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<p><b>Neue Seite</b></p><div>Mit dem Begriff '''Wavelet''' wird in der Mathematik eine Gruppe von Funktionen mit wellenartigem Charakter bezeichnet. Das Wort ist eine Neuschöpfung aus dem französischen ''„ondelette“'', das „''kleine Welle''“ bedeutet und teils wörtlich („onde“→„wave“), teils phonetisch („-lette“→„-let“) ins Englische übertragen wurde. Wavelets beschreiben die Basisfunktion einer kontinuierlichen oder diskreten [[Wavelet-Transformation]]. Die Wavelet-Transformation ist das aktuelle Hauptanwendungsgebiet für Wavelet-Funktionen.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/neurowissenschaft/wavelet/13949 |titel=Wavelet |zugriff=2019-01-29 |sprache=de}}</ref><br />
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== Geschichte ==<br />
Ihren Ursprung haben Wavelets in der [[Signalanalyse]] und den Ingenieurwissenschaften. Der Ausdruck „Wavelet“ wurde in den 1980er Jahren in der Geophysik ([[Jean Morlet]], [[Alex Grossmann]]) für Funktionen geprägt, welche die [[Kurzzeit-Fourier-Transformation]] verallgemeinern, wird jedoch seit Ende der 1980er Jahre ausschließlich in der heute üblichen Bedeutung verwendet. In den 1990er Jahren entstand ein regelrechter Wavelet-Boom, ausgelöst durch die Entdeckung von kompakten, stetigen (bis hin zu beliebiger Ordnung der Differenzierbarkeit) und orthogonalen [[Daubechies-Wavelets|Wavelets]] durch [[Ingrid Daubechies]] (1988) und die Entwicklung des [[Algorithmus]] der [[Schnelle Wavelet-Transformation|schnellen Wavelet-Transformation]] (FWT) mit Hilfe der [[Multiskalenanalyse]] (MultiResolution Analysis – MRA) durch [[Stéphane Mallat]] und [[Yves Meyer]] (1989).<br />
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== Wavelets und Transformationen ==<br />
Im Gegensatz zu den [[Sinus]]- und [[Kosinus]]-Funktionen der [[Fourier-Transformation]] besitzen die meistverwendeten Wavelets nicht nur Lokalität im [[Frequenzspektrum]], sondern auch im Zeitbereich. Dabei ist „Lokalität“ im Sinne kleiner [[Varianz (Stochastik)|Streuung]] zu verstehen. Eine Sinus- oder Kosinus-Funktion ist beispielsweise aufgrund ihrer Periodizität nicht lokal im Zeitbereich. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist das normierte [[Betragsquadrat]] der betrachteten Funktion bzw. von deren Fourier-Transformierten. Dabei ist das Produkt beider Varianzen immer größer als eine Konstante, analog zur [[heisenbergsche Unschärferelation|Heisenbergschen Unschärferelation]], siehe auch das WKS-[[Abtasttheorem]]. Aus dieser Einschränkung heraus entstanden in der [[Funktionalanalysis]] die [[Paley-Wiener-Theorie]] ([[Raymond Paley]], [[Norbert Wiener]]), ein Vorläufer der diskreten Wavelet-Transformation, und die [[Calderón-Zygmund-Theorie]] ([[Alberto Calderón]], [[Antoni Zygmund]]), die der kontinuierlichen Wavelet-Transformation entspricht.<br />
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Das Integral einer Wavelet-Funktion ist vorzugsweise 0, daher nimmt in der Regel die Waveletfunktion die Form von nach außen hinauslaufenden (kleiner werdenden) Wellen (also „Wellchen“ = Ondelettes = Wavelets) an.<br />
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Haar_wavelet.svg|Haar-Wavelet<br />
Daubechies4-functions.svg|Daubechies D4-Wavelet<br />
Daubechies20-functions.png|Daubechies D20-Wavelet<br />
</gallery><br />
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Wichtige Beispiele für Wavelets sind das [[Haar-Wavelet]] ([[Alfréd Haar]] 1909), die nach [[Ingrid Daubechies]] benannten [[Daubechies-Wavelets]] (um 1990), die ebenfalls von ihr konstruierten [[Coiflet-Wavelets]] und das eher theoretisch bedeutsame [[Meyer-Wavelet]] ([[Yves Meyer]], um 1988).<br />
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<gallery widths="180"><br />
Wavelet_-_Meyer.png|Meyer-Wavelet<br />
Wavelet_-_Morlet.svg|Morlet-Wavelet<br />
Wavelet_-_Mex_Hat.png|Mexikanischer Hut<br />
</gallery><br />
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Wavelets gibt es für Räume beliebiger Dimension, meist wird ein [[Tensorprodukt]] einer eindimensionalen Waveletbasis verwendet. Aufgrund der fraktalen Natur der Zwei-Skalen-Gleichung in der [[Multiskalenanalyse|MRA]] haben die meisten Wavelets eine komplizierte Gestalt ohne geschlossene Form.<br />
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Im angelsächsischen Sprachraum wird der englische Begriff „wavelet“ weiter gefasst: Dort wird unter ''Wavelet'' eine wellenartige Oszillation mit einer Amplitude beginnend mit Null, einem Amplitudenanstieg und einem anschließenden Amplitudenabfall zurück auf Null verstanden. Eindimensionale Wavelets mit einem von Null abweichenden Integral werden somit von dieser weiter gefassten Definition des Begriffs Wavelet mit umfasst. Solche Wavelets werden beispielsweise in bestimmten Verfahren der digitalen [[Signalverarbeitung]] genutzt. Beispielsweise können [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] als eine solche Klasse von Wavelets aufgefasst werden, mit denen beispielsweise die [[Abtastung (Signalverarbeitung)|Abtastung]] eines Signals erfolgen kann. Ein besonders wichtiges Beispiel, das in diesem erweiterten Sinne als Extremform eines Wavelets aufgefasst werden kann, ist die Diracsche [[Delta-Distribution|Deltafunktion]]. Die Anwendung einer bestimmten [[Wavelet-Transformation]] ist daher stets an die Verwendung einer jeweils zugehörigen Wavelet-Untermenge für die Wavelet-Transformation gebunden.<br />
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== Anwendung ==<br />
Anwendung finden Wavelets in Methoden der [[Signalverarbeitung]], insbesondere der [[Signalkompression]], welche als ersten Schritt eine diskrete [[Wavelet-Transformation]] beinhalten. Diese wurden seit Anfang der 1990er Jahre als Meilenstein der [[Bildkompression]] und [[Audiodatenkompression]] propagiert. Trotzdem sind außerhalb von Spezialanwendungen, wie z.&nbsp;B. in der Geophysik oder Computertomographie, solche [[Wavelet-Kompression]]smethoden nur in der [[JPEG2000]]-Norm und ihren direkten Vorgängern wie dem [[DjVu]] und dem [[LuraWave]]-Format implementiert. Bisher ist JPEG2000 wenig verbreitet. In einem weiten Sinne basiert auch das gängige [[JPEG]] auf einer Wavelet-Transformation, die verwendete [[Diskrete Kosinustransformation]] kann als [[Haar-Wavelet]] interpretiert werden. In Methoden der Signalanalyse wird eher die kontinuierliche Wavelet-Transformation in diskretisierter Form verwendet.<br />
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== Wavelets der diskreten Wavelet-Transformation ==<br />
Ein '''Wavelet''' <math>\psi</math> ist hier die [[erzeugende Funktion]] eines affinen Systems von Funktionen <math>\psi_{j,k}(x):=2^{j/2}\,\psi(2^j\,x-k)</math>, welche eine [[Hilbertraumbasis|Hilbert-Basis]], d.&nbsp;h. ein vollständiges [[Orthonormalsystem]] im Funktionenraum <math>L^2(\R)</math> bilden. Die Darstellung einer Funktion mittels dieser Funktionen nennt man [[Wavelet-Transformation]]:<br />
:<math>f\mapsto c(f):=\mathcal W[f]=\Big(c_{j,k}(f):=\langle f,\,\psi_{j,k}\rangle:\;j,k\in\Z\Big)</math><br />
und inverse Wavelet-Transformation<br />
:<math>c=\big(c_{j,k}:\;j,k\in\Z\big)\mapsto \mathcal W^*[f]:=\sum_{j,k\in\Z}c_{j,k}\cdot\psi_{j,k}</math>.<br />
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Das elementarste Beispiel ist das [[Haar-Wavelet]]. Es ist hilfreich, wenn die Wavelet-Funktion zu einer [[Multiskalenanalyse]] assoziiert ist, da dann in der praktischen Berechnung die Auswertung vieler der Integrale, die hinter den Skalarprodukten stehen, durch wiederholte [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] von einmal gewonnenen Koeffizientenfolgen mit endlichen [[Digitales Filter|Filterfolgen]] ersetzt werden kann. Dieses beschleunigte Verfahren nennt man dementsprechend [[schnelle Wavelet-Transformation]].<br />
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== Signalverarbeitung ==<br />
Der Zusammenhang zwischen Wavelets und Filtern zur Signalverarbeitung ist nun recht anschaulich: Die Waveletmaske entspricht der [[Impulsantwort]] eines [[Bandpass]]filters mit einer gewissen Schärfe in der Zeit (Filterlänge) und in der Frequenz ([[Bandbreite]]). Filterlänge und Bandbreite sind umgekehrt proportional, so wird eine „Streckung“ des Filters um den Faktor 2 die Bandbreite halbieren.<br />
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== Erweiterungen ==<br />
Es ist möglich und sinnvoll, andere Skalenfaktoren zu betrachten. So entspricht die DCT-Variante im JPEG-Algorithmus einem Haar-Wavelet zur Blockgröße 8.<br />
Unter weiteren Abschwächungen der analytischen Anforderungen ergeben sich Wavelet-Frames (siehe [[Hilbertraumbasis|Rahmen]]) beziehungsweise [[Framelets]], diese erzeugen eine redundante Signaltransformation, die unter bestimmten Umständen vorzuziehen ist, zum Beispiel bei der Rauschunterdrückung.<br />
<br />
Eine in letzter Zeit aufgekommene Variante sind die so genannten [[Multiwavelet]]s, die nicht eine, sondern einen Vektor von Skalierungsfunktionen in der MRA aufweisen und dementsprechend matrixwertige Skalierungsfolgen.<br />
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Der neue [[JPEG2000|JPEG2000-Standard]] der Bildkomprimierung kann biorthogonale, 5/3 und 9/7 Wavelets verwenden.<br />
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== Literatur ==<br />
* {{Literatur | Autor=Barbara Burke Hubbard | Titel=Wavelets: Die Mathematik der kleinen Wellen | Auflage=1. | Verlag=Birkhäuser Verlag | Ort= | Jahr=1997 | ISBN=3-7643-5688-X |Seiten= }}<br />
* {{Literatur | Autor=Werner Bäni | Titel=Wavelets. Eine Einführung für Ingenieure | Auflage=2. | Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH | Ort= | Jahr=2005 | ISBN=3-486-57706-9 |Seiten= }}<br />
* {{Literatur | Autor=Jöran Bergh, Frederik Ekstedt, Martin Lindberg | Titel=Wavelets mit Anwendungen in Signal- und Bildverarbeitung | Auflage= | Verlag=Springer Verlag | Ort= | Jahr=2007 | ISBN=978-3-540-49011-1 |Seiten= }}<br />
* I. Daubechies: ''Where do wavelets come from? - A personal point of view''. Article 74 in der Liste, veröffentlicht in: Proceedings of the IEEE, Special Issue on Wavelets 84 (no. 4), pp. 510–513, April 1996, [[doi:10.1109/5.488696]]<br />
<br />
== Weblinks ==<br />
{{Commons|Wavelet}}<br />
* [http://www.polyvalens.com/blog/wavelets/theory/ A Really Friendly Guide to Wavelets] von C. Valens<br />
* [http://www.wolfram.com/mathematica/new-in-8/wavelet-analysis/ Wavelet Analysis] in der Mathematica Wavelet Explorer Dokumentation. Umfangreiche Beschreibung des Themas.<br />
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== Einzelnachweise ==<br />
<references /><br />
<br />
[[Kategorie:Wavelet| ]]</div>imported>PWaver