imported>APPERbot: Bot: Leerer Listenpunkt entfernt, siehe :phab:T275558, Vorlage Commons an Inhalte in Commons angepasst, http nach https umgestellt

2025-07-19T03:49:49Z

Bot: Leerer Listenpunkt entfernt, siehe phab:T275558, Vorlage Commons an Inhalte in Commons angepasst, http nach https umgestellt

Neue Seite

[[Datei:Mug and Torus morph.gif|mini|Tasse und Volltorus sind zueinander homöomorph.<br /> ''Anmerkung'': Ein Homöomorphismus ist eine direkte Abbildung zwischen den Punkten der Tasse und des Volltorus, die Zwischenstufen im zeitlichen Verlauf dienen nur der Illustration der Stetigkeit dieser Abbildung.]]
Die '''Topologie''' (von {{grcS|τόπος|tópos|prefix=nein}} „Ort, Platz, Stelle“ und [[-logie]]) ist die Lehre von der Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum und damit ein fundamentales [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet der Mathematik]]. Sie beschäftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, wobei der Begriff der [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] durch die Topologie in sehr allgemeiner Form definiert wird. Die Topologie ging aus den Konzepten der [[Geometrie]] und [[Mengenlehre]] hervor.

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts entstand die Topologie als eine eigenständige Disziplin, die auf Latein ''{{lang|la|geometria situs}}'' ‚Geometrie der Lage‘ oder ''{{lang|la|analysis situs}}'' (Griechisch-Latein für ‚Analyse des Ortes‘) genannt wurde.

Seit Jahrzehnten ist die Topologie als Grundlagendisziplin anerkannt. Dementsprechend kann sie neben der [[Algebra]] als zweiter Stützpfeiler für eine große Anzahl anderer Felder der Mathematik angesehen werden. Sie ist besonders wichtig für die [[Geometrie]], die [[Analysis]], die [[Funktionalanalysis]] und die Theorie der [[Lie-Gruppe]]n. Ihrerseits hat sie auch die [[Mengenlehre]] und [[Kategorientheorie]] befruchtet.

Der grundlegende Begriff der Topologie ist der des [[Topologischer Raum|topologischen Raums]], welcher eine weitreichende Abstraktion der Vorstellung von „Nähe“ darstellt und damit weitreichende Verallgemeinerungen mathematischer Konzepte wie [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] erlaubt. Viele mathematische Strukturen lassen sich als topologische Räume auffassen. ''Topologische Eigenschaften'' einer Struktur werden solche genannt, die nur von der Struktur des zugrundeliegenden topologischen Raumes abhängen. Dies sind solche Eigenschaften, die durch „Verformungen“ oder durch [[Homöomorphismus|Homöomorphismen]] nicht verändert werden. Dazu gehört in anschaulichen Fällen das Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren und Verdrillen einer geometrischen Figur. Zum Beispiel sind eine Kugel und ein Würfel aus Sicht der Topologie nicht zu unterscheiden; sie sind homöomorph.
Ebenso sind ein [[Donut]] (dessen Form in der Mathematik als [[Torus|Volltorus]] bezeichnet wird) und eine einhenkelige [[Tasse]] homöomorph, da eine in die andere ohne Schnitt transformiert werden kann (siehe Animation). Dagegen ist die Oberfläche des Torus von der Kugelfläche topologisch verschieden: Auf der Kugel lässt sich jede geschlossene Kurve ''stetig auf einen Punkt zusammenziehen'' (die anschauliche Sprache lässt sich präzisieren), auf dem Torus nicht jede.

Die Topologie gliedert sich in Teilgebiete. Hierzu zählen die [[algebraische Topologie]], die [[geometrische Topologie]] sowie die [[Topologische Graphentheorie|topologische Graphen-]] und die [[Knotentheorie]]. Die [[mengentheoretische Topologie]] kann als Grundlage für all diese Teildisziplinen angesehen werden. In dieser werden insbesondere auch topologische Räume betrachtet, deren Eigenschaften sich besonders weit von denen geometrischer Figuren unterscheiden.

Ein wichtiger Begriff der Topologie ist die Stetigkeit. Stetige Abbildungen entsprechen in der Topologie dem, was man in anderen mathematischen Kategorien meist [[Homomorphismus|Homomorphismen]] nennt. Eine umkehrbare, in beiden Richtungen stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt ein Homöomorphismus und entspricht dem, was in anderen Kategorien meist Isomorphismus heißt: Homöomorphe Räume sind mit topologischen Mitteln nicht zu unterscheiden. Ein grundlegendes Problem dieser Disziplin ist es, zu entscheiden, ob zwei Räume homöomorph sind, oder allgemeiner, ob stetige Abbildungen mit bestimmten Eigenschaften existieren.

== Geschichte ==
Der Begriff „Topologie“ findet sich erstmals um 1840 bei [[Johann Benedict Listing]]; die ältere Bezeichnung ''{{lang|la|analysis situs}}'' (etwa ‚Lageuntersuchung‘) blieb aber lange üblich, mit einem Bedeutungsschwerpunkt jenseits der neueren, „mengentheoretischen“ Topologie. Durchgesetzt hat sich der Name Topologie im 20. Jahrhundert mit dem gleichnamigen Buch von [[Solomon Lefschetz]] (1930).<ref name="nas">Phillip Griffiths, Donald Spencer, George Whitehead, in Biographical Memoirs National Academy Sciences, Band 61, 1992, S. 275 [http://www.nasonline.org/publications/biographical-memoirs/memoir-pdfs/lefschetz-solomon.pdf pdf]</ref> Ein weiteres Buch von Lefschetz von 1942 etablierte den Begriff algebraische Topologie statt des vorher gebrauchten Begriffs „kombinatorische Topologie“.

Die Lösung des [[Königsberger Brückenproblem|Sieben-Brücken-Problems von Königsberg]] durch [[Leonhard Euler]] im Jahr 1736 gilt als die erste topologische und zugleich als die erste [[Graphentheorie|graphentheoretische]] Arbeit in der [[Geschichte der Mathematik]].<ref>{{Literatur |Hrsg=I. M. Jones |Titel=History of Topology |Verlag=Elsevier |Datum=1999 |ISBN=0-444-82375-1 |Seiten=103}}</ref><ref>{{Literatur |Hrsg=I. M. Jones |Titel=History of Topology |Verlag=Elsevier |Datum=1999 |ISBN=0-444-82375-1 |Seiten=503–504}}</ref> Ein anderer Beitrag Eulers zur sogenannten ''Analysis situs'' ist der nach ihm benannte [[Polyedersatz]] von 1750. Bezeichnet man mit <math>e</math> die Anzahl der Ecken, mit <math>k</math> die der Kanten und mit <math>f</math> die der [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] eines [[Polyeder]]s (der noch zu präzisierenden Bedingungen genügt), so gilt <math>e - k + f = 2</math>. Erst im Jahr 1860 wurde, durch eine (von [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] angefertigte) Abschrift eines verlorenen Manuskriptes von [[René Descartes]], bekannt, dass dieser die Formel bereits gekannt hatte.<ref>Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 451.</ref>

[[Maurice Fréchet]] führte 1906 den [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] ein.<ref name="LdM-T">{{Literatur |Autor=F. Lemmermeyer |Hrsg=Guido Walz |Titel=Topologie |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref> [[Georg Cantor]] befasste sich mit den Eigenschaften offener und abgeschlossener Intervalle, untersuchte Grenzprozesse, und begründete dabei zugleich die moderne Topologie und die [[Mengentheorie]].<ref name="LdM-T" /> Die Topologie ist der erste Zweig der Mathematik, der konsequent mengentheoretisch formuliert wurde – und gab dabei umgekehrt Anstöße zur Ausformung der Mengentheorie.

Eine Definition des ''topologischen Raumes'' wurde als erstes von [[Felix Hausdorff]]<ref>Felix Hausdorff: ''[[Grundzüge der Mengenlehre]]'', 1914, S. 213.</ref> im Jahre 1914 aufgestellt. Nach heutigem Sprachgebrauch definierte er dort eine offene [[Umgebungsbasis]], nicht jedoch eine Topologie, welche erst durch [[Kazimierz Kuratowski]]<ref>''Fund. Math.'', '''3''', 1922.</ref> beziehungsweise [[Heinrich Tietze]]<ref>Math. Ann. 88, 1923.</ref> um 1922 eingeführt wurde. In dieser Form wurden die Axiome dann durch die Lehrbücher von [[Kazimierz Kuratowski|Kuratowski]] (1933), [[Paul Alexandroff|Alexandroff]]/[[Heinz Hopf|Hopf]] (1935), [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] (1940) und [[John Leroy Kelley|Kelley]] (1955) popularisiert.<ref>Epple et al., Hausdorff GW II, 2002.</ref> Es stellte sich heraus, dass sich viele mathematische Erkenntnisse auf diese Begriffsbasis übertragen ließen. Es wurde beispielsweise erkannt, dass zu einer festen Grundmenge unterschiedliche Metriken existieren, die zur gleichen topologischen Struktur auf dieser Menge führten, aber auch, dass verschiedene Topologien auf der gleichen Grundmenge möglich sind. Die mengentheoretische Topologie entwickelte sich auf dieser Grundlage zu einem eigenständigen Forschungsgebiet, das sich in gewisser Weise aus der [[Geometrie]] ausgegliedert hat – beziehungsweise der [[Analysis]] näher steht als der eigentlichen Geometrie.<ref name="5T515">Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 515.</ref>

Ein Ziel der Topologie ist die Entwicklung von [[Invariante (Mathematik)|Invarianten]] von topologischen Räumen. Mit diesen Invarianten können topologische Räume unterschieden werden. Beispielsweise ist das [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] einer [[Kompakter Raum|kompakten]], [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängenden]] [[Orientierung (Mathematik)|orientierbaren]] [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] eine solche Invariante. Die [[Topologische Sphäre|Sphäre]] mit Geschlecht null und der [[Torus]] mit Geschlecht eins sind unterschiedliche topologische Räume. Die algebraische Topologie entstand aus Überlegungen von [[Henri Poincaré]] zur [[Fundamentalgruppe]], die ebenfalls eine Invariante in der Topologie ist. Im Laufe der Zeit wurden [[topologische Invariante]]n wie die von Henri Poincaré untersuchten [[Bettizahl]]en durch algebraische Objekte wie [[Homologiegruppe|Homologie-]] und [[Kohomologiegruppe]]n ersetzt.<ref name="LdM-T" />

== Grundbegriffe ==
=== Topologischer Raum ===
{{Hauptartikel|Topologischer Raum}}
Die Topologie (als Teilgebiet der [[Mathematik]]) befasst sich mit Eigenschaften ''[[Topologischer Raum|topologischer Räume]]''. Wird eine beliebige [[Grundmenge]] mit einer Topologie (einer topologischen Struktur) versehen, dann ist sie ein topologischer Raum, und ihre Elemente werden als ''Punkte'' aufgefasst. Die Topologie des Raumes bestimmt sich dann dadurch, dass bestimmte [[Teilmenge]]n als ''offen'' ausgezeichnet werden. Die identische topologische Struktur lässt sich über deren [[Komplement (Mengenlehre)|Komplemente]] spezifizieren, die dann aber die ''abgeschlossenen'' Teilmengen darstellen. Üblicherweise werden topologische Räume in den Lehrbüchern über die offenen Mengen definiert; genauer: die Menge <math>\mathcal{O}</math> der offenen Mengen wird als ''die'' Topologie des topologischen Raumes <math>(X,\mathcal{O})</math> bezeichnet.

Ausgehend von offenen beziehungsweise abgeschlossenen Mengen lassen sich zahlreiche topologische Begriffe definieren, etwa die der [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]], der [[Stetige Funktion|Stetigkeit]], des Berührpunktes und der [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]].

==== Offene Mengen ====
{{Hauptartikel|Offene Menge}}

Topologie (über ''offene'' Mengen): Ein ''topologischer Raum'' ist eine Menge von Punkten <math>X</math> versehen mit einer Menge <math>\mathcal{O} \subset \mathcal{P}\left(X\right)</math> von Teilmengen (den offenen Mengen), die folgenden Bedingungen genügt:
{|
|style="vertical-align:top;width:29em"|
* <math>X \in \mathcal{O}</math> und <math>\emptyset \in \mathcal{O}</math>.
|-
|style="vertical-align:top;"|
* Für ''beliebige'' Indexmengen <math>I</math> mit <math>O_i \in \mathcal{O}</math> für alle <math>i \in I</math> gilt
| <math>\textstyle\bigcup_{i \in I} O_i \in \mathcal{O}</math>. || || [[Vereinigungsmenge|(Vereinigung)]]

|-
|style="vertical-align:top;"|
* Für ''endliche'' Indexmengen <math>I</math> mit <math>O_i \in \mathcal{O}</math> für alle <math>i \in I</math> gilt
| <math>\textstyle\bigcap_{i \in I} O_i \in \mathcal{O}</math>. || || [[Schnittmenge|(Durchschnitt)]]
|}
Man nennt das Paar <math>(X, \mathcal{O})</math> einen topologischen Raum und <math>\mathcal{O}</math> die Topologie dieses topologischen Raumes.

Der wichtigste Begriff, der durch offene Mengen definiert wird, ist der der Umgebung: Eine Menge ist ''Umgebung'' eines Punktes, wenn sie eine offene Menge umfasst, die den Punkt enthält. Ein anderer wichtiger Begriff ist der der ''Stetigkeit'': eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]]
: <math>f\colon X \to Y</math>
der topologischen Räume <math>(X, T_X)</math> und <math>(Y, T_Y)</math> ist genau dann stetig, wenn die Urbilder <math>f^{-1}(O_Y)</math> offener Mengen <math>O_Y \in T_Y</math> offen sind in <math>(X, T_X)</math>, also <math>f^{-1}(O_Y)\in T_X</math> gilt.

==== Abgeschlossene Mengen ====
Ausgehend von den offenen Mengen lassen sich die ''abgeschlossenen Mengen'' als diejenigen Teilmengen des Raumes definieren, deren [[Komplement (Mengenlehre)|Komplemente]] offen sind, das heißt für jede offene Menge <math>O</math> bilden die Punkte <math>A := X\!\setminus\! O</math>, die ''nicht'' in ihr enthalten sind, eine abgeschlossene Menge.

Somit ergibt sich unmittelbar die<br />

Topologie (über ''abgeschlossene'' Mengen): Ein ''topologischer Raum'' ist eine Menge von Punkten <math>X</math> versehen mit einer Menge <math>\mathcal{A} \subset \mathcal{P}\left(X\right)</math> von Teilmengen von <math>X</math> (den abgeschlossenen Mengen; <math>\mathcal{P}\left(X\right)</math> ist die [[Potenzmenge]] von <math>X</math>), die folgenden Bedingungen genügt:
{|
|style="vertical-align:top;width:29em"|
* <math>X \in \mathcal{A}</math> und <math>\emptyset \in \mathcal{A}</math>.
|-
|style="vertical-align:top;"|
* Für ''beliebige'' Indexmengen <math>I</math> mit <math>A_i \in \mathcal{A}</math> für alle <math>i \in I</math> gilt
| <math>\textstyle\bigcap_{i \in I} A_i \in \mathcal{A}</math>. || || (Durchschnitt)
|-
|style="vertical-align:top;"|
* Für ''endliche'' Indexmengen <math>I</math> mit <math>A_i \in \mathcal{A}</math> für alle <math>i \in I</math> gilt
| <math>\textstyle\bigcup_{i \in I} A_i \in \mathcal{A}</math>. || || (Vereinigung)
|}

Die Äquivalenz zur vorherigen Definition über offene Mengen folgt unmittelbar aus den [[De Morgansche Gesetze|De Morgan’schen Gesetzen]]: aus <math>\textstyle\bigcap</math> wird <math>\textstyle\bigcup</math> und umgekehrt.<ref>Ist <math>(X,\mathcal{O})</math> ein topologischer Raum, dann ist die Menge der abgeschlossenen Mengen
: <math>\mathcal{A} := \{A\in\mathcal{P}(X) \; \mid \; X\!\setminus\! A \in \mathcal{O}\}</math>.</ref>

[[Abgeschlossene Menge]]n lassen sich als Mengen von Punkten vorstellen, die ihren Rand enthalten, oder anders ausgedrückt: Wann immer es Punkte der abgeschlossenen Menge gibt, die beliebig nah an einen anderen Punkt heranreichen (einen ''[[Rand (Topologie)|Berührpunkt]]''), ist auch dieser Punkt in der abgeschlossenen Menge enthalten. Man überlegt sich, welche grundlegenden Eigenschaften im Begriff der abgeschlossenen Menge enthalten sein sollten und nennt dann, von spezifischen Definitionen der Abgeschlossenheit, etwa aus der [[Analysis]], abstrahierend, jede mit (diesen Bedingungen genügenden) abgeschlossenen Teilmengen versehene Menge einen topologischen Raum. Zunächst einmal sollte die leere Menge abgeschlossen sein, denn sie enthält keinerlei Punkte, die andere ''berühren'' könnten. Ebenso sollte die Menge aller Punkte abgeschlossen sein, denn sie enthält bereits alle möglichen Berührpunkte. Ist eine beliebige Menge von abgeschlossenen Mengen gegeben, so soll der Schnitt, das heißt die Menge der Punkte, die in allen diesen Mengen enthalten sind, ebenfalls abgeschlossen sein, denn hätte der Schnitt Berührpunkte, die außerhalb seiner liegen, so müsste bereits eine der zu schneidenden Mengen diesen Berührpunkt nicht enthalten, und könnte nicht abgeschlossen sein. Zudem soll die Vereinigung zweier (oder endlich vieler) abgeschlossener Mengen wiederum abgeschlossen sein; bei der Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen kommen also keine Berührpunkte hinzu. Von der Vereinigung unendlich vieler abgeschlossener Mengen dagegen fordert man keine Abgeschlossenheit, denn diese könnten sich einem weiteren Punkte „immer weiter nähern“ und somit berühren.

=== Weitere Definitionen ===
{{Hauptartikel|Axiomensysteme der Allgemeinen Topologie}}

=== Homöomorphismus ===
{{Hauptartikel|Homöomorphismus}}
Ein ''Homöomorphismus'' ist eine [[Bijektion|bijektive Abbildung]] zwischen zwei topologischen Räumen, sodass durch punktweise Überführung der offenen Mengen auch eine Bijektion zwischen den Topologien der beiden Räume zustande kommt, dabei muss jede offene Menge auf eine offene Menge abgebildet werden. Zwei topologische Räume, zwischen denen es einen Homöomorphismus gibt, werden als ''homöomorph'' bezeichnet. Homöomorphe Räume unterscheiden sich nicht bezüglich topologischer Eigenschaften im engeren Sinne. Die Homöomorphismen können als die [[Isomorphismus|Isomorphismen]] in der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der topologischen Räume aufgefasst werden.

=== Nicht auf topologische Räume bezogene Begriffe ===
Topologische Räume können mit Zusatzstrukturen ausgestattet werden, beispielsweise untersucht man [[Uniformer Raum|uniforme Räume]], [[Metrischer Raum|metrische Räume]], [[Topologische Gruppe|topologische Gruppen]] oder [[Topologische Algebra|topologische Algebren]]. Eigenschaften, die auf solche Zusatzstrukturen zurückgreifen, sind nicht mehr unbedingt unter Homöomorphismen erhalten, jedoch auch teils Untersuchungsgegenstand verschiedener Teilgebiete der Topologie.

Es existieren auch Verallgemeinerungen des Konzepts des topologischen Raums: In der [[Punktfreie Topologie|punktfreien Topologie]] betrachtet man an Stelle einer Menge von Punkten mit als offen ausgezeichneten Mengen nur noch die Struktur der offenen Mengen als [[Verband (Mathematik)|Verband]]. [[Konvergenzstruktur]]en definieren, gegen welche Werte jeder [[Filter (Mathematik)|Filter]] auf einer zugrundeliegenden Menge von Punkten konvergiert. Unter dem Schlagwort ''[[Convenient Topology]]'' wird versucht, Klassen von den topologischen oder uniformen Räumen ähnlichen Räumen zu finden, die aber „angenehmere“ [[Kategorientheorie|kategorientheoretische]] Eigenschaften aufweisen.

== Teilgebiete der Topologie ==

Die moderne Topologie wird grob in die drei Teilgebiete mengentheoretische Topologie, algebraische Topologie und geometrische Topologie unterteilt. Außerdem gibt es noch die [[Differentialtopologie]]. Dies ist die Grundlage der modernen [[Differentialgeometrie]] und wird trotz der umfangreich verwendeten topologischen Methoden meist als Teilgebiet der Differentialgeometrie betrachtet.

=== Mengentheoretische oder Allgemeine Topologie ===

Die mengentheoretische Topologie umfasst, wie auch die anderen Teilgebiete der Topologie, das Studium topologischer Räume und der stetigen Abbildungen zwischen ihnen. Insbesondere die für die [[Analysis]] fundamentalen Konzepte der [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] und der [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] werden erst in der Terminologie der mengentheoretischen Topologie vollständig transparent. Aber auch in vielen anderen mathematischen Teilgebieten werden die Konzepte der mengentheoretischen Topologie eingesetzt. Außerdem gibt es viele Begriffsbildungen und [[Satz (Mathematik)|mathematische Aussagen]] der mengentheoretischen Topologie, die für die spezielleren Teilgebiete der Topologie gültig und wichtig sind. Beispiele:
{{Hauptartikel| Gröbere und feinere Topologien}}
{{Hauptartikel|Diskrete Topologie}}
{{Hauptartikel|Teilraumtopologie}}
{{Hauptartikel|Quotiententopologie}}
{{Hauptartikel|Produkttopologie}}

Beispielsweise ist die [[Kompakter Raum|Kompaktheit eines Raums]] eine Abstraktion des [[Satz von Heine-Borel|Heine–Borel-Prinzips]]. In der allgemeinen Terminologie der mengentheoretischen Topologie gilt, dass das Produkt zweier kompakter Räume wieder kompakt ist, was die Aussage verallgemeinert, dass ein [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossener]] endlichdimensionaler Würfel kompakt ist. Außerdem gilt, dass eine stetige Funktion von einer kompakten Menge in die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] beschränkt ist und ihr Maximum und Minimum annimmt. Dies ist eine Verallgemeinerung des [[Satz vom Minimum und Maximum|Satzes vom Minimum und Maximum]].<ref>{{EoM|Autor= |Titel=General topology |Url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=General_topology&oldid=13700 }}</ref>

Im Allgemeinen können topologische Räume viele etwa von der Topologie der reellen Zahlen vertraute Eigenschaften verletzen, die jedoch in üblichen Räumen häufig anzutreffen sind. Daher betrachtet man oftmals topologische Räume, die gewissen ''[[Trennungseigenschaft]]en'' genügen, welche minimale Anforderungen für viele weitergehende Sätze darstellen und tiefergehende Charakterisierungen der Struktur der Räume ermöglichen. Die Kompaktheit ist ein anderes Beispiel für solche „vorteilhaften“ Eigenschaften. Zudem betrachtet man auch Räume, auf denen gewisse zusätzliche Strukturen definiert sind, etwa [[Uniformer Raum|uniforme Räume]] oder gar [[topologische Gruppe]]n und [[Metrischer Raum|metrische Räume]], welche durch ihre Struktur zusätzliche Begrifflichkeiten wie die der [[Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] ermöglichen.

Ein anderer zentraler Begriff dieses Teilgebiets sind unterschiedliche Konzepte von [[Zusammenhängender Raum|Zusammenhang]].

=== Algebraische Topologie ===
{{Hauptartikel|Algebraische Topologie}}

Die algebraische Topologie (auch „kombinatorische Topologie“, vor allem in älteren Publikationen) untersucht Fragestellungen zu topologischen Räumen, indem die Probleme auf Fragestellungen in der [[Algebra]] zurückgeführt werden. Innerhalb der Algebra sind diese Fragen oftmals leichter zu beantworten. Ein zentrales Problem innerhalb der Topologie ist beispielsweise die Untersuchung topologischer Räume auf [[Invariante (Mathematik)|Invarianten]]. Mittels der Theorie über [[Homologie (Mathematik)|Homologien]] und [[Kohomologie]]n sucht man in der algebraischen Topologie nach solchen Invarianten.

=== Geometrische Topologie ===
{{Hauptartikel|Geometrische Topologie}}

Die geometrische Topologie befasst sich mit zwei-, drei- und vierdimensionalen [[Mannigfaltigkeit]]en. Der Begriff zweidimensionale Mannigfaltigkeit bedeutet das gleiche wie [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] und drei- und vierdimensionale Mannigfaltigkeiten sind entsprechende Verallgemeinerungen. Im Bereich der geometrischen Topologie interessiert man sich dafür, wie sich Mannigfaltigkeiten unter stetigen Transformationen verhalten. Typische geometrische Größen wie Winkel, Länge und [[Krümmung]] variieren unter stetigen Abbildungen. Eine geometrische Quantität, die nicht variiert und für die man sich daher interessiert, ist die [[Geschlecht (Fläche)|Anzahl der Löcher]] einer Fläche.<ref>{{Literatur |Autor=John. Stillwell |Titel=Mathematics and its history |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2010 |ISBN=978-1-4419-6052-8 |Seiten=468}}</ref>
Da man sich fast nur mit Mannigfaltigkeiten der Dimension kleiner als fünf beschäftigt, nennt man dieses Teilgebiet der Topologie auch niedrigdimensionale Topologie. Außerdem gehört die [[Knotentheorie]] als Teilaspekt der Theorie dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten zur geometrischen Topologie.<ref>{{Literatur |Autor=D. Erle |Hrsg=Guido Walz |Titel=Knotentheorie |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

== Anwendungen ==
Da das Gebiet der Topologie sehr weit gefächert ist, findet man Aspekte von ihr in fast jedem Teilgebiet der Mathematik. Das Studium der jeweiligen Topologie bildet daher oft einen integralen Bestandteil einer tieferen Theorie. Topologische Methoden und Konzepte sind somit aus weiten Teilen der Mathematik nicht mehr wegzudenken. Es seien hier nun einige Beispiele angegeben:

'''Differentialgeometrie'''

''Mannigfaltigkeiten''

In der [[Differentialgeometrie]] spielt das Studium von [[Mannigfaltigkeit]]en eine zentrale Rolle. Bei diesen handelt es sich um spezielle [[Topologischer Raum|topologische Räume]], d. h. Mengen, die eine gewisse topologische Struktur aufweisen. Oft werden sie auch topologische Mannigfaltigkeiten genannt. Grundlegende Eigenschaften werden dann mithilfe topologischer Mittel bewiesen, bevor sie mit weiteren Strukturen versehen werden und dann eigenständige (und nicht äquivalente) Unterklassen bilden (z. B. [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en, PL-Mannigfaltigkeiten etc.).

''Beispielhaftes verwendetes Ergebnis der geometrischen Topologie: Klassifikation von Flächen''

Geschlossene Flächen sind spezielle Arten von 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Mithilfe der algebraischen Topologie lässt sich zeigen, dass jede Fläche aus endlich vielen eingebetteten [[Polytop (Geometrie)|2-Polytopen]] besteht, die miteinander entlang ihrer Kanten verklebt sind. Dies erlaubt insbesondere eine [[Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten|Klassifizierung aller geschlossener Flächen]] in 3 Klassen, weswegen man stets annehmen kann, dass die geschlossene Fläche in einer „Normalform“ vorliegt.

'''Funktionalanalysis'''
Die [[Funktionalanalysis]] entstand aus dem Studium von [[Funktionenraum|Funktionenräumen]], welche zunächst Abstraktionen als [[Banachraum|Banach-]] und [[Hilbertraum|Hilberträume]] erfuhren. Heute befasst sich die Funktionalanalysis auch allgemeiner mit unendlichdimensionalen [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]]. Dies sind Vektorräume versehen mit einer Topologie, sodass die grundlegenden algebraischen Operationen des Vektorraums stetig („kompatibel“ mit der Topologie) sind. Viele in der Funktionalanalysis untersuchte Konzepte lassen sich allein auf die Struktur topologischer Vektorräume zurückführen, als welche sich insbesondere Hilbert- und Banachräume auffassen lassen, sodass sie als zentraler Untersuchungsgegenstand der Funktionalanalysis angesehen werden können.

'''Deskriptive Mengenlehre'''
Die [[deskriptive Mengenlehre]] befasst sich mit gewissen „konstruierbaren“ sowie „wohlgeformten“ Teilmengen [[Polnischer Raum|polnischer Räume]]. Polnische Räume sind spezielle topologische Räume (ohne weitere Struktur), und viele untersuchte zentrale Konzepte sind rein topologischer Natur. Diese topologischen Begriffe stehen in Zusammenhang mit Konzepten der „[[Definierbarkeit]]“ und „[[Berechenbarkeit]]“ aus der [[Mathematische Logik|mathematischen Logik]], über welche sich so mit topologischen Methoden Aussagen machen lassen.

'''Harmonische Analysis'''
Zentraler Untersuchungsgegenstand der [[Harmonische Analysis|harmonischen Analysis]] sind [[lokalkompakte Gruppe]]n, das sind [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] versehen mit einer kompatiblen [[lokalkompakt]]en topologischen Struktur. Diese stellen eine Verallgemeinerung der [[Lie-Gruppe]]n und somit von Vorstellungen „kontinuierlicher Symmetrien“ dar.

=== Anwendung in der Volkswirtschaftslehre ===

Topologische Konzepte finden in der Volkswirtschaftslehre vor allem im Bereich der [[Wohlfahrtsökonomik]] Anwendung.<ref>Berthold U. Wigger: ''Grundzüge der Finanzwissenschaft'', S. 18.</ref> Ebenfalls findet die Topologie bei [[Allgemeines Gleichgewichtsmodell|allgemeinen Gleichgewichtsmodellen]] Anwendung.

== Literatur ==

=== Zur Geschichte ===
* {{Literatur
|Hrsg=[[I. M. James]]
|Titel=History of Topology
|Verlag=Elsevier
|Datum=1999
|ISBN=0-444-82375-1}}
* {{Literatur
|Hrsg=C. E. Aull, R. Lowen
|Titel=Handbook of the History of Topology
|Verlag=Springer Netherlands
|Datum=2001
|ISBN=90-481-5704-8}}

=== Lehrbücher ===
* {{Literatur
|Autor=[[Nicolas Bourbaki]]
|Titel=Topologie générale
|Verlag=Hermann
|Ort=Paris
|Datum=1974
|ISBN=2-7056-5692-8
|JahrEA=1961}}
* {{Literatur
|Autor=[[Boto von Querenburg]]
|Titel=Mengentheoretische Topologie
|Auflage=3.
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin
|Datum=2001
|ISBN=3-540-67790-9}}
* {{Literatur
|Autor=Stephen Willard
|Titel=General Topology
|Verlag=Addison-Wesley
|Ort=Reading MA
|Datum=1970}}
* {{Literatur
|Autor=T. Camps, S. Kühling, G. Rosenberger
|Titel=Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie
|Verlag=Heldermann
|Ort=Lemgo
|Datum=2006
|ISBN=3-88538-115-X
|Online=https://www.heldermann.de/BSM/BSM15/bsm15.htm}}
* {{Literatur
|Autor=H. Herrlich, H. Bargenda
|Titel=Topologie
|TitelErg=Bd 1. Topologische Räume
|Verlag=Heldermann
|Ort=Lemgo
|Datum=1986
|ISBN=3-88538-102-8
|Online=https://www.heldermann.de/BSM/bsm02.htm}}
* {{Literatur
|Autor=Kazimierz Kuratowski
|Titel=Topologie
|Band=Bd 1
|Ort=Warschau
|Datum=1933
|Online=http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=3&wyd=10}}
* {{Literatur
|Autor=H. Schubert
|Titel=Topologie
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1964
|ISBN=3-519-12200-6}}
* {{Literatur
|Autor=[[Klaus Jänich]]
|Titel=Topologie
|Auflage=8.
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=2005
|ISBN=3-540-21393-7}}
* {{Literatur
|Autor=Gerhard Preuß
|Titel=Allgemeine Topologie
|Auflage=2.
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=1975
|ISBN=3-540-07427-9}}
* {{Literatur
|Autor=René Bartsch
|Titel=Allgemeine Topologie
|Band=1
|Auflage=1.
|Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag
|Ort=München
|Datum=2007
|ISBN=978-3-486-58158-4}}
* {{Literatur
|Autor=Jean-Pierre Petit
|Titel=[[Die Abenteuer des Anselm Wüßtegern]], Das Topologikon
|Auflage=1.
|Verlag=Vieweg Verlagsgesellschaft
|Ort=München
|Datum=1995
|ISBN=3-528-06675-X}}
* {{Literatur
|Autor=[[Bernhard Schiekel]]
|Titel=Festkörperphysik und Topologie - eine Einführung
|Ort=Ulm
|Datum=2023
|DOI=10.18725/OPARU-49527}}

== Weblinks ==
{{Commons|Topology|Topologie (Mathematik)|audio=0|video=0}}
{{Wikibooks|Mathematik: Topologie}}
* [http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/gebiete/topologie/topologie.html Artikel zur Topologie] auf mathematik.de
* {{Webarchiv |url=http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/54-XX.html |text=''General Topology'' |wayback=20150412183456}} In: ''The Mathematical Atlas.''
* [http://at.yorku.ca/topology/ ''Topology Atlas'']
* [https://www.youtube.com/watch?v=e_LBwrQXzf8 Erklärung bei arte.tv]
* {{MacTutor|id=Topology_in_mathematics|title=A history of Topology|page=ht}}
* Sidney A. Morris: [https://www.topologywithouttears.net/ ''Topology without tears''.] (PDF) Buch zur Topologie (englisch)
* [http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Deutch/das_topologikon.htm Comic zur Topologie.] (PDF; deutsch)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Topologie}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4060425-1}}

[[Kategorie:Topologie| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Topologie (Mathematik) - Versionsgeschichte

imported>APPERbot: Bot: Leerer Listenpunkt entfernt, siehe :phab:T275558, Vorlage Commons an Inhalte in Commons angepasst, http nach https umgestellt