imported>Schojoha: /* Einteilung */

2025-06-25T12:11:08Z

Einteilung

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{{Dieser Artikel| beschreibt die ebene, geometrische Figur; zu weiteren Bedeutungen siehe [[Viereck (Begriffsklärung)]].}}
[[Datei:Six Quadrilaterals.svg|mini|Einige Typen von Vierecken]]
Ein '''Viereck''' (auch '''Tetragon''', ''Quadrangel'' oder ''Quadrilateral'') ist eine [[Figur (Geometrie)|Figur]] der [[Euklidische Ebene|(euklidisch) ebenen]] [[Geometrie]], nämlich ein [[Vieleck]] mit vier [[Ecke]]n und vier Seiten. Analog zu [[Dreieck]]en ist auch eine Verallgemeinerung des Vierecksbegriffes auf [[nichteuklidische Geometrie]]n (''gekrümmte'' Vierecke) möglich. In der [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] spielen [[Fano-Axiom#Vollständiges Viereck|vollständige Vierecke]] und die dazu [[Dualität (Mathematik)|dualen]] [[Satz von Gauß über das vollständige Vierseit|vollständigen Vierseite]] eine wichtige Rolle. In der [[Endliche Geometrie|endlichen Geometrie]] werden [[Inzidenz (Geometrie)|Inzidenzeigenschaften]] des Vierecks zur Definition des Begriffs „[[Verallgemeinertes Viereck]]“ verwendet.

== Einteilung ==
[[Datei:Viereck-Hierarchie.png|mini|hochkant=1.5|[[Hierarchie]] der Vierecke]]
[[Datei:Mengendiagramm konvexer Vierecke ohne Tangentenvierecke.svg|mini|hochkant=1.5|[[Mengendiagramm]] ohne Tangentenvierecke]]
[[Datei:Mengendiagramm konvexer Vierecke ohne Drachenvierecke.svg|mini|hochkant=1.5|[[Mengendiagramm]] ohne Drachenvierecke]]

Ein Viereck hat zwei [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]]. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck [[Konvexe Menge|konvex]], liegt genau eine Diagonale außerhalb, so nennt man das Viereck konkav. Das Viereck ist das einfachste [[Vieleck]], das konkav sein kann. Bei einem ''überschlagenen'' Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks, zum Beispiel beim verschränkten [[Trapez (Geometrie)|Trapez]]. Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte [[Polygon]]e und werden normalerweise nicht zu den Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für ''entartete'' Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer [[Gerade]]n liegen.

Die [[Winkelsumme|Summe der Innenwinkel]] im Viereck beträgt 360°, weil sich jedes Viereck in zwei [[Dreieck]]e zerlegen lässt.

Ein [[Trapez (Geometrie)|Trapez]] ist ein Viereck mit mindestens zwei [[Parallelität (Geometrie)|parallelen]] Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten [[Parallel (Geometrie)|parallel]], spricht man vom [[Parallelogramm]]. Ein Viereck, welches vier gleich große [[Innenwinkel]] von 90°, also [[Rechter Winkel|rechte Winkel]], hat, ist ein [[Rechteck]]. Ein Rechteck, das vier gleich lange Seiten hat, ist ein [[Quadrat]]. Das Quadrat ist das [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige]] Viereck.

Beim [[Drachenviereck]] (Deltoid) stehen die [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paare benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einer [[Raute]] (Rhombus). Ein [[Quadrat]] ist eine Raute mit vier gleich großen [[Innenwinkel]]n.

Bei einem [[Sehnenviereck]] sind die vier Seiten [[Sehne (Geometrie)|Sehnen]] des [[Umkreis]]es. Sind die vier Seiten [[Tangentenviereck|Tangenten]] eines [[Inkreis]]es, so spricht man von einem [[Tangentenviereck]].

Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten Mengenrelationen, insbesondere die in der Abbildung dargestellten Teilmengenbeziehungen, wie zum Beispiel

* Quadrate ⊂ Rechtecke ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke<ref group="AE">Die [[Quadrat]]e bilden eine [[echte Teilmenge]] der [[Rechteck]]e, die Rechtecke bilden eine echte Teilmenge der [[Parallelogramm]]e usw.</ref>

Ferner gelten auch noch folgende Beziehungen für [[Schnittmenge]]n:

* Quadrate = Rechtecke ∩ Rauten
* Quadrate = Drachenvierecke ∩ gleichschenklige Trapeze
* Rechtecke = Sehnenvierecke ∩ Parallelogramme
* Rauten = Drachenvierecke ∩ Trapeze
* Rauten = Tangentenvierecke ∩ Parallelogramme
* Gleichschenklige Trapeze = Sehnenvierecke ∩ Trapeze

=== Verfeinerung der Einteilung ===
Die ebenen Vierecke werden wie folgt nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt.

# Eigenschaften des Inneren:
#* konvex
#* konkav

<li value="2"> [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie-Eigenschaften]]:
#* [[Symmetrieachse|Achsensymmetrie]]
#** eine [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] ist [[Symmetrieachse]]: [[Drachenviereck]]
#** beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: [[Raute]]
#** die [[Mittelsenkrechte]] einer Seite ist eine Symmetrieachse: [[gleichschenkliges Trapez]]
#** die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: [[Rechteck]]
#** vier Symmetrieachsen: [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]]
#* [[Drehsymmetrie]]
#** zweizählige [[Drehsymmetrie]] ([[Punktsymmetrie]]): [[Parallelogramm]]
#** vierzählige Drehsymmetrie: [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]]

<li value="3"> Seiteneigenschaften:
#* Länge:
#** zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten: [[Parallelogramm]]
#** zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: [[Drachenviereck]]
#** gleichseitiges Viereck: [[Raute]]
#** die Summe der [[Länge (Mathematik)|Längen]] gegenüberliegender Seiten ist gleich: [[Tangentenviereck]]
#* Lage:
#** die Seiten berühren denselben [[Kreis]] (den [[Inkreis]]): [[Tangentenviereck]]
#* Orientierung:
#** mindestens ein Paar [[Parallelität (Geometrie)|paralleler]] Seiten: [[Trapez (Geometrie)|Trapez]]
#** zwei Paar paralleler Seiten: [[Parallelogramm]]

<li value="4"> Diagonaleneigenschaften
#* Länge:
#** beide Diagonalen sind gleich lang: notwendige Eigenschaft für gleichschenklige Trapeze
#* Lage:
#** Schnitt / Berührung: die beiden Diagonalen schneiden sich nicht (und berühren sich deshalb auch nicht): hinreichende Eigenschaft für konkave Vierecke
#** Lage des Schnittpunkts:
#*** eine Diagonale wird durch die andere mittig geschnitten: notwendige Eigenschaft für konvexes [[Drachenviereck]]
#*** beide Diagonalen schneiden sich in ihrer Mitte: notwendige und hinreichende Eigenschaft für ein [[Parallelogramm]]
#* Orientierung:
#** Größe des Orientierungswinkels: die Diagonalen stehen im rechten Winkel aufeinander: notwendige Eigenschaft für [[Drachenviereck]]

<li value="5"> Größe der Winkel:
#* zwei Paare gleich großer gegenüberliegender [[Winkel]]: [[Parallelogramm]]
#* zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: [[Trapez (Geometrie)#Gleichschenkliges und symmetrisches Trapez|gleichschenkliges Trapez]]
#* [[Gleichwinkliges Polygon|gleichwinkeliges]] Viereck: [[Rechteck]]
#* die Summe gegenüberliegender Winkel ergibt 180°: [[Sehnenviereck]]

<li value="6"> Lage der [[Ecke]]n:
#* die Ecken liegen auf demselben Kreis (dem [[Umkreis]]): [[Sehnenviereck]]

<li value="7"> Eigenschaften dazugehöriger Ellipsen (und Kreise):
#* kleinster umschließender Kreis:
#** Eigenschaften der Kreislinie:
#*** der kleinste umschließende Kreis, der alle Eckpunkte des Vierecks schneidet, ist der Umkreis: notwendige Eigenschaft für eine Raute
#** Lage (des Mittelpunkts):
#*** der Mittelpunkt des umschließenden Kreises liegt in der Mitte einer Diagonalen: notwendige Eigenschaft für ein Rechteck
#*** der Mittelpunkt liegt außerhalb des Vierecks: hinreichende Eigenschaft für ein konkaves Viereck
#* minimal exzentrische Umellipse (nicht zu verwechseln mit der [[Steiner-Umellipse]])
#** Existenz:
#*** mindestens ein Umellipse existiert: hinreichende und notwendige Eigenschaft für die Konvexität eines Vierecks
#** Exzentrizität:
#*** (lineare oder numerische) [[Exzentrizität (Mathematik)|Exzentrizität]] = 0: hinreichende und notwendige Eigenschaft für das Vorliegen eines Sehenvierecks. Diese Ellipse entspricht dann einem Umkreis.
#** Größe der Halbachsen:
#*** (Länge der ersten Halbachse = Länge der zweiten Halbachse = ) Radius des Umkreises ist <math>\sqrt 2</math> mal so groß wie der Radius des Inkreises: notwendige Eigenschaft für ein Quadrat
#* größter innen liegender Kreis:
#** Eigenschaften der Kreislinie:
#*** der Kreis berührt alle Seiten (evtl. auch nur ihre Eckpunkte): notwendige Eigenschaft für ein [[Drachenviereck|Deltoid]]
#*** der Kreis berührt alle Seiten im flachen Winkel, sprich der Inkreis: notwendige Eigenschaft für ein konvexes [[Drachenviereck|Deltoid]]
#*** der Kreis berührt nicht alle Seiten: notwendige Eigenschaft für ein konkaves Viereck

=== Tabelle ===
Die wichtigsten Eigenschaften der besonderen Vierecke sind in folgender [[Tabelle]] dargestellt:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! rowspan="2" |
! rowspan="2" | Anzahl der [[Symmetrieachse|Symmetrie- achsen]]
! rowspan="2" | [[Punktsymmetrie|punkt- symme- trisch]]
! colspan="2" | gegenüberliegende Seiten
! rowspan="2" | benachbarte Seiten gleich lang
! colspan="2" | Winkel gleich groß
! colspan="2" | Summe der gegenüberliegenden
|-
! parallel
! gleich lang
! gegenüber- liegende
! benachbarte
! Seitenlängen gleich
! Winkel gleich
|-
! style="text-align:right" |[[Quadrat]]
|4
|ja
|paarweise
|alle
|alle
|alle
|alle
|ja
|ja
|-
! style="text-align:right" |[[Rechteck]]
|mind. 2
|ja
|paarweise
|paarweise
|
|alle
|alle
|
|ja
|-
! style="text-align:right" |[[Raute]]
|mind. 2
|ja
|paarweise
|alle
|alle
|paarweise
|
|ja
|
|-
! style="text-align:right" |[[Parallelogramm]]
|
|ja
|paarweise
|paarweise
|
|paarweise
|
|
|
|-
! style="text-align:right" |[[gleichschenkliges Trapez]]
|mind. 1
|
|ja
|ja
|
|
|paarweise
|
|ja
|-
! style="text-align:right" |[[Drachenviereck]]
|mind. 1
|
|
|
|paarweise
|
|
|ja
|
|-
! style="text-align:right" |[[Trapez (Geometrie)|Trapez]]
|
|
|ja
|
|
|
|
|
|
|-
![[Sehnenviereck]]
|
|
|
|
|
|
|
|
|ja
|-
![[Tangentenviereck]]
|
|
|
|
|
|
|
|ja
|
|}

== Formeln ==

{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" | Mathematische Formeln zum allgemeinen Viereck
|-
| rowspan="6" |'''[[Flächeninhalt]]'''   siehe: [[Formel von Bretschneider]], [[Gaußsche Trapezformel]]
|<math>A = \frac{1}{4} \sqrt{4 \cdot e^2 \cdot f^2 - \left(b^2 + d^2 - a^2 - c^2\right)^2}</math>
| rowspan="12" |
[[Datei:Tetragon measures.svg|250px|Bezeichnungen am Viereck]]
|-
|<math>A = \frac{a \cdot d \cdot \sin\alpha + b \cdot c \cdot \sin\gamma}{2} = \frac{a \cdot b \cdot \sin\beta + c \cdot d \cdot \sin\delta}{2} </math>
|-
|<math>A = \frac{1}{4} \left(b^2 + d^2 - a^2 - c^2\right) \cdot \tan\theta</math>
|-
|<math>A = \frac{e \cdot f \cdot \sin\theta}{2}</math>
|-
|<math>A = \frac{1}{2} \sqrt{\big|\vec e\big|^2 \cdot \big|\vec f\big|^2 - \big(\vec e \cdot \vec f\big)^2}</math>
|-
|<math>A = \frac{1}{2} \bigg|(x_A - x_C) \cdot (y_{B}-y_{D}) + (x_D - x_B) \cdot (y_A - y_C)\bigg|</math>
|-
| rowspan="2" |Länge der [[Diagonale (Geometrie)|'''Diagonalen''']]   siehe: [[Kosinussatz]]
|<math>e = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos\beta} = \sqrt{c^2 + d^2 - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos\delta}</math>
|-
|<math>f = \sqrt{a^2 + d^2 - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos\alpha} = \sqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\gamma}</math>
|-
| rowspan="4" |'''[[Innenwinkel]]'''   siehe: [[Kosinussatz]]
|<math>\alpha = \arccos\frac{a^2 + d^2 - f^2}{2 \cdot a \cdot d}</math>
|-
|<math>\beta = \arccos\frac{a^2 + b^2 - e^2}{2 \cdot a \cdot b}</math>
|-
|<math>\gamma = \arccos\frac{b^2 + c^2 - f^2}{2 \cdot b \cdot c}</math>
|-
|<math>\delta = \arccos\frac{c^2 + d^2 - e^2}{2 \cdot c \cdot d}</math>
|}

== Konvexe Vierecke ==
Ein [[Konvexe Menge|konvexes]] Viereck<ref group="AE">Hier wird angenommen, dass ein [[Polygon#Weitere Typen|nicht-überschlagenes]] Viereck vorliegt.</ref> kann durch fünf voneinander unabhängige Bestimmungsstücke wie

* [[Länge (Mathematik)|Länge]] der Seiten
* Länge der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]]
* [[Umfang (Geometrie)|Umfang]]
* [[Innenwinkel]]
* [[Flächeninhalt]]

beschrieben werden. Ein Beispiel nicht unabhängiger Größen sind die vier [[Innenwinkel]], weil sich der vierte Innenwinkel aus den drei anderen und der Innenwinkelsumme von 360° berechnen lässt. Sind auch nichtkonvexe Vierecke zugelassen, gibt es mehrdeutige Kombinationen, z. B. vier Seiten und ein Innenwinkel, da die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende [[Ecke]] konvex oder konkav sein kann.

Wenn ein spezielles Viereck vorliegt, reichen weniger Größen aus, um seine Form zu beschreiben:
* vier bei einem [[Tangentenviereck]], [[Sehnenviereck]] oder [[Trapez (Geometrie)|Trapez]]
* drei bei einem [[Parallelogramm]], [[Drachenviereck]], [[Rechtwinkliges Trapez|rechtwinkligen Trapez]] oder [[Gleichschenkliges Trapez|gleichschenkligen Trapez]]
* zwei bei einer [[Raute]] oder einem [[Rechteck]]
* eine bei einem [[Quadrat]]

== Ungleichungen ==
Für ein konvexes Viereck mit den Seitenlängen ''<math>a</math>'', ''<math>b</math>'', ''<math>c</math>'', ''<math>d</math>'', den [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] ''<math>e</math>'', ''<math>f</math>'' und dem [[Flächeninhalt]] ''<math>A</math>'' gelten folgende [[Ungleichung]]en:
:<math>A \leq \frac{(a + c) \cdot (b + d)}{4}</math> mit Gleichheit nur für [[Rechteck]]e
:<math>A \leq \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}</math> mit Gleichheit nur für [[Quadrat]]e
:<math>A \leq \frac{(a + b + c + d)^2}{16}</math> mit Gleichheit nur für [[Quadrat]]e
:<math>A \leq \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(a^2 + c^2) \cdot (b^2 + d^2)}</math> mit Gleichheit nur für [[Rechteck]]e
:<math>A \leq \frac{e \cdot f}{2}</math> mit Gleichheit nur dann, wenn die [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] [[Orthogonalität|orthogonal]] sind
:<math>A \leq \frac{e^2 + f^2}{4}</math> mit Gleichheit nur dann, wenn die [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] [[Orthogonalität|orthogonal]] und gleich lang sind
Aus der [[Formel von Bretschneider]] folgt mit <math>s = \frac{a + b + c + d}{2}</math> die [[Ungleichung]]
:<math>A \leq \sqrt{(s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c) \cdot (s - d)}</math> mit Gleichheit nur für [[Sehnenviereck]]e

== Schwerpunkt ==
[[Datei:01-Viereck, Schwerpunkt.svg|mini|hochkant=1.3|Flächenschwerpunkt im unregelmäßigen Viereck 
Die gepunkteten Linien, der Punkt <math>H</math> und die Schwerpunkte <math>S_3</math> und <math>S_4</math> sind für die alternative Lösung nicht erforderlich, sie dienen lediglich der Verdeutlichung, z. B. der Parallelität der Halbgeraden zur Diagonalen. Animation siehe [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Viereck,_Schwerpunkt.gif hier]]]
Bei [[Punktsymmetrie|punktsymmetrischen]] Vierecken, den [[Parallelogramm]]en, ist der [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] das [[Symmetriezentrum]], also der Diagonalenschnittpunkt.

Im Allgemeinen muss man unterscheiden zwischen dem [[Eckenschwerpunkt]] (alle Masse sitzt in den [[Ecke]]n, jede Ecke hat die gleiche Masse) und dem [[Flächenschwerpunkt]] (die Masse ist gleichmäßig über die [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] des Vierecks verteilt). Beim [[Dreieck]] stimmen diese beiden Schwerpunkte überein. Daneben gibt es noch den Kantenschwerpunkt (die Masse ist gleichmäßig auf die Kanten verteilt, die Masse jeder Kante ist proportional zu ihrer Länge). Der Kantenschwerpunkt wird jedoch selten betrachtet. Er stimmt auch beim Dreieck nicht mit dem Flächen- und Eckenschwerpunkt überein, sondern entspricht dort dem [[Inkreismittelpunkt]] des [[Mittendreieck]]s.<ref>Hartmut Wellstein: {{Webarchiv | url=http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/veranst/elemgeom/schwerpunkte/schwerpunkte.html#1.3 | wayback=20100815045633 | text=Website der Universität Flensburg, Elementargeometrie, Schwerpunkte des Dreiecks, Kapitel 1.3.2, Stand 28.01.2001}} abgerufen am 28. September 2017</ref>

Den [[Flächenschwerpunkt]] eines unregelmäßigen Vierecks kann man wie folgt konstruieren: Man zerlegt das Viereck durch eine [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] in zwei [[Dreieck]]e und bestimmt jeweils deren [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] als [[Schnittpunkt]] der [[Seitenhalbierende]]n. Diese beiden [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] verbindet man durch eine [[Gerade]]. Dasselbe wiederholt man, indem man das Viereck durch die andere Diagonale teilt. Der Schnittpunkt der beiden [[Verbindungsgerade]]n ist der Schwerpunkt des Vierecks.<ref name=Walser>{{Internetquelle |autor=Hans Walser |url=http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag81/Schwerpunkt.htm |titel=4 Schwerpunkte beim Viereck, 4.2 Flächenschwerpunkt Abb. 14 |werk=Schwerpunkt Forum für Begabtenförderung 22. bis 24. März 2012, TU Berlin|hrsg=Hans Walser Universität Basel |zugriff=2017-09-28}}</ref>

Die Gerade durch die beiden Dreiecksschwerpunkte ist eine [[Schwerlinie]] beider [[Dreieck]]e und damit auch des Vierecks. Also muss der Schwerpunkt auf dieser Geraden liegen.

Den [[Eckenschwerpunkt]] erhält man, indem man die [[Mittelpunkt]]e gegenüberliegender Seiten verbindet. Der [[Schnittpunkt]] der beiden Verbindungslinien ist der Eckenschwerpunkt.<ref name=Walser /> Ist ein [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesisches]] [[Koordinatensystem]] gegeben, so kann man die Koordinaten des Eckenschwerpunkts <math>S(x_S|y_S)</math> aus den Koordinaten der [[Ecke]]n <math>A(x_A|y_A), B(x_B|y_B), C(x_C|y_C), D(x_D|y_D)</math> berechnen:

:<math>x_S = \frac{1}{4} \cdot (x_A + x_B + x_C + x_D), \quad y_S = \frac{1}{4} \cdot (y_A + y_B + y_C + y_D)</math>

Die nebenstehende Darstellung, konstruiert ähnlich wie oben beschrieben, beinhaltet auch eine alternative Vorgehensweise. Dazu sind in zwei sich kreuzenden [[Dreieck]]en deren [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkte]] <math>S_1</math> und <math>S_2</math> zu ermitteln. Abschließend wird eine [[Halbgerade]] ab <math>S_1</math> parallel zur [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] <math>\overline{BD}</math> und eine Halbgerade ab <math>S_2</math> parallel zur Diagonale <math>\overline{AC}</math> gezogen. Somit ist der [[Schnittpunkt]] der beiden Halbgeraden der [[Flächenschwerpunkt]] <math>S</math> des Vierecks. Dies bedeutet, die gepunkteten Linien, der Punkt <math>H</math> und die Schwerpunkte <math>S_3</math> und <math>S_4</math> sind für die alternative Vorgehensweise nicht erforderlich.
* Ein möglicher elementarer geometrischer Beweis für die Korrektheit der Konstruktion ist in [[Geometrischer Schwerpunkt#Unregelmäßiges Viereck|Unregelmäßiges Viereck]] enthalten.

== Siehe auch ==
* [[Ungleichungen in Vierecken]]
* Zu den Begriffen ''vollständiges Viereck'' und ''vollständiges Vierseit'' in der [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] siehe deren Definition im Artikel [[Fano-Axiom]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Tetragons|Viereck}}
{{Wiktionary|Viereck}}
* [http://www.in-dubio-pro-geo.de/?file=plasph/quad0 Online-Berechnung von ebenen Vierecken mit graphischer Ausgabe]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Anmerkungen und Erläuterungen ==
<references group="AE" />

[[Kategorie:Viereck| ]]
[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]

Viereck - Versionsgeschichte

imported>Schojoha: /* Einteilung */