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{{Dieser Artikel|behandelt ''unendliche'' Taylorreihen. Zur Darstellung von Funktionen durch eine Partialsumme dieser Reihen, das sog. Taylorpolynom, und ein Restglied siehe [[Taylor-Formel]].}}

[[Datei:Mercator series.svg|mini|rechts|Approximation von ln(''x'') durch Taylorpolynome der Grade 1, 2, 3 bzw. 10 um die Entwicklungsstelle 1. Die Polynome konvergieren nur im Intervall (0, 2]. Der Konvergenzradius ist also 1.]]
[[Datei:Logarithm GIF.gif|mini|Animation zur Approximation ln(1+''x'') an der Stelle ''x''=0]]

Die '''Taylorreihe''' wird in der [[Analysis]] verwendet, um eine [[analytische Funktion]] in der [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] einer Stelle durch eine [[Potenzreihe]] darzustellen, die der [[Funktionenfolge#Punktweise Konvergenz|Grenzwert]] der [[Taylor-Formel|Taylor-Polynome]] ist. Diese [[Reihenentwicklung]] wird '''Taylor-Entwicklung''' genannt. Reihe und Entwicklung sind nach dem britischen Mathematiker [[Brook Taylor]] benannt.

== Definition ==
Ist <math>I \subset \R</math> ein offenes [[Intervall (Mathematik)|Intervall]], <math>f\colon I\rightarrow\R</math> eine [[glatte Funktion]] und <math>a</math> ein Element von <math>I</math>, so heißt die [[unendliche Reihe]]


:<math>Tf(x;a) := \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{6} (x-a)^3 + \dotsb</math>

die ''Taylorreihe von <math>f</math> mit Entwicklungsstelle'' <math>a</math>. Hierbei bezeichnet <math>n!</math> die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] von <math>n</math> und <math>f^{(n)}</math> die [[Differentialrechnung#Höhere Ableitungen|<math>n</math>-te Ableitung]] von <math>f</math>, wobei man <math>f^{(0)} := f</math> setzt.

Die Reihe ist hier zunächst nur „[[Formale Potenzreihe|formal]]“ zu verstehen. Das heißt, dass die [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] der Reihe nicht vorausgesetzt ist. In der Tat gibt es Taylorreihen, die nicht überall konvergieren (für <math>T\log(x;1)</math> siehe obige Abbildung). Auch gibt es Taylorreihen, die zwar konvergieren, aber nicht gegen die Funktion, aus der die Taylorreihe gebildet wird – zum Beispiel <math>Tf(x;0)</math> für <math>f(x) = \begin{cases} \exp\left(-\frac 1{x^2}\right) & \text{für } x \neq 0 \\ 0 & \text{für } x = 0 \end{cases}.</math>

Im Spezialfall <math>a = 0</math> wird die Taylorreihe auch [[Maclaurinsche Reihe|Maclaurin-Reihe]] genannt.

Die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe
:<math>T_1 f(x;a) := f(a) + f'(a) \cdot (x-a)</math>
nennt man auch ''[[Linearisierung]] von <math>f</math> an der Stelle'' <math>a</math>. Allgemeiner nennt man die Partialsumme

:<math>T_N f(x;a) := \sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n,</math>

die für festes <math>a</math> ein [[Polynom]] in der Variablen <math>x</math> darstellt, das ''<math>N</math>-te [[Taylorpolynom]]''.

Die [[Taylor-Formel|Taylorformel mit Restglied]] macht Aussagen darüber, wie dieses Polynom von der Funktion <math>f</math> abweicht. Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie der guten Anwendbarkeit der Restgliedformeln sind Taylorpolynome ein häufig angewandtes Hilfsmittel der Analysis, der [[Numerik]], der Physik und der [[Ingenieurwissenschaften]].

== Eigenschaften ==
Die Taylorreihe <math>Tf(x;a)</math> zur Funktion <math>f</math> ist eine [[Potenzreihe]] mit den Ableitungen
:<math>\begin{align}
\left(T f\right)^{(k)}(x; a) &= \left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^{k-1}\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n\right)
= \left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^{k-1}\sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} n(x-a)^{n-1}\\
&= \left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^{k-1}\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n+1)}(a)}{n!} (x-a)^n = \left(T f'\right)^{(k-1)}(x; a)
\end{align}</math>
und somit folgt durch [[vollständige Induktion]]:
:<math>\left(T f\right)^{(k)}(x;a) = \left(T f^{(k)}\right)(x; a)</math>

=== Übereinstimmung an der Entwicklungsstelle ===
Wegen
:<math>\left(Tf\right)(a;a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(a-a)^n = \frac{f^{(0)}(a)}{0!}(a-a)^0 = f(a)</math>
stimmen an der Entwicklungsstelle <math>a</math> die Taylorreihe <math>Tf</math> und ihre Ableitungen mit der Funktion <math>f</math> und deren Ableitungen überein:
:<math>\left(Tf\right)^{(k)}(a; a) = \left(Tf^{(k)}\right)(a;a) = f^{(k)}(a)</math>

=== Gleichheit mit der Funktion ===
Im Fall einer [[Analytische Funktion|analytischen Funktion]] <math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n</math> stimmt die Taylorreihe mit dieser Potenzreihe überein, denn es gilt
:<math>\begin{align}
f^{(k)}(x) &= \sum_{n=k}^\infty a_n \frac{n!}{(n-k)!}(x-a)^{n-k}\\
\frac{f^{(k)}(a)}{k!} &= a_k
\end{align}</math>
und somit <math>Tf(x;a) = f(x)</math>.

== Wichtige Taylorreihen ==
=== Exponentialfunktionen und Logarithmen ===
[[Datei:Exp series.gif|mini|hochkant|Animation zur Taylorreihenentwicklung der Exponentialfunktion an der Stelle ''x''=0]]

Die natürliche [[Exponentialfunktion]] wird auf ganz <math>\R</math> durch ihre Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 0 dargestellt:

:<math>\mathrm e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dotsb \quad\text{ für alle } x\in\R</math>

Beim [[Natürlicher Logarithmus|natürlichen Logarithmus]] hat die Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 1 den Konvergenzradius 1, d. h., für <math>0 < x \le 2</math> wird die Logarithmusfunktion durch ihre Taylorreihe dargestellt (vgl. Abb. oben):

:<math>\ln(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}(x-1)^n = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \dotsb
\quad\text{ für } 0 < x \le 2</math>

Schneller konvergiert die Reihe

:<math>\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1} =
2x + \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{5}x^5 + \dotsb
\qquad \text{ für } -1 < x < 1</math>

und daher ist sie geeigneter für praktische Anwendungen.

Wählt man <math>x := \frac{y-1}{y+1}</math> für ein <math>y>0</math>, so ist <math>-1<x<1</math> und <math>\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \ln(y)</math>.

=== Trigonometrische Funktionen ===
[[Datei:Taylor_Approximation_of_sin(x).svg|mini|200px|rechts|Approximation von sin(x) durch Taylorpolynome T vom Grad 1, 3, 5 und 7]]
[[Datei:Taylor cos.gif|mini|200px|rechts|Animation: Die Kosinusfunktion um die Stelle 0 entwickelt, in sukzessiver Näherung]]

Für die Entwicklungsstelle <math>0</math> ([[Maclaurin-Reihe]]n) gilt:

:<math>\begin{align}
\sin(x) & = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} & \text{für alle} \ x\\
& = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dotsb\\
\cos(x) & = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} & \text{für alle} \ x\\
& = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dotsb\\
\tan(x) & = \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1} & \text{für } |x| < \frac\pi2\\
& = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \dotsb\\
\sec(x) & = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} & \text{für } |x| < \frac\pi2\\
& = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5 x^4}{24} + \dotsb\\
\end{align}</math>

Hierbei ist <math>B_{2n}</math> die <math>2n</math>-te [[Bernoulli-Zahl]] und <math>E_{2n}</math> die <math>2n</math>-te [[Eulersche Zahlen|Eulersche Zahl]].

:<math>\begin{align}
\arcsin x & = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \quad & \text{für } \left| x \right| < 1\\
\arccos x & = \frac{\pi}{2} - \arcsin x & \text{für } \left| x \right| \le 1\\
\arctan x & = \sum^{\infin}_{n=0} (-1)^n \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} & \text{für } \left| x \right| \le 1
\end{align}</math>

== Produkt von Taylorreihen ==
Die Taylorreihe eines Produkts zweier reeller Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> kann berechnet werden, wenn die
Ableitungen dieser Funktionen an derselben Entwicklungsstelle <math>a</math> bekannt sind:
:<math>f^{(n)}(a) = u_n \qquad g^{(n)}(a) = v_n</math>
Mit Hilfe der [[Produktregel#Höhere Ableitungen und Faktorenzahl|Produktregel]] ergibt sich dann:
:<math>(f\cdot g)^{(n)}(a) = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u_kv_{n-k}</math>

Sind die Taylorreihen der beiden Funktionen explizit gegeben:
:<math>Tf(x;a) = \sum_{n=0}^\infty\alpha_n (x-a)^n \qquad Tg(x;a) = \sum_{n=0}^\infty\beta_n (x-a)^n,</math>
so gilt
:<math>T(f \cdot g)(x;a) = \sum_{n=0}^\infty\gamma_n (x-a)^n</math>
mit
:<math>
\gamma_n = \frac{(f\cdot g)^{(n)}(a)}{n!} = \frac1{n!}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!\,(n-k)!}(k!\,\alpha_k)((n-k)!\,\beta_{n-k}) = \sum_{k=0}^n\alpha_k\beta_{n-k}.
</math>
Dies entspricht der [[Cauchy-Produktformel]] der beiden Potenzreihen.

=== Beispiel ===
Seien <math>f(x) = \exp(x)</math>, <math>g(x) = 1+x</math> und <math>a=0</math>.
Dann gilt
:<math>\alpha_n = \frac1{n!}, \qquad
\beta_n = \begin{cases}1 & \text{für } n\in\{0,1\}\\0 & \text{für } n>1 \end{cases}</math>
und wir erhalten
:<math>
\gamma_0 = \alpha_0 = 1 \text{ für } n=0, \qquad \gamma_n = \alpha_n + \alpha_{n-1} \text{ für } n>0,</math>
in beiden Fällen also
:<math>\gamma_n = \frac{1+n}{n!},</math>
und somit
:<math>T(f \cdot g)(x;0) = \sum^\infty_{n=0}\frac{1+n}{n!}x^n.</math>

Diese Taylorentwicklung wäre allerdings auch direkt über die Berechnung der Ableitungen von <math>\exp(x)\cdot(1+x)</math> möglich:
:<math>\begin{align}
(\exp(x) \cdot (1+x))^{(n)}(x) &= \exp(x) \cdot (1+n+x)\\
(\exp(x) \cdot (1+x))^{(n)}(0) &= 1+n
\end{align}</math>

== Taylorreihen nichtanalytischer Funktionen ==
Dass die Taylorreihe an jeder Entwicklungsstelle <math>a</math> einen positiven [[Konvergenzradius]] hat und in ihrem Konvergenzbereich mit <math>f</math> übereinstimmt, gilt nicht für jede beliebig oft differenzierbare Funktion. Aber auch in den folgenden Fällen nichtanalytischer Funktionen wird die zugehörige Potenzreihe als Taylorreihe bezeichnet.

=== Konvergenzradius 0 ===
Die Funktion

:<math>f(x) = \int_0^\infty \frac{\mathrm e^{-t}}{1+x^2t} \mathrm dt</math>

ist auf ganz <math>\R</math> beliebig oft differenzierbar, aber ihre Taylorreihe in <math>a = 0</math> ist

:<math>Tf(x;0) = 1 - x^2 + 2!x^4 - 3!x^6 + 4!x^8 \mp \dotsb</math>

und somit nur für <math>x = 0</math> konvergent (nämlich gegen bzw. gleich 1).<ref>[[b:Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null|Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null]] (Wikibooks).</ref>

=== Eine Funktion, die in einer Entwicklungsstelle nicht in eine Taylorreihe entwickelt werden kann ===
Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um die Entwicklungsstelle <math>a = 0</math> mit der Ausgangsfunktion überein:

:<math>f(x) = \begin{cases}
0 & \text{für } x \le 0\\
\mathrm{e}^{-1/x^2} & \text{für } x > 0
\end{cases}</math>

Als reelle Funktion ist <math>f</math> beliebig oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt <math>x \leq 0</math> (insbesondere für <math>x = 0</math>) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den [[Nullpunkt]] ist also die [[Nullfunktion]] und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit <math>f</math> überein. Daher ist <math>f</math> nicht analytisch. Die Taylorreihe um eine Entwicklungsstelle <math>a > 0</math> konvergiert zwischen <math>0</math> und <math>2a</math> gegen <math>f</math>. Auch mit einer [[Laurentreihe]] lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die Funktion für <math>x > 0</math> korrekt wiedergibt, für <math>x < 0</math> nicht konstant 0 ergibt.

== Mehrdimensionale Taylorreihe ==
{{Siehe auch|Taylor-Formel#Taylor-Formel im Mehrdimensionalen|titel1=„Taylor-Formel im Mehrdimensionalen“ im Artikel Taylor-Formel}}

Sei nun im Folgenden <math>f\colon\R^d\to\R</math> eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion mit Entwicklungsstelle <math>a\in\R^d</math>.

Dann kann man zur Funktionsauswertung <math>f(x)</math> eine mit <math>x</math> und <math>a</math> parametrisierte Familie von Funktionen <math>F_{x;a}(t)\colon\R\to\R</math> einführen, die man so definiert:
:<math>F_{x;a}(t) = f(a+t\cdot(x-a))</math>

<math>F_{x;a}(1)</math> ist dann, wie man durch Einsetzen von <math>t=1</math> feststellt, gleich <math>f(x)</math>.

Berechnet man nun von <math>F_{x;a}</math> die Taylorentwicklung am Entwicklungspunkt <math>t_0 = 0</math> und wertet sie bei <math>t = 1</math> aus, so erhält man die mehrdimensionale Taylorentwicklung von <math>f</math>:

:<math>Tf(x;a) := TF_{x;a}(1;0) = \sum_{n=0}^\infty \frac{F_{x;a}^{(n)}(0)}{n!}</math>

Mit der [[Mehrdimensionale Kettenregel|mehrdimensionalen Kettenregel]] und den [[Multiindex]]-Notationen für <math>\alpha = (\alpha_1, \dotsc, \alpha_d) \in \N^d_0</math>
:<math>D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_d^{\alpha_d}}
\qquad
\binom{n}{\alpha} = \frac{n!}{\prod_{i=1}^d\alpha_i!}</math>
erhält man ferner:
:<math>F_{x;a}^{(n)}(t) = \sum_{|\alpha|=n} \binom{n}{\alpha}(x-a)^\alpha D^\alpha f(a+t(x-a))</math>

Mit der Schreibweise <math>\alpha! = \prod_{i=1}^d\alpha_i!</math> erhält man für die mehrdimensionale Taylorreihe bzgl. des Entwicklungspunktes <math>a</math>

:<math>Tf(x;a) = \sum_{|\alpha|\ge0} \frac{(x-a)^{\alpha}}{\alpha !} D^{\alpha}f(a)</math>

in Übereinstimmung zum eindimensionalen Fall, falls man die Multiindex-Notation verwendet.

Ausgeschrieben sieht die mehrdimensionale Taylorreihe wie folgt aus:
:<math>
\begin{align}
T f(x;a) =&\ \sum_{n_1=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty
\frac{\prod_{i=1}^d(x_i-a_i)^{n_i}}{\prod_{i=1}^dn_i!}\,\left(\frac{\partial^{\sum_{i=1}^dn_i}f}{\partial x_1^{n_1} \cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a) = \\
=&\ f(a) +
\sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a)}{\partial x_j} (x_j - a_j) +
\frac{1}{2} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) +{} \\
&+ \frac{1}{6} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \dotsb
\end{align}
</math>

=== Beispiel ===
Zum Beispiel gilt nach dem [[Satz von Schwarz]] für die Taylorreihe einer Funktion <math>g\colon\R^2\to\R</math>, die von <math>x=(x_1,x_2)</math> abhängt, an der Entwicklungsstelle <math>a=(a_1,a_2)</math>:
:<math>\begin{align}
Tg(x;a) =&\ g(a) + g_{x_1}(a) \cdot (x_1-a_1) + g_{x_2}(a) \cdot (x_2-a_2)\ + \\
&+ \frac12\left[(x_1-a_1)^2 g_{x_1x_1}(a) + 2(x_1-a_1)(x_2-a_2)\,g_{x_1x_2}(a) + (x_2-a_2)^2 g_{x_2x_2}(a)\right] + \dotsb
\end{align}</math>

== Operatorform ==
Die Taylorreihe lässt sich auch in der Form <math>\mathrm{e}^{(x-a)D}f(a)</math> darstellen, wobei mit <math>D</math> der gewöhnliche Ableitungsoperator gemeint ist.
Der Operator <math>T^h</math> mit <math>(T^hf)(x) := f(x+h)</math> wird als Translationsoperator bezeichnet.
Beschränkt man sich auf Funktionen, die global durch ihre Taylorreihe darstellbar sind, so gilt <math>T^h = \mathrm{e}^{hD}</math>. In diesem Fall gilt also
:<math>f(x+h) = \mathrm{e}^{hD}f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{h^k}{k!}D^kf(x).</math>
Für Funktionen von mehreren Variablen lässt sich <math>hD</math> durch die Richtungsableitung
<math>D_h = \langle h,\nabla\rangle</math> austauschen. Es ergibt sich
:<math>f(x+h) = \mathrm{e}^{\langle h,\nabla\rangle}f(x)
= \sum_{k=0}^\infty \frac{\langle h,\nabla\rangle^k}{k!}f(x)
= \sum_{|\alpha|\ge 0} \frac{h^\alpha}{\alpha!}D^\alpha f(x).
</math>
Man gelangt von links nach rechts, indem man zunächst die [[Exponentialfunktion#Definition|Exponentialreihe]] einsetzt, dann den [[Gradient (Mathematik)#Kartesische Koordinaten|Gradienten]] in kartesischen Koordinaten sowie das Standardskalarprodukt und schließlich das [[Multinomialtheorem]] verwendet.

=== Diskrete Variante ===
Für die Taylorreihe lässt sich auch ein diskretes Analogon finden. Man definiert dazu den Differenzenoperator <math>\Delta_a</math> durch <math>(\Delta_a f)(x) := f(x+a) - f(x)</math>. Offensichtlich gilt nun <math>T^a = I + \Delta_a</math>, wobei mit <math>I</math> der Identitätsoperator gemeint ist. Potenziert man nun auf beiden Seiten mit <math>h</math> und verwendet die [[binomische Reihe]], so ergibt sich
:<math>T^{ah} = (I+\Delta_a)^h = \sum_{k=0}^\infty \binom{h}{k} \Delta_a^k.</math>
Man gelangt zur Formel
:<math>f(x+ah) = \sum_{k=0}^\infty \binom{h}{k}\Delta_a^k f(x)
= \sum_{k=0}^\infty \frac{h^{\underline k}}{k!}\Delta_a^k f(x),
</math>
wobei mit <math>h^{\underline k}</math> die [[Fallende und steigende Faktorielle|absteigende Faktorielle]] gemeint ist.
Diese Formel ist als newtonsche Formel zur [[Polynominterpolation]] bei äquidistanten Stützstellen bekannt.
Sie stimmt für alle Polynomfunktionen, braucht aber für andere Funktionen nicht unbedingt korrekt zu sein.

== Verallgemeinerung ==
Die koordinatenfreie Verallgemeinerung der Taylorreihe ist das Konzept des [[Jet (Mathematik)|Jet]]s.

== Siehe auch ==
* [[Linearisierung]] mittels [[Näherungswert]]en
* [[Ausgleichsrechnung]]

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null|Taylorreihe mit Konvergenzradius Null}}
* {{MathWorld| id = TaylorSeries | title = Taylor Series}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4184548-1}}

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Brook Taylor]]

[[pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora]]

Taylorreihe - Versionsgeschichte

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