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2025-01-24T20:36:03Z

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{{Dieser Artikel| befasst sich in erster Linie mit der Summe als dem Ergebnis einer Addition.
* In der [[Mengenlehre]] wird der Begriff auch als eine ältere Bezeichnung für die [[Vereinigungsmenge]] benutzt.
* Zu ''Summa'' siehe [[Summa (Begriffsklärung)]].}}

[[Datei:Greek uc sigma.svg|mini|hochkant=0.6|Das große griechische [[Sigma]] wird oft verwendet, um Folgen von Zahlen zu addieren. Es wird dann „Summenzeichen“ genannt.]]

Eine '''Summe''' bezeichnet in der [[Mathematik]] das Ergebnis einer [[Addition]] sowie auch die Darstellung der Addition. Im einfachsten Fall ist eine Summe also eine [[Zahl]], die durch Zusammenzählen zweier oder mehrerer Zahlen entsteht. Dieser Begriff besitzt viele Verallgemeinerungen. So sprach man früher beispielsweise von summierbaren Funktionen und meinte damit [[integrierbare Funktion]]en.
Die Summe ist eine spezielle [[Aggregatfunktion]].

== Wortgeschichte und -bedeutungen ==
Das Wort ''Summe'' wurde im [[Mittelhochdeutsch]]en von lateinisch ''summa'' entlehnt. ''Summa'' war bis in das 19. Jahrhundert neben ''Summe'' gebräuchlich und geht auf ''summus'' zurück, einen der lat. [[Superlativ]]e zu ''superus'' „oberhalb befindlich, der/die/das Höhere/Obere“, die folglich „der/die/das Höchste/Oberste“ bedeuten. „Das Oberste“ deshalb, weil die Römer die Summe in der obersten Zeile, also über den Summanden, zu notieren pflegten und nicht, wie heute üblich, „unterm Strich“.

In der Alltagssprache bezeichnet ''Summe'' einen [[Geldbetrag]], unabhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist oder nicht.

== Summe als Ergebnis und Darstellung einer Addition ==
In dem mathematischen [[Term]]
:<math>2+3</math>
heißen die Zahlen 2 und 3 [[Summand]]en. Der gesamte Term <math>2+3</math> wird ebenso wie das Ergebnis 5 als die „Summe von 2 und 3“ bezeichnet.

Man kann eine Summe mit mehr als zwei Summanden bilden, so zum Beispiel <math>(4+7)+1</math>. Eine häufige Konvention ist dabei, bei Linksklammerung die Klammern einfach wegzulassen, also <math>(4+7)+1</math> einfach mit <math>4+7+1</math> abzukürzen. Aufgrund der [[Assoziativgesetz|Assoziativität]] der Addition von [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] spielt es hier übrigens für das Ergebnis keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Additionen auszuführen sind. So gilt:
:<math>(4+7)+1 = 4+(7+1)</math>
Mit dem Gleichheitszeichen wird dabei die Gleichheit der Ergebnisse der beiden unterschiedlichen Terme ausgedrückt.

Aufgrund des [[Kommutativgesetz]]es der Addition von natürlichen Zahlen ist auch die Reihenfolge der Summanden irrelevant, zum Beispiel gilt:
:<math>4+7+1 = 7+4+1</math>

Wird <math>n</math>-mal die gleiche Zahl <math>a</math> addiert, dann kann die Summe auch als [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] <math> n \cdot a </math> geschrieben werden. Zum Beispiel:
:<math>a+a+a = 3 \cdot a</math>

== Gewichtete Summe ==
In einigen Fällen werden die einzelnen Summanden nicht einfach addiert, sondern zuvor noch mit einem Gewicht multipliziert:
:<math>2\cdot \text{Gewicht}_1+ 3\cdot \text{Gewicht}_2.</math>

Zum Beispiel:
:<math>2\cdot 3+3\cdot 5.</math>

In diesem Fall spricht man von einer '''gewichteten Summe.''' Teilt man die gewichtete Summe durch die Summe der Gewichte, erhält man das [[Arithmetisches Mittel#Gewichtetes arithmetisches Mittel|gewichtete arithmetische Mittel]].

== Summe einer Folge, Reihe ==
Wenn eine Summe sehr viele Summanden hat, ist es zweckmäßig, eine abgekürzte Schreibweise zu vereinbaren. Die Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen kann zum Beispiel als
:<math>1+2+3+\dotsb+100</math>
angegeben werden, denn es ist leicht zu erraten, welche Summanden durch die [[Auslassungspunkte]] ersetzt wurden.

So wie man in der elementaren Arithmetik von Zahlenrechnungen wie <math>2+3 = 5</math> zu Buchstabenrechnungen wie <math>2+x = y</math> übergeht, kann man z. B. auch die Summe von hundert ganz bestimmten Zahlen zur Summe einer beliebigen Anzahl beliebiger Zahlen verallgemeinern. Dazu wird zunächst eine Variable gewählt, zum Beispiel <math>n</math>, die die Anzahl der Summanden bezeichnet. Im obigen Fall, der Summe der ersten einhundert natürlichen Zahlen, wäre <math>n = 100</math>. Da beliebig große <math>n</math> zugelassen sein sollen, ist es nicht möglich, alle <math>n</math> Summanden mit <math>n</math> verschiedenen Buchstaben zu bezeichnen. Stattdessen wird ein einzelner Buchstabe, z. B. <math>a</math>, gewählt und um einen [[Index (Mathematik)|Index]] ergänzt. Dieser Index nimmt nacheinander die Werte <math>1, 2, \dotsc</math> an. Die Summanden heißen dementsprechend <math>a_1, a_2, \dotsc</math>. Sie bilden somit eine Zahlen[[Folge (Mathematik)|folge]].

Wir können nun für beliebige natürliche Zahlen <math>n</math> die Summe der ersten <math>n</math> Glieder der Zahlenfolge als
:<math>s_n = a_1+a_2+\dotsb+a_n</math>
schreiben. Wenn man für <math>n</math> verschiedene Werte <math>1, 2, \dotsc</math> einsetzt, bilden die <math>s_1, s_2, \dotsc</math> ihrerseits ebenfalls eine Folge. Eine solche Folge von [[Partialsumme]]n über die Anfangsglieder einer Folge wird als [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] bezeichnet.

''Beispiel:'' Für die Folge der Quadratzahlen ist <math>a_1 = 1</math>, <math>a_2 = 4</math>, <math>a_3 = 9</math>. Ganz allgemein gilt:
:<math>a_n = n^2.</math>

Die Folge der Partialsummen dieser Folge beginnt mit <math>s_1 = 1</math>, <math>s_2 = 5</math>, <math>s_3 = 14</math>. Eine Summationsformel besagt nun für beliebige <math>n</math>:
:<math>s_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.</math>

Weitere Summationsformeln wie zum Beispiel ''[[Der kleine Gauß]]''
:<math>1+2+\dotsb+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

finden sich in der [[Formelsammlung Arithmetik#Summenformeln|Formelsammlung Arithmetik]]. Der Beweis solcher Formeln kann oft mittels [[Vollständige Induktion|vollständiger Induktion]] erfolgen.

== Notation mit dem Summenzeichen ==
[[Datei:Sigmaschreibweise für Summen.svg|mini|300px|Die Sigma-Schreibweise]]
Summen über endliche oder unendliche Folgen können statt mit Auslassungspunkten auch mit dem '''Summenzeichen''' notiert werden:
:<math>\sum_{k=m}^{n}a_k = \sum_{m \leq k \leq n}a_k = a_m+a_{m+1}+\dotsb+a_n.</math>

Das Summenzeichen besteht aus dem großen [[Griechisches Alphabet|griechischen Buchstaben]] '''Σ''' ([[Sigma]]), gefolgt von ''einem'' [[Folgenglied]], das durch einen zuvor nicht benutzten Index (hier <math>k</math>) bezeichnet wird. Dieser Index wird oft als [[Index (Mathematik)|Laufindex]] oder '''Summationsvariable''' bzw. ''Lauf- oder Zählvariable'' bezeichnet. Hierfür wird oft einer der Buchstaben <math>i, j, k, l, m, n</math> verwendet. Wenn nicht eindeutig hervorgeht, welche Variable die Zählvariable ist, muss dies im Text angemerkt werden.

:Einfaches Beispiel: <math>\sum\limits_{k=1}^{10}k = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55</math>.

Welche Werte die Laufvariable annehmen kann, wird an der Unterseite, gegebenenfalls auch der Oberseite des Zeichens Σ angezeigt. Es gibt dafür zwei Möglichkeiten:
# Entweder wird unten ein Start- und oben ein Endwert angegeben (hier: <math>m</math> und <math>n</math>). Der Laufindex wird in der Regel nur unten angeschrieben; ausführlicher, aber recht ungebräuchlich, ist <math>\textstyle \sum_{k=m}^{k=n}a_k.</math>
# Oder es werden unten eine oder mehrere Bedingungen für die Zählvariable angegeben. Das obige Beispiel kann also auch durch <math>\textstyle \sum_{m\leq k\leq n}a_k</math> notiert werden.

Diese Angaben können reduziert oder weggelassen werden, wenn angenommen werden kann, dass der Leser sie aus dem Kontext heraus zu ergänzen vermag. Hiervon wird in bestimmten Zusammenhängen ausführlich Gebrauch gemacht: In der [[Tensor]]rechnung vereinbart man häufig die [[einsteinsche Summenkonvention]], der zufolge sogar das Summationszeichen weggelassen werden kann, da aus dem Kontext klar ist, dass über alle doppelt vorkommenden Indizes zu summieren ist. Hier eine Animation zur Sigma-Schreibweise:

[[Datei:Animation zur Summenschreibweise - k^2.gif|zentriert|gerahmt]]

=== Formale Definition ===
Sei <math>I</math> eine (Index-)Menge, <math>A</math> ein kommutatives [[Monoid]].
Für jedes <math>i\in I</math> sei ein <math>a_i\in A</math> gegeben.
Dann kann <math>\sum_{i\in I}a_i\in A</math> zumindest für endliche [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmengen]] durch [[Rekursion]] definiert werden:
Man setzt
:<math>\sum_{i\in \emptyset}a_i := 0\in A</math>
und ansonsten
:<math>\sum_{i\in I}a_i := a_j + \sum_{i\in I\setminus\{j\}}a_i \in A</math>
nach Wahl eines beliebigen Elementes <math>j\in I</math>. Kommutativität und Assoziativität der Addition in <math>A</math> garantieren, dass dies [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]] ist.

Die Schreibweise <math>\sum_{k=m}^na_k</math> mit <math>m, n \in \Z</math> ist in diesem Sinne nur eine Abkürzung für <math>\sum_{k\in I}a_k</math> mit <math>I = \{i\in\Z\mid m\leq i\leq n\}</math>.

Falls <math>I</math> unendlich ist, ist <math>\sum_{i\in I}a_i</math> allgemein nur definiert, falls <math>a_i = 0</math> für [[fast alle]] <math>i</math> gilt. In diesem Fall setzt man
:<math>\sum_{i\in I}a_i := \sum_{i\in \{k\in I\mid a_k\ne 0\}}a_i.</math>

Rechts steht nach Voraussetzung eine endliche Indexmenge, also eine wie oben definierte Summe.

Sind unendlich viele <math>a_i</math> ungleich 0, dann handelt es sich trotz gleichartiger Schreibweise nicht mehr um eine Summe, sondern eine Reihe ([[#Reihe|siehe unten]]).

=== Klammerkonventionen und Rechenregeln ===
Wird das Folgeglied als Summe (oder Differenz) mitgeteilt, so muss es in Klammern geschrieben werden:
:<math>
\sum_{k=m}^{n}(a_k+b_k) = \sum_{k=m}^{n}a_k + \sum_{k=m}^{n} b_k.
</math>

Wird das Folgeglied als Produkt (oder Quotient) mitgeteilt, so ist die Klammer überflüssig:
:<math>
\sum_{k=m}^{n}\lambda\cdot a_k = \lambda\cdot \sum_{k=m}^{n}a_k.
</math>

'''Vorsicht:''' Allgemein gilt:
<math>\sum_{k=m}^{n}a_k \cdot b_k \neq \sum_{k=m}^{n}a_k \cdot \sum_{k=m}^{n} b_k</math>.

=== Besondere Summen ===
Für <math>n=m</math> besteht die Summe aus einem einzigen Summanden <math>a_m</math>:

:<math>\sum_{k=m}^{m}a_k = a_m</math>.

Für <math>n<m</math> hat man eine sogenannte [[leere Summe]], die gleich 0 ist, da die Indexmenge <math>I = \{k\in\Z\mid m\leq k\leq n\}</math> leer ist:
:<math>\sum_{k=m}^{n}a_k = 0 \quad</math> für <math>n<m</math>.

Ist das allgemeine Folgeglied konstant (genauer: unabhängig von der Laufvariablen <math>k</math>), kann die Summe zu einem einfachen Produkt umgeschrieben werden:
:<math>\sum_{k=m}^{n}c = (n-m+1) \ c \quad</math> für <math>n \ge m-1</math>.

=== Doppelsummen ===
Auch über Summen kann wieder summiert werden. Das ist insbesondere dann sinnvoll, wenn die erste, die „innere“ Summe, einen Index enthält, der als ''Laufindex'' für die „äußere“ Summe verwendet werden kann. Man schreibt zum Beispiel:
:<math>\sum_{i,j=1}^n a_{ij} := \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}\right).</math>

Dabei gilt die Regel: <math>\sum_{i,j=1}^n a_{ij} = \sum_{j,i=1}^n a_{ij}</math>.

In der mathematischen Physik gilt für '''Doppelsummen''' zudem folgende Konvention:

Ein Apostroph am Summenzeichen besagt, dass bei der Summation Summanden auszulassen sind, für die die beiden Laufvariablen übereinstimmen:
:<math>\sideset{}{^\prime}\sum_{ij}a_{ij} := \sum_{i \neq j} a_{ij}.</math>

== Reihe ==
{{Hauptartikel|Reihe (Mathematik)}}
Wenn [[Unendlichkeit|unendlich]] viele Ausdrücke summiert werden, also zum Beispiel
:<math>\sum_{j=1}^{\infty} a_j = \sum_{j \geq 1}a_j = a_1+a_2+a_3+\dotsb</math>
mit (abzählbar) unendlich vielen [[Summand]]en ungleich [[null]], müssen Methoden der [[Analysis]] angewendet werden, um den entsprechenden [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]]
:<math>\sum_{j=1}^{\infty}a_j := \lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^{n}a_j</math>
zu finden, falls er existiert. Eine solche Summe wird ''[[unendliche Reihe]]'' genannt. Als Obergrenze schreibt man das Symbol <math>\infty</math> für Unendlichkeit.

Wichtige Unterschiede zwischen Reihen und echten Summen sind beispielsweise:
*<math>\textstyle \sum_{j=1}^{\infty}a_j</math> ist nicht für beliebige <math>(a_i)_{i\in\N}</math> definiert (d. h. konvergent).
* Konvergenz und Wert können von der Reihenfolge der Summanden abhängen.
* Auch die Vertauschung von Doppelsummen lässt sich nicht immer auf (Doppel-)Reihen übertragen.
* Fehlende Abgeschlossenheit: Beispielsweise ist <math>\textstyle \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} = \frac{\pi^2}6</math> irrational, obwohl alle Summanden rational sind.

Es ist aber anzumerken, dass nicht jede Summe, die <math>\infty</math> als Obergrenze besitzt, eine unendliche Summe sein muss. Zum Beispiel hat die Summe
:<math>\sum_{k>0} \left[\frac{n}{p^k}\right] = \left[\frac{n}{p}\right] + \left[\frac{n}{p^2}\right] + \left[\frac{n}{p^3}\right] + \dotsb</math>

für [[Primzahl]]en <math>p</math> und mit der [[Gaußklammer|Ganzzahl-Funktion]] <math>x\mapsto [x]</math> zwar unendlich viele Summanden, aber nur endlich viele sind ungleich null. (Diese Summe gibt an, wie oft der [[Faktor (Mathematik)|Faktor]] <math>p</math> in der [[Primfaktorzerlegung]] von [[Fakultät (Mathematik)|<math>n!</math>]] vorkommt.)


== Verwandte Begriffe ==
* Die [[disjunkte Vereinigung]] von Mengen hat eine gewisse formale Ähnlichkeit mit der Addition von Zahlen. Sind beispielsweise <math>X</math> und <math>Y</math> endliche Mengen, so ist die Anzahl der Elemente von <math>X\sqcup Y</math> gleich der Summe der Elementanzahlen von <math>X</math> und <math>Y</math>. Das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] ist distributiv über dieser Summenbildung:
:<math>X\times(Y\sqcup Z) \cong (X\times Y)\sqcup(X\times Z)</math>
* Die aus [[Kategorientheorie|kategorieller]] Sicht analoge Konstruktion für [[Vektorraum|Vektorräume]] oder [[abelsche Gruppe]]n wird als [[direkte Summe]] bezeichnet; allgemein spricht man von einem [[Koprodukt]].
* Eine [[Teleskopsumme]] ist in der Mathematik eine endliche Summe von Differenzen, bei der je zwei Nachbarglieder (außer dem ersten und dem letzten) sich gegenseitig aufheben.
* Als [[Pythagoreische Summe]] bezeichnet man eine der Addition ähnliche Rechenoperation, bei der die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate mehrerer Größen berechnet wird.

== Siehe auch ==
* [[Produkt (Mathematik)]]

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Summe und Produkt}}
{{Wiktionary|Summe}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4193845-8}}

[[Kategorie:Addition]]

Summe - Versionsgeschichte

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