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{{Begriffsklärungshinweis}}
[[Datei:White-noise-trace.svg|mini|Zeitliche Darstellung eines beispielhaften diskreten weißen Rauschsignals]]
'''Weißes Rauschen''' ist ein [[Rauschen (Physik)|Rauschen]] mit einem konstanten [[Leistungsdichtespektrum]] in einem bestimmten Frequenzbereich. Weißes Rauschen wird als ein stark höhenbetontes Geräusch empfunden (vgl. [[Psychoakustik]]). Weißes, in der [[Bandbreite]] beschränktes Rauschen wird in den Ingenieur- und Naturwissenschaften häufig verwendet, um Störungen in einem sonst idealen Modell abzubilden, z. B. zufällige Störungen in einem [[Übertragungskanal]] zu beschreiben.

[[Datei:White.Noise.ogg|mini|Hörbeispiel von weißem gaußschen Rauschen]]

== Beschreibung ==
[[Datei:White noise spectrum.svg|mini|Beispielhaftes Spektrum des weißen Rauschens]]
Charakteristisch für weißes Rauschen ist ein konstantes [[Leistungsdichtespektrum]]:

:<math>S(f) = \text{const.}</math>

Nach dem [[Wiener-Chintschin-Theorem]] ist die Autokorrelationsfunktion des weißen Rauschens <math>\eta(t)</math> daher die [[Delta-Distribution]]:

:<math>r_{\eta \eta}(\tau) := \operatorname{E}[\eta(t)\eta(t-\tau)] =\int_{-\infty}^\infty S(f) e^{\mathrm{j}2\pi f\tau} d f = \text{const} \cdot \delta(\tau).</math>

Die [[Autokorrelation]]sfunktion von weißem Rauschen ist ein [[Dirac-Impuls]] <math>\delta(\tau)\overset{t':=t-\tau}{=}\delta(t-t')</math>. Das heißt, das Rauschen zu einem bestimmten Zeitpunkt <math>t</math> ist [[unkorreliert]] zu allen anderen Zeitpunkten <math>t'\neq t</math>, da für diese Zeitpunkte die Autokorrelation Null ist.

Weißes Rauschen werden auch [[Zeitdiskretes Signal|zeitdiskrete Signale]] genannt, deren einzelne Abtastwerte unkorreliert sind.

In der [[Bandbreite]] unlimitiertes weißes Rauschen ist ein modellhafter Grenzfall mit unendlich hoher Leistung und tritt daher in der Praxis nicht auf. In realen Systemen tritt weißes Rauschen immer nur in einem Frequenzbereich mit in diesem Bereich konstantem Leistungsdichtespektrum auf. Das Leistungsdichtespektrum außerhalb dieser Bandbreite fällt nach oben hin, bei nur hinreichend hohen Frequenzen, immer gegen 0 ab.

Weißes Rauschen kann mit unterschiedlichen [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en der [[Amplitude|Signalamplitude]] auftreten. Eine übliche Verteilung ist die [[Normalverteilung]] oder auch Gauß-Verteilung, welche im Rahmen der [[Signalverarbeitung]] zur Beschreibung der Störungen von Übertragungskanälen dient. Bei diesen Kanälen wird das Rauschen als additive Störgröße mit eingebracht und dann als [[additives weißes gaußsches Rauschen]] bezeichnet. Auch [[thermisches Rauschen]] an [[Widerstand (Bauelement)|elektrischen Widerständen]] lässt sich primär durch weißes gaußsches Rauschen beschreiben. Weißes Rauschen kann grundsätzlich aber auch in anderen Verteilungen auftreten, beispielsweise in [[Cauchy-Verteilung|Cauchy-]] oder [[Poisson-Verteilung]].

== Mathematische Beschreibung ==

=== Weißes Rauschen in diskreter Zeit ===

Ein diskreter [[stochastischer Prozess]] <math>(X_t)</math> auf einem Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})</math> heißt diskretes weißes Rauschen falls für alle <math>t</math>
:<math>\mathbb{E}[X_t]=0,\quad \mathbb{E}[X_t^2]=\sigma^2<\infty,\quad \operatorname{Cov}(X_t,X_s)=0\quad s\neq t</math>

=== Weißes Rauschen in stetiger Zeit ===

Weißes Rauschen ist eine stochastische [[Distribution (Mathematik)|Distribution]].

==== Gaußsches weißes Rauschen als Zufallsmengenfunktion ====

Sei <math>(S,\mathcal{S},\nu)</math> ein [[σ-Endlichkeit|σ-endlicher]] Maßraum. Dann nennt man eine Zufallsmengenfunktion <math>W</math> auf den Mengen <math>\{A:A\in \mathcal{S}, \nu(A)<\infty\}</math> ''weißes Rauschen basierend auf <math>\nu</math>'' wenn folgendes gilt<ref name="Walsh">{{Literatur |Autor=Walsh, John B. |Hrsg=Springer Berlin Heidelberg |Titel=An introduction to stochastic partial differential equations |Datum=1986 |ISBN=3-540-39781-7}}</ref>
# <math>W(A)\sim \mathcal{N}(0,\nu(A))</math>, d. h. <math>W(A)</math> ist eine zentrierte Gaußsche Zufallsvariable mit Varianz <math>\nu(A)</math>.
# Falls <math>A\cap B=\emptyset</math>, dann sind <math>W(A)</math> und <math>W(B)</math> unabhängig und <math>W(A\cup B)=W(A)+W(B).</math> 
<math>(W(A))_{A\in \mathcal{S}}</math> ist ein Prozess. Aus der Definition folgt sofort, dass die [[Kovarianzfunktion]] durch
:<math>C(A,B)=\mathbb{E}[W(A)W(B)]=\nu(A\cap B)</math>
gegeben ist. Üblicherweise wählt man für <math>\nu</math> das [[Lebesgue-Maß]] und <math>S=\mathbb{R}^d</math> und die [[Borelsche σ-Algebra]] für <math>\mathcal{S}</math>.

Für jedes <math>W</math> gibt es ein korrespondierendes [[brownsches Blatt]] <math>(B_t, t\in \mathbb{R}^{d+1}_+)</math> mit <math>(0,t]=(0,t_1]\times \cdots \times (0,t_{d+1}]</math> und
:<math>B_t=W\left((0,t]\right).</math>

==== Raumzeitliches gaußsches weißes Rauschen ====

Sei <math>S\subset \mathbb{R}^d</math> und <math>D:=\mathbb{R}_+\times S</math> und <math>(B_{t,x}, (t,x)\in D)</math> ein brownsches Blatt. Dann ist das ''raumzeitliche (gaußsche) weiße Rauschen'' ({{enS|space-time white noise}}) <math>\dot W</math> die [[Distribution (Mathematik)|Distributionalableitung]] von <math>B_{t,x}</math> definiert für eine [[Testfunktion]] <math>\phi\in C_c^{\infty}(D)</math> durch<ref>{{Literatur |Autor=Gopinath Kallianpur und Jie Xiong |Titel=Stochastic Differential Equations in Infinite Dimensional Spaces |Sammelwerk=Lecture Notes-Monograph Series |Band=26 |Datum=1995 |Seiten=98 |JSTOR=4355854}}</ref>
:<math>\dot W[\phi]=\int \int_D \phi(t,x)\frac{\partial^2 B(t,x)}{\partial t \partial x}\mathrm{d}t\mathrm{d}x=
\int \int_S B(t,x)\frac{\partial^2 \phi(t,x)}{\partial t \partial x}\mathrm{d}t\mathrm{d}x.</math>

Da sich jedes <math>B_{t,x}</math> durch ein <math>W_{t,x}:=W((0,t]\times (0,x])</math> ersetzen lässt, erklärt sich die Notation. Aus der Definition folgt, dass <math>\mathbb{E}[\dot W[\phi]]=0</math> und <math>\operatorname{Cov}[\dot W(t,x),\dot W(s,y)]=\delta(t-s)\prod\limits_{i=1}^n\delta(x_i-y_i)</math>.

=== White-Noise-Analysis ===
Die [[White-Noise-Analysis]], auch Hida-Kalkül (nach [[Hida Takeyuki]]) genannt, beschäftigt sich mit der Analysis in [[Funktionalanalysis|unendlicher Dimension]] basierend auf weißem Rauschen. Ein wichtiger Begriff ist der des ''White-Noise-Wahrscheinlichkeitsraumes''
<math>(\mathcal{S}'(\mathbb{R}),\mathcal{B},\mu)</math>, welcher manchmal kurz auch als ''weißes Rauschen'' bezeichnet wird. <math>\mathcal{B}</math> bezeichnet dabei die Familie der [[Borel-Menge]]n des Raumes der [[Temperierte Distribution|tempertierten Distributionen]] <math>\mathcal{S}'(\mathbb{R})</math> ausgestattet mit der [[Schwach-*-Topologie]] und <math>\mu</math> ist ein, nach dem [[Satz von Bochner-Minlos]] eindeutiges, [[gaußsches Maß]].

== Anwendungsbereiche ==
In der [[Psychoakustik]] wird weißes Rauschen zur Lärmbekämpfung und im Bereich der [[Tinnitus-Retraining-Therapie]] als Masker eingesetzt; Lärm und andere Störgeräusche werden subjektiv als weniger laut und störend empfunden, wenn man sie mit weißem Rauschen überlagert. Rauschen, in dem sich alle Frequenzanteile in etwa gleich laut anhören, wird als [[1/f-Rauschen]] bezeichnet. Es hat ein mit der Frequenz abnehmendes Leistungsdichtespektrum.

In der [[Stochastik]] bezeichnet ''weißes Rauschen in diskreter Zeit'' einen [[Stochastischer Prozess|diskreten stochastischen Prozess]] von [[Korrelation|unkorrelierten]] [[Zufallsvariable]]n mit [[Erwartungswert]] 0 und konstanter [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]. Es ist schwach [[Stationärer stochastischer Prozess|stationär]] und hat eine konstante [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse#Spektraldichte|Spektraldichte]]. Das weiße Rauschen stellt den einfachsten stochastischen Prozess dar, jedoch werden viele komplexere Prozesse und [[Zeitreihenanalyse|Zeitreihen]] aus solchen konstruiert, etwa der [[Random Walk]] oder [[ARMA-Modell|ARMA-Prozesse]].

Neuerdings kommt insbesondere im Logistikbereich das Weiße Rauschen anstelle des klassischen Pieptons in Rückfahrwarnsystemen zum Einsatz. Als Grund wird etwa genannt: „Weißes Rauschen ist nur in der Risikozone zu hören und ermöglicht gleichzeitig eine präzisere Lokalisation der Richtung eines zurückfahrenden Fahrzeugs.“<ref>{{Internetquelle |url=https://www.internationales-verkehrswesen.de/hafen-amsterdam-mit-neuen-warngeraeten/ |titel=Hafen Amsterdam: Fahrzeuge warnen mit weißem Rauschen statt lästigem Piepen |werk=Internationales Verkehrswesen |datum=2018-08-03 |zugriff=2024-10-17}}</ref>

== Farbanalogie des Namens ==
Der Begriff '''Weißes Rauschen''' ist in Analogie zu [[Weiß#Weißes Licht|weißem Licht]] zu verstehen, in welchem verschiedene optische Frequenzanteile sich zu einem weißen Farbeindruck überlagern. Allerdings weist vom Menschen subjektiv als weiß empfundenes Licht kein konstantes Leistungsdichtespektrum auf.

Mit einer vergleichbaren Farbanalogie wurden die Begriffe [[Rotes Rauschen]] und [[Rosa Rauschen]] gebildet.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Rudolf Müller
|Titel=Rauschen
|Auflage=2.
|Verlag=Springer
|Datum=2013
|ISBN=978-3-540-51145-8}}
* {{Literatur
|Hrsg=[[Horst Stöcker]]
|Titel=Taschenbuch der Physik. Formeln, Tabellen, Übersichten.
|Auflage=4.
|Verlag=Harry Deutsch
|Datum=2000
|ISBN=3-8171-1628-4}}
* {{Literatur
|Autor=Gopinath Kallianpur
|Titel=White Noise Theory of Prediction, Filtering and Smoothing
|Verlag=CRC Press Inc.
|Datum=1988
|ISBN=2-88124-685-0}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{Commonscat|White noise}}

* [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-rauschen.htm Weißes Rauschen – Rauschspannung in Volt und dB]

{{SORTIERUNG:Weisses Rauschen}}
[[Kategorie:Elektrische Messtechnik]]
[[Kategorie:Rauschen]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]

Weißes Rauschen - Versionsgeschichte

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