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[[Datei:Surjection.svg|mini|Eine surjektive Funktion:<br />X ist die [[Definitionsmenge]],<br />Y ist die Zielmenge]]

Eine '''surjektive Funktion''' ist eine mathematische [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die jedes Element der [[Zielmenge]] mindestens einmal als Funktionswert annimmt. Das heißt, jedes Element (und damit jede [[Leere Menge|nichtleere]] [[Teilmenge]]) der Zielmenge hat ein nichtleeres [[Urbild (Mathematik)|Urbild]].

Eine surjektive Funktion wird auch als '''Surjektion''' bezeichnet. Ist sie zudem auch [[Injektivität|injektiv]], heißt sie [[Bijektive Funktion|bijektiv]]. In der Sprache der [[Relation (Mathematik)|Relationen]] spricht man auch von '''rechtstotalen Funktionen.'''

== Definition ==
Es seien <math>X</math> und <math>Y</math> Mengen, sowie <math>f \colon X \to Y</math> eine Abbildung.

Die Abbildung <math>f</math> heißt ''surjektiv,'' wenn es zu jedem <math>y</math> aus <math>Y</math> (mindestens) ein <math>x</math> aus <math>X</math> mit <math>f(x) = y</math> gibt. Eine solche Abbildung notiert man auch so: <math>f \colon X \twoheadrightarrow Y.</math>

Formal: <math>\forall y \in Y \ \exists x \in X \colon f(x) = y</math> (siehe [[Quantor#Existenz- und Allquantor|Existenz- und Allquantor]]).

== Grafische Veranschaulichungen ==
<gallery>
Datei:Surjektivität Mengenwolke.png|Das Prinzip der Surjektivität:<br />Jeder Punkt in der Zielmenge (Y) wird mindestens einmal getroffen
Datei:Surjektivität Mengenkasten 01.png|Graphen dreier surjektiver Funktionen zwischen reellen Intervallen
Datei:Surjektivität Mengenkasten 03.png|Ein Sonderfall der Surjektivität:<br />Die Zielmenge (Y) besteht aus nur einem Element
</gallery>

== Beispiele und Gegenbeispiele ==
* Die [[leere Funktion]] <math>\emptyset \to \{\bullet\}</math> in eine [[einelementige Menge]] ist wohl das einfachste Beispiel einer nichtsurjektiven Funktion.
* Die Funktion <math>f \colon \R \to \R</math> mit <math>f(x) = 2x+1</math> ist surjektiv, denn keine [[reelle Zahl]] <math>y</math> hat ein leeres [[Urbild (Mathematik)|Urbild]]. Aus der Gleichung <math>y = 2x+1</math> erhält man nämlich durch [[Äquivalenzumformung]] die Gleichung <math>x = (y-1)/2,</math> womit sich für jedes <math>y \in \R</math> als Urbild die einelementige Menge <math>\{\tfrac {y-1}2\} \subseteq \R</math> ergibt.
* Die [[Sinus]]funktion <math>\sin \colon \R \to [-1,1]</math> ist surjektiv. Jede horizontale Gerade <math>y = c</math> mit <math>-1 \leq c \leq 1</math> schneidet den Graphen der Sinusfunktion mindestens einmal (sogar unendlich oft).
* Die Sinusfunktion <math>\sin \colon \R \to \R</math> ist jedoch nicht surjektiv, da z. B. die Gerade <math>y = 2</math> keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat, der Wert 2 also nicht als Funktionswert angenommen wird.
* <math>\Complex</math> bezeichne die Menge der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]].
:<math>f_1 \colon \R \to \R; \, x \mapsto x^2</math> ist nicht surjektiv, da z. B. das Urbild von <math>-1</math> die [[leere Menge]] ist (keine Quadratzahl ist negativ!).
:<math>f_2 \colon \Complex \to \Complex, \, x \mapsto x^2</math> ist surjektiv. Nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] ist allgemeiner jedes nichtkonstante Polynom (also jedes Polynom positiven Grades) <math>p \colon \Complex \to \Complex</math> surjektiv.

== Eigenschaften ==
* Man beachte, dass die Surjektivität einer Funktion <math>f \colon A \to B</math> nicht nur vom [[Funktionsgraph]]en <math>\{(x,f(x)) \mid x \in A\},</math> sondern auch von der Zielmenge <math>B</math> abhängt (im Gegensatz zur [[Injektivität]], deren Vorliegen man am Funktionsgraphen ablesen kann):
:Ersetzt man bei einer Funktion <math>f \colon A \to B; \ x \mapsto f(x)</math> ihre Zielmenge <math>B</math> durch ihre [[Bild (Mathematik)|Bildmenge]] <math>\operatorname{im} f := f(A) = \{f(x) \mid x \in A\},</math> so entsteht mit <math>g \colon A \to \operatorname{im} f; \ x \mapsto f(x)</math> stets eine surjektive Funktion <math>g,</math> während <math>f</math> natürlich nicht surjektiv zu sein braucht.
* Eine Funktion <math>f \colon A \to B</math> ist genau dann surjektiv, wenn <math>f\left(f^{-1}(Y)\right) = Y</math> gilt für alle <math>Y \subset B.</math>
* Sind die Funktionen <math>f \colon A \to B</math> und <math>g \colon B \to C</math> surjektiv, dann gilt dies auch für die [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] (Verkettung) <math>g \circ f \colon A \to C.</math>
* Aus der Surjektivität von <math>g \circ f</math> folgt, dass <math>g</math> surjektiv ist.
* Eine Funktion <math>f \colon A \to B</math> ist genau dann surjektiv, wenn <math>f</math> eine [[Umkehrfunktion#Verallgemeinerungen|Rechtsinverse]] hat, also eine Funktion <math>g \colon B \to A</math> mit <math>f \circ g = \operatorname{id}_B</math> (wobei <math>\operatorname{id}_B</math> die [[identische Abbildung]] auf <math>B</math> bezeichnet). Diese Aussage ist äquivalent zum [[Auswahlaxiom]] der Mengenlehre.
* Eine Funktion <math>f \colon A \to B</math> ist genau dann surjektiv, wenn <math>f</math> [[rechtskürzbar]] ist, wenn also für beliebige Funktionen <math>g, h \colon B \to C</math> mit <math>g \circ f = h \circ f</math> schon <math>g = h</math> folgt. Diese Eigenschaft motiviert den in der [[Kategorientheorie]] verwendeten Begriff [[Epimorphismus]].
* Jede beliebige Funktion <math>f \colon A \to B</math> ist darstellbar als Verkettung <math>f = h \circ g,</math> wobei mit <math>C := \{f^{-1}(y) \mid y \in \operatorname{im} f\}</math> die Funktion <math>g \colon A \to C; \, x \mapsto f^{-1}(f(x))</math> surjektiv und <math>h \colon C \to B; \, f^{-1}(y) \mapsto y</math> injektiv ist.

== Mächtigkeiten von Mengen ==
Für eine [[endliche Menge]] <math>A</math> ist die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] <math>|A|</math> einfach die Anzahl der Elemente von <math>A</math>. Ist nun <math>f \colon A \to B</math> eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann kann <math>B</math> höchstens so viele Elemente wie <math>A</math> haben, es gilt also <math>|B| \le |A|.</math>

Für [[unendliche Menge]]n wird der Größenvergleich von Mächtigkeiten zwar mit Hilfe des Begriffs [[Injektivität|Injektion]] definiert, aber auch hier gilt: Ist <math>f \colon A \to B</math> surjektiv, dann ist die Mächtigkeit von <math>B</math> nicht größer als die Mächtigkeit von <math>A,</math> auch hier schreibt man dafür <math>|B| \le |A|.</math>

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Surjection
| Autor = O. A. Ivanova
| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Surjection
}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Mengenlehre}}

{{SORTIERUNG:Surjektivitat}}

[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]

Surjektive Funktion - Versionsgeschichte

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