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2025-09-21T00:23:24Z

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[[Datei:Set subsetAofB.svg|mini|150px|[[Mengendiagramm]]: ''A'' ist eine (echte) Teilmenge von ''B''.]]
Die [[Mathematik|mathematischen]] Begriffe '''Teilmenge''' und '''Obermenge''' beschreiben eine Beziehung zwischen zwei [[Menge (Mathematik)|Mengen]]. Ein anderes Wort für Teilmenge ist '''Untermenge'''.

Für die mathematische Abbildung der Einbettung einer Teilmenge in ihre [[Grundmenge]], die [[mathematische Funktion]] der ''Teilmengenbeziehung'', wird die [[Inklusionsabbildung]] verwendet.
<math>A</math> ist eine Teilmenge von <math>B</math> und <math>B</math> ist eine Obermenge von <math>A</math>, wenn jedes [[Element (Mathematik)|Element]] von <math>A</math> auch in <math>B</math> enthalten ist. Wenn <math>B</math> zudem weitere Elemente enthält, die nicht in <math>A</math> enthalten sind, so ist <math>A</math> eine '''echte Teilmenge''' von <math>B</math> und <math>B</math> ist eine '''echte Obermenge''' von <math>A</math>.
Die Menge ''aller'' Teilmengen einer gegebenen Menge <math>A</math> heißt die [[Potenzmenge]] von <math>A</math>.

Den Begriff ''Teilmenge'' prägte [[Georg Cantor]] – der „Erfinder“ der [[Mengenlehre]] – ab 1884; das Symbol der Teilmengenrelation wurde von [[Ernst Schröder (Mathematiker)|Ernst Schröder]] 1890 in seiner „[[Algebra]] der [[Logik]]“ eingeführt.<ref name="deiser">Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre''. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, S. 33 ({{Google Buch |BuchID=94jSPGG1UHkC |Seite=33 |Linktext=Auszug (Google) |KeinText=ja}}).</ref>

== Definition ==
Wenn <math>A</math> und <math>B</math> Mengen sind und jedes Element von <math>A</math> auch ein Element von <math>B</math> ist, nennt man <math>A</math> eine Teilmenge oder Untermenge von <math>B</math>:<ref>Adolf Fraenkel: ''Einleitung in die Mengenlehre: Eine Elementare Einführung in das Reich des Unendlichgrossen.'' 2. Auflage. Springer, 2013, ISBN 9783662259009, [https://books.google.de/books?id=mJXLBgAAQBAJ&pg=PA15 S. 15.]</ref>
: <math>A \subseteq B :\Longleftrightarrow \forall x \in A\colon x \in B</math>
Umgekehrt nennt man <math>B</math> die Obermenge von <math>A</math> genau dann, wenn <math>A</math> Teilmenge von <math>B</math> ist:
: <math>B \supseteq A :\Longleftrightarrow A \subseteq B</math>

Weiterhin gibt es den Begriff der echten Teilmenge. <math>A</math> ist eine echte Teilmenge von <math>B</math> genau dann, wenn <math>A</math> eine Teilmenge von <math>B</math> und <math>A</math> nicht identisch mit <math>B</math> ist.
: <math>A \subsetneq B :\Longleftrightarrow A \subseteq B \land A \neq B</math>
Wieder schreibt man auch <math>B \supsetneq A</math>, wenn <math>A \subsetneq B</math>.

== Weitere Notationen ==
{{Zeichen|⊂⊊⊆<br />⊇⊋⊃|kleiner=ja}}
Einige Autoren benutzen auch die Zeichen <math>\subset</math> und <math>\supset</math> für Teilmenge und Obermenge anstatt <math>\subseteq</math> und <math>\supseteq</math>.<ref>[https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Set_theory&oldid=24823 ''Set theory''.] In: ''Encyclopedia of Mathematics''.</ref><ref>Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller: ''Vieweg Mathematik Lexikon''. Vieweg, 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 190.</ref> Meistens definiert der Autor dann den Begriff „echte Teilmenge“ nicht.

Andere Autoren bevorzugen die Zeichen <math>\subset</math> und <math>\supset</math> für ''echte'' Teilmenge und Obermenge also statt <math>\subsetneq</math> und <math>\supsetneq</math>.<ref name = "deiser" /> Dieser Gebrauch erinnert passenderweise an die Zeichen für [[Ungleichung|Ungleichheit]] <math>\leq</math> und <math>< </math>. Da diese Notation meistens benutzt wird, wenn der Unterschied zwischen echter und nicht echter Teilmenge wichtig ist, werden die Zeichen <math>\subsetneq</math> und <math>\supsetneq</math> eher selten benutzt.

Varianten des Zeichens <math>\subsetneq</math> sind außerdem <math>\varsubsetneq</math>, <math>\subsetneqq</math> und <math>\varsubsetneqq</math>. Falls <math>A</math> keine Teilmenge von <math>B</math> ist, kann auch <math>A\nsubseteq B :\Longleftrightarrow \lnot \left(A\subseteq B\right)</math> benutzt werden. Entsprechende Schreibweisen sind <math>\varsupsetneq</math> für <math>\supsetneq</math>, <math>\supsetneqq</math> und <math>\varsupsetneqq</math> für <math>\supsetneq</math>, sowie <math>A\nsupseteq B</math> (keine Obermenge).

Die entsprechenden [[Unicode]]-Symbole sind: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇, ⊄, ⊅, ⊈, ⊉, ⊊, ⊋ (siehe: [[Unicode-Block Mathematische Operatoren]]).

== Sprechweisen ==
Statt „<math>A</math> ist eine Teilmenge von <math>B</math>“ wird auch „Die Menge <math>A</math> ist in der Menge <math>B</math> enthalten“ oder „Die Menge <math>A</math> wird von <math>B</math> umfasst“ gesagt. Genauso wird statt „<math>B</math> ist eine Obermenge von <math>A</math>“ auch „Die Menge <math>B</math> enthält die Menge <math>A</math>“ oder „Die Menge <math>B</math> umfasst die Menge <math>A</math>“ gesagt. Wenn es nicht zu Missverständnissen kommen kann, wird auch „<math>B</math> enthält <math>A</math>“ usw. gesagt. Missverständnisse können insbesondere mit „Die Menge <math>B</math> enthält das [[Element (Mathematik)|Element]] <math>A</math>“ entstehen.

== Beispiele ==
[[Datei:PolygonsSet DE.svg|mini|300px|Die regulären Polygone bilden eine Teilmenge der Menge aller Polygone.]]
* {1, 2} ist eine ''(echte)'' Teilmenge von {1, 2, 3}.
* {1, 2, 3} ist eine ''(unechte)'' Teilmenge von {1, 2, 3}.
* {1, 2, 3, 4} ist keine Teilmenge von {1, 2, 3}.
* {1, 2, 3} ist keine Teilmenge von {2, 3, 4}.
* {} ist eine ''(echte)'' Teilmenge von {1, 2}.
* {1, 2, 3} ist eine ''(echte)'' Obermenge von {1, 2}.
* {1, 2} ist eine ''(unechte)'' Obermenge von {1, 2}.
* {1} ist keine Obermenge von {1, 2}.
* Die Menge der [[Primzahl]]en ist eine echte Teilmenge der Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]].
* Die Menge der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] ist eine echte Teilmenge der Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]].

Weitere Beispiele als Mengendiagramme:

<gallery widths="270">
File:Example of A is a proper subset of B.svg|A ist eine echte Teilmenge von B
File:Example of C is no proper subset of B.svg|C ist zwar eine Teilmenge von B, aber keine echte Teilmenge von B
</gallery>

== Eigenschaften ==

* Die [[leere Menge]] ist Teilmenge jeder Menge:
*: <math> \varnothing \subseteq A </math>
* Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst:
*: <math> A \subseteq A </math>
* Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]]:
*: <math> A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B </math>
* Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe des [[Schnittmenge|Durchschnitts]]:
*: <math> A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = A </math>
* Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der [[Differenzmenge]]:
*: <math> A \subseteq B \Leftrightarrow A \setminus B = \varnothing </math>
* Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der [[Indikatorfunktion|charakteristischen Funktion]]:
*: <math> A \subseteq B \Leftrightarrow \chi_A \le \chi_B </math>
* Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn jede eine Teilmenge der anderen ist:
*: <math> A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \land B \subseteq A </math>
*: Diese Regel wird oft beim Nachweis der Gleichheit zweier Mengen verwendet, indem man die gegenseitige Inklusion (in zwei Arbeitsschritten) zeigt.
* Beim Übergang zum [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] dreht sich die Richtung der Inklusion um:
*: <math> A \subseteq B \Rightarrow A^{\rm c} \supseteq B^{\rm c} </math>
* Bei der Bildung der Schnittmenge erhält man stets eine Teilmenge:
*: <math> A \cap B \subseteq A </math>
* Bei der Bildung der Vereinigungsmenge erhält man stets eine Obermenge:
*: <math> A \cup B \supseteq A </math>

== Inklusion als Ordnungsrelation ==
[[Datei:Subset with expansion.svg|mini|Wenn A ⊆ B und B ⊆ C ist, dann ist auch A ⊆ C]]
Die Inklusion als Beziehung zwischen Mengen erfüllt die drei Eigenschaften einer [[Partielle Ordnung|partiellen Ordnungsrelation]], sie ist nämlich [[Reflexive Relation|reflexiv]], [[Antisymmetrische Relation|antisymmetrisch]] und [[Transitive Relation|transitiv]]:

: <math> A \subseteq A </math>
: <math> A \subseteq B \subseteq A \Rightarrow A = B </math>
: <math> A \subseteq B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C </math>

(Dabei ist <math>A\subseteq B\subseteq C</math> eine Kurzschreibweise für <math>A\subseteq B</math> und <math>B\subseteq C</math>.)

Ist also <math>M</math> eine Menge von Mengen (ein [[Mengensystem]]), dann ist <math> (M, \subseteq) </math> eine [[Halbordnung]]. Insbesondere gilt dies für die [[Potenzmenge]] <math> \mathcal P(X) </math> einer gegebenen Menge <math>X</math>.

== Inklusionsketten ==

Ist <math>M</math> ein [[Mengensystem]], so dass von je zwei der in <math>M</math> vorkommenden Mengen die eine die andere umfasst oder von der anderen umfasst wird, so nennt man ein solches Mengensystem eine '''Inklusionskette'''. Ein Beispiel hierfür liefert das System <math> \{{]{-\infty, x}[} \mid x \in \R \}</math> der [[Intervall (Mathematik)|linksseitig unbeschränkten offenen Intervalle]] von <math>\R</math>.

Ein spezieller Fall einer Inklusionskette liegt vor, wenn eine (endliche oder unendliche) [[Mengenfolge]] gegeben ist, welche vermöge <math> \subseteq </math> [[monoton wachsende Mengenfolge|''aufsteigend'']] oder vermöge <math> \supseteq </math> [[Monoton fallende Mengenfolge|''absteigend'']] angeordnet ist. Man schreibt dann kurz:

: <math>A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \ \dots </math>
: <math>A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq \ \dots </math>

== Größe und Anzahl von Teilmengen ==

* Jede Teilmenge einer [[Endliche Menge|endlichen]] Menge ist endlich und für die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeiten]] gilt:
*: <math> A \subseteq B \Rightarrow \left| A\right| \le \left| B\right| </math>
*: <math> A \subsetneq B \Rightarrow \left| A\right| < \left| B\right| </math>
* Jede Obermenge einer [[Unendliche Menge|unendlichen]] Menge ist unendlich.
* Auch bei unendlichen Mengen gilt für die Mächtigkeiten:
*: <math> A \subseteq B \Rightarrow \left| A\right| \le \left| B\right| </math>
* Bei unendlichen Mengen ist es aber möglich, dass eine echte Teilmenge dieselbe Mächtigkeit hat wie ihre [[Grundmenge]]. Zum Beispiel sind die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] eine echte Teilmenge der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]], aber die beiden Mengen sind gleich mächtig (nämlich [[abzählbar unendlich]]).
* Nach dem [[Satz von Cantor]] ist die [[Potenzmenge]] einer Menge <math>A</math> stets mächtiger als die Menge <math>A</math> selbst: <math>|A| < \bigl|\mathcal P(A)\bigr|</math>.
* Eine endliche Menge mit <math>n</math> Elementen hat genau <math>2^n</math> Teilmengen.
* Die Anzahl der <math>k</math>-elementigen Teilmengen einer <math>n</math>-elementigen (endlichen) Menge ist durch den [[Binomialkoeffizient]]en <math>\tbinom n k</math> gegeben.

== Literatur ==
* Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre.'' Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5.
* {{Literatur |Autor=John L. Kelley |Titel=General Topology |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Jahr=1975 |ISBN=3-540-90125-6 |Kommentar=Reprint der Edition bei Van Nostrand aus dem Jahre 1955}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Teilmenge und echte Teilmenge}}
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Teilmenge - Versionsgeschichte

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