imported>Bleckneuhaus: /* Mittlere Lebensdauer */ mit der Halbwertszeit: etwas kürzer formuliert

2025-06-10T19:49:15Z

Mittlere Lebensdauer: mit der Halbwertszeit: etwas kürzer formuliert

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[[Datei:Exponential-decay.png|mini|Exponentielle Abnahme einer Größe vom anfängliches Wert ''N'' – z. B. der Zahl radioaktiver Atomkerne in einer gegebenen Substanzprobe – mit der Zeit ''t''. ]]
'''Zerfallsgesetz''' ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine [[Exponentieller Prozess#Exponentielle Abnahme|exponentielle zeitliche Abnahme]] von Größen beschreibt. In der [[Kernphysik]] gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl <math>N</math> der zu einem Zeitpunkt <math>t</math> noch nicht zerfallenen [[Atomkern]]e einer [[Radioaktivität|radioaktiven]] Substanzprobe mit einem einzigen [[nuklid|Radionuklid]] an. Diese Anzahl beträgt
:<math>N(t)= N_0 \cdot \mathrm e^{-\lambda t}</math>,
wobei <math>N_0</math> die Anzahl der am Anfang (<math>t = 0</math>) vorhandenen Atomkerne und <math>\lambda</math> die [[Zerfallskonstante]] des betreffenden Radionuklids ist.

== Herleitung ==

Betrachtet man ein radioaktives Präparat mit anfänglich <math>N_0</math> [[Atomkern]]en und der [[Aktivität (Physik)|Aktivität]] <math>A</math>, so gilt für die Anzahl <math>N</math> der in der Zeit <math>t</math> noch nicht zerfallenen Kerne:

:<math>
\begin{align}
A &= - \frac{\mathrm d N}{\mathrm d t} \qquad \text{mit } A = \lambda \cdot N\\
-\lambda \cdot N &= \frac{\mathrm d N}{\mathrm d t}\\
-\lambda \cdot \mathrm d t&=\frac{1}{N} \cdot \mathrm d N\\
\int_0^t -\lambda \cdot \mathrm dt'&=\int_{N_0}^N\frac{1}{N'} \cdot \mathrm dN'\\
-\lambda t - (-\lambda \cdot 0) &= \ln(N)-\ln(N_0)\\
-\lambda t &=\ln\left(\frac{N}{N_0}\right)\\
\mathrm e^{-\lambda t} &= \frac{N}{N_0}\\
N(t)&= N_0 \cdot \mathrm e^{-\lambda t}
\end{align}
</math>

Nach der Zeit <math>t</math> sind also von <math>N_0</math> Ausgangskernen noch <math>N(t)</math> übrig.

== Mittlere Lebensdauer ==

Die Zerfallskonstante <math>\lambda</math> ([[Lambda]]) ist der Kehrwert der mittleren [[Lebensdauer (Physik)|Lebensdauer]] <math>\tau = 1/\lambda</math>, also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor <math>\mathrm e = 2{,}71828\dotso</math> verringert hat. <math>\tau</math> ([[Tau (Buchstabe)|Tau]]) unterscheidet sich von der [[Halbwertszeit]] <math>T_{1/2}</math> nur um den konstanten Faktor <math>\ln 2</math>:

:<math>T_{1/2} = \tau \cdot \ln 2 = \frac {\ln 2}{\lambda} \approx 0{,}693 \cdot \tau</math>

Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:

:<math> N(t) = N_0 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{T_{1/2}}t} </math>

Mit
:<math>e^{-\ln(2)}= \frac12 </math>
ergibt sich eine Form des Zerfallsgesetzes, die die Halbierung der Stoffmenge nach Ablauf je einer Halbwertszeit besonders anschaulich macht:

<math> N(t) = N_0 \cdot \left(\frac12 \right) ^{\frac{t}{T_{1/2}}} </math>

== Weblinks ==

* [https://www.walter-fendt.de/html5/phde/lawdecay_de.htm Java-Animation des Zerfallsgesetzes]

[[Kategorie:Kernphysik]]

Zerfallsgesetz - Versionsgeschichte

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