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2025-08-09T13:42:34Z

Allgemein: Formatierung

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[[Datei:Winkelsumme-polygon.svg|mini|Beispiele und deren Winkelsummen]]
Mit der '''(Innen-)Winkelsumme''' einer ebenen [[Geometrische Figur|geometrischen Figur]] ist meistens die Summe aller [[Innenwinkel]] der Figur gemeint.

== Winkelsumme in der euklidischen Geometrie ==

Für ein nicht-überschlagendes [[Polygon]] in der [[Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ist seine Winkelsumme durch die Formel

:<math>(n\cdot180^\circ)-360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ</math>

gegeben, wobei <math>n</math> für die Zahl der Ecken des Polygons steht.

=== Beispiele ===

Aus der Formel ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für [[Dreieck|Drei-]], [[Viereck|Vier-]] und [[Fünfeck]]e:
* für Dreiecke (<math>n=3</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ</math>
* für Vierecke (<math>n=4</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ</math>
* für Fünfecke (<math>n=5</math>): <math>(n-2)\cdot 180^\circ = (5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ</math>
[[Datei:Fuenfstern Winkel.svg|mini|Winkel im Fünfstern]]
Für nicht notwendig regelmäßige [[Fünfstern]]e gilt:
* Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°.
:''Geometrischer Beweis''
:Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über [[Winkel an parallelen Geraden]] an und setzt die fünf Winkel zu einem [[Gestreckter Winkel|gestreckten Winkel]] der Weite 180° wie abgebildet zusammen.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 13.</ref>
:''Algebraischer Beweis''
:Das Dreieck <math>BDF</math> hat die Innenwinkelsumme:
::<math>\epsilon+\beta+\phi_2=180^\circ</math> (1)
:Das Viereck <math>ACDE</math> hat die Innenwinkelsumme:
::<math>\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=360^\circ</math> (2)
:Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung:
::<math>\epsilon+\beta+\phi_2+\alpha+\gamma+\phi_1+\phi_2+\phi_3+\delta=180^\circ+360^\circ</math> (3)
:<math>(\phi_1,\phi_2)</math> und <math>(\phi_2,\phi_3)</math> sind Nebenwinkelpaare mit:
::<math>\phi_1+\phi_2+\phi_2+\phi_3=360^\circ</math> (4)
:Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung:
::<math>\epsilon+\beta+\alpha+\gamma+\delta=180^\circ</math>

=== Herleitung der Formel ===

==== Dreiecke ====
[[Datei:Triangle-angles.svg|mini|hochkant=1.5|Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:<br/>Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, weil es sich um [[Stufenwinkel]] an [[Parallelität (Geometrie)|Parallele]]n handelt, die beiden roten, weil sie [[Wechselwinkel]] an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>]]

Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den [[Axiom]]en der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).<ref>Übersetzung des Beweises aus Euklids "Elemente": I.32 auf {{Webarchiv | url=http://www.opera-platonis.de/euklid/eb1/eb118.htm | wayback=20130624045231 | text=I 31}}.</ref> Die Winkelsumme im Dreieck ist als Lehrsatz mit Beweis in den [[Elemente (Euklid)|Elementen]] des [[Euklid]] überliefert, der Mathematikhistoriker [[Thomas Heath]] hält es aber für möglich, dass sie bereits [[Thales]] von Milet bekannt war, wie es auch [[Moritz Cantor]] annahm.<ref>A History of Greek Mathematics: Volume 1. "From Thales to Euclid". Clarendon Press, Oxford, 1921 (Nachdruck Dover 2012), S. 134</ref>

==== Allgemein ====

Man kann ein ''konvexes'' <math>n</math>-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in <math>n</math> Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von <math>n\cdot 180^\circ</math> haben. Allerdings muss man hiervon noch den [[Vollwinkel]] um diesen Punkt abziehen, also

:<math>n\cdot 180^\circ - 360^\circ = n\cdot 180^\circ - 2\cdot 180^\circ = \mathbf{(n-2)\cdot 180^\circ}.</math>

Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus <math>(n-3)</math> Diagonalen ausgehen, die das Polygon in <math>(n-2)</math> Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math> ist. Damit ist die Formel gezeigt.<ref>https://www.cliffsnotes.com/study-guides/geometry/polygons/angle-sum-of-polygons (abgerufen am 19. April 2021)</ref>

Für ein ''nicht-konvexes'' Polygon funktioniert dieser Ansatz allerdings nicht.

Für ein ''nicht-überschlagenes'' n-Eck ([[einfaches Polygon]]) ist es aber dennoch immer möglich, es so in ''n-2'' Dreiecke aufzuteilen, dass deren gesamte Winkelsumme der Summe der Innenwinkel des Polygons entspricht.<ref>Arnfried Kemnitz: ''Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge''. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. [https://books.google.de/books?id=nSuoAONBwBQC&pg=PA132 132] </ref> Denn jedes nicht-überschlagene n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen (siehe erstes Bild). Solch eine Zerlegung besteht immer aus ''n-2'' Dreiecken.<ref>''Handbook of Discrete and Computational Geometry'', Second Edition, Herausg. Csaba D. Toth, Joseph O’Rourke, Jacob E. Goodman, Verlag CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3531-2, S., 586, Theorem 26.2.1.</ref> Jeder Innenwinkel ist also entweder ein Dreieckswinkel oder Summe von solchen. Summiert man alle Innenwinkel auf, tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Also gilt auch hier die obige Formel.

== Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie ==

In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver [[Krümmung]], beispielsweise auf der Oberfläche einer [[Kugel]], beträgt die Winkelsumme stets ''mehr'' als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom [[Äquator]], vom [[Nullmeridian]] und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°.

In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer [[Krümmung]], zum Beispiel auf einer [[Sattelfläche]], beträgt die Winkelsumme stets ''weniger'' als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen.

== Literatur ==
* Roselyn Berman, Martin Berman: ''Concave Polygons.'' In: ''The Mathematics Teacher'', Band 56, Nr. 6 (1963) S. 403–406 ([http://www.jstor.org/stable/27956864 JSTOR])

== Weblinks ==
* [https://de.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/v/sum-of-interior-angles-of-a-polygon ''Sum of interior angles of a polygon''] - Video der Khan Academy (Video, Englisch mit deutschen Untertiteln, 9:10 Min.)
* [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/geometrie-quiz-die-winkelsumme-eines-100-ecks-a-546497.html ''Geometrie-Quiz - Die Winkelsumme eines 100-Ecks'']. Spiegel Online, 10. April 2008
* {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n |titel=Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem beliebigen Dreieck |werk=[[GeoGebra]] |abruf=2022-07-23 |abruf-verborgen=1}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Winkel]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]

Winkelsumme - Versionsgeschichte

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