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2025-09-21T14:25:08Z

Siehe auch

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[[Datei:Squareroot-0-9-metapost.svg|mini|Grafische Darstellung der [[Quadratwurzel]]-Funktion <math>y = \sqrt{x}</math>]]
[[Datei:01 Kubikwurzel.svg|mini|Grafische Darstellung der [[Kubikwurzel]]-Funktion <math>y = \sqrt[3]{x}</math> Beispiel <math>\sqrt[3]{2}</math> für [[Würfelverdoppelung]]]]
[[Datei:Root-2-3-5-loglog.svg|mini|In [[Doppeltlogarithmisches Papier|doppeltlogarithmischer Auftragung]] werden die <math>n</math>-ten Wurzeln zu [[Gerade]]n.]]
In der [[Mathematik]] versteht man unter '''Wurzelziehen''' oder '''Radizieren''' die Bestimmung der Unbekannten <math>x</math> in der [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] <math>a = x^n\,</math>. Hierbei ist <math>n</math> eine [[natürliche Zahl]] ungleich 0 und <math>a</math> eine nichtnegative [[reelle Zahl]].<ref group="A">''nichtnegative reelle Zahl'' steht für die Zahl Null oder für eine reelle positive Zahl.</ref> Unter diesen Voraussetzungen gibt es immer genau ein solches <math>x</math>, das ebenfalls eine nichtnegative reelle Zahl ist. Dieses <math>x</math> ist dann das Ergebnis des Wurzelziehens und heißt '''Wurzel''' oder '''Radikal''' (von [[Latein|lat.]] ''radix'' „Wurzel“). Das Radizieren ist ''eine'' Umkehrung des [[Potenz (Mathematik)|Potenzierens]].<ref group="A">Die andere Umkehrung ist das [[Logarithmus|Logarithmieren]].</ref><ref name="Mathematik_2008/1">T. Arens, F. Hettlich et al.: ''Mathematik.'' 2008, S. 46–47.</ref> Im Fall <math>n = 2</math> spricht man von ''[[Quadratwurzel]]n'', bei <math>n = 3</math> von ''[[#Quadrat- und Kubikwurzel|Kubikwurzeln]]''.<ref>{{Literatur |Autor=Bronstein, Semendjajew |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Ort= |Datum=2001 |ISBN=978-3-8171-2005-5 |Seiten=8 |Abruf=}}</ref> Wurzeln werden mit Hilfe des [[Wurzelzeichen]]s notiert, im Beispiel ist <math>x = \sqrt[n]{a} </math> die Wurzel bzw. das ''Radikal''.

== Definition, Sprech- und Schreibweisen ==
Ist <math>n \geq 1</math> eine natürliche Zahl und <math>a</math> eine nichtnegative reelle Zahl, so besitzt die Gleichung
: <math>x^n = a</math>
genau eine nichtnegative reelle Lösung. Diese wird als ''<math>n</math>-te Wurzel'' aus <math>a</math> bezeichnet. Man schreibt dafür:
: <math>x = \sqrt[n\,]{a}</math>
Hierbei bezeichnet man
* <math>\sqrt[n\,]{a}</math> als ''Wurzel'', ''Radikal'' oder ''Radix'',
* <math>\sqrt{\;\;}</math> als ''[[Wurzelzeichen]]'',
* <math>n</math> als ''Wurzelexponent'',
* <math>a</math> als ''Radikand''.<ref group="A">Der Wurzelexponent <math>n</math> beim Radizieren entspricht dem [[Logarithmus]] beim Logarithmieren und dem Exponenten beim Potenzieren. Der Radikand <math>a</math> entspricht dem Numerus (Logarithmand) beim Logarithmieren und dem Ergebnis des Potenzierens</ref><ref>Lothar Kusch: ''Mathematik''. Band 1: ''Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie''. W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S. 162 f.</ref>

Im Spezialfall <math>n=1</math> erhält man <math>\sqrt[1\,]{a} = a</math>.

=== Quadrat- und Kubikwurzel ===

Üblicherweise wird die zweite Wurzel als [[Quadratwurzel]] oder einfach nur als ''die'' Wurzel bezeichnet und der Wurzelexponent weggelassen:
: <math>\sqrt a = \sqrt[2] a</math>

Die Wurzel mit dem Wurzelexponenten 3 (dritte Wurzel) bezeichnet man auch als ''Kubikwurzel''.

'''Beispiel:'''
: <math> \sqrt[3]{8} = 2</math>
(Sprich: ''Die dritte Wurzel aus 8 ist 2.'' Oder: ''Die Kubikwurzel aus 8 ist 2.'')

== Mathematische Grundlagen ==
Die folgende Beschreibung des Radizierens als einer [[Funktion (Mathematik)#Mengentheoretische Definition|rechtseindeutigen]] Wurzelfunktion bezieht sich auf den angeordneten Körper <math>\R </math> der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], also gewissermaßen auf die [[Schulmathematik]]. Ein allgemeinerer Wurzelbegriff, der den hier beschriebenen umfasst, wird im Artikel [[Adjunktion (Algebra)#Adjunktion algebraischer Elemente zu einem Körper|Adjunktion (Algebra)]] behandelt.<ref group="A">Für die Schwierigkeiten mit der Rechtseindeutigkeit siehe auch den Abschnitt [[Wurzel (Mathematik)#Wurzeln aus komplexen Zahlen|Wurzeln aus komplexen Zahlen]].</ref>

=== Zusammenhang mit Potenzen ===
Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten <math>n</math> und das Potenzieren mit dem Exponenten <math>n</math> heben sich gegenseitig auf. 
Gemäß obenstehender Definition der Wurzel gilt für alle reellen Zahlen <math>a \geq 0</math> und für alle natürlichen Zahlen <math>n \geq 1</math>:
: <math>\big(\sqrt[n]{a}\big)^n = a</math> .

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten <math>n</math> wirkt wie das Potenzieren mit dem Exponenten <math display="inline">\frac{1}{n}</math>. Nach den Rechenregeln für Potenzen gilt nämlich:
: <math>\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a^{\frac{n}{n}} = a^1 = a</math> .

Daher kann das Radizieren mit dem Wurzelexponenten <math>n</math> auch als Potenzieren mit dem Exponenten <math display="inline">\frac{1}{n}</math> interpretiert werden:<ref name="Mathematik_2008/1" />
: <math>\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}</math> .

=== Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen ===

Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen <math> \sqrt[]{{\color{White} 1}} </math> grundsätzlich für die positive Lösung.<ref>[[DIN 1302]]:1999 ''Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe''</ref><ref>EN ISO 80000-2:2020 ''Größen und Einheiten'' – Teil 2: ''Mathematik''</ref> Beispielsweise hat die [[Gleichung]] <math>x^2 = 4</math> die beiden Lösungen <math>x=+2</math> und <math>x=-2</math>. Der Term <math>\sqrt[2]{4}</math> hat jedoch den Wert +2 und ''nicht'' den Wert −2. Allgemein gilt daher für geradzahlige Wurzelexponenten
: <math>\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|</math>, insbesondere <math>\sqrt{x^2} = |x|</math>.

=== Wurzeln aus negativen Zahlen ===

Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es gilt beispielsweise
: <math>(-2)^3=-8\,,</math>
und <math>-2</math> ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz <math>-8</math> ist. Allgemein ergeben sich für ungerade Potenzen negativer Zahlen wieder negative Zahlen.

Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten:
* Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell nicht definiert. Beispielsweise ist <math>\sqrt[3]{-8}</math> also undefiniert. Die Lösung der Gleichung <math>x^3 = -8</math> wird geschrieben als <math>x = -\sqrt[3]{8}</math>.
* Wurzeln aus negativen Zahlen sind definiert, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist (3, 5, 7, …). Für ungerade Zahlen <math>2n+1</math> gilt generell
:: <math>\sqrt[2n\;\!\!+\;\!\!1]{-a}= -\,\sqrt[2n\;\!\!+\;\!\!1]{\ a}</math>.
: Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist
:: <math>-2=\sqrt[3]{-8} \ne \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = +2.</math>
: Auch funktioniert diese Festlegung nicht mit der Gleichung <math>\sqrt[k]{a} = a^{\frac 1k} = \exp\left(\tfrac 1k \ln(a)\right)</math>, da der (natürliche) Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist (<math>a</math> darf also nicht negativ sein).

Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Es gibt keine reelle Zahl <math>x</math>, sodass <math>x^2=-1</math>, somit kann man auch keine Wurzel <math>x=\sqrt[2]{-1}</math> finden, die in den reellen Zahlen liegt. Der Bedarf für Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]];<ref>T. Arens, F. Hettlich et al.: ''Mathematik''. 2008, S. 122.</ref> allerdings gibt es beim Wurzelbegriff im Bereich der komplexen Zahlen gewisse Schwierigkeiten mit der eindeutigen Auszeichnung einer der Wurzeln, [[#Wurzeln aus komplexen Zahlen|siehe unten]].

=== Irrationale Wurzeln aus ganzen Zahlen ===

Ist <math>n</math> eine nichtnegative [[ganze Zahl]] und <math>k</math> eine positive ganze Zahl, so ist <math>\sqrt[k]{n}</math> entweder eine ganze oder eine [[irrationale Zahl]]. Das folgt aus der Eindeutigkeit der [[Primfaktorzerlegung]]:

Ist <math>n\leq 1</math>, so ist <math>\sqrt[k]{n}=n</math>, also eine ganze Zahl. Für <math>n > 1</math> gibt es eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Primfaktorzerlegung <math>n=p_1^{e_1} \dotsm p_r^{e_r}</math> mit paarweise verschiedenen Primzahlen <math>p_1, \dotsc, p_r</math> und positiven ganzen Exponenten <math>e_1, \dotsc, e_r</math>. Sind alle <math>e_j</math> für <math>1 \leq j \leq r</math> durch <math>k</math> teilbar, so ist <math>\sqrt[k]{n}=p_1^{e_1/k} \dotsm p_r^{e_r/k}</math>, also eine ganze Zahl.

Zu zeigen ist jetzt noch: Gibt es mindestens ein <math>j</math> mit <math>1\leq j \leq r</math> so, dass <math>e_j</math> nicht durch <math>k</math> teilbar ist, so ist <math>\sqrt[k]{n}</math> irrational. Der Beweis für die Irrationalität erfolgt indirekt, also durch Widerlegen der gegenteiligen Annahme wie beim [[Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid]], der im Wesentlichen der Spezialfall <math>n=k=2</math> dieses Beweises ist.

Angenommen, <math>\sqrt[k]{n}</math> wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier natürlicher Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> schreiben:
: <math>\sqrt[k]{n}=\frac{a}{b}</math>.
Durch Potenzieren der Gleichung erhält man
: <math>n=\frac{a^k}{b^k}</math>
und daraus folgt
: <math>nb^k=a^k</math>.

Der Primfaktor <math>p_j</math> kommt in <math>a^k</math> bzw. <math>b^k</math> jeweils <math>k</math>-mal so oft vor wie in <math>a</math> bzw. <math>b</math>, jedenfalls in einer durch <math>k</math> teilbaren Vielfachheit, wobei natürlich auch das 0-malige Auftreten zugelassen ist. In <math>n</math> kommt er voraussetzungsgemäß in der nicht durch <math>k</math> teilbaren Vielfachheit <math>e_j</math> vor. Also kommt er auf der linken Seite dieser Gleichung nicht in einer durch <math>k</math> teilbaren Vielfachheit vor, auf der rechten hingegen schon, und wir erhalten einen Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Daher ist <math>\sqrt[k]{n}</math> irrational.

=== Die Wurzelgesetze ===

Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich aus den [[Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzengesetzen]].

Für positive Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> und <math>n,m,k \in \N</math> gelten die folgenden Rechengesetze:
* Produktregel: <math>\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}</math>
* Quotientenregel: <math>\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}</math>
* „Verschachtelungsregel“ oder Iterationsregel: <math>\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}</math>
* Definition für gebrochenen Exponenten: <math>a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}=\left(\sqrt[n]{a} \right)^k</math>
* Definition für negativen Exponenten: <math>a^{-\frac{k}{n}}=\frac{1}{a^\frac{k}{n}}</math>
* Bei gleichem Radikand gilt: <math>\sqrt[m]{a}\cdot\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}=\sqrt[m n]{a^{m+n}}</math>

Bei negativen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> dürfen diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn <math>m</math> und <math>n</math> ungerade Zahlen sind. Bei komplexen Zahlen sind sie gänzlich zu vermeiden,
bzw. gilt die Gleichheit nur bei geeigneter Wahl der Nebenwerte. Anders gesagt: werden in einem Beispiel auf der linken Seite irgendwelche Wurzeln (bspw. nur [[#Wurzeln aus komplexen Zahlen|Hauptwerte]]) ausgewählt, so gibt es für die rechte Seite geeignete Nebenwerte, die die Gleichheit erfüllen – linke und rechte Seite unterscheiden sich um eine [[Einheitswurzel]].

=== Grenzwerte ===
Es gelten die folgenden [[Grenzwert (Folge)|Grenzwerte]]:

* <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}= 1</math> für <math>a > 0</math>
* <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}= 1</math>

: Dies folgt aus der [[Ungleichung]] <math>n<\left(1 + \sqrt[2]{\tfrac{2}{n}}\right)^n</math>, die man mit Hilfe des [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatzes]] zeigen kann.

* <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^k} = 1</math>, wobei <math>k</math> eine beliebige, aber feste natürliche Zahl ist.
* <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(n)}{n} = 0</math>,
: wie aus der Exponentialdarstellung von <math>\sqrt[n]{n}</math> hervorgeht.

=== Abschätzungen ===
Für alle <math>m,n\in\N</math> mit <math>m<n</math> gilt
:<math>1\le\sqrt[n\,]{m}<\sqrt[n\,]{n}\le \sqrt[3\,]{3}</math>.
In der rechten Ungleichung gilt Gleichheit genau dann, wenn <math>m=n=3</math>.

''Beweis:''

Zunächst sei <math>m=n</math>. Dann ist zu zeigen:
:<math>\sqrt[n\,]{n}\le\sqrt[3\,]{3}</math>,
was gleichbedeutend ist mit
:<math>n^\frac{1}{n}\le 3^\frac{1}{3}</math> oder <math>n^3\le 3^n</math>.
Der Beweis wird mit [[Vollständige Induktion|vollständiger Induktion]] geführt.

Offenbar gilt die Behauptung für <math>n=1,2,3</math>.

Annahme, für <math>n\ge 3</math> gelte <math>n^3\le 3^n</math>. Dann gilt
:<math>3^{n+1}=3\cdot 3^n\ge 3n^3=n^3+3n^2+3n+(n-3)n^2+(n^2-3)n>n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3</math>.
Damit gilt für alle <math>m,n\in\N</math>
:<math>\sqrt[n\,]{n}\le \sqrt[3\,]{3}</math>.
Für <math>m<n</math> folgt hieraus wegen der [[Monotone reelle Funktion|strengen Monotonieeigenschaften]] der Potenzfunktionen
:<math>1\le\sqrt[n\,]{m}<\sqrt[n\,]{n}\le \sqrt[3\,]{3}</math>.<ref>[[Ross Honsberger]]: ''Gitter - Reste - Würfel'' [[Vieweg Verlag|Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH]], [[Braunschweig]] 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 201</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Harry Pollard (Mathematiker)|Harry Pollard]], Douglas Lind, Charles Wexler |Titel=E 2190 |Sammelwerk=American Mathematical Monthly |Datum=1970 |Seiten=768}}</ref>

=== Wurzelfunktionen ===
Funktionen der Form
: <math>f\colon \mathbb{R}_0^+\to\mathbb{R}_0^+, x\mapsto\sqrt[n]x</math> oder allgemeiner <math>x\mapsto\sqrt[n]{x^m}</math>
heißen ''Wurzelfunktionen''. Sie sind Umkehrungen der [[Potenzfunktion]]en und selbst Potenzfunktionen, denn es gilt <math>\sqrt[n]{x^m}=x^\frac{m}{n}</math>.

== Berechnung ==

Wurzeln können durch [[schriftliches Wurzelziehen]] bestimmt werden. Dieses Verfahren ähnelt der [[Schriftliche Division|schriftlichen Division]] und basiert auf den [[Binomische Formel|binomischen Formeln]].

=== Rückführung auf andere Funktionen ===

Höhere Wurzeln aus positiven Zahlen <math>x</math> kann man wie jede Potenz durch [[Exponentialfunktion]] und [[Logarithmus]]
ausdrücken:
: <math>\sqrt[n]{x} = x^{1/n} = \exp\left(\frac{\ln(x)}{n}\right) </math>

=== Numerische Berechnung ===

Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten, kann man mehrere Verfahren anwenden. Dazu gehört vor allem das [[Newtonverfahren]], mit dem man iterativ zu einer gegebenen [[Stetige Funktion|stetig]] [[Differenzierbarkeit|differenzierbaren]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math> f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math> Näherungswerte zu Lösungen der Gleichung <math> f(x)=0</math> findet. Dazu wird beginnend mit einem Startwert <math>x_0</math> die Folge
:<math>x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}</math>
gebildet, die unter bestimmten Voraussetzungen gegen eine [[Nullstelle]] von <math>f</math> konvergiert. Nun ist <math>x = \sqrt[n]{a} </math> eine Nullstelle der Funktion <math>f(x)=x^n-a</math>, so dass der Iterationsschritt die Gestalt
:<math>x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)} = x_i - \frac{x_i^n-a}{nx_i^{n-1}} </math>
bekommt. Der Teilausdruck <math>\delta_i = (x_i^n-a)/nx_i^{n-1}</math> ist dabei die absolute Änderung der Näherung bei diesem Iterationsschritt, <math>\delta_i/x_i</math> die relative. Diese Werte werden am Ende des Schrittes mit der absoluten (bei [[Festkommazahl|Festkommarechnung]]) bzw. relativen (bei [[Gleitkommazahl|Gleitkommarechnung]]) [[Fehlerschranke]] verglichen, um zu entscheiden, ob die benötigte Genauigkeit schon erreicht wurde.

In den Spezialfällen <math>n=2</math> (Quadratwurzel) und <math>n=3</math> (Kubikwurzel) lauten diese Formeln dann:

:<math>x_{i+1} = x_i - \frac{x_i^2-a}{2x_i} </math> für <math>n=2</math>  und  <math>x_{i+1} = x_i - \frac{x_i^3-a}{3x_i^2} </math> für <math>n=3</math>.

Das Verfahren konvergiert für alle Startwerte <math>x_0 > 0</math>, wobei Startwerte, die Größenordnungen unter der Wurzel liegen, vermieden werden sollten. Liegt <math>a</math> als Gleitkommazahl vor, kann man einfach den Gleitkommaexponenten <math>s</math> durch <math>\lceil\tfrac{s}{n}\rceil</math> ersetzen.


Das Newtonverfahren zur numerischen Approximation der Wurzel erweitert das [[Heron-Verfahren]] auf höhere Grade und lässt sich wie folgt geometrisch interpretieren. Beim Heron-Verfahren wird von einem Schätzwert für den Wert der gesuchten Quadratwurzel als erster Rechteckseite ausgegangen und daraus eine zweite Seite ermittelt, die ein zum Radikanden flächengleiches Rechteck liefert. Als nächster Schätzwert wird dann iterativ der Mittelwert der beiden Seiten genommen, der näher am Ergebnis liegt. Für die Übertragung auf allgemeine Grade <math>n</math> kann man den nächsten Iterationswert
: <math>x_{i+1} := x_i - \frac{x_i^n-a}{nx_i^{n-1}} = \frac{(n-1)x_i + \frac{a}{x_i^{n-1}}}{n}</math>
als gewichteten Mittelwert von <math>x_i</math> und <math>H = \tfrac{a}{x_i^{n-1}}</math> auffassen mit <math>H</math> als der „Höhe“ des {{nowrap|<math>n</math>-dimensionalen}} senkrechten Prismas des Volumens <math>a</math> über dem {{nowrap|<math>(n-1)</math>-dimensionalen}} Kubus <math>x_i^{n-1}</math>. Der Iterationswert ist somit der arithmetische Mittelwert aller n orthogonalen (davon n-1 gleich langen) Kanten des Prismas.

=== Methode der „Rechenkünstler“ ===

Man kann, wie es Rechenkünstler machen, eine Wurzel auch durch Abschätzung und Anwendung elementarer [[Zahlentheorie]] bestimmen, sofern bekannt ist, dass die Wurzel eine [[natürliche Zahl]] ist. Das lässt sich besonders gut am Beispiel der dritten Wurzel zeigen. Dazu muss man zwei Dinge wissen, nämlich die Größenordnung der Kubikzahlen, und die letzte Ziffer der Zahl:

{|
|
{| class="wikitable"
| 1 || 1
|-
| 8 || 2
|-
| 27 || 3
|-
| 64 || 4
|-
| 125 || 5
|-
| 216 || 6
|-
| 343 || 7
|-
| 512 || 8
|-
| 729 || 9
|-
| 1.000 || 10
|}
|
{| class="wikitable"
| 1.000 || 10
|-
| 8.000 || 20
|-
| 27.000 || 30
|-
| 64.000 || 40
|-
| 125.000 || 50
|-
| 216.000 || 60
|-
| 343.000 || 70
|-
| 512.000 || 80
|-
| 729.000 || 90
|-
| 1.000.000 || 100
|}
|}

Beispiele:

* Die dritte Wurzel von 103.823: Die Zahl liegt zwischen 64.000 und 125.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 4 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 3, demnach ist die dritte Wurzel von 103.823 abgeschätzt 47.
* Die dritte Wurzel von 12.167: Die Zahl liegt zwischen 8.000 und 27.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 2 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 7, demnach ist die dritte Wurzel von 12.167 abgeschätzt 23.

Das Ganze funktioniert aber nur dann, wenn sichergestellt ist, dass es sich bei der vorgegebenen Zahl um die dritte Potenz einer natürlichen Zahl handelt.

Bei den Aufgaben der Rechenkünstler geht es natürlich um viel höhere Potenzen mehrstelliger Zahlen – zum Beispiel die Berechnung der 25. Wurzel aus 880.794.982.218.444.893.023.439.794.626.120.190.780.624.990.275.329.063.400.179.824.681.489.784.873.773.249 (Lösung: 1729) und extremere Aufgaben.

== Wurzeln aus komplexen Zahlen ==
[[Datei:Complex fifth roots.svg|mini|Die fünf fünften Wurzeln aus 1 + i√3 = 2 · eπ · i/3]]
[[Datei:DritteWurzelAusZ V2.jpg|mini|Die drei Lösungen der Gleichung <math>w^3 = z</math> in der komplexen <math>w</math>-Ebene (rotes, grünes, blaues Gitter). Das rote Netz bildet außerdem die Funktion <math>\sqrt[3] z</math> ab. Das große farbige <math>z</math>-Dreieck und seine drei <math>w</math>-Bilder dienen als Orientierungshilfe.]]
Die [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\Complex</math> werden definiert durch die [[Adjunktion (Algebra)#Adjunktion algebraischer Elemente zu einem Körper|Adjunktion]] <math>\Complex:=\R(\mathrm i)</math> der Lösung (Wurzel) <math>\mathrm i := \sqrt{-1}</math> der Gleichung <math>\mathrm i^2 = -1</math> zu den reellen Zahlen <math>\R</math>. Fasst man die komplexen Zahlen als Ebene <math>\R\times\R</math> auf, in der die reellen Zahlen als eine ausgezeichnete Gerade <math>\R\times \{0\}</math> die Ebene in zwei Halbebenen teilt und die positiven Zahlen sich rechts befinden, dann wird die Zahl <math>\mathrm i</math> in die obere und <math>-\mathrm i</math> in die untere [[Halbebene]] platziert. Gleichzeitig mit dieser Orientierung wird der Nullpunkt <math> (0,0) </math> durch die Funktion <math>\mathrm e^{\mathrm i\varphi}</math> für wachsendes reelles <math>\varphi</math> im [[Drehrichtung#Mathematische Definitionen bezüglich Koordinatensystemen|mathematisch positiven Sinn]] (also entgegen dem Uhrzeigersinn) umlaufen, so dass <math>\scriptstyle \mathrm e^{\pm \frac{\pi}2 \mathrm i} = \pm \mathrm i</math> ist. Mit dieser Maßgabe lassen sich inhärent mehrdeutige Wurzeln im Komplexen auf eindeutige Real- und Imaginärteile ([[Quadratwurzel#Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen|''Hauptwerte'']]) festlegen.
Gleichwohl ist bei der Anwendung der [[#Die Wurzelgesetze|Wurzelgesetze]] die dort erwähnte Sorgfalt zu beachten.

Als ''die'' <math>n</math>''-ten Wurzeln'' einer [[Komplexe Zahl|komplexen Zahl]] <math>a\in\mathbb C</math> bezeichnet man die Lösungen der Gleichung

: <math>z^n = a </math>.

Ist <math>a\neq 0</math> in der [[Komplexe Zahlen#Polarform|Exponentialform]] <math>a=|a|\,\mathrm e^{\mathrm i\varphi}</math> dargestellt, so sind die <math>n</math>-ten Wurzeln aus <math>a</math> genau die <math>n</math> komplexen Zahlen

: <math>z_k=\sqrt[n]{|a|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1)</math>

(siehe auch [[Moivrescher Satz#Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl|Formel von de Moivre]].)

Der Sonderfall <math>a=1</math> wird als ''{{nowrap|<math>n</math>-te}} Kreisteilungsgleichung'' bezeichnet, die Lösungen als {{nowrap|<math>n</math>-te}} [[Einheitswurzel]]n. Die Bezeichnung „Kreisteilungsgleichung“ erklärt sich, wenn man ihre Lösungen in der Gaußschen Ebene betrachtet: die {{nowrap|<math> n </math>-ten}} Einheitswurzeln teilen den Kreis mit dem Radius <math>1</math> und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt in <math>n</math> gleiche Teile, sie bilden die Eckpunkte eines in den Kreis einbeschriebenen regulären {{nowrap|<math>n</math>-Ecks.}}

Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine der Wurzeln als ''die'' Wurzel auszeichnen; dort wählt man die einzige nichtnegative Wurzel. Man kann jedoch eine ([[Holomorphe Funktion|holomorphe]]) {{nowrap|<math>n</math>-te}} Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, die keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des [[Komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] definieren:
: <math>z^{1/n} = \exp{\frac{\ln z}{n}} \quad (z\in\mathbb C\setminus\{x\in\mathbb R\mid x\leq0\})</math>
Die so ausgezeichnete Wurzel bezeichnet man auch als ''Hauptwert'', die anderen als ''Nebenwerte''.

Man kann den Logarithmus auch (unstetig) auf die negative reelle Achse fortsetzen, es gilt dann aber mit der so definierten Wurzelfunktion beispielsweise <math>\sqrt[3]{-8} = 2\,\exp{\bigl(\mathrm{i}\,\tfrac{\pi}{3}\bigr)} = 1+\mathrm i\sqrt3</math> und nicht <math>=-2</math>.

Dies lässt sich vermeiden mit der Auszeichnung derjenigen Wurzel unter allen, deren [[Komplexe Zahlen#Polarform|Argument]] <math>\arg(\sqrt[n]z)</math> [[modulo]] <math>\pi</math> den [[Betragsfunktion|absolut]] kleinsten Rest liefert. Bei Gleichheit zweier Werte ist dann der in der rechten (positiver Realteil) und der in der oberen Halbebene (positiver Imaginärteil) auszuwählen. Diese Regel ist mit den oben aufgestellten Regeln für reelle Radikanden voll kompatibel. Einige Beispiele:
: <math>\sqrt[2]{-1}= +\mathrm i \qquad \qquad \sqrt[3]{-1}=-1 \qquad \qquad \sqrt[4]{-1}=\frac{\sqrt 2+\mathrm i \sqrt 2}2</math>
Als weiteres Beispiel sei <math>\sqrt[3]{-\mathrm i} </math> angegeben:
:{| style="text-align:center"
|-
|style="text-align:left"| Obwohl |||| <math>\mathrm i^3 = -\mathrm i </math> || und || <math>\biggl(\frac{\sqrt 3 -\mathrm i }2\biggr)^3 = -\mathrm i </math> || und || <math>\biggl(\frac{-\sqrt 3 -\mathrm i }2\biggr)^3 = -\mathrm i ,</math>
|-
|style="text-align:left"| ist |||| <math>\mathrm i </math> || <math>\ne </math> || <math>\sqrt[3]{-\mathrm i}=\frac{\sqrt 3 -\mathrm i }2 </math> || <math>\ne </math> || <math>\frac{-\sqrt 3 -\mathrm i }2 </math> || mit den absoluten Resten <math>\text{mod }\pi</math>
|-
|style="text-align:left;width:7em"| des Arguments ||style="width:1em"| || <math>|\arg(\mathrm i)| = \frac{\pi}2 </math> ||style="width:3em"| <math>></math> || <math>\biggl|\arg\frac{\sqrt 3 -\mathrm i }2 \biggr| = \frac{\pi}6 </math> ||style="width:3em"| <math>\equiv</math> || <math>\frac{\pi}6 -\pi = \arg\frac{-\sqrt 3 -\mathrm i }2 \text{ mod }\pi , </math>
|} weil die mittlere Wurzel <math>\frac{\sqrt 3 -\mathrm i }2 </math> bei dem gleichen absoluten Rest <math>\text{mod }\pi</math> einen positiven Realteil hat.

Außerdem bleiben bei dieser Definition [[#Die Wurzelgesetze|die Wurzelgesetze]] für viele Wurzelexponenten auch bei komplexen Radikanden erhalten, solange für die so ausgewählten Wurzeln die Summen der Reste modulo <math>\pi</math> der Argumentwerte absolut unterhalb <math>\tfrac{\pi}2</math> bleiben.

== Literatur ==
* Hans Kreul, Harald Ziebarth: ''Mathematik leicht gemacht''. 8. Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel, 2016, ISBN 978-3-8085-5609-2. [http://www.ziebarth-net.de/Leseprobe_MLG_8.pdf Kapitel zur Wurzelrechnung mit Erklärungen, Beispielen und Aufgaben] (PDF; 2077 kB).

== Siehe auch ==
* [[Kettenwurzel]]
* [[Radikal (Mathematik)]]
* [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal#Quadratwurzel|Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal]]
* [[Würfelverdoppelung#Iterative Näherungskonstruktion der Kubikwurzel aus 2|Würfelverdoppelung, Iterative Näherungskonstruktion der Kubikwurzel aus 2]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Radikand}}
{{Wikibooks|Komplexe Zahlen/ Weitere Rechenverfahren#Moivre.27sche Formeln|Komplexe Wurzeln und der Satz von Moivre|suffix=Ausführliche Erklärung mit Beweisen zum komplexen Wurzelziehen}}

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Wurzel (Mathematik)| ]]

Wurzel (Mathematik) - Versionsgeschichte

imported>RPI: /* Siehe auch */