Parallelogramm
Ein Parallelogramm (von Vorlage:GrcS „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.
Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.
Eigenschaften
[Bearbeiten]Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
- Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang.
- Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
- Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
- Die Diagonalen halbieren einander.
- Die Summe der Flächen der Quadrate über den vier Seiten ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den zwei Diagonalen (Parallelogrammgleichung).
- Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).
Für jedes Parallelogramm gilt:
- Jede Diagonale teilt es in zwei gleichsinnig kongruente Dreiecke.
- Sein Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
- Die Mittelpunkte der über seinen Seiten errichteten Quadrate bilden ein Quadrat (Satz von Thébault-Yaglom).
Alle Parallelogramme, die mindestens eine Symmetrieachse besitzen, sind Rechtecke oder Rauten.
Formeln
[Bearbeiten]| Mathematische Formeln zum Parallelogramm | ||
|---|---|---|
| Flächeninhalt | \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}\right|\right|</math> <math>A = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = a \cdot b \cdot \sin(\beta) = \frac {e \cdot f \cdot \sin(\theta)}{2}</math> |
Datei:Parallelogram measures.svg |
| Umfang | <math>U = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b)</math> | |
| Innenwinkel | <math>\alpha = \gamma, \quad \beta = \delta, \quad \alpha + \beta = 180^\circ</math> | |
| Höhe | <math>h_a = b \cdot \sin(\alpha)</math> | |
| <math>h_b = a \cdot \sin(\beta)</math> | ||
| Länge der Diagonalen
(siehe Kosinussatz) |
<math>\begin{array}{ccl}
e & = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\beta)} \\ & = \sqrt{a^2 + b^2 + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha)} \end{array}</math> | |
| <math>\begin{array}{ccl}
f & = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha)} \\ & = \sqrt{a^2 + b^2 + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\beta)} \end{array}</math> | ||
| Parallelogrammgleichung | <math>e^2 + f^2 = 2 \cdot (a^2 + b^2)</math> | |
Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm
[Bearbeiten]Den Flächeninhalt <math>A</math> des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen Rechtecks die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also:
- <math>\begin{array}{cccl}
A & = & & ({\color{YellowOrange} a_x} + {\color{ForestGreen} b_x} ) \cdot ({\color{red} a_y} + {\color{blue} b_y} )\ -\ 2 \cdot ( \frac{ {\color{YellowOrange} a_x} \cdot {\color{red} a_y} }{2} +{\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{red} a_y} + \frac{ {\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{blue} b_y} }{2}) \\ & = & & {\color{YellowOrange} a_x} \cdot {\color{red} a_y} + {\color{YellowOrange} a_x} \cdot {\color{blue} b_y} + {\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{red} a_y} + {\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{blue} b_y} \\ & & - & {\color{YellowOrange} a_x} \cdot {\color{red} a_y} \quad \quad \quad -2 \cdot {\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{red} a_y} - {\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{blue} b_y} \\ & = & & \quad \quad \quad \quad {\color{YellowOrange} a_x} \cdot {\color{blue} b_y} - {\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{red} a_y} \end{array}</math>
Parallelogrammgitter
[Bearbeiten]Parallelogramme können ein Gitter in der Ebene bilden. Wenn die Kanten gleich lang sind oder die Winkel rechte Winkel sind, ist die Symmetrie des Gitters höher. Diese repräsentieren die vier zweidimensionalen Bravais-Gitter.
| Geometrische Figur | Quadrat | Rechteck | Raute | Parallelogramm |
|---|---|---|---|---|
| Bravais-Gitter | quadratisches Bravais-Gitter | rechtwinkliges Bravais-Gitter | zentriert-rechtwinkliges Bravais-Gitter | schiefwinkliges Bravais-Gitter |
| Kristallsystem | tetragonales Kristallsystem | orthorhombisches Kristallsystem | orthorhombisches Kristallsystem | monoklines Kristallsystem |
| Bild | Datei:Lattice of squares.svg | Datei:Lattice of rectangles.svg | Datei:Lattice of rhombuses.svg | Datei:Lattice of rhomboids.svg |
Das Parallelogrammgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Diese Punktmenge kann formal als die Menge
- <math> \left\{(t_1 \cdot \vec u,t_2 \cdot \vec v) \in \mathbb R^2 \mid \vec u, \vec v \in \mathbb R^2 \ \land \ t_1 \in \mathbb Z \ \land \ t_2 \in \mathbb Z \right\}</math>
geschrieben werden, wobei die Vektoren <math> \vec u</math>, <math> \vec v</math> die Richtungsvektoren zwischen benachbarten Punkten sind. Das Parallelogrammgitter entsteht durch eine affine Abbildung aus dem Quadratgitter.<ref>Wolfram MathWorld: Cubic Lattice</ref>
Das Parallelogrammgitter ist zweizählig drehsymmetrisch, also punktsymmetrisch. Außerdem ist es translationsymmetrisch für alle Vektoren im zweidimensionalen euklidischen Vektorraum.
Konstruktion eines Parallelogramms
[Bearbeiten]Ein Parallelogramm, bei dem die Seitenlängen <math>a</math> und <math>b</math> sowie die Höhe <math>h_a</math> gegeben ist, ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Verallgemeinerungen
[Bearbeiten]Eine Verallgemeinerung auf <math>n</math> Dimensionen ist das Parallelotop, erklärt als die Menge <math>\{\alpha_1 \cdot p_1 + \alpha_2 \cdot p_2 + \dotsb + \alpha_n \cdot p_n \mid 0\le\alpha_i\le 1\}</math> sowie deren Parallelverschiebungen. Die <math>p_i</math> sind dabei <math>n</math> linear unabhängige Vektoren. Parallelotope sind punktsymmetrisch.
Das dreidimensionale Parallelotop ist das Parallelepiped. Seine Seitenflächen sind sechs paarweise kongruente und in parallelen Ebenen liegende Parallelogramme. Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.
Satz von Varignon
[Bearbeiten]Nach dem Satz von Varignon gilt: Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.
Beweis:
Nach Definition gilt <math>\overline{AE}=\overline{EB}, \overline{BF} = \overline{FC}, \overline{CG} = \overline{GD}, \overline{DH} = \overline{HA}</math>.
Betrachte das Dreieck ABC. Es ist ähnlich zum Dreieck EBF. Nimmt man den Punkt B als Zentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit dem Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> abgebildet. Wegen der Eigenschaften der zentrischen Streckung sind Bildstrecke und ursprüngliche Strecke parallel. Also ist <math>AC \parallel EF</math>. Ebenso zeigt man, dass <math>AC \parallel GH</math>, <math>BD \parallel FG</math>, und <math>BD \parallel HE</math>. Die Parallelität in der euklidischen Ebene ist eine Äquivalenzrelation und damit transitiv. Also ist <math>EF \parallel GH</math> und <math>FG \parallel HE</math>.
Die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.
Eine andere Möglichkeit ist, mit dem Strahlensatz zu beweisen, dass <math>EF = GH</math> und <math>FG = HE</math> ist, d. h. dass die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH gleich lang sind.
Nach dem Strahlensatz gilt außerdem: Der Umfang des Parallelogramms EFGH ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Viereck ABCD. Die Fläche des Parallelogramms EFGH ist halb so groß wie die Fläche des Vierecks ABCD.<ref>Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg: Varignon-Parallelogramm</ref>
Parallelogramme mit Quadraten
[Bearbeiten]Gegeben sei ein Parallelogramm <math>ABCD</math>, über dessen Seiten Quadrate errichtet sind. Dann sind die Diagonalenschnittpunkte <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> und <math>H</math> der Quadrate Eckpunkte eines weiteren Quadrats. (Figur 1)
Beweis:
Die vier gelben Dreiecke <math>AEH</math>, <math>EFB</math>, <math>GFC</math> und <math>HDG</math> in Figur 2 stimmen in je zwei Seiten und dem jeweils eingeschlossenen (gelben) Innenwinkel bei <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> überein. Deshalb sind sie nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent und damit alle Seiten des Vierecks <math>EFGH</math> gleich lang. Da die Diagonalen eines Quadrats orthogonal sind, ist <math>\angle BEA</math> ein rechter Winkel. Da die beiden (gelben) Winkel <math>\angle HEA</math> und <math>\angle FEB</math> gleich groß sind, muss auch <math>\angle FEH</math> ein rechter Winkel sein. Somit ist das Viereck <math>EFGH</math> ein Quadrat.<ref name="Zeuge">Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 129/172</ref>
Goldener Schnitt in Parallelogrammen
[Bearbeiten]Ein Parallelogramm, bei dem das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite gleich dem Goldenen Schnitt <math>\Phi</math> ist, habe einen spitzen Innenwinkel von 60°. Die kürzere Seite habe o. B. d. A. die Länge 1.
Dann lassen sich zwei Folgen gleichseitiger Dreiecke jeweils so anordnen, dass jedes Dreieck der Folge durch eine Ecke seines Nachfolgers ebenfalls im Goldenen Schnitt geteilt wird. Weil das Parallelogramm punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen ist, sind die Grenzwerte der zu den beiden Folgen gehörigen Reihen identisch und füllen spiralförmig die gesamte Fläche des Parallelogramms aus. Die Flächenmaßzahlen der mittleren Parallelogramme konvergieren hierbei gegen Null (Figur 3).
Ist h die Höhe auf der längeren Seite des Ausgangsparallelogramms, so hat jede der beiden Dreiecksspiralen die Flächenmaßzahl
- <math>A=\frac{1}{2}\cdot\Phi\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\Phi\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{1}{4}\Phi\sqrt{3}</math>.<ref name="Walser">Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seite 77</ref>
Verwendung in der Technik
[Bearbeiten]Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die sogenannte Parallelogrammführung. Beispiele:
-
Schaltparallelogramm einer Kettenschaltung
-
Parallel-Scheibenwischer
Siehe auch
[Bearbeiten]Literatur
[Bearbeiten]- F. Wolff: Lehrbuch der Geometrie. Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 (Online-Kopie).
- P. Kall: Lineare Algebra für Ökonomen. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, ISBN 978-3-519-02356-2.
- Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
Weblinks
[Bearbeiten]Vorlage:Commonscat Vorlage:Wiktionary Vorlage:Wiktionary
- Vorlage:MathWorld
- Vorlage:Webarchiv. Abgerufen am 18. November 2016.
- Vorlage:Webarchiv. Abgerufen am 18. November 2016.
- Vorlage:Webarchiv. Abgerufen am 15. Mai 2025.
Einzelnachweise
[Bearbeiten]<references />
