Zerfallsgesetz
Zerfallsgesetz ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine exponentielle zeitliche Abnahme von Größen beschreibt. In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl <math>N</math> der zu einem Zeitpunkt <math>t</math> noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe mit einem einzigen Radionuklid an. Diese Anzahl beträgt
- <math>N(t)= N_0 \cdot \mathrm e^{-\lambda t}</math>,
wobei <math>N_0</math> die Anzahl der am Anfang (<math>t = 0</math>) vorhandenen Atomkerne und <math>\lambda</math> die Zerfallskonstante des betreffenden Radionuklids ist.
Herleitung
[Bearbeiten]Betrachtet man ein radioaktives Präparat mit anfänglich <math>N_0</math> Atomkernen und der Aktivität <math>A</math>, so gilt für die Anzahl <math>N</math> der in der Zeit <math>t</math> noch nicht zerfallenen Kerne:
- <math>
\begin{align} A &= - \frac{\mathrm d N}{\mathrm d t} \qquad \text{mit } A = \lambda \cdot N\\ -\lambda \cdot N &= \frac{\mathrm d N}{\mathrm d t}\\ -\lambda \cdot \mathrm d t&=\frac{1}{N} \cdot \mathrm d N\\ \int_0^t -\lambda \cdot \mathrm dt'&=\int_{N_0}^N\frac{1}{N'} \cdot \mathrm dN'\\ -\lambda t - (-\lambda \cdot 0) &= \ln(N)-\ln(N_0)\\ -\lambda t &=\ln\left(\frac{N}{N_0}\right)\\ \mathrm e^{-\lambda t} &= \frac{N}{N_0}\\ N(t)&= N_0 \cdot \mathrm e^{-\lambda t} \end{align} </math>
Nach der Zeit <math>t</math> sind also von <math>N_0</math> Ausgangskernen noch <math>N(t)</math> übrig.
Mittlere Lebensdauer
[Bearbeiten]Die Zerfallskonstante <math>\lambda</math> (Lambda) ist der Kehrwert der mittleren Lebensdauer <math>\tau = 1/\lambda</math>, also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor <math>\mathrm e = 2{,}71828\dotso</math> verringert hat. <math>\tau</math> (Tau) unterscheidet sich von der Halbwertszeit <math>T_{1/2}</math> nur um den konstanten Faktor <math>\ln 2</math>:
- <math>T_{1/2} = \tau \cdot \ln 2 = \frac {\ln 2}{\lambda} \approx 0{,}693 \cdot \tau</math>
Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:
- <math> N(t) = N_0 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{T_{1/2}}t} </math>
Mit
- <math>e^{-\ln(2)}= \frac12 </math>
ergibt sich eine Form des Zerfallsgesetzes, die die Halbierung der Stoffmenge nach Ablauf je einer Halbwertszeit besonders anschaulich macht:
<math> N(t) = N_0 \cdot \left(\frac12 \right) ^{\frac{t}{T_{1/2}}} </math>
