodies (1638 – 1788). Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia Vol. X et XI Seriei Secundae (Opera Mechanica et Astronomia). (Orell Füssli) Turici 1960
- V. S. Varadarajan: Euler through time: A new look at old themes. American Mathematical Society, 2006.
- Andreas Verdun: Leonard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik. Springer-Spektrum 2015
- Wladimir Velminski (Hrsg.): Leonhard Euler. Die Geburt der Graphentheorie. Kulturverlag Kadmos, Berlin 2009, ISBN 978-3-86599-056-3.
- Rudolf Wolf: Leonhard Euler von Basel. In: Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz. Vierter Cyclus. Orell, Füssli & Comp., Zürich 1862, S. 87–134 (books.google.de).
Sonstiges
[Bearbeiten]- Wolfgang Breidert: Leonhard Euler and Philosophy. In: R. Bradley, C. E. Sandifer (Hrsg.): Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. (Elsevier) Amsterdam, Boston, Heidelberg 2007.
- Constantin Carathéodory, Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung. S. VIII – LXII in: L. Euleri Opera Omnia, Ser. I (Opera Mathematica). Vol. 24: Methodus inveniendi lineas curvas. (Orell Füssli) Turici 1952.
- Nicolas Marquis de Condorcet: Éloge de M. Euler (Erste Fassung). In: Histoire de l’Académie royale des sciences année 1783 avec les Mémoires, Paris 1786, S. 37 – 68. Onlinezugriff: gallica.bnf.fr. .
- N. de Condorcet: Éloge de M. Euler. Neue redigierte Fassung von Condorcet (1786). In Lettres de M. Euler à une princesse d‘Allemange. Neue Ausgabe von E343, Paris 1787, S. ix – xliv. Online: Vorlage:Archive.org.
- Gustaf Eneström: Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers. Ergänzungsband 4 zum Jahresbericht der DMV. B. G. Teubner, Leipzig 1910 (erste Lieferung), 1913 (zweite Lieferung) – (Vorlage:Archive.org).
- Lutz Felbick: Lorenz Christoph Mizler de Kolof. Schüler Bachs und pythagoreischer «Apostel der Wolffischen Philosophie» (= Hochschule für Musik und Theater «Felix Mendelssohn Bartholdy», Leipzig. Schriften. Bd. 5). Georg-Olms-Verlag, Hildesheim u. a. 2012, ISBN 978-3-487-14675-1 (Zugleich: Leipzig, Hochschule für Musik und Theater «Felix Mendelssohn Bartholdy», Dissertation, 2011), S. 126–172 (Eulers Musiktheorie) Online-Version.
- Günther Frei: Zahlentheorie, Analysis und vieles mehr – Die Bedeutung von Leonhard Euler für die heutige Zeit. In: Naturwissenschaftliche Rundschau. Band 60 (12). 2007, Vorlage:ISSN, S. 629–635.
- Nikolaus Fuß: Lobrede auf Herrn Leonhard Euler. Basel 1786. Online: digitale sammlungen.de
- Harro Heuser: Eulers Analysis. S. 147–163 des Abschnitts Eulers Werk: Mathematik in: Biegel, Klein, Sonar (2008), in der Literatur → Monografien und Sammelbände.
- Eberhard Knobloch: Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis. In: Biegel, Klein, Sonar (Hrsg.) (2008), S. 79–89.
- Günter Kröber, Einleitung zu: Leonhard Euler, Briefe an eine deutsche Prinzessin – Philosophische Auswahl, (Reclam/deb) Leipzig (DDR), Westberlin (BRD) 1983, Seite 5–27.
- Harald Iro: Eulers analytische Mechanik. S. 237–268 des Kapitels Eulers Werk: Naturwissenschaften in Biegel, Klein, Sonar (2008).
- Olaf Neumann: Leonhard Euler und die Zahlen. S. 115–145 des Abschnitts Eulers Werk: Mathematik in: Biegel, Klein, Sonar (2008), in der Literatur → Monografien und Sammelbände.
- Rüdiger Thiele: The Mathematics and Science of Leonhard Euler (1707–1783). Kapitel 5 in Glen van Brummelen, Michael Kinyon (Hrsg.): Mathematics and the Historian’s Craft. Springer, New York 2005, ISBN 0-387-25284-3, S. 81–140.
- R. Thiele: Euler und Basel. S. 10–21 des biographischen Teils (Zum Leben von Leonhard Euler). In: Biegel et al. (Hrsg.): Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker. Braunschweig 2008,
- R. Thiele: Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte. S. 165–176 des Kapitels Eulers Werk: Mathematik In: Biegel et al. (Hrsg.): Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker. Braunschweig 2008,
- R. Thiele: Leonhard Euler und die Philosophie. S. 497–513 des Kapitels Eulers Werk: Die Vielseitigkeit Eulers. In: Biegel et al. (Hrsg.): Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker. Braunschweig 2008,
- André Weil: Zahlentheorie – ein Gang durch die Geschichte von Hammurabi zu Legendre. Birkhäuser 1992.
Nachschlagewerke
[Bearbeiten]Siehe auch
[Bearbeiten]Weblinks
[Bearbeiten]Vorlage:Commonscat Vorlage:Wikisource Vorlage:Wikisource
- Vorlage:Helveticat
- Vorlage:DNB-Portal
- Vorlage:DDB
- Vorlage:MathGenealogyProject
- Euler-Kreis Mainz – Sammlung von deutschen Übersetzungen Eulerscher Werke (von A. Aycock), bereitgestellt und herausgegeben vom Fachbereich Algebraische Geometrie der Universität Mainz.
Über Euler
- Euler-Kommission der Akademie der Naturwissenschaften Schweiz (SCNAT)
- Benedikt Meyer: e wie Euler Im Blog des Schweizerischen Nationalmuseums vom 27. Mai 2019
- Euler 2007
- Rubrik bei MAA von Ed Sandifer «How Euler did it»
- Vorlage:MacTutor
- Genealogie Leonhard Eulers
- WDR-Reportage zum 225. Todestag Eulers
- 300 Jahre Leonhard Euler (Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften)
- Mathematischer Kalender in Spektrum der Wissenschaft (PDF; 849 kB)
- verschiedene Aufsätze zu Euler in den BAMS 2007
- Music translated into Mathematics: Leonhard Euler
- Günther Frei: Zum 300. Geburtstag von Leonhard Euler. Hombrechtikum 15. März 2007 (PDF; 656 kB)
- Euler, Leonhard, in Heidelberger Texte zur Mathematikgeschichte
- Video über Leonhard Eulers Leben.
- Bulletin of the AMS, Band 44, 2007, Heft 4, mit Aufsätzen zu Euler (Varadarajan, Euler and his work on infinite series, Burt Totaro, Euler and algebraic geometry, George Andrews, Euler’s De partitio numerorum, Harold Edwards, Euler’s definition of the derivative)
Von Euler
- Gesammelte Schriften im Euler-Archiv der MAA (englische Benutzerführung, auch mit Texten zu Euler und seinem Umfeld)
- Einleitung in die Analysis des Unendlichen (Deutsche Übersetzung)
- Digitalisierte Schriften zu Eulers Wirken in Berlin (BBAW)
- Briefwechsel mit Friedrich II. – Digitale Ausgabe der Universitätsbibliothek Trier
Anmerkungen
[Bearbeiten]<references responsive />
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- Leonhard Euler
- Mathematiker (18. Jahrhundert)
- Physiker (18. Jahrhundert)
- Philosoph (18. Jahrhundert)
- Universalgelehrter
- Person des evangelischen Namenkalenders
- Strömungsmechaniker
- Graphentheoretiker
- Musiktheoretiker
- Ballistiker
- Person (Turbinenbau)
- Hochschullehrer (Staatliche Universität Sankt Petersburg)
- Literatur (Neulatein)
- Mitglied der Königlich Schwedischen Akademie der Wissenschaften
- Mitglied der Preußischen Akademie der Wissenschaften
- Mitglied der Russischen Akademie der Wissenschaften
- Mitglied der American Academy of Arts and Sciences
- Mitglied der Académie des sciences
- Mitglied der Accademia delle Scienze di Torino
- Person als Namensgeber für einen Asteroiden
- Person als Namensgeber für einen Mondkrater
- Alumnus der Universität Basel
- Schweizer
- Geboren 1707
- Gestorben 1783
- Mann
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