imported>Bocardodarapti: /* Weblinks */ neuerer Kurs

2025-07-18T05:32:16Z

Weblinks: neuerer Kurs

Neue Seite

Die '''Zahlentheorie''' ist ein [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Mathematik]], das sich mit den Eigenschaften von [[Zahl]]en und [[Zahlbereich]]en beschäftigt. Teilgebiete sind beispielsweise die elementare oder arithmetische Zahlentheorie – eine Verallgemeinerung der [[Arithmetik]] –, die Lehre von den [[Diophantische Gleichung|Diophantischen Gleichungen]], die [[analytische Zahlentheorie]] und die [[algebraische Zahlentheorie]].

== Teilgebiete ==
Die verschiedenen Teilgebiete der Zahlentheorie werden nicht zuletzt nach den Methoden unterschieden, mit denen zahlentheoretische Fragestellungen bearbeitet werden.

=== Elementare oder arithmetische Zahlentheorie ===
Von der Antike bis in das 16. Jahrhundert behauptete sich die Zahlentheorie als grundständige Disziplin und kam ohne andere mathematische Teilgebiete aus. Ihre einzigen Hilfsmittel waren die Eigenschaften der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]], insbesondere [[Primfaktorzerlegung]] ([[Fundamentalsatz der Arithmetik]]), [[Teilbarkeit]] und das Rechnen mit [[Kongruenz (Zahlentheorie)|Kongruenzen]]. Eine solche ''reine'' Herangehensweise wird auch als ''elementare Zahlentheorie'' bezeichnet. Wichtige Resultate, die sich mit Hilfe elementarer Methoden erzielen lassen, sind der [[Euklidischer Algorithmus|Euklidische Algorithmus]], der [[Chinesischer Restsatz|Chinesische Restsatz]], der [[Satz von Wilson]] sowie der [[Kleiner Fermatscher Satz|kleine Satz von Fermat]] und dessen Verallgemeinerung, der [[Satz von Euler]].

Auch heute noch wird in einzelnen Fragen zu Teilbarkeit, Kongruenzen und Ähnlichem mit elementaren zahlentheoretischen Methoden geforscht. Ebenso wird versucht, Beweise zur Zahlentheorie, die sich weitergehender Methoden bedienen, in elementare Begriffe zu „übersetzen“, woraus sich neue Erkenntnisse ergeben können. Ein Beispiel ist die elementare Betrachtung [[Zahlentheoretische Funktion|zahlentheoretischer Funktionen]] wie der [[Möbiusfunktion]] und der [[Eulersche Phi-Funktion|Eulerschen Phi-Funktion]].

=== Analytische Zahlentheorie ===
{{Hauptartikel|Analytische Zahlentheorie}}

Als Erster wurde [[Leonhard Euler|Euler]] darauf aufmerksam, dass man Methoden der [[Analysis]] und [[Funktionentheorie]] benutzen kann, um zahlentheoretische Fragestellungen zu lösen. Eine solche Herangehensweise bezeichnet man als ''analytische Zahlentheorie''. Wichtige Probleme, die mit analytischen Methoden gelöst wurden, betreffen meist statistische Fragen nach der Verteilung von [[Primzahl]]en und deren Asymptotik. Dazu gehören zum Beispiel der von [[Carl Friedrich Gauß|Gauß]] vermutete, aber erst Ende des 19. Jahrhunderts bewiesene [[Primzahlsatz]] und der [[Dirichletscher Primzahlsatz|dirichletsche Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen]]. Daneben dienen analytische Methoden auch dazu, die [[Transzendente Zahlen|Transzendenz]] von Zahlen wie der [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> oder der [[Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] <math>e</math> nachzuweisen, also dass diese Zahlen nicht Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sein können. Im Zusammenhang mit dem Primzahlsatz wurde erstmals die [[Riemannsche Zeta-Funktion]] untersucht, die heute zusammen mit ihren [[Zeta-Funktion|Verallgemeinerungen]] Gegenstand sowohl analytischer als auch algebraischer Forschung und Ausgangspunkt der [[Riemannsche Vermutung|Riemannschen Vermutung]] ist.

=== {{Anker|Arithmetische Geometrie}} Algebraische Zahlentheorie und arithmetische Geometrie ===
{{Hauptartikel|Algebraische Zahlentheorie}}

Einen der großen Meilensteine der Zahlentheorie bildete die Entdeckung des [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz|quadratischen Reziprozitätsgesetzes]]. Das Gesetz zeigt, dass man Fragen der Lösbarkeit [[Diophantische Gleichung|diophantischer Gleichungen]] in den ganzen Zahlen durch den Übergang zu anderen Zahlbereichen einfacher lösen kann ([[Quadratischer Zahlkörper|quadratische Zahlkörper]], [[gaußsche Zahlen]]). Hierzu betrachtet man endliche [[Körpererweiterung|Erweiterungen]] der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]], sogenannte ''[[algebraischer Zahlkörper|algebraische Zahlkörper]]'' (woher auch der Name ''algebraische Zahlentheorie'' stammt). Elemente von Zahlkörpern sind [[Nullstelle]]n von [[Polynom]]en mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlkörper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen, die [[Ganzheitsring]]e. Sie verhalten sich in vieler Hinsicht wie der [[Ring (Algebra)|Ring]] der ganzen Zahlen. Die eindeutige Zerlegung in Primzahlen gilt allerdings nur noch in Zahlkörpern der [[Klassenzahl]] 1. Allerdings sind Ganzheitsringe [[Dedekindring]]e und jedes [[Gebrochenes Ideal|gebrochene Ideal]] besitzt daher eine eindeutige Zerlegung in [[Primideal]]e. Die Analyse dieser algebraischen Zahlkörper ist sehr kompliziert und erfordert Methoden nahezu aller Teilgebiete der reinen Mathematik, insbesondere der [[Algebra]], [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], [[Analysis]], [[Funktionentheorie]] (insbesondere der Theorie der [[Modulform]]en), [[Geometrie]] und [[Darstellungstheorie]]. Die algebraische Zahlentheorie beschäftigt sich weiterhin mit dem Studium [[Funktionenkörper|algebraischer Funktionenkörper]] über [[Endlicher Körper|endlichen Körpern]], deren Theorie weitgehend analog zur Theorie der Zahlkörper verläuft. Algebraische Zahl- und Funktionenkörper werden unter dem Namen [[Globaler Körper|„globale Körper“]] zusammengefasst. Oft stellt es sich als fruchtbar heraus, Fragen „lokal“, d. h. für jede Primzahl ''p'' einzeln zu betrachten. Dieser Vorgang benutzt im Fall der ganzen Zahlen die [[P-adische Zahlen|p-adischen Zahlen]], allgemein [[Lokaler Körper|lokale Körper]].

Für die Formulierung der modernen algebraischen Zahlentheorie sind die Sprache der [[Homologische Algebra|homologischen Algebra]] und insbesondere die ursprünglich topologischen Konzepte der [[Kohomologie]], [[Homotopie]] und der [[Abgeleiteter Funktor|abgeleiteten Funktoren]] unerlässlich. Höhepunkte der algebraischen Zahlentheorie sind die [[Klassenkörpertheorie]] und die [[Iwasawa-Theorie]].

Nach der Neuformulierung der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] durch [[Alexander Grothendieck|Grothendieck]] und insbesondere nach Einführung der [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemata]] stellte es sich (in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts) heraus, dass die Zahlentheorie als ein Spezialfall der algebraischen Geometrie betrachtet werden kann. Die moderne algebraische Zahlentheorie wird daher auch als geometrische Zahlentheorie oder arithmetische Geometrie bezeichnet, in der der Begriff des Schemas eine zentrale Rolle spielt.

Zu jedem Zahlkörper gehört eine [[Dedekindsche Zeta-Funktion|Zeta-Funktion]], deren analytisches Verhalten die Arithmetik des Zahlkörpers widerspiegelt. Auch für die Dedekindschen Zeta-Funktionen ist die Riemannsche Vermutung im Allgemeinen unbewiesen. Für endliche Körper ist ihre Aussage in den berühmten [[Weil-Vermutungen]] enthalten und wurde von [[Pierre Deligne]] mit Mitteln der algebraischen Geometrie gelöst, wofür er 1978 die [[Fields-Medaille]] bekam.

=== Algorithmische Zahlentheorie ===
{{Hauptartikel|Algorithmische Zahlentheorie}}

Die algorithmische Zahlentheorie ist ein Zweig der Zahlentheorie, der mit dem Aufkommen von Computern auf breites Interesse stieß. Dieser Zweig der Zahlentheorie beschäftigt sich damit, wie zahlentheoretische Probleme [[Algorithmus|algorithmisch]] effizient umgesetzt werden können. Wichtige Fragestellungen sind, ob eine große Zahl [[Primzahl|prim]] ist, die [[Faktorisierungsverfahren|Faktorisierung]] großer Zahlen und die eng damit verbundene Frage nach einer effizienten Berechnung des [[Diskreter Logarithmus|diskreten Logarithmus]]. Außerdem gibt es inzwischen Algorithmen zur Berechnung von Klassenzahlen, Kohomologiegruppen und zur [[K-Theorie]] algebraischer Zahlkörper.

== Anwendungen der Zahlentheorie ==
Anwendungen der Zahlentheorie finden sich in der [[Kryptographie]], insbesondere bei der Frage nach der [[Sicherheit]] der [[Datenübertragung]] im [[Internet]]. Hierbei finden sowohl elementare Methoden der Zahlentheorie (Primfaktorzerlegung, etwa bei [[RSA-Kryptosystem|RSA]] oder [[Elgamal-Verschlüsselungsverfahren|Elgamal]]) als auch fortgeschrittene Methoden der algebraischen Zahlentheorie wie etwa die Verschlüsselung über elliptische Kurven ([[Elliptische-Kurven-Kryptosystem|ECC]]) breite Anwendung.

Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die [[Codierungstheorie]], die sich in ihrer modernen Form auf die Theorie der [[Funktionenkörper|algebraischen Funktionenkörper]] stützt.<ref>{{Internetquelle |url=https://mathepedia.de/Zahlentheorie.html |titel=Zahlentheorie - Mathepedia |abruf=2022-11-21}}</ref>

== Historische Entwicklung ==

=== Zahlentheorie in der Antike und im Mittelalter ===
Die ersten schriftlichen Nachweise der Zahlentheorie reichen bis ca. 2000 v. Chr. zurück. Die [[Babylonier]] und Ägypter kannten in dieser Zeit bereits die Zahlen kleiner als eine Million, die Quadratzahlen und einige [[Pythagoreisches Tripel|pythagoreische Tripel]].

Die systematische Entwicklung der Zahlentheorie begann jedoch erst im ersten Jahrtausend v. Chr. im [[Antike|antiken Griechenland]]. Herausragendster Vertreter ist [[Euklid]] (ca. 300 v. Chr.), der die von [[Pythagoras]] erfundene Methode des mathematischen [[Beweis (Mathematik)|Beweises]] in die Zahlentheorie einführte. Sein berühmtestes Werk, die [[Elemente (Euklid)|''Elemente'']], wurde bis in das 18. Jahrhundert als Standardlehrbuch für Geometrie und Zahlentheorie verwendet. Die Bände 7, 8 und 9 beschäftigen sich dabei mit zahlentheoretischen Fragestellungen, unter anderem mit der Definition der [[Primzahl]], einem Verfahren zur Berechnung des [[Größter gemeinsamer Teiler|größten gemeinsamen Teilers]] ([[Euklidischer Algorithmus]]) und dem Beweis der Existenz [[Unendlich (Mathematik)|unendlich]] vieler Primzahlen ([[Satz von Euklid]]).

Im 3. Jahrhundert nach Christus beschäftigte sich als Erster der griechische Mathematiker [[Diophantos von Alexandria]] mit den nach ihm später benannten Gleichungen, die er mit linearen Substitutionen auf bekannte Fälle zu reduzieren versuchte. Damit konnte er tatsächlich einige einfache Gleichungen lösen. Diophants Hauptwerk sind die [[Arithmetica|Arithmetika]].

Die Griechen warfen viele wichtige arithmetische Fragestellungen auf – die zum Teil bis heute ungelöst sind (wie z. B. das Problem der [[Primzahlzwilling]]e und das der [[Vollkommene Zahl|vollkommenen Zahlen]]), oder deren Lösungen viele Jahrhunderte in Anspruch nahmen, und die exemplarisch für die Entwicklung der Zahlentheorie stehen.

Mit dem Untergang der griechischen Staaten erlosch auch die Blütezeit der Zahlentheorie in [[Europa]]. Aus dieser Zeit ist nur der Name des Leonardo di Pisa ([[Fibonacci]], circa 1200 n. Chr.) nennenswert, der sich neben Zahlenfolgen und der Auflösung von Gleichungen durch [[Radikal (Mathematik)|Radikale]] auch mit [[Diophantische Gleichung|diophantischen Gleichungen]] befasste.

=== Zahlentheorie in der frühen Neuzeit ===
Der erste wichtige Vertreter der Zahlentheorie der Neuzeit war [[Pierre de Fermat]] (1607–1665). Er bewies den [[Kleiner Satz von Fermat|kleinen Satz von Fermat]], untersuchte die Darstellbarkeit einer Zahl als Summe zweier Quadrate und erfand die Methode des [[Unendlicher Abstieg|unendlichen Abstiegs]], mit der er den von ihm aufgestellten [[Großer Satz von Fermat|großen Satz von Fermat]] im Fall <math>n=4</math> lösen konnte. Der Versuch einer allgemeinen Lösung des großen Satzes inspirierte die Methoden der Zahlentheorie über die nächsten Jahrhunderte bis in die [[Moderne]].

Das 18. Jahrhundert der Zahlentheorie wird vor allem von drei Mathematikern beherrscht: [[Leonhard Euler]] (1707–1783), [[Joseph-Louis Lagrange]] (1736–1813) und [[Adrien-Marie Legendre]] (1752–1833).

Eulers Gesamtwerk ist sehr umfangreich, und an dieser Stelle kann nur ein kleiner Teil seines zahlentheoretischen Wirkens genannt werden. Er führte die analytischen Methoden in die Zahlentheorie ein und fand auf diese Weise einen neuen Beweis für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen. Er erfand die [[Zahlentheoretische Funktion|zahlentheoretischen Funktionen]], insbesondere die [[Eulersche φ-Funktion]], untersuchte [[Partitionsfunktion|Partitionen]] und betrachtete bereits 100 Jahre vor [[Bernhard Riemann]] die [[Zeta-Funktion|Riemannsche Zeta-Funktion]]. Er entdeckte das [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz|quadratische Reziprozitätsgesetz]] (konnte es aber nicht beweisen), zeigte, dass die eulersche Zahl <math>e</math> [[irrational]] ist und löste den großen Satz von Fermat im Fall <math>n=3</math>.

Lagrange bewies den [[Satz von Wilson]], begründete die systematische Theorie der [[Pellsche Gleichung|Pellschen Gleichung]] und die Theorie der [[Quadratische Form|quadratischen Formen]], die erst in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts ihren Abschluss fand.

Legendre führte das [[Legendre-Symbol]] in die Zahlentheorie ein und formuliert das quadratische Reziprozitätsgesetz in seiner heutigen Form. Sein Beweis verwendet allerdings die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen in arithmetischen Progressionen, die erst im Jahre 1832 von [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] bewiesen wurde.

Die nächste große Zäsur in der Geschichte der Zahlentheorie wird durch das Wirken von [[Carl Friedrich Gauß]] (1777–1855) bestimmt. Gauß gab als Erster (sechs verschiedene) vollständige Beweise für das quadratische Reziprozitätsgesetz an. Er entwickelte Legendres Theorie der quadratischen Formen weiter und baute sie zu einer vollständigen Theorie aus. Er schuf die Arithmetik der quadratischen Zahlkörper, wobei er allerdings in den Begriffsbildungen der quadratischen Formen verwurzelt blieb. Auf diese Weise fand er das Zerlegungsgesetz der Primzahlen in <math>\mathbb{Z}[i]</math>, den [[Gaußsche Zahlen|gaußschen Zahlen]]. Ebenso untersuchte er zuerst die [[Kreisteilungskörper]], d. h. die Lösungen der Gleichung <math>x^{p-1} = 1</math>, und entwickelte den [[Kalkül]] der [[Gaußsche Summe|Gaußschen Summen]], der bis heute große Bedeutung hat. Er entdeckte außerdem den [[Primzahlsatz|gaußschen Primzahlsatz]], konnte ihn allerdings nicht beweisen. Insgesamt kann man sagen, dass die Zahlentheorie erst durch Gauß eine selbständige und systematisch geordnete Disziplin geworden ist.

=== Das 19. Jahrhundert ===
Vor allem das 19. Jahrhundert ist eine Blütezeit der analytischen Zahlentheorie. Unter [[Niels Henrik Abel]] (1802–1829), [[Carl Gustav Jacobi]] (1804–1851), [[Gotthold Eisenstein]] (1823–1852) und [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] (1805–1859) wird die Theorie der [[Elliptische Funktion|elliptischen Funktionen]] entwickelt, die schließlich die Theorie der [[Elliptische Kurve|elliptischen Kurven]] auf ein völlig neues Fundament stellt. Dirichlet erfindet den Begriff der [[Dirichletreihe|L-Reihe]] und beweist damit den [[Dirichletscher Primzahlsatz|Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen]]. Dirichlet und Eisenstein verwenden die Theorie der [[Modulform]]en, um die Anzahl der Darstellungen einer Zahl als Summe von vier bzw. fünf Quadraten zu untersuchen. Der [[Dirichletscher Einheitensatz|Einheitensatz von Dirichlet]] (der sich auch auf rein algebraischem Gebiet hervorgetan hat) ist heute einer der Grundpfeiler der algebraischen Zahlentheorie.

[[Bernhard Riemann]] (1826–1866) entdeckte und bewies die [[Funktionalgleichung]] der [[Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] und stellte tiefgreifende Vermutungen auf, die die analytische Eigenschaften dieser Funktion mit der Arithmetik in Verbindung brachten.

Sehr bedeutsam für die gesamte Mathematik war das kurze Wirken von [[Évariste Galois]] (1811–1832), der die [[Galoistheorie]] entwickelte und damit viele alte Fragen, wie die [[Quadratur des Kreises]], die Konstruktion von ''n-Ecken'' mittels [[Zirkel]] und [[Lineal]] und die Auflösbarkeit von [[Polynom]]gleichungen durch Wurzelausdrücke klärte. Die Galoistheorie spielt heute in der Zahlentheorie eine exponierte Rolle.

In der algebraischen Schule des 19. Jahrhunderts sind vor allem [[Ernst Eduard Kummer]] (1810–1893), [[Leopold Kronecker]] (1823–1891) und [[Richard Dedekind]] (1831–1916) zu nennen. Diese begründeten zusammen die Eckpfeiler der modernen strukturellen Auffassung der Algebra, insbesondere die Theorie der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], Ringe und [[Ideal (Mathematik)|Ideale]] sowie der [[Algebraischer Zahlkörper|algebraischen Zahlkörper]]. Kronecker führte den Begriff eines [[Divisor]]s ein und entdeckte die heute als [[Satz von Kronecker-Weber]] genannten Formel, wonach jede [[abelsche Erweiterung]] des rationalen Zahlkörpers in einem [[Kreisteilungskörper]] enthalten ist. Kummer bewies den großen Satz von Fermat für alle [[Reguläre Primzahl|regulären Primzahlen]], und Dedekind zeigte die Existenz von [[Algebraischer Zahlkörper#Basen|Ganzheitsbasen]] in Zahlkörpern.

=== Das 20. Jahrhundert und die Moderne ===
Das 20. Jahrhundert brachte der Zahlentheorie endlich einige Lösungen, nach denen so lange geforscht wurde, nämlich:

* Die komplette Lösung des einfachsten (nicht-trivialen) Typs der Diophantischen Gleichung: der zu einer [[Quadratische Form|quadratischen Form]] gehörenden Gleichung.
* Mit Klassenkörpertheorie und Iwasawatheorie eine keineswegs vollständige, aber strukturell befriedigende Beschreibung der abelschen und zyklischen Zahlkörper, die zu einem allgemeinen Reziprozitätsgesetz für beliebige Potenzreste führte, dem [[Artinsches Reziprozitätsgesetz|Artinschen Reziprozitätsgesetz]].
* Die (noch unbewiesene) Lösung des zweiteinfachsten Typs der Diophantischen Gleichung: den zu [[Elliptische Kurve|elliptischen Kurven]] gehörenden Gleichungen.

Bahnbrechend für die Zahlentheorie des 20. Jahrhunderts war die Entdeckung der [[P-adische Zahlen|p-adischen Zahlen]] durch [[Kurt Hensel]]. Aufbauend auf seinen Arbeiten konnten die Mathematiker [[Hermann Minkowski]] und [[Helmut Hasse]] das Problem der quadratischen Formen lösen: Eine quadratische Form <math>f(x,y) \in \mathbb{Q}[X,Y]</math> hat genau dann eine rationale Nullstelle <math>(x,y) \in \mathbb{Q}^2</math>, wenn sie eine Nullstelle in jedem Körper <math>\mathbb{Q}_p</math> besitzt. Dieser berühmte [[Satz von Hasse-Minkowski]] liefert damit ein erstes Beispiel für ein [[Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzip]], das für die moderne Zahlentheorie sehr wichtig wurde.

Aufbauend auf den Arbeiten von Kummer wurde die [[Klassenkörpertheorie]] am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts von einer ganzen Reihe von Mathematikern entwickelt. Unter ihnen sind vor allem [[David Hilbert]], [[Helmut Hasse]], [[Philipp Furtwängler (Mathematiker)|Philipp Furtwängler]], [[Teiji Takagi]] und [[Emil Artin]] zu nennen, wobei Takagi den wichtigen [[Existenzsatz (Klassenkörpertheorie)|Existenzsatz]] bewies, aus dem Artin sein berühmtes Reziprozitätsgesetz ableitete. Eine komplette Berechnung des [[Hilbertsymbols]] und damit die praktische Anwendung des Reziprozitätsgesetzes, gab jedoch erst der Mathematiker [[Helmut Brückner (Mathematiker)|Helmut Brückner]] in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts. In die moderne Sprache der [[Gruppenkohomologie]], abstrakten harmonischen Analysis und [[Darstellungstheorie]] wurde die Klassenkörpertheorie von Mathematikern wie [[John T. Tate|John Tate]] und [[Robert Langlands]] übersetzt. Langlands vermutete weitgehende Verallgemeinerungen der Klassenkörpertheorie und legte so den Grundstein für das [[Langlands-Programm]], das ein wichtiger Teil der aktuellen zahlentheoretischen Forschung ist.

Für [[Zyklotomischer Körper|zyklotomische Körper]] entwickelte schließlich [[Kenkichi Iwasawa]] die [[Iwasawa-Theorie]], die diese Körper noch besser erklären konnte. Mit diesen Körpern werden gewisse p-adische [[L-Reihe]]n verknüpft. Die Hauptvermutung der Iwasawatheorie, die die verschiedenen Möglichkeiten diese L-Reihen zu definieren für äquivalent erklärt, wurde für [[Total-reeller Zahlkörper|total-reelle Zahlkörper]] von [[Barry Mazur]] und [[Andrew Wiles]] am Ende der 1980er Jahre bewiesen.

Auch im Bereich der [[Elliptische Kurve|elliptischen Kurven]] machten die Zahlentheoretiker große Fortschritte. [[Louis Mordell]] untersuchte das Gruppengesetz für elliptische Kurven und zeigte, dass die Gruppe ihrer rationalen Punkte stets endlich erzeugt ist, eine einfache Version des [[Satz von Mordell-Weil|Satzes von Mordell-Weil]]. [[Carl Ludwig Siegel]] konnte schließlich zeigen, dass jede elliptische Kurve nur endlich viele ganze Lösungen besitzt ([[Satz von Siegel]]). Damit war das Problem der ganzen und rationalen Punkte auf elliptischen Kurven angreifbar geworden.

Mordell vermutete, dass für Kurven des Geschlechts >1 (die keine elliptischen Kurven mehr sind) die Menge der rationalen Punkte immer endlich ist ([[Mordell-Vermutung]]). Dies bewies der deutsche Mathematiker [[Gerd Faltings]], wofür er 1986 die [[Fields-Medaille]] bekam. Damit war gezeigt, dass die Gleichung des [[Großer Satz von Fermat|großen Satzes von Fermat]] höchstens endlich viele Lösungen haben konnte (der Satz sagt, dass es gar keine gibt).

Einen großen Durchbruch bedeuteten die Arbeiten von [[Bryan Birch]] und [[Peter Swinnerton-Dyer]] in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts. Sie vermuteten, dass eine elliptische Kurve genau dann unendlich viele rationale Lösungen besitzt, wenn ihre [[L-Reihe]] am Punkt <math>s=1</math> einen Wert ungleich Null annimmt. Dies ist eine sehr schwache Form der sogenannten [[Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer]]. Obwohl sie prinzipiell unbewiesen ist, gibt es starke theoretische und numerische Argumente für ihre Richtigkeit. In jüngster Zeit bewiesen [[Don Zagier]] und [[Benedict Gross]] ihre Gültigkeit für eine Vielzahl elliptischer Kurven.

Nicht unerwähnt bleiben soll der Beweis des [[Modularitätssatz]]es durch [[Christophe Breuil]], [[Brian Conrad]], [[Fred Diamond]] und [[Richard Taylor (Mathematiker)|Richard Taylor]] im Jahre 2001, nachdem ihn [[Andrew Wiles]] zuvor schon für die meisten elliptischen Kurven bewiesen hatte (1995). Aus dem (von Wiles bewiesenen) Teil des Modularitätssatzes geht insbesondere hervor, dass der [[Großer Satz von Fermat|große Satz von Fermat]] wahr ist.

== Wichtige Zahlentheoretiker ==

<div style="column-width: 25em">
* [[Emil Artin]] (1898–1962), österreichischer Mathematiker
* [[Alan Baker (Mathematiker)|Alan Baker]] (1939–2018), britischer Mathematiker
* [[Harold Davenport]] (1907–1969), englischer Mathematiker
* [[Richard Dedekind]] (1831–1916), deutscher Mathematiker
* [[Diophantos von Alexandria]], griechischer Mathematiker
* [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] (1805–1859), deutscher Mathematiker
* [[Gotthold Eisenstein]] (1823–1852), deutscher Mathematiker
* [[Paul Erdős]] (1913–1996), ungarischer Mathematiker
* [[Euklid]], griechischer Mathematiker
* [[Leonhard Euler]] (1707–1783), Schweizer Mathematiker und Physiker
* [[Gerd Faltings]] (* 1954), deutscher Mathematiker
* [[Pierre de Fermat]] (1607–1665), französischer Mathematiker und Jurist
* [[Gerhard Frey (Mathematiker)|Gerhard Frey]] (* 1944), deutscher Mathematiker
* [[Philipp Furtwängler (Mathematiker)|Philipp Furtwängler]] (1869–1940), deutscher Mathematiker
* [[Évariste Galois]] (1811–1832), französischer Mathematiker
* [[Carl Friedrich Gauß]] (1777–1855), deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker
* [[Sophie Germain]] (1776–1831), französische Mathematikerin
* [[Alexander Grothendieck]] (1928–2014), deutschstämmiger französischer Mathematiker
* [[Jacques Salomon Hadamard]] (1865–1963), französischer Mathematiker
* [[Godfrey Harold Hardy]] (1877–1947), britischer Mathematiker
* [[Helmut Hasse]] (1898–1979), deutscher Mathematiker
* [[Erich Hecke]] (1887–1947), deutscher Mathematiker
* [[Kurt Hensel]] (1861–1941), deutscher Mathematiker
* [[Charles Hermite]] (1822–1901), französischer Mathematiker
* [[David Hilbert]] (1862–1943), deutscher Mathematiker
* [[Kenkichi Iwasawa]] (1917–1998), japanischer Mathematiker
* [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] (1804–1851), deutscher Mathematiker
* [[Leopold Kronecker]] (1823–1891), deutscher Mathematiker.
* [[Ernst Eduard Kummer]] (1810–1893), deutscher Mathematiker und Hochschullehrer
* [[Joseph-Louis Lagrange]] (1736–1813), italienischer Mathematiker und Astronom
* [[Serge Lang]] (1927–2005), französisch-amerikanischer Mathematiker
* [[Adrien-Marie Legendre]] (1752–1833), französischer Mathematiker.
* [[Franz Lemmermeyer]] (* 1962), deutscher Mathematiker, Mathematikhistoriker und Mathematiklehrer
* [[John Edensor Littlewood]] (1885–1977), englischer Mathematiker
* [[Yuri Manin]] (1937–2023), russischer Mathematiker
* [[Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch]] (* 1947), russischer Mathematiker und Informatiker
* [[Barry Mazur]] (* 1937), US-amerikanischer Mathematiker
* [[Hermann Minkowski]] (1864–1909), deutscher Mathematiker und Physiker
* [[Louis Mordell]] (1888–1972), amerikanisch-britischer Mathematiker
* [[Srinivasa Ramanujan]] (1887–1920), indischer Mathematiker
* [[Bernhard Riemann]] (1826–1866), deutscher Mathematiker
* [[Klaus Friedrich Roth]] (1925–2015), britischer Mathematiker
* [[Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch]] (1923–2017), russischer Mathematiker
* [[Atle Selberg]] (1917–2007), norwegisch-US-amerikanischer Mathematiker
* [[Jean-Pierre Serre]] (* 1926), französischer Mathematiker
* [[Gorō Shimura]] (1930–2019), japanisch-US-amerikanischer Mathematiker
* [[Carl Ludwig Siegel]] (1896–1981), deutscher Mathematiker
* [[Peter Swinnerton-Dyer]] (1927–2018), englischer Mathematiker
* [[Teiji Takagi]] (1875–1960), japanischer Zahlentheoretiker
* [[Yutaka Taniyama]] (1927–1958), japanischer Mathematiker
* [[Terence Tao]] (* 1975), australisch-US-amerikanischer Mathematiker
* [[John T. Tate]] (1925–2019), US-amerikanischer Mathematiker
* [[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]] (1821–1894), russischer Mathematiker
* [[Charles-Jean de La Vallée Poussin]] (1866–1962), belgischer Mathematiker
* [[André Weil]] (1906–1998), französischer Mathematiker
* [[Hermann Weyl]] (1885–1955), deutscher Mathematiker, Physiker und Philosoph
* [[Andrew Wiles]] (* 1953), britischer Mathematiker
* [[Iwan Matwejewitsch Winogradow]] (1891–1983), russischer Mathematiker
* [[Don Zagier]] (* 1951), amerikanischer Mathematiker
</div>

== Siehe auch ==

* [[Ungelöste Probleme der Mathematik]]

== Literatur ==
* [[Jörg Brüdern]]: ''Einführung in die analytische Zahlentheorie.'' [[Springer Science+Business Media|Springer]], Berlin 1995. ISBN 3-540-58821-3, {{DOI|10.1007/978-3-642-57823-6}}.
* {{Literatur
|Autor=[[Peter Bundschuh]]
|Titel=Einführung in die Zahlentheorie
|Reihe=Springer-Lehrbuch
|Auflage=6., überarbeitete und aktualisierte
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin / Heidelberg
|Datum=2008
|ISBN=978-3-540-76490-8}}
* David M. Burton, Heinz Dalkowski: ''Handbuch der elementaren Zahlentheorie mit über 1000 Übungsaufgaben und ihren Lösungen.'' [[Heldermann Verlag|Heldermann]], Lemgo 2005. ISBN 3-88538-112-5.
* [[John Horton Conway|John H. Conway]], [[Richard Kenneth Guy]]: ''The Book of Numbers.'' [[Springer Science+Business Media|Springer]], Berlin 1998. ISBN 0-387-97993-X.
* [[G. H. Hardy]], [[E. M. Wright]]: ''An introduction to the theory of numbers.'' Oxford University Press, Oxford 1979, 2004 (5. Aufl.). ISBN 0-19-853171-0.
* [[Jürgen Neukirch]]: ''Algebraische Zahlentheorie.'' [[Springer Science+Business Media|Springer]], Berlin-Heidelberg-New York 1992. ISBN 3-540-54273-6.
* J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg: ''Cohomology of number fields.'' [[Springer Science+Business Media|Springer]], Berlin 2000, ISBN 3-540-66671-0.
* Friedhelm Padberg: ''Elementare Zahlentheorie.'' [[Spektrum Akademischer Verlag]], Berlin Heidelberg 1996, 2001. ISBN 3-86025-453-7.
* [[Harald Scheid]], [[Andreas Frommer]]: Zahlentheorie. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2007, ISBN 978-3-8274-1692-6
* [[Arnold Scholz]], [[Bruno Schoeneberg]]: ''Einführung in die Zahlentheorie.'' [[Verlag Walter de Gruyter|Walter de Gruyter & Co.]], Berlin 1973 (5. Aufl.). ISBN 3-11-004423-4.
* {{Literatur
|Autor= [[Wacław Sierpiński]]
|Titel=Elementary Theory of Numbers
|TitelErg=Edited and with a preface by [[Andrzej Schinzel]]
|Reihe=North-Holland Mathematical Library
|BandReihe=31
|Auflage=2. überarbeitete und erweiterte
|Verlag=[[Elsevier|North-Holland]] (u. a.)
|Ort=Amsterdam (u. a.)
|Datum=1988
|ISBN=0-444-86662-0}}
* {{Literatur
|Autor= [[Jochen Ziegenbalg]]
|Titel=Elementare Zahlentheorie. Beispiele, Geschichte, Algorithmen
|Auflage=2.
|Verlag=Springer
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2015
|ISBN=978-3-658-07170-7}}
* {{Literatur
|Autor= Leopold Kronecker
|Titel=Vorlesungen über Zahlentheorie
|Auflage=
|Verlag=Springer
|Ort=Heidelberg / Berlin
|Datum=1978}}
*Reinhold Remmert & Peter Ullrich: ''Elementare Zahlentheorie.'' 2. Auflage. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1995, ISBN 3-7643-5197-7.

== Weblinks ==
{{Wikiversity|Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)|Zahlentheorie}}
* [http://pari.math.u-bordeaux.fr Website von PARI/GP], einem [[Computeralgebrasystem]] für Zahlentheorie.
* [https://web.archive.org/web/20170312173127/http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/zahlentheorie/zahlentheorie.html Erklärung des Gebietes Zahlentheorie] von der [[Deutsche Mathematiker-Vereinigung|Deutschen Mathematiker-Vereinigung e. V.]]
* [http://www.numbertheory.org/ntw/N14.html#biographies Biographien bedeutender Zahlentheoretiker] (englisch).
* [http://videoonline.edu.lmu.de/wintersemester-2003-2004/05 Vorlesung ''Algebraische Zahlentheorie'' an der LMU München] im [[Quicktime]]-Format mit Simultananzeige der [[Powerpoint]]-Präsentation.
* {{Webarchiv|url=http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~steuding/einfzt-kurzskript.pdf |wayback=20170314090547|text=Einführung in die Zahlentheorie}}

== Einzelnachweise ==
<references />
{{Gesprochener Artikel
|artikel = Zahlentheorie
|dateiname = De-Zahlentheorie-article.ogg
|dauer = 22:11
|größe = 12,3 MB
|sprecher = Widzard
|geschlecht = männlich
|dialekt = Hochdeutsch
|oldid = 124925039
|artikeldatum = 2013-12-29
}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=4067277-3}}

[[Kategorie:Zahlentheorie| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Zahlentheorie - Versionsgeschichte

imported>Bocardodarapti: /* Weblinks */ neuerer Kurs