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2024-02-22T18:24:37Z

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{{Dieser Artikel|betrachtet den Begriff im Sinne der Logik. In der Programmierung steht er für die Werte des booleschen Datentyps, siehe [[Boolesche Variable#Programmierung]].}}
Ein '''Wahrheitswert''' ist in [[Logik]] und [[Mathematische Logik|Mathematik]] ein ''logischer Wert'', den eine [[Aussage (Logik)|Aussage]] in Bezug auf Wahrheit annehmen kann.

In der zweiwertigen [[klassische Logik|klassischen Logik]] kann eine Aussage nur entweder ''wahr'' oder ''falsch'' sein, die Menge der Wahrheitswerte {''W'', ''F''} hat so zwei Elemente. In [[mehrwertige Logik|mehrwertigen Logiken]] enthält die ''Wahrheitswertemenge'' mehr als zwei Elemente, z. B. in einer [[Dreiwertige Logik|dreiwertigen Logik]] oder einer [[Fuzzy-Logik]], die damit zu den [[Nichtklassische Logik|nichtklassischen Logiken]] zählen. Hier wird dann auch neben Wahrheitswerten von ''Quasiwahrheitswerten'', ''Pseudowahrheitswerten'' oder ''Geltungswerten'' gesprochen.

Die Abbildung der Menge von Aussagen einer (meist formalen) Sprache auf die Wahrheitswertemenge wird [[Wahrheitswertzuordnung]] genannt und ist eine aussagenlogisch spezifische [[Bewertungsfunktion (Formale Sprachen)|Bewertungsfunktion]]. In der klassischen Logik kann auch explizit die Klasse aller wahren Aussagen beziehungsweise die Klasse aller falschen Aussagen definiert werden.
Die Abbildung von Wahrheitswerten der ([[Atomare Aussage|atomaren]]) Teilaussagen einer zusammengesetzten Aussage auf die Wahrheitswertemenge heißt [[Wahrheitswertefunktion]] oder Wahrheitsfunktion. Die Wertetabelle dieser [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] im mathematischen Sinn wird auch als [[Wahrheitstafel]] bezeichnet und häufig dazu verwendet, die Bedeutung wahrheitsfunktionaler [[Junktor]]en anzugeben.

== Begriffsbildung ==
Eingeführt wurde der Begriff „Wahrheitswert“ von [[Gottlob Frege]] als undefinierter Grundbegriff, unter den die beiden Gegenstände fallen, die nach seiner Sicht als Werte von Wahrheitswertefunktion auftreten können – das Wahre und das Falsche: „Ich verstehe unter dem Wahrheitswerthe eines Satzes den Umstand, daß er wahr oder daß er falsch ist.“<ref>Gottlob Frege: [[Über Sinn und Bedeutung]], Seite 34.</ref> Auf der Basis der Unterscheidung zwischen [[Extension und Intension]] wird im Gefolge von Frege vielfach angenommen, dass der Wahrheitswert die [[Extension und Intension|Extension]] (das Designat, die Referenz, in Freges Terminologie die „Bedeutung“) einer Aussage ist.

Nach dem gängigen Verständnis haben nur [[Logische Aussage|Aussagesätze]] Wahrheitswerte, nicht aber zum Beispiel Fragesätze oder einzelne Wörter. Der Begriff des Wahrheitswertes ist nicht an eine bestimmte [[Wahrheitstheorie]] gebunden.

== Anzahl der Wahrheitswerte ==
In der zweiwertigen [[Klassische Logik|klassischen Logik]] kommt jedem Satz einer von genau zwei Wahrheitswerten zu. Seine Aussage ist entweder wahr oder falsch, was auch das [[Prinzip der Zweiwertigkeit]] genannt wird.

In [[Mehrwertige Logik|mehrwertigen Logiken]] gibt es mehr als zwei Wahrheitswerte, das heißt, das Prinzip der Zweiwertigkeit gilt hier nicht. Der [[Satz vom ausgeschlossenen Dritten]] wird dadurch allerdings nicht zugleich auch ungültig – vielmehr gibt es mehrwertige Logiken, in denen der Satz vom ausgeschlossenen Dritten gilt, und solche, in denen er nicht gilt.

Es gibt Logiken mit endlich vielen Wahrheitswerten, so zum Beispiel das als erste mehrwertige Logik [[1920]] von [[Jan Łukasiewicz]] formalisierte System Ł<sub>3</sub>, eine dreiwertige Logik. Und es gibt auch Logiken mit [[Unendlichkeit|unendlich]] vielen Wahrheitswerten, zum Beispiel solche der [[Fuzzylogik]].

== Extensionalität und Wahrheitsfunktionalität ==
In extensionalen [[Logik]]en ist der Wahrheitswert eines zusammengesetzten Satzes eindeutig durch die Wahrheitswerte seiner Teilsätze bestimmt (Prinzip der Wahrheitsfunktionalität, allgemeiner auch [[Extensionalitätsprinzip]] oder Kompositionalitätsprinzip). Aus diesen und den für die Komposition jeweils verwendeten logischen Verknüpfungen (Konnektiven) lässt sich daher im Rahmen eines logischen [[Kalkül#Kalküle in der Logik|Kalküls]] der Wahrheitswert eines zusammengesetzten Ausdrucks berechnen. Dabei repräsentieren die verschiedenen Belegungen
von ''n'' [[Variable (Logik)#Aussagenvariable|Aussagenvariablen]] durch Wahrheitswerte jeweils eine ''n''-stellige Wahrheitswertefunktion; man nennt derart interpretierbare Konnektive oder [[Junktor]]en auch wahrheitsfunktional. Die [[klassische Logik]] verwendet ausschließlich wahrheitsfunktionale Konnektive, sie ist extensional. Zur Angabe des Wahrheitswerteverlaufs für ein extensionales (wahrheitsfunktionales) Konnektiv werden in endlichwertigen Logiken bevorzugt [[Wahrheitstabelle]]n verwendet.

In intensionalen Logiken – das heißt in solchen, die außerdem oder auch nur Konnektive benutzen, die nicht wahrheitsfunktional definiert sind – ist es erheblich aufwendiger Formalismen anzugeben, mit denen man den Wahrheitswert eines komplexen Satzes berechnen kann. Für manche intensionale Logiken, vor allem für [[Modallogik]], hat sich die [[Kripke-Semantik]] zur Bewertung von Sätzen bewährt.

== Symbole für Wahrheitswerte ==
Die Wahrheitswerte werden unterschiedlich symbolisiert; gebräuchlich sind folgende Zeichen:

;wahr: „W“ ''(wahr)'', „t“ (englisch ''true''), „<math>\top</math>“, „v“ (lateinisch ''verum''), „1“ oder „+“.
;falsch: „F“ ''(falsch)'', „f“ (englisch ''false'' bzw. lateinisch ''falsum''), „<math>\bot</math>“, „0“ oder „−“.

In einer [[Mehrwertige Logik|mehrwertigen Logik]] kann man auf Zahlen zurückgreifen, um einen abgestuften Wahrheitsgrad zu beschreiben, z. B. auf <math>{0; \tfrac{1}{2}; 1}</math> in einer dreiwertigen Logik oder auf <math>{0; \tfrac{1}{3}; \tfrac{2}{3}; 1}</math> in einer vierwertigen Logik oder auch auf alle [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] zwischen 0 und 1 (vergleiche [[Fuzzylogik]]). Andererseits sind auch Wahrheitswerte wie „undefiniert“, „indifferent“ oder „hochohmig“ gebräuchlich.

== Siehe auch ==
* [[Funktion und Begriff]]
* [[Über Sinn und Bedeutung]]

== Literatur ==
* Lothar Kreiser, [[Siegfried Gottwald]], Werner Stelzner (Hrsg.): ''Nichtklassische Logik. Eine Einführung.'' 2., durchgesehene Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1990, ISBN 3-05-000274-3.
* [[Ernst Tugendhat]], [[Ursula Wolf (Philosophin)|Ursula Wolf]]: ''Logisch-semantische Propädeutik'' (= ''Universal-Bibliothek'' 8206). Reclam, Stuttgart 1983, ISBN 3-15-008206-4.

== Weblinks ==
* {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/truth-values/|Truth Values|[[Jaroslaw Schramko|Yaroslav Shramko]] und [[Heinrich Wansing]]}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Logik]]
[[Kategorie:Sprachphilosophie]]
[[Kategorie:Wahrheit (Philosophie)]]

Wahrheitswert - Versionsgeschichte

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