Modus (Statistik)

Vorlage:Dieser Artikel Der Modus (Plural Modi), auch Modalwert genannt, ist ein Lageparameter in der deskriptiven Statistik. Er ist definiert als der Wert, der in der Stichprobe am häufigsten vorkommt.<ref>Vorlage:Literatur</ref><ref name="Cleff37" /> Werden beispielsweise Klausurnoten einer Schulklasse erhoben, so entspricht der Modus der (den) Note(n), die am häufigsten vergeben wurde(n).

Im Gegensatz zu anderen Lagemaßen hat der Modus den Vorteil, dass er bereits ab Nominalskalenniveau existiert. Er ist jedoch im Allgemeinen nicht eindeutig, da in einer Stichprobe mehrere Werte am häufigsten vorkommen können.

Definition

Jede Merkmalsausprägung, die in einer Stichprobe am häufigsten vorkommt, heißt ein Modus der Stichprobe.<ref name="Bosch20" /> Damit ist ein Modus genau ein Gipfel der entsprechenden Häufigkeitsverteilung.<ref name="Kosfeld68" /> Ein Modus kommt also nicht seltener vor als irgendeine Ausprägung desselben Merkmals.

Als Notationen für den Modus finden sich meist <math> D </math>, <math>x_\text{Mod}</math> oder <math> x_M </math>.

Beispiele

Nominalskala

In der Stichprobe

<math> (\text{Zebra}, \text{Elefant}, \text{Giraffe}, \text{Zebra}, \text{Giraffe}, \text{Antilope}) </math>

treten die Merkmalsausprägungen <math> \text{Zebra}, \text{Elefant}, \text{Giraffe} </math> und <math> \text{Antilope} </math> auf. Dabei tritt <math> \text{Antilope} </math> einmal auf, ebenso <math> \text{Elefant} </math>. Sowohl <math> \text{Zebra} </math> als auch <math> \text{Giraffe} </math> treten zweimal auf. Des Weiteren gibt es kein Merkmal, das dreimal oder öfter auftritt. Also ergeben sich als Modi

<math> D_1= \text{Zebra} </math>

und

<math> D_2= \text{Giraffe} </math>.

Ordinalskala

Bei einer Klassenarbeit wurden die Noten

<math> (\text{befriedigend}, \;\text{sehr gut}, \;\text{befriedigend}, \;\text{gut}, \;\text{gut}, \;\text{ausreichend}, \;\text{mangelhaft}, \;\text{ungenuegend}, \;\text{gut}) </math>

vergeben. Die Noten <math> \text{sehr gut}, \;\text{ausreichend}, \;\text{mangelhaft} </math> und <math> \text{ungenuegend} </math> wurden je einmal vergeben, die Note <math> \text{befriedigend} </math> zweimal und die Note <math> \text{gut} </math> dreimal. Keine Note wurde mehr als dreimal vergeben, also ist der Modus

<math> D= \text{gut} </math>.

Kardinalskala

Unklassierte Daten

Betrachtet man die Stichprobe

<math> (1, 1, 1, 2, 10, 11, 12, 67, 72) </math>,

so kommen alle Werte bis auf die <math> 1 </math> nur je einmal vor, die <math> 1 </math> jedoch dreimal. Also ist der Modus

<math> D=1 </math>.

Klassierte Daten

Vorlage:Belege fehlen Liegen die Daten klassiert vor, dann gibt es zwei Möglichkeiten den Modus zu bestimmen.

1. Grobberechnung:
   • Bestimmung der Modalklasse <math>M</math> anhand Häufigkeitsdichten <math> f_i </math> (Häufigkeitsdichte = Relative Häufigkeit / Klassenbreite)
   • Klassenmitte der Modalklasse
2. Feinberechnung:
   • Bestimmung der Modalklasse <math> M </math> anhand Häufigkeitsdichten <math> f_i </math>
   • <math> D= x_M^u+\frac{f_M-f_{M-1}}{2\,f_M-f_{M-1}-f_{M+1}} (x_M^o-x_M^u)</math>
     mit <math> x_M^u </math> als untere und <math> x_M^o </math> als obere Klassengrenze der Modalklasse. Fällt die Modalklasse auf die erste oder letzte Klasse, dann werden <math> f_{M-1} </math> bzw. <math> f_{M+1} </math> gleich Null gesetzt.

Klausurpunkte	Note	Abs. Häufigkeit	Rel. Häufigkeit	Häufigkeitsdichte
0–20	5	57	0,208	0,010
20–30	4	93	0,339	0,034
30–37	3	92	0,336	0,048
37–46	2	29	0,106	0,012
46–51	1	3	0,011	0,002
Summe		274	1,000

Die Modalklasse ist die Klasse mit der größten Häufigkeitsdichte, also 30–37. Die Grobberechnung ergibt dann <math>D=33{,}5</math>, die Feinberechnung <math> D= 30+\tfrac{0{,}048-0{,}034}{2\cdot 0{,}048-0{,}034-0{,}012}\cdot (37-30)= 31{,}96 </math>.

Eigenschaften und Vergleich

Datei:Comparison mean median mode.svg

Vergleich zwischen Modus, Median und „Mittel“ (eigentlich: Erwartungswert) zweier Log-Normalverteilungen

Der Modus ist immer definiert, allerdings im Allgemeinen nicht eindeutig. Beides zeigt das Beispiel unter Nominalskala: Keines der gängigen Lagemaße ist in solch einem allgemeinen Rahmen anwendbar, jedoch treten bei dieser Stichprobe zwei Modi auf. Der Extremfall tritt ein, wenn alle Merkmalsausprägungen in der Stichprobe voneinander verschieden sind: Dann tritt jede genau einmal auf und damit ist jede ein Modus.

Bei Stichproben mit Ordnungsstruktur lässt sich zusätzlich zum Modus noch der Median definieren. Die beiden müssen nicht übereinstimmen, so wäre im Beispiel unter Ordinalskala der Median

<math> M= \text{befriedigend} </math>,

wohingegen der Modus als

<math> D= \text{gut} </math>

bestimmt wurde. Bei Vorliegen einer Kardinalskala kann zusätzlich noch das arithmetische Mittel bestimmt werden. Modus, Median und arithmetisches Mittel können jedoch weit auseinanderliegen. So ist der Modus im Beispiel unter Kardinalskala zu

<math> D= 1 </math>

bestimmt worden. Für den Median der Zahlenfolge 1, 1, 1, 2, 10, 11, 12, 67, 72 ergibt sich

<math> m= 10 </math>

und für das arithmetische Mittel

<math> \overline x= (1+1+1+2+10+11+12+67+72)/9= 19{,}67</math>.

Aufbauende Begriffe

Häufigkeitsverteilungen mit zwei oder mehr Modi werden als multimodale Verteilungen bezeichnet. Dabei werden Verteilungen mit zwei Modi als bimodal bezeichnet. Verteilungen mit lediglich einem Modus werden unimodal genannt.

Charakterisierung der Neigung

In Beobachtungsreihen mit ordinal und metrisch skalierten Merkmalen kann der Modalwert als Dichtemittel bezeichnet werden. Im Vergleich mit Median und arithmetischem Mittel kann der Modus die Neigung der Verteilung – ähnlich der statistischen Schiefe – charakterisieren.<ref name="Wirtz2008" /> Die Modus-Schiefe nach Karl Pearson ist zum Beispiel definiert als

<math> \frac{\text{Arithmetisches Mittel} - \text{Modus}}{\text{Standardabweichung}} </math>.

Folgende Faustregel setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung:<ref name="Hippel" />

• rechtsschiefe (linkssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus < Median < arithmetisches Mittel
• linksschiefe (rechtssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus > Median > arithmetisches Mittel
• unimodale symmetrische Häufigkeitsverteilung: Modus ≈ Median ≈ arithmetisches Mittel

Einzelnachweise

<references> <ref name="Cleff37"> Vorlage:Literatur </ref> <ref name="Bosch20"> Vorlage:Literatur </ref> <ref name="Kosfeld68"> Vorlage:Literatur </ref> <ref name="Wirtz2008"> Vorlage:Literatur </ref> <ref name="Hippel"> Paul T. von Hippel: Vorlage:Webarchiv. In: Journal of Statistics Education, Volume 13, Number 2, 2005. </ref> </references>