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2025-07-02T07:19:50Z

Abschnitte 'Differenzierbarkeit' und 'Ableitungen' zusammengeführt.

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{{Begriffsklärungshinweis|Weitere Bedeutungen werden unter [[Tangens (Begriffsklärung)]] aufgeführt}}
[[Datei:Tangent-plot.svg|mini|Schaubild der Tangensfunktion (Argument <math>x</math> im [[Bogenmaß]])]]
[[Datei:Cotangent.svg|mini|Schaubild der Kotangensfunktion (Argument <math>x</math> im Bogenmaß)]]
'''Tangens''' und '''Kotangens''' sind [[trigonometrische Funktion]]en und spielen in der [[Mathematik]] und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangens des [[Winkel]]s <math>x</math> wird mit <math>\tan x</math> bezeichnet, der Kotangens des Winkels <math>x</math> mit <math>\cot x </math>. In älterer Literatur findet man auch die Schreibweisen <math>\operatorname{tg} x</math> für den Tangens und <math>\operatorname{ctg} x</math> für den Kotangens.

== Geschichte ==
Ersten Gebrauch der Tangensfunktion machte der persische Mathematiker [[Abu l-Wafa|Abu al-Wafa]] (940–998). Die Bezeichnung „Tangens“ wurde 1583 vom Mathematiker [[Thomas Finck (Mathematiker)|Thomas Finck]] eingeführt. Die Bezeichnung „Kotangens“ entwickelte sich aus ''complementi tangens'', also Tangens des [[Komplementärwinkel]]s.<ref>Josef Laub (Hrsg.): ''Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band''. 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6, S. 223.</ref>

== Definitionen ==
=== Definition am rechtwinkligen Dreieck ===
[[Datei:RechtwinkligesDreieck.svg|mini|hochkant=1.2|Ein rechtwinkliges Dreieck, mit Bezeichnungen der drei Seiten bezogen auf einen variablen Winkel α am Punkt A und einen rechten Winkel am Punkt C]]

In einem [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] hängt das Verhältnis der [[Rechtwinkliges Dreieck#Bezeichnungen|Katheten]] nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab ([[Ähnlichkeitssätze|S:W:S-Ähnlichkeitssatz]]). Auf dieser Eigenschaft basiert die Definition von Tangens und Kotangens im rechtwinkligen Dreieck: Dort ist der ''Tangens'' eines [[Winkel]]s das Längenverhältnis von Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende) zur Ankathete (die dem Winkel anliegende Kathete):<ref>{{Literatur |Titel=Basiswissen Schule Mathematik, 5. bis 10. Klasse |Auflage=4. |Verlag=Duden Schulbuchverlag |Ort= |Datum=2010 |ISBN=978-3-411-71504-6 |Seiten=196 |Abruf=}}</ref>
:<math> \tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} </math>

Der ''Kotangens'' des Winkels ist das umgekehrte Verhältnis, also das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

:<math>\cot \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}</math>

Mit den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Seitenlängen (siehe Abbildung) lesen sich diese Gleichungen als

:<math> \tan \alpha = \frac{a}{b} \quad </math> und <math> \quad \cot \alpha = \frac{b}{a} </math>

Aus der Definition am rechtwinkligen Dreieck folgt unmittelbar
: <math>\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} \quad</math>und <math>\quad \tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha} </math>

sowie
: <math>\tan\alpha = \cot\beta = \cot(90^\circ-\alpha)</math>
Wegen <math>\sin \alpha = a/c</math> und <math>\cos \alpha = b/c</math> (Definitionen von [[Sinus und Kosinus#Definition am rechtwinkligen Dreieck|Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck]]) lassen sich Tangens und Kotangens mithilfe von Sinus und Kosinus schreiben:

:<math>\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad</math>und <math>\quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}</math>.

=== Definition am Einheitskreis ===
[[Datei:Trigonomatric-functions.svg|mini|hochkant=1.2|Tangens und Kotangens als Längen von Tangentenabschnitten:<br /><math>\overline{DT} = \tan b\ ;\ \overline{EK} = \cot b</math>]]
Die Definition von Tangens und Kotangens am Einheitskreis basiert auf der [[Sinus und Kosinus#Definition am Einheitskreis|Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis]]. Mit den entsprechenden Definitionen für Sinus und Kosinus sind der Tangens und der Kotangens einfach definiert als die Verhältnisse<ref>{{Literatur |Autor=Steffen Goebbels, Stefan Ritter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-68366-8 |Seiten=129 |Abruf=}}</ref>

:<math>\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad</math>und<math>\quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}</math>,

wobei der Nenner jeweils nicht null sein darf (siehe [[Division durch null]]).

Geometrisch lassen sich Tangens und Kotangens als Strecken am Einheitskreis deuten:<ref>{{Literatur |Autor=[[Richard Courant]] |Titel=Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 1 |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1971 |ISBN=978-3-540-05466-5 |Seiten=19 |Abruf=}}</ref> Zieht man durch den Schnittpunkt des Einheitskreises mit der <math>x</math>-Achse (Punkt <math>D</math>) eine Tangente, so schneidet diese den zum Winkel <math>b</math> gehörigen Strahl <math>OP</math> in einem Punkt <math>T</math>. Der Tangens von <math>b</math> ist dann die Länge des Tangentenabschnitts <math>[DT]</math>. Entsprechend schneidet die Kreistangente, die durch den Schnittpunkt des Kreises mit der <math>y</math>-Achse verläuft (Punkt <math>E</math>), den Strahl in einem Punkt <math>K</math>, und der Kotangens von <math>b</math> ist die Länge des entsprechenden Tangentenabschnitts ''<math>[EK]</math>.'' Die Eigenschaft von Tangens und Kotangens als Längen von ''(Kreis-)Tangenten'' erklärt die Wahl des Namens ''Tangens''.

=== Analytische Definition ===
Sinus und Kosinus können auch auf einer [[axiom]]atischen Basis behandelt werden (siehe [[Sinus und Kosinus#Analytische Definition|Sinus und Kosinus]]), weshalb für den Tangens und Kotangens das Gleiche gilt. [[Komplexe Zahl|Komplexe]] Argumente werden durch analytische Definition ermöglicht. Dabei gilt eine [[Surjektiv]]ität von Sinus und Kosinus als [[komplexwertige Funktion]]. Daraus resultierend sind Tangens und Kotangens als komplexwertige Funktion ebenso [[surjektiv]].

==== Beziehung zu Taylorreihen ====
Tangens und Kotangens können als Quotienten von je zwei [[Taylorreihe]]n dargestellt werden. Beruhend auf diesen Reihen lassen sich auch [[Arkustangens und Arkuskotangens]] als Quotienten von je zwei Taylorreihen darstellen (siehe [[#Reihenentwicklung|Reihenentwicklung]]).

==== Beziehung zur Exponentialfunktion ====
Tangens und Kotangens sind als [[trigonometrische Funktion]]en eng mit der [[Exponentialfunktion]] verbunden, wie auch der [[Sinus und Kosinus|Sinus, Kosinus]], [[Sekans und Kosekans]], wobei aus
: <math>\begin{align}
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}
&= \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}x)^k}{k!}
= \sum^{\infty}_{l=0}\frac{(\mathrm{i}x)^{2l}}{(2l)!}
+ \sum^{\infty}_{l=0}\frac{(\mathrm{i}x)^{2l+1}}{(2l+1)!} \\
&= \underbrace{\sum^{\infty}_{l=0}(-1)^l \frac{x^{2l}}{(2l)!}}_{\cos x}
+ \mathrm{i} \underbrace{\sum^{\infty}_{l=0} (-1)^l \frac{x^{2l+1}}{(2l+1)!}}_{\sin x} \\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}
&= \cos x + \mathrm{i} \sin x \\
\rightarrow \sin x
&= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}
\rightarrow \csc x = \frac{2\mathrm{i}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}} \\
\rightarrow \cos x
&= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}
\rightarrow \sec x = \frac{2}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}} \\
\end{align}</math>

für den Tangens mit <math>\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}</math> und Kotangens mit <math>\cot x = \tfrac{\cos x}{\sin x}</math>
: <math>\begin{align}
\tan x
& = -\mathrm{i}\ \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{ \mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} } \\
\cot x
&= +\mathrm{i} \ \frac{ \mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} }{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}\\
\end{align}</math>

resultiert.

=== Formal – mit Definitions- und Wertebereich ===
Formal kann die Tangensfunktion mittels der [[Sinus und Kosinus|Sinus- und Kosinusfunktionen]] durch
: <math>\tan\colon D_{\tan}\to W</math> mit <math>\tan x := \frac{\sin x}{\cos x}</math>

definiert werden, wobei der Wertebereich <math>W</math> je nach Anwendung die [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> oder die [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] <math>\Complex</math> sind. Um zu verhindern, dass der Nenner <math>\cos x</math> Null wird, werden beim Definitionsbereich <math>D_{\tan}</math> die [[Nullstelle]]n der Cosinus-Funktion [[Definitionslücke|weggelassen]]:
: <math>D_{\tan} = \R\setminus\Big\{k\pi + \frac \pi 2\;\Big|\;k\in\mathbb Z\Big\}</math>
im Reellen bzw.

: <math>D_{\tan} = \Complex\setminus\Big\{k\pi + \frac \pi 2\;\Big|\;k\in\mathbb Z\Big\}</math>
im Komplexen.

Der Kotangens kann analog dazu durch
: <math>\cot\colon D_{\cot}\to W</math> mit <math>\cot x := \frac{\cos x}{\sin x}</math>

definiert werden, wobei sich für dessen Definitionsbereich
: <math>D_{\cot} = \R\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb Z\}</math>

im Reellen bzw.
:<math>D_{\cot} = \Complex\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb Z\}</math>

im Komplexen ergibt, wenn gewährleistet werden soll, dass der Nenner <math>\sin x</math> ungleich Null ist.

Für den gemeinsamen Definitionsbereich von <math>\tan</math> und <math>\cot</math>
: <math>\mathbb C\setminus\Big\{\frac{k\pi}2\;\Big|\;k\in\mathbb Z\Big\}</math>

gilt
: <math>\cot x = \frac 1{\tan x}.</math>

== Eigenschaften ==
[[Datei:Einheitskreis mit Tangensfunktion.gif|mini|hochkant=1.5|Entstehung der Tangensfunktion aus der Winkelbewegung im Einheitskreis]]

=== Periodizität ===
Der Tangens und der Kotangens sind [[periodische Funktion]]en mit der Periode <math>\pi</math>, es gilt also <math>\tan(x+\pi) = \tan x</math>.

=== Monotonie ===
Der Tangens ist in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden [[#Polstellen|Polstellen]] streng monoton steigend.<br />
Der Kotangens ist in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polstellen streng monoton fallend.

=== Symmetrien ===
Tangens und Kotangens sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:
: <math>\tan(-x) = -\tan x</math>
: <math>\cot(-x) = -\cot x</math>

=== Ableitungen ===
Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen [[Sekans und Kosekans]] auf. Beide Funktionen sind beliebig oft differenzierbar.

{| class="wikitable"
!
! Tangens
! Kotangens
|-
|<math>f</math>
| <math>\tan x</math>
| <math>\cot x</math>
|-
|<math>f'</math>
| <math>\sec^2 x</math>
| <math>-\csc^2 x</math>
|-
|<math>f''</math>
| <math>2\sec^2 x \tan x</math>
| <math>2\csc^2 x \cot x</math>
|-
|<math>f'''</math>
| <math>4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x</math>
| <math>-2\csc^2 x \left(\csc^2 x + 2\cot^2 x\right)</math>
|}
Die <math>n</math>-ten Ableitungen lassen sich mit der [[Polygammafunktion]] ausdrücken:
: <math>\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\tan x = \frac{\psi_n(\tfrac12+\tfrac{x}{\pi})-(-1)^n\,\psi_n(\tfrac12-\tfrac{x}{\pi})}{\pi^{n+1}}</math>
: <math>\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\cot x = \frac{(-1)^n\,\psi_n(1-\tfrac{x}{\pi})-\psi_n(\tfrac{x}{\pi})}{\pi^{n+1}}</math>

=== Stammfunktionen ===
; Tangens:
: <math>\int \tan x \, \mathrm dx = -\ln|{\cos x}| + C</math>    mit   <math>x \ne (2k +1)\frac{\pi}{2}</math>   <math>(k \in \mathbb{Z})</math>

; Kotangens:
: <math>\int \cot x\, \mathrm dx = \ln|{\sin x}| + C</math>    mit   <math>x \ne k\pi </math>   <math> (k \in \mathbb{Z})</math>

=== Nullstellen ===
{| cellpadding="5"
|-
| '''Tangens:'''
|<math>x = n \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}</math>
|-
| '''Kotangens:'''   
|<math>x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}</math>
|}

=== Polstellen ===
{| cellpadding="5"
|-
| '''Tangens:'''
|<math>x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}</math>
|-
| '''Kotangens:'''   
|<math>x = n \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}</math>
|}

=== Wendestellen ===
{| cellpadding="5"
|-
| '''Tangens:'''
|<math>x = n \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}</math>
|-
| '''Kotangens:'''   
|<math>x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}</math>
|}

Sowohl die Tangensfunktion als auch die Kotangensfunktion haben [[Asymptote]]n, aber weder Sprungstellen noch Extrema.

== Wichtige Funktionswerte ==
{| class="wikitable"
! Tangens
! Kotangens
! Ausdruck
! num. Wert
|-
| <math>\tan0^\circ</math>
| <math>\cot90^\circ</math>
| <math>0</math>
| 0
|-
| <math>\tan15^\circ</math>
| <math>\cot75^\circ</math>
| <math>2 - \sqrt3</math>
| 0,2679491…
|-
| <math>\tan18^\circ</math>
| <math>\cot72^\circ</math>
| <math>\sqrt{1-\textstyle\frac25\sqrt5}</math>
| 0,3249196…
|-
| <math>\tan22{,}5^\circ</math>
| <math>\cot67{,}5^\circ</math>
| <math>\sqrt2-1</math>
| 0,4142135…
|-
| <math>\tan30^\circ</math>
| <math>\cot60^\circ</math>
| <math>1/\sqrt3</math>
| 0,5773502…
|-
| <math>\tan36^\circ</math>
| <math>\cot54^\circ</math>
| <math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>
| 0,7265425…
|-
| <math>\tan45^\circ</math>
| <math>\cot45^\circ</math>
| <math>1</math>
| 1
|-
| <math>\tan60^\circ</math>
| <math>\cot30^\circ</math>
| <math>\sqrt3</math>
| 1,7320508…
|-
| <math>\tan67{,}5^\circ</math>
| <math>\cot22{,}5^\circ</math>
| <math>\sqrt2+1</math>
| 2,4142135…
|-
| <math>\tan75^\circ</math>
| <math>\cot15^\circ</math>
| <math>2 + \sqrt3</math>
| 3,7320508…
|-
| <math>\lim_{\alpha \nearrow 90^\circ} \tan\alpha</math>
| <math>\lim_{\alpha \searrow 0^\circ} \cot\alpha</math>
| <math>+\infty\,</math>
| Polstelle
|}<ref>Für den größten gemeinsamen Teiler <math>1{,}5^\circ = \tfrac{\pi}{120}</math> dieser Winkel gilt:
: <math>\begin{align}
\tan 1{,}5^\circ
&= \tan \frac{\pi}{120} = -2+3\sqrt{2}/2-3\sqrt{3}/2-\sqrt{5}+\sqrt{2} \sqrt{3}+\sqrt{2} \sqrt{5}-\sqrt{3} \sqrt{5}/2+\sqrt{2} \sqrt{3} \sqrt{5}/2 \\
&\quad + \left(-15/2+5 \sqrt{2}-5 \sqrt{3}-7\sqrt{5}/2+5\sqrt{2} \sqrt{3}/2+5\sqrt{2} \sqrt{5}/2-2 \sqrt{3} \sqrt{5}+\sqrt{2} \sqrt{3} \sqrt{5}\right)\sqrt{1-2\sqrt{5}/5} \\
&= 0{,}0261859\ldots
\end{align}</math></ref>

== Umkehrfunktionen ==
{{Hauptartikel|Arkustangens und Arkuskotangens}}
Durch passende [[Einschränkung (Mathematik)|Einschränkung]] der Definitionsbereiche erhält man folgende [[Bijektivität|Bijektionen]]:

; Tangens:
: <math>\tan\colon\left(-\frac{\pi}2,\,\frac{\pi}2\right)\to\R</math>

Die [[Umkehrfunktion]]
: <math>\arctan\colon\R\to\left(-\frac{\pi}2,\,\frac{\pi}2\right)</math>

heißt ''Arkustangens'' und ist folglich ebenfalls bijektiv.

; Kotangens:
: <math>\cot\colon ]0,\,\pi[ \to\R</math>

Die Umkehrfunktion
: <math>\arccot\colon\R\to ]0,\,\pi[</math>

heißt ''Arkuskotangens'' und ist folglich ebenfalls bijektiv.

== Asymptoten ==
Aus den [[Einseitiger Grenzwert|einseitigen Grenzwerten]]
: <math>\lim_{x\,\uparrow \, \pi/2} \tan x = +\infty </math>   und <math>\lim_{x\,\downarrow \, -\pi/2} \tan x = -\infty </math>

bzw.
: <math>\lim_{x\downarrow 0} \cot x = +\infty</math>   und   <math>\lim_{x\uparrow \pi} \cot x = -\infty</math>

leiten sich die Grenzwerte
: <math>\lim_{y \to +\infty} \arctan y = \tfrac{\pi}2</math>   und <math>\lim_{y \to -\infty} \arctan y = -\tfrac{\pi}2 </math>

bzw.
: <math>\lim_{y \to +\infty} \arccot y = 0</math>   und   <math>\lim_{y \to -\infty} \arccot y = \pi</math>

her. Somit kann man nach der Einschränkung auf die Intervalle <math>\left(-\tfrac{\pi}2,\tfrac{\pi}2\right)</math>   bzw.   <math>(0,\pi)</math> die Definitionsbereiche wenigstens um die Endpunkte <math>-\tfrac{\pi}2,\,\tfrac{\pi}2</math> bzw. <math>0,\,\pi</math> der Intervalle wieder erweitern und unter Anpassung der Wertebereiche die beiden Funktionen [[Stetige Fortsetzung|stetig fortsetzen]] zu
: <math>\widetilde{\tan} \colon \left[-\tfrac{\pi}2,\,\tfrac{\pi}2\right] \to \overline{\R}</math>

bzw.
: <math>\widetilde{\cot} \colon [0,\,\pi]\to \overline{\R}</math>

mit <math>\overline{\R} := \R\cup\{+\infty,-\infty\}</math> als den [[Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]].

Die so [[Erweiterte Funktion|erweiterten Funktionen]] sind ebenfalls stetig umkehrbar.

== Reihenentwicklung ==
[[Datei:Tangent one period.svg|hochkant|mini|Tangens für <math>|x| < \pi/2 </math> (im [[Bogenmaß]])]]

=== Tangens ===
Die [[Taylorreihe]] mit dem Entwicklungspunkt <math>x = 0</math> ([[Maclaurinsche Reihe]]) lautet für <math>|x|<\tfrac{\pi}{2}\colon</math><ref>[[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun]]: ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions]]''. Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4, {{Webarchiv |url=http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/page_75.htm |text='''4.3.67.''' |wayback=20090331205949}}</ref>
: <math>\begin{align}
\tan x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} \cdot 2^{2n} \cdot \left(2^{2n} -1\right) \cdot B_{2n}}{(2n)!} x^{2n - 1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n+1}}{\pi^{2n}} \cdot \lambda(2n) \cdot x^{2n - 1} \\
&= x+\frac13 x^3+\frac{2}{15} x^5+\frac{17}{315} x^7+\frac{62}{2835} x^9+\frac{1382}{155925}x^{11}+\dotsb
\end{align}</math>

Dabei sind mit <math>B_n</math> die [[Bernoulli-Zahlen]] und mit <math>\lambda(x)</math> die [[Dirichletsche Lambda-Funktion]] bezeichnet.

Aus der Reihendarstellung folgt für <math>0<x<\tfrac \pi 2</math>:
# <math>\tan x > x</math> und
# <math>\frac{\tan x}{x}</math> ist streng monoton steigend mit <math>\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1</math>.

Ersetzt man in der Reihendarstellung <math>x</math> durch <math>\tfrac 1 x</math>, ergibt sich für <math>x>\tfrac 2 \pi</math>:
: <math>x\tan \tfrac 1 x</math> ist streng monoton fallend und <math> \lim_{x\to \infty}x\tan \tfrac 1 x=1</math>.

=== Kotangens ===
Die [[Laurent-Reihe]] lautet für <math>0<|x|<\pi</math><ref>[[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun]]: ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions]]''. Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4, {{Webarchiv |url=http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/page_75.htm |text='''4.3.70.''' |wayback=20090331205949}}</ref>
: <math>\begin{align}
\cot x &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} x^{2n - 1} \\
&= \frac 1x - \frac 13 x - \frac 1{45} x^3 - \frac 2{945} x^5 - \frac 1{4725} x^7 - \frac 2{93555} x^9 - \dotsb
\end{align}</math>

Damit hat man für <math>\frac{1}{x} - \cot x</math> im Konvergenzbereich <math>-\pi < x <\pi</math> die Taylor-Reihe
: <math>\frac{1}{x} - \cot x = -\mathrm{i} \, L( \mathrm{i} x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{\pi^{2n}} \cdot \zeta(2n) \cdot x^{2n - 1}</math>,

wobei <math>L</math> die [[Langevin-Funktion]] bezeichnet. Die {{Anker|Partialbruchzerlegung}}[[Partialbruchzerlegung]] des Kotangens lautet für <math>x\in\mathbb C\setminus\mathbb Z</math>
:<math>\begin{align}
\pi\cot(\pi x) &= \frac1x+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{x+k}+\frac1{x-k}\right) \\
&= \frac1x+\sum_{k=1}^\infty\frac{2x}{x^2-k^2}.
\end{align}</math>

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens stammt von [[Leonhard Euler]] (§ 178 [[Introductio in analysin infinitorum]], 1748) und wurde als eines seiner schönsten Resultate bezeichnet.<ref>Aigner, Ziegler, Das Buch der Beweise, Springer 2018, S. 207</ref> Ein einfacher Beweis benutzt den [[Gustav Herglotz|Herglotz]]-Trick.<ref>Dargestellt in Aigner, Ziegler, Das Buch der Beweise, 2018, S. 207 ff., Kapitel 26</ref><ref>Jürgen Elstrodt, Partialbruchzerlegung des Kotangens, Herglotz-Trick und die Weierstraßsche stetige, nirgends differenzierbare Funktion, Mathematische Semesterberichte, Band 45, 1998, S. 207–220</ref> Eine Folgerung aus der Formel ist die Ableitung der Werte der [[Riemannsche Zetafunktion|Riemannschen Zetafunktion]] an den geraden natürlichen Zahlen.

== Komplexes Argument ==
: <math>\tan(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{ \sin(2x)}{\cos(2x) + \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{\sinh(2y)}{\cos(2x) + \cosh(2y)}</math>   mit <math>x,y \in \mathbb{R}</math>
: <math>\cot(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{-\sin(2x)}{\cos(2x) - \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{\sinh(2y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)}</math>   mit <math>x,y \in \mathbb{R}</math>

== Darstellung des Sinus und Kosinus mithilfe des (Ko-)Tangens ==
Die Auflösung der Identitäten
: <math>\frac{1}{\sin^2 x} = 1+\cot^2 x</math>
: <math>\frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x</math>

nach <math>\sin x</math> bzw. <math>\cos x</math> ergibt bei Beschränkung auf den ersten Quadranten
:<math>\sin x = \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2 x}}</math> für <math>0<x\le \tfrac{\pi}{2}</math>,
:<math>\cos x = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 x}}</math> für <math>0\le x<\tfrac{\pi}{2}</math>.

Die etwas komplizierteren Erweiterungen auf ganz <math>\R</math> lassen sich entweder kompakt als [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] mit Hilfe der [[Floor-Funktion]] <math>x\mapsto\lfloor x \rfloor</math> oder elementarer mittels abschnittsweise definierter Funktionen darstellen:
:<math>\sin x = \lim_{t\to x} \frac{(-1)^{\left\lfloor\frac{t}{\pi}\right\rfloor}}{\sqrt{1+\cot^2 t}}\; =
\begin{cases}
\frac{ 1}{\sqrt{1+\cot^2 x}}, & \text{wenn } \exists k\in\Z\colon\;2k\pi<x<(2k+1)\pi \\
\frac{-1}{\sqrt{1+\cot^2 x}}, & \text{wenn } \exists k\in\Z\colon\;(2k-1)\pi<x<2k\pi \\
0, & \text{wenn } \exists k\in\Z\colon\;x=k\pi
\end{cases}</math>
:<math>\cos x = \lim_{t\to x} \frac{(-1)^{\left\lfloor\frac{t}{\pi}+\frac{1}{2}\right\rfloor}}{\sqrt{1+\tan^2 t}} =
\begin{cases}
\frac{ 1}{\sqrt{1+\tan^2 x}}, & \text{wenn } \exists k\in\Z\colon\;(4k-1)\frac{\pi}{2}<x<(4k+1)\frac{\pi}{2} \\
\frac{-1}{\sqrt{1+\tan^2 x}}, & \text{wenn } \exists k\in\Z\colon\;(4k+1)\frac{\pi}{2}<x<(4k+3)\frac{\pi}{2} \\
0, & \text{wenn } \exists k\in\Z\colon\;x=(2k+1)\frac{\pi}{2}
\end{cases}</math>

== Rationale Parametrisierung ==
Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist <math>t = \tan\frac\alpha2</math>, so ist
: <math>\sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2},\quad\cos\alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\tan\alpha = \frac{2t}{1-t^2}.</math>

Insbesondere ist
: <math>\R\to\R^2,\quad t\mapsto\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)</math>

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes <math>(-1,0)</math> (der dem Parameter <math>t = \infty</math> entspricht). Einem Parameterwert <math>t</math> entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der [[Verbindungsgerade]]n von <math>(-1,0)</math> und <math>(1,2t)</math> mit dem Einheitskreis (s. a. [[Einheitskreis#Rationale Parametrisierung]]).

== Additionstheoreme ==
Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten:
: <math>\tan(x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x\tan y}\,, \qquad \cot(x \pm y) = \frac{\cot x\cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}.</math>

Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel:
: <math>\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x}\,,\qquad\cot(2x) = \frac{\cot^{2}x-1}{2\cot x}.</math>

== Anwendung: Tangens und Steigungswinkel ==
[[Datei:Steigung in Prozent.png|mini|Beispiel für eine Steigung]]
Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für [[lineare Funktion]]en: Jede lineare Funktion
: <math>f\colon\R\to\R,\;x\mapsto mx + c</math>

besitzt als [[Funktionsgraph|Graphen]] eine Gerade. Der Tangens des (orientierten) Winkels <math>\alpha</math> zwischen der positiven <math>x</math>-Achse und der [[Gerade]]n ist die [[Steigung]] <math>m</math> der Geraden, d. h. <math>m = \tan\,\alpha</math>. Dabei ist es egal, welche der beiden Halbgeraden man als zweiten Schenkel wählt.

Auch unter der [[Gradiente#Maßeinheit und Berechnung|''Steigung einer Straße'']] versteht man den Tangens des Steigungswinkels. Das Beispiel im Bild rechts zeigt eine Steigung von 10 % entsprechend einem Steigungswinkel von etwa 5,7° mit dem Tangens von 0,1.

== Anwendung in der Physik ==
Tangens und Kotangens können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der [[Geschwindigkeit]] beim Wurf eines Körpers nach oben zu beschreiben, wenn für den [[Strömungswiderstand]] der Luft eine [[turbulente Strömung]] angesetzt wird ([[Newtonsches Reibungsgesetz|Newton-Reibung]]). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form <math>\dot{v} = -g - k v^2</math> mit der [[Schwerebeschleunigung]] <math>g</math> und einer Konstanten <math>k > 0</math>. Dann ergibt sich:
: <math>v(t) = v_g \cdot \cot\left(\sqrt{gk}t + c \right) \quad\text{mit}\quad c = \arccot \frac{v(0)}{v_g} > 0</math>,

wobei <math>v_g = \sqrt{\tfrac{g}{k}}</math> die Grenzgeschwindigkeit ist, die beim [[Fall mit Luftwiderstand]] erreicht wird. Wegen der oben angegebenen engen Zusammenhänge zwischen Kotangens und Tangens kann man diese zeitliche Abhängigkeit auch genauso gut mit Hilfe des Tangens ausdrücken:
: <math>v(t) = -v_g \cdot \tan\left(\sqrt{gk}t - c'\right) \quad\text{mit}\quad c' = \arctan \frac{v(0)}{v_g} > 0</math>

Diese Lösung gilt, bis der Körper den höchsten Punkt seiner Bahn erreicht hat (also wenn <math>v = 0</math> ist, das heißt für <math>t = \tfrac{\pi/2 - c}{\sqrt{gk}} = \tfrac{c'}{\sqrt{gk}}</math>), daran anschließend muss man den [[Tangens hyperbolicus]] verwenden, um den folgenden [[Fall mit Luftwiderstand]] zu beschreiben.

== Differentialgleichung ==
Der Tangens ist eine Lösung der [[Riccati-Gleichung]]
:<math>w' = 1+w^2</math>.

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man
:<math>w' = 1+w^2 = (w+\mathrm i)(w-\mathrm i)</math>

mit der [[Imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] <math>\mathrm i</math>. Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Ausnahmewerte <math>\mathrm i</math>, <math>-\mathrm i</math>: Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen <math>\mathrm i</math> und <math>-\mathrm i</math> Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei verschiedene Lösungen an derselben Stelle denselben Wert besitzen.

== Siehe auch ==
* [[Sinus und Kosinus]]
* [[Sekans und Kosekans]]
* [[Formelsammlung Trigonometrie]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Tangent function|Tangensfunktion}}
{{Wiktionary|tan}}
{{Wikiversity|Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/elementare Funktionen#Tangens und Kotangens|Tangens und Kotangens}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]

Tangens und Kotangens - Versionsgeschichte

imported>Bnottelm: Abschnitte 'Differenzierbarkeit' und 'Ableitungen' zusammengeführt.