imported>Mathze: /* Definition */

2025-07-31T00:57:46Z

Definition

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[[Datei:Bildung der Umkehrfunktion an einem Beispiel.svg|mini|200px|Die Umkehrfunktion]]
In der [[Mathematik]] bezeichnet die '''Umkehrfunktion''' oder '''inverse Funktion''' einer [[Bijektivität|bijektiven]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] die Funktion, die jedem Element der [[Zielmenge]] sein eindeutig bestimmtes ''Urbildelement'' zuweist.

Eine Funktion <math>f\colon A \to B</math> ordnet jedem <math>a \in A</math> ein eindeutig bestimmtes Element <math>b \in B</math> zu, das mit <math>f(a)</math> bezeichnet wird.
Gilt für <math>a \in A, b\in B</math> die Beziehung <math>b=f(a)</math>, so sagt man auch, dass <math>a</math> ein Urbildelement von <math>b</math> unter <math>f</math> ist. Im Allgemeinen kann ein Element von <math>B</math> kein, ein oder mehrere Urbildelemente unter <math>f</math> besitzen.
Falls jedes Element von <math>B</math> genau ein Urbildelement unter <math>f</math> besitzt (man spricht dann von ''dem'' Urbildelement), nennt man <math>f</math> ''invertierbar''. In diesem Fall kann man eine Funktion <math>f^{-1}\colon B \to A</math> definieren, die jedem Element von <math>B</math> ihr eindeutig definiertes Urbildelement unter <math>f</math> zuordnet.
Diese Funktion wird dann als die Umkehrfunktion von <math>f</math> bezeichnet.

Man kann leicht nachweisen, dass eine Funktion genau dann invertierbar ist, wenn sie bijektiv (also gleichzeitig [[Injektivität|injektiv]] und [[Surjektivität|surjektiv]]) ist. Tatsächlich besagt die Injektivität nichts anderes, als dass jedes Element von <math>B</math> höchstens ein Urbildelement unter <math>f</math> besitzt. Die Surjektivität besagt gerade, dass jedes Element von <math>B</math> mindestens ein Urbildelement unter <math>f</math> besitzt.

Der Begriff der Umkehrfunktion gehört formal zum mathematischen Teilgebiet der [[Mengenlehre]], wird aber in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet.

== Definitionen ==

Seien <math>A</math> und <math>B</math> nichtleere [[Menge (Mathematik)|Mengen]].
Neben der Definition aus der Einleitung gibt es weitere Möglichkeiten, die Begriffe der Invertierbarkeit einer Funktion <math>f\colon A \to B</math> und der Umkehrfunktion einer invertierbaren Funktion formal einzuführen:

* Man sucht nach einer Funktion <math>g\colon B \to A</math>, sodass <math>g(f(a)) = a</math> für alle <math>a \in A</math> und <math>f(g(b)) = b</math> für alle <math>b \in B</math>. Es stellt sich heraus, dass es höchstens ein solches <math>g</math> geben kann. Existiert dies, so nennt man <math>f</math> ''invertierbar'' und das eindeutig bestimmte <math>g</math> die Umkehrfunktion von <math>f</math>.
* Unter Verwendung der [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] von Funktionen kann die vorherige Bedingung auch etwas eleganter formuliert werden, indem man für <math>g\colon B \to A</math> fordert: <math>g \circ f = \operatorname{id}_A</math> und <math>f \circ g = \operatorname{id}_B</math>. Dabei ist <math>\operatorname{id}_A</math> die [[identische Abbildung]] auf der Menge <math>A</math>.
* Man führt zunächst die weiter unten erklärten Begriffe von ''Linksinversen'' und ''Rechtsinversen'' ein. Dann nennt man eine Funktion ''invertierbar'', wenn sie sowohl eine Linksinverse als auch eine Rechtsinverse besitzt. Es zeigt sich, dass in diesem Fall Linksinverse und Rechtsinverse übereinstimmen müssen (womit auch folgt, dass es in diesem Fall davon nicht mehrere gibt). Diese eindeutig bestimmte Links- und Rechtsinverse ist dann die Umkehrfunktion.
* Man bezieht sich bei der Definition darauf, dass eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math> immer auch eine [[Relation (Mathematik)|Relation]] von <math>A</math> nach <math>B</math> ist. Daher besitzt sie auf jeden Fall eine [[Relation (Mathematik)#Umkehrrelation|Umkehrrelation]]. Man nennt <math>f</math> ''invertierbar'', wenn diese Umkehrrelation eine Funktion von <math>B</math> nach <math>A</math> ist. In diesem Fall wird die Umkehrrelation auch als Umkehrfunktion bezeichnet.

Es stellt sich heraus, dass alle vorgestellten Invertierbarkeitsbegriffe äquivalent zum Begriff der Bijektivität sind. Auch führen alle Definitionen der Umkehrfunktion zum gleichen Ergebnis.

== Notation ==

Wenn <math>f \colon A \rightarrow B</math> eine bijektive Funktion ist, dann bezeichnet <math>f^{-1} \colon B \rightarrow A</math> die Umkehrfunktion. Dabei ist die hochgestellte <math>-1</math> nicht mit einer negativen [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] bezüglich der [[Multiplikation]] zu verwechseln. Es handelt sich vielmehr um die Umkehrung bezüglich der Komposition von Funktionen.
Die alternative Schreibweise <math>\bar f</math> ''(f quer),''<ref>Helmut Sieber und Leopold Huber: ''Mathematische Begriffe und Formeln für Sekundarstufe I und II der Gymnasien.'' Ernst Klett Verlag.</ref> kann leicht mit der [[Komplexe Konjugation|komplexen Konjugation]] verwechselt werden. Sie wird daher in der mathematischen Literatur nur selten verwendet.

Allerdings besteht auch bei der Notation <math>f^{-1}</math> eine Doppeldeutigkeit. Diese Notation wird nämlich auch für die [[Urbild (Mathematik)|Urbildfunktion]] verwendet, die für jede Funktion (also auch nicht bijektive) existiert.
Die Urbildfunktion ist eine Funktion von der [[Potenzmenge]] <math>\mathcal{P}(B)</math> in die Potenzmenge <math>\mathcal{P}(A)</math>.
Es ist üblich, in der Notation der Urbildfunktion bei einelementigen Mengen die Mengenklammern wegzulassen. Für <math>b \in B</math> wird also statt <math>f^{-1}(\{b\})</math> auch einfach <math>f^{-1}(b)</math> geschrieben.
Identifiziert man nun in dieser notationellen Weise die einelementige Menge mit dem einen enthaltenen Element, dann ist die Umkehrfunktion eine Spezialisierung der Urbildfunktion, und frontale Widersprüche können nicht auftreten. Denn für bijektive <math>f</math> ist <math>f^{-1}(b)</math> das ''eine'' und einzige Element der Urbildmenge <math>f^{-1}(\{b\})</math>.

Wegen der genannten Verwechslungsmöglichkeit findet sich gelegentlich in der Literatur für die Umkehrfunktion (das ist die {{nowrap|<math>(-1)</math>-te}} [[Iteration]]) die Schreibweise
:{|
|-
|style="width:2em"| <math>f^{\langle -1\rangle}</math> ||style="width:7.5em;text-align:center" | sodass ||style="width:3em"| <math>\mathrm{id}</math> ||style="width:7em"| <math>=f\circ f^{\langle -1\rangle}</math> || (mit hochgestellter ''spitzer'' Klammer),
|}
für die [[Iteration]]
:{|
|-
|style="width:2em"| <math>f^{\langle 0\rangle}</math> ||style="width:4.5em"| <math>:=\mathrm{id}</math> ||style="width:3em"| und ||style="width:3em"| <math>f^{\langle {n+1}\rangle}</math> ||style="width:7em"| <math>:=f\circ f^{\langle n\rangle}</math>,
|}
für die [[Potenz (Mathematik)|Potenz]]
:{|
|-
|style="width:2em"| <math>f^{\;\! 0}</math> ||style="width:4.5em"| <math>:=\mathrm 1</math> ||style="width:3em"| und ||style="width:3em"| <math>f^{\;\! n+1} </math> ||style="width:7em"| <math>:=f \cdot f^{\;\! n}</math> || (''ohne'' hochgestellte Klammer)
|}
und für die [[Differentialrechnung|Ableitung]]
:{|
|-
|style="width:2em"| <math>f^{(0)}</math> ||style="width:4.5em"| <math>:=f</math> ||style="width:3em"| und ||style="width:3em"| <math>f^{(n+1)}</math> ||style="width:7em"| <math>:=(f^{(n)})'</math> || (mit hochgestellter ''runder'' Klammer).
|}

Dann ist beispielsweise
:<math>\sin^{\langle -1\rangle}=\arcsin,</math>
:<math>\sin^2+\cos^2=1</math>
und
:<math>\sin^{(2)}=\sin^{\prime\prime}=-\sin.</math>

== Einfache Beispiele ==

* Sei <math>A := \{ a, b, c, \dotsc , y, z\}</math> die Menge der 26 Buchstaben des [[Lateinisches Alphabet|lateinischen Alphabets]] und sei <math> B := \{ 1, 2, 3, \dotsc , 25, 26\}</math>. Die Funktion <math>f \colon A \rightarrow B</math>, die jedem Buchstaben die entsprechende [[Nummer]] im Alphabet zuordnet, ist bijektiv, und <math>f^{-1} \colon B \rightarrow A </math> ist gegeben durch <math>f^{-1}(n) =</math> „der ''n''-te Buchstabe im Alphabet“.

* Sei <math>f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> die [[reelle Funktion]] mit <math>f(x) = 3x + 2</math>. Diese ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch
::<math>f^{-1} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f^{-1}(x) = (x - 2)/3</math>.

* Allgemeiner: Sind <math>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</math> und die Funktion <math>f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> gegeben durch <math>f(x) = \alpha x + \beta</math>. Dann ist <math>f</math> genau dann bijektiv, wenn <math>\alpha \neq 0</math>. In diesem Fall gilt <math>f^{-1}(x) = \tfrac{x - \beta}{\alpha}</math>.

== Eigenschaften ==

* Die Umkehrfunktion ist selbst bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion, d. h.
::<math>(f^{-1})^{-1} = f</math>.

* Ist <math>f \colon A \rightarrow B</math> eine bijektive Funktion, dann gilt für die Umkehrfunktion:
::<math>f(f^{-1}(b)) = b</math> für alle <math>b \in B</math>,
::<math>f^{-1}(f(a)) = a</math> für alle <math>a \in A</math>.
:Oder etwas eleganter:
::<math>f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_B</math>,
::<math>f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_A</math>.

* Sind <math>f \colon A \rightarrow B</math> und <math>g \colon B \rightarrow A</math> zwei Funktionen mit der Eigenschaft
::<math>f(g(b)) = b</math> für alle <math>b \in B</math>,
dann kann aus jeder der drei folgenden Eigenschaften bereits geschlossen werden, dass beide Funktionen bijektiv und ihre gegenseitigen Umkehrfunktionen sind:
::<math>g(f(a)) = a</math> für alle <math>a \in A</math>
::<math>f</math> ist injektiv
::<math>g</math> ist surjektiv

* Sind die Funktionen <math>f\colon A \rightarrow B</math> und <math>g\colon B \rightarrow C</math> bijektiv, dann gilt dies auch für die Komposition <math>g \circ f \colon A \rightarrow C</math>. Die Umkehrfunktion von <math>g \circ f</math> ist dann <math>f^{-1} \circ g^{-1}</math>.

* Eine Funktion <math>f\colon A \rightarrow A</math> kann ihre eigene Umkehrfunktion sein. Dies gilt genau dann, wenn <math>f \circ f = \operatorname{id}_A</math>. In diesem Fall nennt man <math>f</math> eine [[Involution (Mathematik)|Involution]]. Die einfachsten involutorischen Abbildungen sind die [[Identische Abbildung|identischen Abbildungen]].

* Ist <math>f\colon A \rightarrow B</math> eine bijektive Funktion, wobei <math>A</math> und <math>B</math> Teilmengen von <math>\mathbb{R}</math> sind, dann entsteht der [[Funktionsgraph|Graph]] der Umkehrfunktion, indem man den Graph von <math>f</math> an der Geraden <math>y = x</math> spiegelt.

* Ist <math>f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[differenzierbar]], <math>f'(x) \neq 0</math> und <math>y := f(x)</math>, dann gilt die folgende [[Umkehrregel]]:
::<math>(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}</math>.
:Diese Aussage wird in der mehrdimensionalen Analysis zum [[Satz von der Umkehrabbildung]] verallgemeinert.

== Umkehrfunktion für nicht bijektive Funktionen ==

In vielen Fällen besteht der Wunsch nach einer Umkehrfunktion für eine nicht bijektive Funktion. Hierzu kann man die folgenden Hilfsmittel heranziehen:

* Ist die Funktion nicht surjektiv, so kann man die Zielmenge verkleinern, indem man hierfür gerade das [[Bild (Mathematik)|Bild]] der Funktion wählt. Die so erhaltene Funktion ist surjektiv und stimmt in ihren Wertepaaren mit der ursprünglichen Funktion überein. Dieser Ansatz ist immer möglich. Es kann allerdings sein, dass es schwierig ist, das Bild der betrachteten Funktion genau zu bestimmen. Außerdem kann beim Übergang auf diese Teilmenge eine wichtige Eigenschaft der ursprünglich betrachteten Zielmenge verloren gehen (in der Analysis etwa die [[Vollständiger Raum|Vollständigkeit]]).

* In manchen Fällen erweist es sich auch als fruchtbar, die gewünschte Surjektivität dadurch zu erreichen, dass man bei der betrachteten Funktion den [[Definitionsbereich]] erweitert. Oft geht das auch mit einer Erweiterung der Zielmenge einher. Ob dieser Weg gangbar und sinnvoll ist, muss aber jeweils individuell entschieden werden.

* Ist die Funktion nicht injektiv, so kann man auf ihrem Definitionsbereich eine geeignete [[Äquivalenzrelation]] definieren, sodass man die Funktion auf die Menge der entsprechenden [[Äquivalenzrelation#Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] übertragen kann. Diese Funktion ist dann automatisch injektiv. Dieser Ansatz ist allerdings anspruchsvoll und führt zu einem oft unerwünschten Wechsel in der Natur der Argumente der betrachteten Funktion.

* In der Praxis kann man die Injektivität der Funktion oft auch dadurch erreichen, dass man sich auf eine geeignete Teilmenge des Definitionsbereichs der Funktion einschränkt, die zu jedem Element des Bilds nur ein einziges Urbildelement enthält. Diese Einschränkung ist allerdings unter Umständen willkürlich. Man muss daher darauf achten, dass man diese Einschränkung an allen Stellen konsistent in gleicher Weise vornimmt.

=== Beispiele ===

[[Datei:01 Umkehrfunktion.svg|mini|hochkant=1.7|Beispiel: Umkehrung der Kosinus- und Sinusfunktion<ref name="Zeuge">{{Literatur |Autor=Wolfgang Zeuge |Titel=Nützliche und schöne Geometrie |TitelErg=3.3 Die Umkehrfunktionen |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-63831-6 |Seiten=46}}</ref>]]
* Die [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] [[Sinus]] (sin), [[Kosinus]] (cos) und [[Tangens]] (tan) sind nicht bijektiv. Man schränkt sie jeweils auf geeignete Teilmengen des Definitionsbereichs und der Zielmenge ein und erhält bijektive Funktionen, deren Umkehrfunktionen die [[Arkusfunktion]]en: [[Arkussinus]] (arcsin), [[Arkuskosinus]] (arccos) und [[Arkustangens]] (arctan) sind.<ref name="Zeuge" />

* Man betrachte die [[Nachfolger (Mathematik)|Nachfolger-Funktion]] <math>n \mapsto n+1</math> auf der Menge <math>\N</math> der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] ohne die Null. Diese Funktion ist injektiv. Sie ist aber nicht surjektiv, da die Zahl 1 nicht als Funktionswert vorkommt. Man kann nun die Zahl 1 aus der Zielmenge entfernen. Dann wird die Funktion surjektiv und die Vorgänger-Funktion <math>n \mapsto n-1</math> ist ihre Umkehrfunktion. Allerdings ist es unschön, dass bei der Funktion nun Definitionsbereich und Zielmenge nicht mehr übereinstimmen.
:Die alternative Idee, den Definitionsbereich um das fehlende Urbildelement für die 1, nämlich die 0, zu erweitern, hat auf den ersten Blick denselben Nachteil. Fügt man, um dies zu beheben, die 0 ebenfalls zur Zielmenge hinzu, so besitzt diese wiederum kein Urbildelement. Man kann diesen Prozess aber gedanklich unendlich oft fortsetzen und gelangt dadurch zur Menge <math>\Z</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]]. Auf dieser Menge ist die Nachfolger-Funktion bijektiv, und ihre Umkehrfunktion ist die Vorgänger-Funktion.

* Die [[Exponentialfunktion]] betrachtet als Funktion von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> ist injektiv, aber nicht surjektiv. Ihr Bild ist gerade die Menge der positiven [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Schränkt man die Zielmenge darauf ein, so erhält man eine bijektive Funktion, deren Umkehrfunktion die [[Logarithmusfunktion]] ist. Eine natürliche Erweiterung des Zahlbereichs, wie im vorherigen Beispiel diskutiert, bietet sich hier nicht an. Daher muss man akzeptieren, dass bei den betrachteten Funktionen nun Definitionsbereich und Zielmenge nicht mehr übereinstimmen.

* Die [[Quadratfunktion]] <math>x \mapsto x^{2}</math> ist, betrachtet als Funktion von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>, weder injektiv noch surjektiv. Die Surjektivität erreicht man dadurch, dass man als Zielmenge die Bildmenge <math>\mathbb{R}_0^+ = [0, \infty)</math> der nichtnegativen reellen Zahlen wählt. Um die Injektivität zu erreichen, kann man den Definitionsbereich einschränken. Am naheliegendsten ist es, hier ebenfalls <math>\mathbb{R}_0^+</math> zu wählen. Die so erhaltene eingeschränkte Quadratfunktion ist bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist die [[Quadratwurzel]]funktion.

* Ein entsprechendes Vorgehen für die [[Hyperbelfunktionen]] [[Sinus hyperbolicus]] (sinh), [[Cosinus hyperbolicus]] (cosh) und Tangens hyperbolicus (tanh) führt zu den [[Areafunktion]]en: [[Areasinus hyperbolicus]] (arsinh), [[Areakosinus hyperbolicus]] (arcosh) und [[Areatangens hyperbolicus]] (artanh).

== Berechnung ==

Die effektive Bestimmung der Umkehrfunktion ist oft schwierig. [[Asymmetrisches Kryptosystem|Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren]] beruhen darauf, dass die Bestimmung der Umkehrfunktion einer Verschlüsselungsfunktion effektiv nur möglich ist, wenn man einen geheimen Schlüssel kennt. Dabei ist die Berechnungsvorschrift für die Verschlüsselungsfunktion selbst öffentlich bekannt.

Reelle Funktionen sind oft durch eine Berechnungsvorschrift definiert, die durch einen arithmetischen [[Term]] <math>T</math> (mit einer Variablen <math>x</math>) beschrieben werden kann. Bei der Suche nach der Umkehrfunktion versucht man nun die Funktionsgleichung <math>y = T(x)</math> durch [[Äquivalenzumformung]] in die Form <math>x = T'(y)</math> (für einen passenden Term <math>T'</math>) zu bringen, also äquivalent nach <math>x</math> ''aufzulösen''.
Gelingt dies, so ist die durch die Berechnungsvorschrift <math>T</math> definierte Funktion als bijektiv erwiesen und <math>T'</math> ist eine Berechnungsvorschrift für die Umkehrfunktion. Man beachte, dass bei den Schritten der Äquivalenzumformung die Mengen, aus denen <math>x</math> und <math>y</math> gewählt werden sollen, genau zu beachten sind. Sie bilden dann Definitionsbereich und Zielmenge der betrachteten Funktion.

Beispiele:

* Sei <math>f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> mit <math>f(x) = 2x - 1</math>. Die folgenden Gleichungen sind äquivalent:
*:<math>\begin{align}
y &= 2x - 1 \\
2x &= y + 1 \\
x &= \tfrac{y+1}{2}
\end{align}</math>
:Die Umkehrfunktion von <math>f</math> lautet daher <math>f^{-1}(y)=\tfrac{y+1}{2}</math>. Da es üblich ist, das Argument mit <math>x</math> zu bezeichnen, schreibt man auch: <math>f^{-1}(x)=\tfrac{x+1}{2}</math>.

* Sei <math>f \colon (0, \infty) \to \mathbb{R}</math> mit <math>f(x) = \tfrac{x^2-1}{2x}</math>. Die folgenden Gleichungen sind äquivalent (man beachte, dass <math>x > 0</math> gilt):
* :<math>\begin{align}
& y = \tfrac{x^2-1}{2x} \\
& 2xy = x^2 - 1 \\
& x^2 - 2xy - 1 = 0 \\
& x = y + \sqrt{y^2+1}
\end{align}</math>
:(Die zweite Lösung der [[Quadratische Gleichung|quadratischen Gleichung]] entfällt, da <math>x</math> als positiv vorausgesetzt ist.) Die Umkehrfunktion lautet also <math>f^{-1}(y) = y + \sqrt{y^2+1}</math>.

:Bemerkung: Bei dieser Lösung wurde die Quadratwurzel verwendet. Die Quadratwurzelfunktion ist gerade definiert als die Umkehrfunktion der einfachen Quadratfunktion <math>x \mapsto x^{2}</math>. Diese einfache Funktion kann nämlich nicht unter Verwendung der Grundrechenarten „umgekehrt“ werden.
:Dieses Problem wurde dadurch gelöst, dass der Vorrat an mathematischen Standardoperationen um ein weiteres Mitglied (nämlich die Quadratwurzel) erweitert wurde.
:Die Leistung der oben durchgeführten Umformung besteht also darin, die Berechnung für die Umkehrfunktion der Funktion <math>f</math> auf die Berechnung der Umkehrfunktion der Quadratfunktion zurückgeführt zu haben.
:Die Quadratwurzel kann, wie gesagt, nicht auf elementare Weise berechnet werden. Tatsächlich hat sie selbst für ganzzahlige Argumente oft [[Irrationale Zahl|irrationale]] Werte. Es gibt aber gut verstandene Näherungsverfahren für die Quadratwurzel.
:Daher wird obige Umformung als ausreichend angesehen. Tatsächlich lässt sich ein besseres Ergebnis auch nicht erzielen.
:Man beachte, dass auch die anderen oben angegebenen Umkehrfunktionen (Logarithmus, Arcus- und Area-Funktionen) nicht mit Hilfe der Grundrechenarten (und der Exponentialfunktion und der trigonometrischen Funktionen) berechnet werden können. Sie erweitern daher, genau wie die Quadratwurzel, die Menge der mathematischen Standardoperationen (siehe auch [[Elementare Funktion]]).

== Umkehrfunktionen und Morphismen ==

In der höheren Mathematik werden oft Mengen betrachtet, die noch mit zusätzlicher mathematischer Struktur versehen sind. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die Menge der natürlichen Zahlen, auf der es unter anderem die durch die Kleiner-Relation definierte [[Ordnungsrelation|Ordnungsstruktur]] gibt.

Betrachtet man nun Funktionen zwischen zwei Mengen, die den gleichen Typ von Struktur tragen (also etwa zwei geordnete Mengen), so interessiert man sich besonders für Funktionen zwischen diesen Mengen, die mit den entsprechenden Strukturen „verträglich“ sind. Diese Verträglichkeit muss dabei gesondert definiert werden. Die Definition ist aber in den meisten Fällen naheliegend.

Funktionen, die diese Verträglichkeit erfüllen, werden auch [[Morphismus|Morphismen]] genannt. Bei geordneten Mengen sind die Morphismen etwa die [[Monotone Abbildung|monotonen Funktionen]].

Ist ein Morphismus bijektiv, so stellt sich die Frage, ob die Umkehrfunktion ebenfalls ein Morphismus ist.

In vielen Teilgebieten der Mathematik ist dies automatisch der Fall. So sind etwa die Umkehrfunktionen bijektiver [[Homomorphismus|Homomorphismen]] automatisch ebenfalls Homomorphismen.

In anderen Teilgebieten ist dies nicht der Fall. Bei den geordneten Mengen kommt es zum Beispiel darauf an, ob man sich auf [[Ordnungsrelation#Totalordnung|Totalordnungen]] beschränkt (dann sind Umkehrfunktionen von monotonen Funktionen wieder monoton) oder ob man auch [[Ordnungsrelation#Halbordnung|Halbordnungen]] zulässt (dann ist dies nicht immer der Fall).

Ein bijektiver Morphismus, dessen Umkehrfunktion ebenfalls ein Morphismus ist, wird auch [[Isomorphismus]] genannt.

=== Umkehrfunktionen von linearen Abbildungen ===

Ein besonders wichtiges Beispiel für den Morphismusbegriff ist der Begriff der [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung]] (des Vektorraumhomomorphismus). Eine bijektive lineare Abbildung ist immer ein Isomorphismus. Oft stellt sich die Frage, wie deren Umkehrfunktion effektiv bestimmt werden kann.

Damit überhaupt ein solcher Isomorphismus existieren kann, müssen die beiden beteiligten [[Vektorraum|Vektorräume]] dieselbe [[Dimension (Mathematik)#Dimension eines Vektorraumes (Hamel-Dimension)|Dimension]] haben.
Ist diese endlich, so lässt sich jede lineare Abbildung zwischen den Räumen durch eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] (mit entsprechender Spaltenzahl) darstellen. Die lineare Abbildung ist dann genau dann bijektiv, wenn diese Matrix eine [[Inverse Matrix|Inverse]] besitzt. Diese Inverse beschreibt dann die Umkehrfunktion.

Im mathematischen Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]] betrachtet man vor allem unendlichdimensionale Vektorräume, die neben der Vektorraumstruktur noch eine zusätzliche [[Topologie (Mathematik)|topologische]] Struktur tragen. Als Morphismen lässt man hier nur solche linearen Abbildungen gelten, die auch mit den topologischen Strukturen verträglich, das heißt [[Stetige Funktion|stetig]], sind.
Im Allgemeinen ist die Umkehrfunktion einer bijektiven stetigen linearen Abbildung zwischen zwei [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] nicht zwangsläufig stetig. Sind aber beide beteiligten Räume [[Banachraum|Banachräume]], so folgt aus dem [[Satz über die offene Abbildung]], dass dies der Fall sein muss.

== Verallgemeinerungen ==

Für allgemeinere Anwendungen ist der oben eingeführte Begriff der Umkehrfunktion als Inverses einer Bijektion zu eng. Entsprechend existieren Verallgemeinerungen für solche Gegebenheiten, von denen zwei nachfolgend vorgestellt werden.

=== Linksinverse ===

Für eine Funktion <math>f\colon A \rightarrow B</math> heißt eine Funktion <math>g\colon B \rightarrow A</math> '''[[Inverses Element|Linksinverse]]''' (oder [[Retraktion und Koretraktion|Retraktion]]),
wenn

:<math>g \circ f = \mathrm{id}_A.</math>

Das heißt, die Funktion <math>g</math> erfüllt

:<math>\text{Wenn }f(a) = b\text{, dann }g(b) = a.</math>

Das Verhalten von <math>g</math> auf dem Bild von <math>f</math> ist also festgelegt. Für Elemente aus <math>B</math>, die nicht Resultat von <math>f</math> sind, kann <math>g</math> dagegen beliebige Werte annehmen. Eine Funktion <math>f</math> hat Linksinverse genau dann, wenn sie injektiv (linkseindeutig) ist.

Eine injektive Funktion kann mehrere Linksinverse haben. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Funktion nicht surjektiv ist und der Definitionsbereich mehr als ein Element besitzt.

;Beispiele
Linksinverse treten oft als „Inverse“ von [[Einbettung (Mathematik)|Einbettungen]] auf.

Sei zum Beispiel <math>A</math> die Menge der Vereine, die in der [[Fußball-Bundesliga 2018/19|Saison 2018/19]] mit einer Mannschaft in der ersten Fußball-Bundesliga der Männer vertreten sind. <math>B</math> sei die Menge der Kommunen in Deutschland. Die Funktion <math>f</math> ordne einem Verein die Kommune zu, in der sein Stadion steht.
Da in der betrachteten Saison keine zwei Bundesliga-Mannschaften aus derselben Stadt kommen, ist diese Funktion injektiv. Da es auch Kommunen ohne Bundesliga-Stadion gibt, ist sie nicht surjektiv.
Es gibt also mehrere Linksinverse zu <math>f</math>. Eine einfach zu bildende Linksinverse ist die Funktion, die jeder Kommune, die ein Bundesliga-Stadion besitzt, den zugehörigen Verein und allen anderen Kommunen den [[FC Bayern München]] zuordnet. Ein in der Praxis sinnvolleres Beispiel wäre die Funktion, die jeder Kommune den Bundesliga-Verein mit dem am nächsten gelegenen Stadion zuordnet. Allerdings wäre es auch deutlich aufwändiger diese Funktion zu ermitteln, zumal erst einmal geklärt werden müsste, welcher Abstandsbegriff der Definition zu Grunde liegt (Luftlinie, kürzeste Entfernung mit dem PKW, …).

Als numerisches Beispiel sei <math>f</math> die Einbettung von <math>\mathbb{Z}</math> in <math>\mathbb{R}</math>. Dann bietet sich jede [[Rundung]]sfunktion (auf 0 Stellen nach dem Komma), also zum Beispiel die [[Gaußklammer]], als Linksinverse an. Aber auch die Funktion auf <math>\mathbb{R}</math>, die jeder ganzen Zahl sich selbst und allen anderen Zahlen die 0 zuordnet, ist eine Linksinverse.

=== Rechtsinverse ===

Eine '''Rechtsinverse''' ('''[[Retraktion und Koretraktion|Koretraktion]]''') von <math>f\colon A \rightarrow B</math> (oder, bei [[Faserbündel]]n, ein '''[[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]]''' von <math>f</math>) ist eine Funktion <math>h\colon B \rightarrow A</math>, sodass

:<math>f \circ h = \mathrm{id}_B.</math>

Das heißt, die Funktion <math>h</math> erfüllt

:<math>\text{Wenn }h(b) = a\text{, dann }f(a) = b.</math>

<math>h(b)</math> kann also jedes Urbildelement von <math>b</math> unter <math>f</math> sein.

Hat eine Funktion <math>f</math> eine Rechtsinverse, so muss sie surjektiv (rechtstotal) sein.

Umgekehrt scheint es offensichtlich, dass aus der Surjektivität von <math>f</math> die Existenz einer Rechtsinversen folgt. Zu jedem <math>b \in B</math> kann man ja ein oder sogar mehrere Urbildelemente unter <math>f</math> in <math>A</math> finden.
Ist die Funktion allerdings „hochgradig nicht-injektiv“, so muss hierzu für eine unüberschaubare Menge von Elementen der Zielmenge eine Entscheidung getroffen werden, welches der Urbildelemente man denn jeweils wirklich nimmt.
Eine solche simultane Entscheidung kann nicht immer konstruktiv getroffen werden. Das [[Auswahlaxiom]] (in geeigneter Formulierung) besagt gerade, dass eine Rechtsinverse trotzdem für alle surjektiven Funktionen existiert.

In vielen Fällen kann allerdings die Auflösung der Uneindeutigkeit durch eine globale Festlegung erfolgen. Dies ist etwa bei der Definition der Quadratwurzel der Fall, wo man die Uneindeutigkeit immer zu Gunsten der positiven Lösung auflöst.
In solchen Fällen wird das Auswahlaxiom nicht benötigt.

Die Funktion <math>h</math> ist offenbar genau dann Rechtsinverse von <math>f</math>, wenn <math>f</math> Linksinverse von <math>h</math> ist. Hieraus folgt unmittelbar, dass Rechtsinverse immer injektiv und Linksinverse immer surjektiv sind.

Eine surjektive Funktion hat genau dann mehrere Rechtsinverse, wenn sie nicht injektiv ist.

;Beispiele
Rechtsinverse treten oft als Funktionen auf, die [[Repräsentant (Mathematik)|Repräsentanten]] einer Menge bestimmen.

Sei beispielsweise <math>f\colon \text{Art} \rightarrow \text{Gattung}</math> eine Funktion, die jeder [[Art (Biologie)|Art]] ihre [[Gattung (Biologie)|Gattung]] zuweist. Als Rechtsinverse <math>h</math> wählt man dann eine Funktion, die für jede Gattung eine typische Art benennt. Politische Vertretung liefert viele Beispiele. Hier könnte <math>f</math> etwa die Staatsangehörigkeit eines Menschen sein, <math>h</math> das Staatsoberhaupt eines Staates.

Die [[Hilbert-Kurve]] bildet das Einheitsintervall stetig (daher die Bezeichnung ''Kurve'') auf das [[Einheitsquadrat]] ab. In der praktischen Anwendung wird aber häufig der ''Hilbert-Index'' benötigt, nämlich eine Linearisierung zweidimensionaler Daten (eine Umkehrung der Hilbert-Kurve). Dazu nimmt man eine der Rechtsinversen der Hilbert-Kurve, von denen es mehrere gibt – denn die Hilbert-Kurve kann als stetige Abbildung zwischen zwei Räumen unterschiedlicher Dimension nach dem [[Satz von der Invarianz der Dimension]] nicht bijektiv sein.

=== Links- und Rechtsinverse von Morphismen ===

Tragen die Mengen <math>A</math> und <math>B</math> eine zusätzliche mathematische Struktur und ist <math>f\colon A \rightarrow B</math> eine injektive bzw. surjektive Funktion, die mit diesen Strukturen verträglich ist, so stellt sich die Frage, ob es möglich ist, die Links- bzw. Rechtsinverse so zu wählen, dass sie ebenfalls mit den Strukturen verträglich ist.
Für viele in der Mathematik untersuchte Strukturen ist dies nicht der Fall.
Ist <math>f</math> allerdings eine injektive bzw. surjektive lineare Abbildung, so kann man die Links- bzw. Rechtsinverse ebenfalls als lineare Abbildung wählen.

== Verschiedenes ==

* Von besonderem Interesse sind oft Funktionen, bei denen Definitionsbereich und Zielmenge übereinstimmen. Für eine Menge <math>A</math> bildet die Menge der Funktionen von <math>A</math> in sich mit der Komposition als Verknüpfung ein [[Monoid]]. Die Begriffe der Invertierbarkeit sowie des Links- und Rechtsinversen, die hier eingeführt wurden, stimmen dann mit den entsprechenden Begriffen aus der Algebra überein.
:Der Begriff der Umkehrfunktion ist in diesem Fall identisch mit dem Begriff des [[Inverses Element|inversen Elements]].

* Im allgemeinen Kontext wird der Begriff der Invertierbarkeit von Funktionen oft weggelassen, da er mit dem Begriff der Bijektivität übereinstimmt.

* Bei den obigen Überlegungen wurde vorausgesetzt, dass <math>A</math> und <math>B</math> nicht-leer sind. Ist <math>B</math> leer, so gibt es überhaupt nur dann eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math>, wenn <math>A</math> ebenfalls leer ist.
:Diese ist dann die leere Funktion, die bijektiv und involutorisch ist.
:Ist <math>A</math> leer, <math>B</math> aber nicht, so gibt es wieder genau eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math>, die ebenfalls leer ist. Diese Funktion ist injektiv aber nicht surjektiv. Sie besitzt weder Links- noch Rechtsinverse, da es überhaupt keine Funktionen von <math>B</math> nach <math>A</math> gibt.

* Bei der Einführung des Funktionsbegriffs in der Mathematik gibt es verschiedene Vorgehensweisen. Der in diesem Artikel verwendete Begriff der Surjektivität setzt voraus, dass die Zielmenge ein Teil der Identität der Funktion ist. Legt man einen anderen Funktionsbegriff zu Grunde, so muss man einige der Ausführungen entsprechend anpassen.

* Die meisten der Aussagen in diesem Artikel gelten auch für Funktionen zwischen [[Klasse (Mathematik)|Klassen]].

== Siehe auch ==

* [[Retraktion und Koretraktion]], Links- bzw. Rechtsinverse in [[Kategorie (Mathematik)|Kategorien]]

== Weblinks ==

{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]

Umkehrfunktion - Versionsgeschichte

imported>Mathze: /* Definition */