imported>SchmiAlf: /* Etymologie */ Kleinkram

2025-09-03T08:16:58Z

Etymologie: Kleinkram

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[[Datei:Winkelfunktionen Einheitskreis.svg|300px|rechts|Sinus, Kosinus und Tangens ''r'' = 1]]
Mit '''[[Trigonometrie|trigonometrischen]] [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]]''' auch '''Winkelfunktionen''' (seltener: '''Kreisfunktionen''' oder '''goniometrische Funktionen''') bezeichnet man rechnerische Zusammenhänge zwischen [[Winkel]] und Seitenverhältnissen (ursprünglich in [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecken]]). Tabellen mit Verhältniswerten für bestimmte Winkel ermöglichen Berechnungen bei Vermessungsaufgaben, die Winkel und Seitenlängen in Dreiecken nutzen. Die trigonometrischen Funktionen sind außerdem die grundlegenden Funktionen zur Beschreibung periodischer Vorgänge in den Naturwissenschaften.

[[Datei:Circle cos sin.gif|mini|300px|Die Animation zeigt die Beziehung zwischen dem Einheitskreis und der Sinus- sowie der Kosinusfunktion]]
[[Datei:Circle-trig6.svg|mini|300px|Am Einheitskreis definierbare trigonometrische Funktionen]]
[[Datei:Mplwp trigonometric functions piaxis.svg|mini|300px|Die Funktionsgraphen aller trigonometrischen Funktionen]]
Die elementaren trigonometrischen Funktionen sind:
:* die [[Sinus und Kosinus|Sinusfunktion]] (abgekürzt: sin)
:* die [[Sinus und Kosinus|Kosinusfunktion]] (abgekürzt: cos)
:* die [[Tangens und Kotangens|Tangensfunktion]] (abgekürzt: tan oder tg)
sowie deren Kehrwerte:
:* [[Sekans und Kosekans|Kosekansfunktion]] ([[Kehrwert]] des Sinus: csc)
:* [[Sekans und Kosekans|Sekansfunktion]] (Kehrwert des Kosinus: sec)
:* [[Tangens und Kotangens|Kotangensfunktion]] (Kehrwert des Tangens: cot)

Zwischen diesen Funktionen bestehen enge Zusammenhänge. Genau genommen würde bereits eine der Funktionen ausreichen, um beliebige trigonometrische Probleme lösen zu können. Die Verwendung mehrerer verschiedener Funktionen ermöglicht jedoch eine Vereinfachung der Rechnungen und Formeln.

Die Kotangensfunktion wird in Tabellen mit Funktionswerten von trigonometrischen Funktionen gerne genutzt, da man cot(''x'') zusammen mit der Tangensfunktion tabellieren kann. Insofern ist die Bedeutung von cot(''x'') etwas größer als die von sec(''x'') und csc(''x'').

Es gibt weitere – heute eher unübliche – Funktionen, wie z. B. [[Sinus versus und Kosinus versus|''sinus versus'' (''versin''), ''cosinus versus'' (''coversin'')]], [[Exsekans und Exkosekans|''exsecant'' (''exsec'') und ''excosecant'' (''excsc'')]], ''[[Chord (Mathematik)|chord]]''.

== Definition ==

=== Trigonometrisch in der Elementargeometrie ===
[[Datei:RechtwinkligesDreieck.svg|Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a, b und Hypotenuse c]]

'''Ursprünglich''' (und im überwiegenden Schulgebrauch) sind die Winkelfunktionen in der Euklidischen Geometrie als Seitenverhältnisse in [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecken]] und daher '''nur für Winkel von 0 bis 90 Grad''' definiert:
:<math>\begin{align}
\sin\alpha & = \frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}} & = \frac{a}{c}\\\\
\cos\alpha & = \frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}} & = \frac{b}{c}\\\\
\tan\alpha & = \frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha} & = \frac{a}{b}\\\\
\sin\beta & = \frac{\text{Gegenkathete von }\beta}{\text{Hypotenuse}} & = \frac{b}{c}\\\\
\cos\beta & = \frac{\text{Ankathete von }\beta}{\text{Hypotenuse}} & = \frac{a}{c}\\\\
\tan\beta & = \frac{\text{Gegenkathete von }\beta}{\text{Ankathete von }\beta} & = \frac{b}{a}\\\\
\end{align}</math>
Diese Definition ist unabhängig von der Wahl des rechtwinkligen Dreiecks, das zur Berechnung verwendet wird. In jedem rechtwinkligen Dreieck mit gleichem Winkel <math>\alpha</math> ergeben diese Verhältnisse den gleichen Wert. Dies lässt sich z. B. mit den [[Strahlensatz|Strahlensätzen]] beweisen.

Aus diesen Beziehungen folgt unmittelbar die Beziehung:
:<math>\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}</math>
Die Ankathete des Winkels ist gleichzeitig die Gegenkathete des anderen spitzen Winkels <math>\beta</math> des rechtwinkligen Dreiecks; da die [[Winkelsumme]] im Dreieck 180° beträgt, und der rechte Winkel 90° zu dieser Summe beiträgt, ist dieser Winkel <math>\beta = 90^\circ-\alpha</math> und daher
:<math>\cos\alpha = \sin(90^\circ-\alpha)</math>

=== Geometrisch am Einheitskreis ===
[[Datei:Trigonomatric-functions.svg|300px|mini|Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis: 
{| style="text-align:center; width:100%;"
| <math>\overline{CP} = \sin b</math> ||<math>\overline{SP} = \cos b</math>
|--
|<math>\overline{DT} = \tan b</math> || <math>\overline{EK} = \cot b</math>
|--
|<math>\overline{OT} = \operatorname{sec} \, b</math> || <math>\overline{OK} = \operatorname{csc} \, b</math>
|}]]

Die Winkelfunktionen können aber als [[Sekante]]n- und [[Tangente]]nabschnitte '''am [[Einheitskreis]] auch auf größere Winkel erweitert''' werden. Vom Schnittpunkt des einen Winkelschenkels mit dem Einheitskreis werden die Lote auf die beiden Koordinatenachsen gefällt und liefern Sinus und Kosinus des Winkels. Die Tangenten in den Punkten ''x'' = 1 bzw. ''y'' = 1 schneiden den Schenkel ebenfalls und liefern dann in der Projektion auf die Achsen den Tangens und den Kotangens. Dabei muss der Schenkel gegebenenfalls rückwärts verlängert werden, um einen Schnittpunkt zu erzielen. Auf diese Weise können jedem Winkel von 0 bis 360 Grad Werte der Winkelfunktionen zugeordnet werden, die nun freilich auch negativ werden können (siehe Abbildung). Die oben angegebenen Beziehungen gelten dabei weiterhin.

=== In der Analysis ===
'''In der Höheren Mathematik''' (zB. in der [[Analysis]]) werden [[Sinus und Kosinus]] in der Regel '''vollständig''' für beliebige [[Reelle Zahl|reelle]] oder [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlen]] '''über Potenzreihen definiert''', wobei der [[Winkel]] im [[Bogenmaß]] angegeben wird. Ein Geometriebezug ist dabei nicht notwendig. In der [[Funktionentheorie|Komplexen Analysis (Funktionentheorie)]] wird zum Beispiel zuerst die [[Exponentialfunktion]] als Reihe <math>e^z = \sum\nolimits_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}</math> definiert und dann Sinus und Kosinus über die gliedweise Differenz und Summe der Reihen als <math>\sin z = \frac{e^{i z} - e^{-iz}}{2 i}</math> und <math>\cos z = \frac{e^{i z} + e^{-iz}}{2}</math>. Für reelle Argumente <math>x\in\mathbb{R}</math> erhält man die [[Eulersche Formel]] mit Zerlegung in Real- und Imaginärteil als <math>e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)</math>. Die komplexen Sinus- und Kosinusfunktionen sind in der gesamten [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] [[Analytische Funktion|analytisch]] und somit [[Ganze Funktion|ganze Funktionen]]. Die komplexen [[Tangens und Kotangens|Tangens]]-, Kotangens, [[Sekans und Kosekans|Sekans]]- und Kosekansfunktionen sind in der gesamten komplexen Zahlenebene [[Meromorphe Funktion|meromorph]]. Alle sechs trigonometrischen Funktionen sind in der komplexen Zahlenebene einfach [[Periodische Funktion|periodisch]].

Näheres siehe in den Artikeln [[Sinus und Kosinus]], [[Tangens und Kotangens]], [[Exponentialfunktion]] und [[Eulersche Formel]].

== Beziehungen zwischen den Funktionen ==
Die [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der trigonometrischen Funktionen in Abhängigkeit vom [[Quadrant (Mathematik)|Quadranten]] gibt die folgende Tabelle an:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Quadrant
! sin und csc
! cos und sec
! tan und cot
|-
! I
| +
| +
| +
|-
! II
| +
| −
| −
|-
! III
| −
| −
| +
|-
! IV
| −
| +
| −
|}

Der Betrag wird wie folgt umgerechnet:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
!
! sin
! cos
! tan
! cot
! sec
! csc
|-
!class="hintergrundfarbe8"| sin(''x'')
| <math> \,\sin(x) </math>
|<math> \, \pm \sqrt{1-\cos^2(x)} </math>
|<math> \, \pm \frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}} </math>
|<math> \, \pm \frac{1}{\sqrt{\cot^2(x) + 1}} </math>
|<math> \, \pm \frac{\sqrt{\sec^2(x)-1}} {\sec(x)} </math>
| <math> \frac{1}{\csc(x)} </math>
|-
!class="hintergrundfarbe8"| cos(''x'')
|<math> \, \pm \sqrt{1-\sin^2(x)} </math>
| <math> \, \cos(x) </math>
|<math> \, \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}} </math>
|<math> \, \pm \frac{\cot(x)} {\sqrt{\cot^2(x)+ 1}} </math>
| <math> \, \frac{1}{\sec(x)} </math>
|<math> \, \pm \frac{\sqrt{\csc^2(x)-1}}{\csc(x)} </math>
|-
!class="hintergrundfarbe8"| tan(''x'')
|<math> \, \pm \frac{\sin(x)}{\sqrt{1-\sin^2(x)}} </math>
|<math> \, \pm \frac{\sqrt{1-\cos^2(x)}}{\cos(x)} </math>
| <math> \, \tan(x) </math>
| <math> \, \frac{1}{\cot(x)} </math>
|<math> \, \pm \sqrt{\sec^2(x)-1} </math>
|<math> \, \pm \frac{1}{ \sqrt{\csc^2(x)-1}} </math>
|-
!class="hintergrundfarbe8"| cot(''x'')
|<math> \, \pm \frac{\sqrt{1-\sin^2(x)}}{\sin(x)} </math>
|<math> \, \pm \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-\cos^2(x)}} </math>
| <math> \, \frac{1}{\tan(x)} </math>
| <math> \, \cot(x) </math>
|<math> \, \pm \frac{1}{\sqrt{\sec^2(x)-1}} </math>
|<math> \, \pm \sqrt{\csc^2(x)-1} </math>
|-
!class="hintergrundfarbe8"| sec(''x'')
|<math> \, \pm \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(x)}} </math>
| <math> \, \frac{1}{\cos(x)} </math>
|<math> \, \pm \sqrt{1 + \tan^2(x)} </math>
|<math> \, \pm \frac{\sqrt{\cot^2(x) + 1}}{\cot(x)} </math>
| <math> \, \sec(x) </math>
|<math> \, \pm \frac{\csc(x)}{\sqrt{\csc^2(x)-1}} </math>
|-
!class="hintergrundfarbe8"| csc(''x'')
| <math> \, \frac{1}{\sin(x)} </math>
|<math> \, \pm \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}} </math>
|<math> \, \pm \frac{\sqrt{1 + \tan^2 (x)}} {\tan(x)} </math>
|<math> \, \pm \sqrt{\cot^2(x) + 1} </math>
|<math> \, \pm \frac{\sec(x)}{\sqrt{\sec^2(x) - 1}} </math>
| <math> \, \csc(x) </math>
|}
 
Wenn das <math> \, \pm </math> verwendet wird, ist zu beachten, dass 

 
* <math> \, \sin(x) \geq\ 0 </math> für <math> \, 0^\circ \leq x \leq 180^\circ </math> oder <math> \, 0 \leq x \leq \pi </math>
* <math> \, \sin(x) \leq\ 0 </math> für <math> \, 180^\circ \leq x \leq 360^\circ </math> oder <math> \, \pi \leq x \leq 2 \pi </math>

 

* <math> \, \cos(x) \geq\ 0 </math> für<math> \, 0^\circ \leq x \leq 90^\circ, 270^\circ \leq x \leq 360^\circ </math> oder <math> \, 0 \leq x \leq \tfrac \pi2, \tfrac {3\pi}2 \leq x \leq 2\pi </math>
* <math> \, \cos(x) \leq\ 0 </math> für<math> \, 90^\circ \leq x \leq 270^\circ </math> oder <math> \, \tfrac \pi2 \leq x \leq \tfrac {3\pi}2 </math>

 

* <math> \, \tan(x) \geq\ 0 </math> für<math> \, 0^\circ \leq x < 90^\circ, 180^\circ \leq x < 270^\circ </math> oder <math> \, 0 \leq x < \tfrac \pi2, \pi \leq x < \tfrac {3\pi}2 </math>
* <math> \, \tan(x) \leq\ 0 </math> für<math> \, 90^\circ < x \leq 180^\circ, 270^\circ < x \leq 360^\circ </math> oder <math> \, \tfrac \pi2 < x \leq \pi, \tfrac {3\pi}2 < x \leq 2\pi </math>

 

* <math> \, \cot(x) \geq\ 0 </math> für<math> \, 0^\circ < x \leq 90^\circ, 180^\circ < x \leq 270^\circ </math> oder <math> \, 0 < x \leq \tfrac \pi2, \pi < x \leq \tfrac {3\pi}2 </math>
* <math> \, \cot(x) \leq\ 0 </math> für<math> \, 90^\circ \leq x < 180^\circ, 270^\circ \leq x < 360^\circ </math> oder <math> \, \tfrac \pi2 \leq x < \pi, \tfrac {3\pi}2 \leq x < 2\pi </math>

 

* <math> \, \sec(x) \geq\ 0 </math> für<math> \, 0^\circ < x < 90^\circ, 270^\circ < x < 360^\circ </math> oder <math> \, 0 < x < \tfrac \pi2, \tfrac {3\pi}2 < x < 2\pi </math>
* <math> \, \sec(x) \leq\ 0 </math> für<math> \, 90^\circ < x < 270^\circ </math> oder <math> \, \tfrac \pi2 < x < \tfrac {3\pi}2 </math>

 

* <math> \, \csc(x) \geq\ 0 </math> für<math> \, 0^\circ < x < 180^\circ </math> oder <math> \, 0 < x < \pi </math>
* <math> \, \csc(x) \leq\ 0 </math> für<math> \, 180^\circ < x < 360^\circ </math> oder <math> \, \pi < x < 2 \pi </math>

== Ungleichungen zwischen den Funktionen ==
[[Datei:Ungleichung von Aristarchos.svg|mini|hochkant=2|Grafische Veranschaulichung der Ungleichung von Aristarchos]]
In den nachfolgenden [[Ungleichung]]en, die auf den griechischen [[Astronom]]en und [[Mathematiker]] [[Aristarchos von Samos]] zurückgehen, werden Verhältnisse zwischen den Argumenten und den Funktionswerten trigonometrischer Funktionen miteinander verglichen. Sie lautet:
:<math>0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}\Rightarrow \frac{\sin(x_2)}{\sin(x_1)}<\frac{x_2}{x_1}<\frac{\tan(x_2)}{\tan(x_1)}</math>
Aus der abgebildeten Figur resultieren der Beweisansätze
:<math>\sin(x_2)<\frac{\sin(x_1)}{x_1}\cdot x_2</math>
und
:<math>\frac{\tan(x_1)}{x_1}\cdot x_2<\tan(x_2)</math>.
Dividiert man die erste dieser beiden letzten Ungleichungen durch <math>\sin(x_1)</math> und die zweite durch <math>\tan(x_1)</math>, so erhält man durch Zusammenführung der so umgeformten Ungleichungen
:<math>\frac{\sin(x_2)}{\sin(x_1)}<\frac{x_2}{x_1}<\frac{\tan(x_2)}{\tan(x_1)}</math>,
[[Quod erat demonstrandum|was zu beweisen war]].<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 146</ref><ref>[[Mathematics Magazine]], vol. 66, no. 1 (Feb. 1993), S. 65</ref>

== Anwendung ==
Unter anderem werden die trigonometrischen Funktionen im [[Geodäsie|Vermessungswesen]] genutzt.
Formeln zur Berechnung von Größen am Dreieck → [[Dreiecksgeometrie]].

Weiterhin sind sie in der [[Analysis]] und bei vielen Anwendungen der [[Physik]] und der [[Ingenieurwissenschaften|Technik]] wichtig. Es besteht eine enge Beziehung zur [[Exponentialfunktion]], die besonders bei Funktionen [[Komplexe Zahlen|komplexer Zahlen]] und in der [[Taylorreihe]] der Funktionen sichtbar wird.

== Umkehrung ==
In manchen Situationen werden die trigonometrischen Winkelfunktionen benötigt, um aus Seitenverhältnissen Winkel zu berechnen. Dazu werden die [[Arkusfunktion]]en oder inverse Winkelfunktionen [[arcsin]], [[Arkuskosinus|arccos]], [[arctan]] und [[arccot]] – die [[Umkehrfunktion]]en zu den trigonometrischen Funktionen – verwendet. Auf [[Taschenrechner]]n sind sie häufig mit sin−1 usw. bezeichnet. Das stimmt mit der Schreibweise <math>f^{-1}</math> für die Umkehrfunktion von ''f'' überein (auch wenn die Arkusfunktionen das genau genommen nicht sind), kollidiert allerdings mit der ebenso üblichen Konvention, <math>\sin^k(x)</math> für <math>(\sin(x))^k</math> zu schreiben.

Die Arkusfunktionen werden verwendet, um zu einem Seitenverhältnis den Winkel zu berechnen. Wegen der Symmetrie der trigonometrischen Funktionen ist von Fall zu Fall zu klären, in welchem [[Quadrant (Mathematik)|Quadrant]] der gesuchte Winkel liegt.

== Geschichte ==
Während die Anfänge der Trigonometrie bis in die Antike zurückverfolgt werden können, wurden die heute verwendeten trigonometrischen Funktionen im Mittelalter entwickelt. Die [[Sehne (Geometrie)|Sehnenfunktion]] wurde von [[Hipparchos (Astronom)|Hipparchos von Nicäa]] (180–125 v. Chr.) und [[Claudius Ptolemäus]] (90–165 n. Chr.) definiert. Die Funktionen Sinus und [[Sinus versus und Kosinus versus|Versinus]] (1 − Cosinus) sind durch Übersetzungen aus dem [[Sanskrit]] ins [[Arabische Sprache|Arabische]] und dann vom Arabischen ins [[Latein]]ische eng mit den Funktionen ''jyā'' und ''koti-jyā'' verwandt, die in der [[Indische Astronomie|indischen Astronomie]] der [[Gupta-Reich|Gupta-Zeit]] (''[[Aryabhata]]'', ''Surya Siddhanta'') verwendet wurden.<ref name="Boyer_1991">[[Carl Benjamin Boyer|Carl B. Boyer]] (1991). A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7, S. 210 (englisch). </ref>

Alle sechs heute gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen waren in der [[Mathematik in der Blütezeit des Islam|islamischen Mathematik]] bereits im 9. Jahrhundert bekannt, ebenso wie der [[Sinussatz]], der zum Lösen von Dreiecksproblemen verwendet wird. [[Al-Chwarizmi]] (ca. 780–850) erstellte Sinus- und Cosinustabellen. Um 860 definierte [[Habasch al-Hasib al-Marwazi]] den Tangens und den Kotangens und erstellte die entsprechenden Tabellen.<ref>{{Literatur |Autor=Jacques Sesiano |Titel=Islamic mathematics |Hrsg=Helaine Selin, Ubiratan D'Ambrosio |Sammelwerk=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |Verlag=[[Springer Science+Business Media]] |Datum=2000 |Sprache=en |ISBN=978-1-4020-0260-1 |Seiten=157}}</ref><ref name="Britannica">{{cite web |title=trigonometry |date=2023-11-17 |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/605281/trigonometry |publisher=Encyclopedia Britannica |language=en}}</ref> [[Al-Battani|Mohammed ibn Dschābir al-Battānī]] (853–929) definierte die reziproken Funktionen von Sekans und Kosekans und erstellte die erste Kosekanstabelle für jeden Grad von 1° bis 90°. Die trigonometrischen Funktionen wurden später von Mathematikern untersucht, darunter [[Omar Chayyām]] (10. Jahrhundert), [[Bhaskara II.]] (12. Jahrhundert), [[Nasīr ad-Dīn at-Tūsī]] (13. Jahrhundert), [[Dschamschid Masʿud al-Kaschi]] (14. Jahrhundert), [[Ulugh Beg]] (14. Jahrhundert), [[Regiomontanus]](1464) in seiner Schrift ''De triangulis omnimodis'' (1464), [[Georg Joachim Rheticus]] und dessen Schüler [[Valentinus Otho]].

[[Madhava (Mathematiker)|Madhava von Sangamagrāma]] (ca. 1400) machte erste Fortschritte bei der Analyse trigonometrischer Funktionen anhand unendlicher Reihen.

Die Tangensfunktion wurde 1467 von [[Giovanni Bianchini]] in trigonometrischen Tabellen nach Europa gebracht, die er zur Berechnung von Sternkoordinaten erstellte. Die Begriffe Tangens und Sekans wurden erstmals vom dänischen Mathematiker [[Thomas Fincke]] in seinem Buch ''Geometria rotundi'' (1583) eingeführt.<ref name="Fincke">{{cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fincke.html |title=Fincke biography |access-date=2017-03-15 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170107035144/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fincke.html |archive-date=2017-01-07 |language=en}}</ref>

Der französische Mathematiker [[Albert Girard]] verwendete im 17. Jahrhundert in seinem Buch ''Trigonométrie'' erstmals die Abkürzungen sin, cos und tan.<ref name=MacTutor>{{MacTutor|id=Girard_Albert}}</ref>

In einer 1682 veröffentlichten Abhandlung bewies [[Gottfried Leibniz]], dass <math>sin(x)</math> keine [[algebraische Funktion]] von <math>x</math> ist.<ref>{{Literatur |Autor=Nicolas Bourbaki |Titel=Elements of the History of Mathematics |Verlag=Springer |Datum=1994 |Sprache=en |ISBN=978-3-540-64767-6 |Online=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour |Abruf=2025-09-01 |Originaltitel=Eléments d'histoire des mathématiques |Originalsprache=fr |Originaljahr=1991 |Übersetzer=John Meldrum}}</ref> Obwohl sie als Verhältnisse der Seiten eines [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]] definiert sind und somit als [[rationale Funktion]]en erscheinen, stellte Leibniz fest, dass es sich tatsächlich um transzendente Funktionen ihrer Argumente handelt. Die Aufgabe, Kreis-Funktionen in algebraische Ausdrücke zu integrieren, wurde von [[Leonhard Euler]] in seiner ''Einführung in die Analyse des Unendlichen'' (1748) gelöst. Seine Methode bestand darin, zu zeigen, dass die Sinus- und Kosinus-Funktionen [[alternierende Reihe]]n sind, die sich aus den geraden bzw. ungeraden Gliedern der [[Exponentialfunktion]] bilden. Er stellte die „[[Euler-Formel]]“ sowie fast alle modernen Abkürzungen („sin.“, „cos.“, „tang.“, „cot.“, „sec.“ und „cosec.“) vor.<ref name="Boyer_1991"/>

== Etymologie ==
Das Wort ''Sinus'' leitet sich vom lateinischen ''sinus'' ab, was „Krümmung, Biegung, Rundung, Bogen“ bedeutet, genauer gesagt „die hängende Falte des oberen Teils einer [[Toga]]“, also „der Busen eines Kleidungsstücks“. Dies wurde als Übersetzung der Werke von [[Al-Battani|Mohammed ibn Dschābir al-Battānī]] und [[Al-Chwarizmi]] im 12. Jahrhundert ins mittelalterliche Latein als das arabische Wort ''jaib'' interpretiert, was „Tasche“ oder „Falte“ bedeutet.<ref>Verschiedene Quellen schreiben die erste Verwendung von ''Sinus'' entweder [[Plato von Tivoli]]s Übersetzung der Astronomie von Al-Battani aus dem Jahr 1116, [[Gerhard von Cremona]]s Übersetzung der Algebra von al-Khwārizmī im Jahr 1175 oder [[Robert von Chester]]s Übersetzung der Tafeln von al-Khwārizmī aus dem Jahr 1145 zu.</ref><ref>{{Literatur |Titel=A Note on the History of Trigonometric Functions |Autor=Jean-Pierre Merlet |Hrsg=Marco Ceccarelli |Sammelwerk=International Symposium on History of Machines and Mechanisms |Verlag=Springer |Datum=2004 |ISBN=978-1-4020-2203-6 |Sprache=en |DOI=10.1007/1-4020-2204-2_16}}</ref> Die Wahl basierte auf einer Fehlinterpretation der arabischen Schriftform ''jyb'' (جيب), die selbst eine Transliteration aus dem Sanskrit ''jīvā'' ist, was zusammen mit seinem Synonym ''jyā'' (dem Standard-Sanskrit-Begriff für Sinus) „Bogensehne“ bedeutet und wiederum aus dem Altgriechischen χορδή (chоrdḗ) „Sehne“ übernommen wurde.<ref>{{Literatur |Titel=Mathematics in India |Autor=[[Kim Plofker]] |Verlag=Princeton University Press |Datum=2008-12-29 |ISBN=978-0-69112067-6 |Sprache=en}}</ref>

Das Wort ''Tangente'' kommt vom lateinischen ''tangens'', was „berührend“ bedeutet, da die Linie den Kreis mit dem Einheitsradius ''berührt, während Sekante'' vom lateinischen ''secans'' – „schneidend“ – stammt, da die Linie den Kreis ''schneidet''.

Das Präfix „co-“ (in „cosinus“, „cotangens“, „cosecans“) findet sich in [[Edmund Gunter]]s ''Canon triangulorum'' (1620), der den ''cosinus'' als Abkürzung des ''Sinus coplementi'' (Sinus des Komplementärwinkels) definiert und anschließend den ''cotangens'' in ähnlicher Weise.<ref>{{Internetquelle |url=https://inria.hal.science/inria-00543938/document |titel=A reconstruction of Gunter’s Canon triangulorum (1620) |abruf=2025-09-01 |autor=Denis Roegel |datum=2010-12-06 |sprache=en |format=PDF; 898 kB}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Formelsammlung Trigonometrie]]
* [[Fourierreihe]]
* [[Hyperbelfunktion]]

== Weblinks ==
{{Commons|Trigonometric functions|Plots Trigonometrischer Funktionen}}
* {{Internetquelle|autor= |url=https://www.geogebra.org/m/nbfsr7rf |titel=Interaktive Darstellung der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis |werk=[[GeoGebra]] |abruf=2023-05-17 |abruf-verborgen=1}}
* [https://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/i.html#inverseWinkelfunktionen Inverse Winkelfunktionen]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion| ]]

Trigonometrische Funktion - Versionsgeschichte

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