Potenzmenge

Datei:Hasse diagram of powerset of 3.svg

Die Potenzmenge von {x, y, z}, dargestellt als Hasse-Diagramm.

Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge.

Man notiert die Potenzmenge einer Menge <math>X</math> meist als <math>\mathcal P(X)</math>. Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“.

Definition

Die Potenzmenge <math>\mathcal P(X)</math> einer Menge <math>X</math> ist eine neue Menge, die aus allen Teilmengen <math>U</math> von <math>X</math> besteht. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. In Formelschreibweise lautet die Definition einer Potenzmenge

<math>\mathcal P(X) := \{ U \mid U \subseteq X \}</math>.

Dabei ist zu beachten, dass auch die leere Menge <math>\emptyset</math> und die Menge <math>X</math> Teilmengen von <math>X</math> sind, also Elemente der Potenzmenge <math>\mathcal P(X)</math>. Andere gebräuchliche Notationen für die Potenzmenge sind <math>\mathfrak p(X),\ 2^X,\ \mathrm{Pot}(X),\ \Pi(X),\ \wp(X)</math> und <math>\mathfrak P(X)</math>.

Beispiele

• <math>\mathcal P(\emptyset) = \{ \emptyset \}</math>
• <math>\mathcal P(\{ a \}) = \bigl\{ \emptyset, \{ a \} \bigr\}</math>
• <math>\mathcal P(\{ a, b \}) = \bigl\{ \emptyset, \{ a \}, \{ b \}, \{ a, b \} \bigr\}</math>
• <math>\mathcal P(\{ a, b, c \}) = \bigl\{ \emptyset, \{ a \}, \{ b \}, \{ c \}, \{ a, b \}, \{ a, c \}, \{ b, c \}, \{ a, b, c \} \bigr\}</math>
• <math>\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \bigl\{ \emptyset, \{\emptyset\}\bigr\}</math>
• <math>\mathcal P(\mathcal P(\{a\})) = \bigl\{ \emptyset, \{\emptyset\} , \{\{a\}\} , \{\emptyset , \{a\}\} \bigr\}</math>

Strukturen auf der Potenzmenge

Partielle Ordnung

Die Inklusionsrelation <math>\subseteq</math> ist eine Halbordnung auf <math>\mathcal P(X)</math> (und keine Totalordnung, wenn <math>X</math> mindestens zwei Elemente hat). Das kleinste Element der Ordnung ist <math>\emptyset</math>, das größte Element ist <math>X</math>.

Vollständiger Verband

Die Halbordnung <math>(\mathcal P(X), \subseteq)</math> ist ein vollständiger Verband. Dies bedeutet, dass es zu jeder Teilmenge von <math>\mathcal P(X)</math> ein Infimum und ein Supremum (in <math>\mathcal P(X)</math>) gibt. Konkret ist für eine Menge <math>T \subseteq \mathcal P(X)</math> das Infimum von <math>T</math> gleich dem Durchschnitt der Elemente von <math>T</math>, und das Supremum von <math>T</math> ist gleich der Vereinigung der Elemente von <math>T</math>, also

<math>\inf(T) = \bigcap_{M \in T} M\quad\text{ und }\quad\mathrm{sup}(T) = \bigcup_{M \in T} M.</math>

Das größte und das kleinste Element erhält man als Infimum bzw. Supremum der leeren Menge, also

<math>\inf(\emptyset) = X\quad\text{ und }\quad\sup(\emptyset) = \emptyset.</math>

Boolescher Verband

Zieht man noch die Komplementabbildung <math> {}^\mathrm{c} : \mathcal P(X) \rightarrow \mathcal P(X)</math> heran, ist <math>(\mathcal P(X), \cap, \cup, ^\mathrm{c}, \emptyset, X)</math> ein boolescher Verband, also ein distributiver und komplementärer Verband.

Kommutativer Ring

Jeder boolesche Verband induziert eindeutig eine kommutative Ringstruktur, den sogenannten booleschen Ring. Hier auf <math>\mathcal P(X)</math> ist die Ringaddition gegeben durch die symmetrische Differenz von Mengen, die Ringmultiplikation ist der Durchschnitt. Die leere Menge ist neutral für die Addition und <math>X</math> ist neutral für die Multiplikation.

Charakteristische Funktionen

Jeder Teilmenge <math>T \subseteq X</math> kann man die charakteristische Funktion <math>\chi_T \colon X \to \{0,1\}</math> zuordnen, wobei gilt

<math>

\chi_T(x) := \begin{cases}
 1,& x \in T\\
 0,& x \not\in T
\end{cases}

</math> Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen <math>\mathcal P(X)</math> und <math>\{0, 1\}^X</math> (wobei die Notation <math>B^A</math> für die Menge aller Funktionen von <math>A</math> nach <math>B</math> benutzt wird). Dies motiviert für <math>\mathcal P(X)</math> auch die Schreibweise <math>2^X</math>, denn in von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ist <math>2 = \{0, 1\}</math> (allgemein: <math>n = \{0, ..., n-1\}</math>).

Die Korrespondenz <math>\mathcal P(X) \cong \{0, 1\}^X</math> ist zunächst eine reine Bijektion, lässt sich aber leicht als Isomorphismus bezüglich jeder der oben betrachteten Strukturen auf der Potenzmenge nachweisen.

Vorlage:Anker Die Größe der Potenzmenge (Kardinalität)

<math>|M|</math> bezeichnet die Mächtigkeit einer Menge <math>M</math>.

• Für endliche Mengen <math>X</math> gilt: <math>|\mathcal P(X)| = 2^{|X|}</math>.
• Stets gilt der Satz von Cantor: <math>|X| < |\mathcal P(X)|</math>.

Der Übergang zur Potenzmenge liefert also immer eine größere Mächtigkeit. Analog zu endlichen Mengen schreibt man auch <math>2^{|X|}</math> für die Mächtigkeit <math>|\mathcal P(X)| = \left|2^X\right|</math> der Potenzmenge einer unendlichen Menge <math>X</math>. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt für unendliche Mengen <math>X</math>, dass <math>|\mathcal P(X)|</math> die nach <math>|X|</math> nächstgrößere Mächtigkeit ist: <math>\mathrm{GCH} \implies (|X| < |Y| \implies |\mathcal P(X)| \leq |Y|).</math>

Beschränkung auf kleinere Teilmengen

Mit <math>\mathcal P_\kappa(X) = \{ U \subseteq X : |U| < \kappa \}</math> wird von manchen Autoren die Menge derjenigen Teilmengen von <math>X</math> bezeichnet, die weniger als <math>\kappa</math> Elemente enthalten. Beispielsweise wäre dann <math>\mathcal P_3(\{a,b,c\}) = \{ \emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\}</math>: Die Menge <math>\{a,b,c\}</math> selbst fehlt, da sie nicht weniger als <math>3</math> Elemente hat. Andere Autoren verstehen unter <math>\mathcal P_\kappa(X)</math> jedoch auch die Menge der Teilmengen von <math>X</math>, die genau die Mächtigkeit <math>\kappa</math> haben.<ref>Vorlage:Literatur</ref> In diesem Fall wäre <math>\mathcal P_3(\{a,b,c\}) = \{ \{a,b,c\} \}</math>. Für letztere Variante ist auch die Schreibweise <math>\binom{X}{\kappa}</math> gebräuchlich.<ref>Vorlage:Literatur</ref>

Potenzklasse

Der Begriff der Potenzmenge lässt sich auf Klassen erweitern, wobei zu beachten ist, dass echte Klassen nicht auf der linken Seite der Enthaltenseins-Relation <math>\in</math> stehen können. Die Potenz (Potenzklasse) einer Klasse K ist gegeben durch die Klasse aller Mengen, deren Elemente alle in K enthalten sind. Die Elemente der Potenzklasse von K sind also die Teilmengen von K. Die Potenz einer echten Klasse K ist wieder eine echte Klasse, denn sie enthält die Einermengen {x} zu allen Elementen x von K. Sie enthält immer die Leermenge ∅, aber nicht die echte Klasse K selbst.

Ist <math>\mathcal U</math> die Allklasse, gilt mit diesen Begrifflichkeiten ganz offenbar <math>\mathcal P(\mathcal U) \subseteq \mathcal U</math>, und das Prinzip der Epsilon-Induktion lässt sich kompakt darstellen als die Forderung, dass <math>\mathcal U</math> die einzige Klasse mit dieser Eigenschaft ist: Ist <math>A</math> eine beliebige Klasse, gilt

<math>\mathcal P(A) \subseteq A \implies \mathcal U \subseteq A</math>.

Sonstiges

• Die Existenz der Potenzmenge zu jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert, nämlich durch das Potenzmengenaxiom.
• Ein Mengensystem wie beispielsweise eine Topologie oder eine σ-Algebra über einer Grundmenge <math>X</math> ist eine Teilmenge der Potenzmenge <math>\mathcal{P}(X)</math>, also ein Element von <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))</math>.

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Einzelnachweise

<references />