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[[Datei:Subtraction01.svg|miniatur|Subtraktion 5 − 2 = 3 am Beispiel von Pfirsichen.]]
Die '''Subtraktion''' (von [[Lateinische Sprache|lat.]] ''subtrahere'' „wegziehen“, „entfernen“), umgangssprachlich auch '''Minusrechnen''' genannt, ist eine der vier [[Grundrechenarten]] der [[Arithmetik]]. Unter der Subtraktion versteht man das '''Abziehen''' einer [[Zahl]] von einer anderen. [[Mathematik|Mathematisch]] handelt es sich bei der Subtraktion um eine [[zweistellige Verknüpfung]]. Die Subtraktion ist die [[Umkehroperation]] der [[Addition]]. Das [[Rechenzeichen]] für die Subtraktion ist das [[Minuszeichen]] „−“.

== Sprachregelungen, Grundeigenschaften und Notation ==

Für die Elemente einer Subtraktion gibt es folgende Symbole und Sprechweisen:

* Das Rechenzeichen für die Subtraktion ist das Minuszeichen „−“. Es wurde 1489 von [[Johannes Widmann (Mathematiker)|Johannes Widmann]] eingeführt.
* Die Zahl, von der etwas abgezogen wird, heißt ''Minuend'' (lateinisch „das zu Verringernde“).
* Die Zahl, die abgezogen wird, heißt ''Subtrahend'' (lateinisch „das Abzuziehende“).
* Der Rechenausdruck ([[Term]]), der den Minuenden, das Minus-Zeichen und den Subtrahenden umfasst, heißt ''Differenz''.
* Das Ergebnis einer Subtraktion ist der ''Wert der Differenz'' (auch ''Differenzwert'' oder auch kurz nur ''Differenz'').
* Das Symbol für Differenzen als Terme ist der griechische Großbuchstabe [[Delta]] „Δ“, der auch als [[Operator (Mathematik)|Operator]] für die Differenzbildung benutzt wird (siehe [[Differenz-Operator]]). Häufig wird als ''Differenz'' – besonders im alltäglichen Sprachgebrauch – allerdings ''nur'' das ''Ergebnis'' dieser „Minusrechnung“, noch häufiger der [[Betragsfunktion|Betrag]] dieses Ergebnisses bezeichnet. Beispiel: ''Die Differenz zwischen 7 und 9 und die Differenz zwischen 5 und 3 beträgt 2''. Im Beispiel wird dies durch das Verb „beträgt“ betont.

Merkhilfe: ''Minuend minus Subtrahend gleich Wert der Differenz'' ([[Eselsbrücke]]n: '''M'''inuend kommt im Alphabet vor '''S'''ubtrahend; im Wort „'''M'''inu'''s'''“ wird durch Anfangs- und Endbuchstabe gezeigt, wie '''M'''inuend und '''S'''ubtrahend platziert sind)

Beispiele (mit Berücksichtigung des Vorzeichens):
* 4 minus 1 ist (gleich) 3 oder anders geschrieben: <math>4-1=3</math>.
Dabei ist 4 der Minuend, 1 stellt den Subtrahenden dar, der Rechenausdruck (Term) <math>4-1</math> ist die Differenz und das Ergebnis 3 bildet den Wert der Differenz bzw. den Differenzwert.

Die Menge der [[Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] ist bezüglich der Subtraktion nicht [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|abgeschlossen]], das heißt mit der Subtraktion erzielt man eventuell ein Ergebnis, das außerhalb des Bereichs der [[Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] liegt.
*Beispiel: <math>1-4=-3</math>

Es gibt abkürzende Notationen für <math>a-b</math>, beispielsweise <math>x|_{x=b}^{x=a}</math> oder <math>[x]_b^a</math>, was vor allem bei Termen wie <math>f(a)-f(b) = f(x)|_{x=b}^{x=a}</math> bzw. <math>F(a) - F(b) = [F(x)]_b^a = [F(x)]_{x=b}^{x=a} = F(x)\Big|_b^a = F(x)\Big|_{x=b}^{x=a}</math> Anwendung findet.

Bei mehreren hintereinander auftretenden Subtraktionen wird der Ausdruck von links nach rechts ausgewertet; die Subtraktion ist daher per Konvention [[Operatorassoziativität|linksassoziativ]]:<ref>Education Place: [http://eduplace.com/math/mathsteps/4/a/index.html The Order of Operations]</ref><ref>[[Khan Academy]]: [https://www.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-arith-prop/pre-algebra-order-of-operations/v/introduction-to-order-of-operations The Order of Operations] ([https://www.youtube.com/watch?v=ClYdw4d4OmA&t=5m40s Video, ab 05:40])</ref><ref>[[Virginia Department of Education]]: {{Webarchiv |url=http://www.doe.virginia.gov/instruction/mathematics/middle/algebra_readiness/curriculum_companion/order-operations.pdf#page=3 |text=Using Order of Operations and Exploring Properties |wayback=20220716062834}}, Absatz 9</ref><ref>[[Technische Universität Chemnitz]]: [https://www.tu-chemnitz.de/urz/archiv/kursunterlagen/C/kap2/vorrang.htm Vorrangregeln und Assoziativität]</ref>
*<math>a-b-c=(a-b)-c</math>.

== Mathematische Definition ==

Die Subtraktion ist die [[Umkehroperation]] der [[Addition]].
In [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] lässt sich zu jedem gegebenen <math>a</math> und <math>b</math> genau ein <math>x</math> finden, so dass gilt:

: <math>b + x = a \!</math>

Die Bestimmung von <math>x</math> heißt ''Subtraktion''. <math>x</math> lässt sich bestimmen, indem man <math>b</math> von <math>a</math> ''subtrahiert'' („abzieht“):

: <math>x = a - b</math>

<math>a</math> heißt der ''Minuend'', <math>b</math> der ''Subtrahend''. Das Ergebnis einer Subtraktion, hier <math>x</math>, heißt ''Wert der Differenz''. Eine Subtraktion wird mit dem Minuszeichen notiert:

: <math>a - b</math>

Die Subtraktion <math>a - b</math> kann auch als Addition der [[Gegenzahl]] <math>-b = (-1)\cdot b</math> des Subtrahenden zum Minuenden <math>a</math> definiert werden:

:<math>a - b = a + (-1) \cdot b = a + (-b)</math>

== Basisverfahren ==
=== Graphische Methode ===
[[Bild:Vektormethode.svg|mini|Graphische Methode mit Vektoren]]
Bei der graphischen Methode werden die Zahlenwerte als Balken, Linien, Punkte oder andere abstrakte Objekte dargestellt. Eine weitere Möglichkeit ist die Darstellung mit [[Vektor]]en, wobei die Richtung des Subtrahend-Vektors umgekehrt und die Vektoren anschließend aufaddiert werden.

;Beispiel

{|
|-
| ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||align="right"| (13)
|-
| - || || || || ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||align="right"| (9)
|-
| = ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • ||style="background-color:black;"| • || || || || || || || || || ||align="right"| (4)
|}

=== Subtraktion-Subtraktion-Methode ===
Bei der ''Subtraktion-Subtraktion-Methode'' wird so lange ein Teilbetrag des Subtrahenden von Subtrahend und Minuend abgezogen, bis der Subtrahend 0 ist. Dabei wird meist eine Zehnerstelle als Zwischenschritt gewählt.

;Beispiel
:<math>13-9=(13-3)-(9-3)=10-6=4</math>

=== Subtraktion-Addition-Methode ===
Bei der ''Subtraktion-Addition-Methode'' werden Subtrahend und Minuend in Teilkomponenten zerlegt, von diesen subtrahiert, und anschließend die Teilbeträge wieder addiert.

;Beispiel
:<math>13-9=(10+3)-9=(10-9)+3=1+3=4</math>

=== Komplement-Methode ===
Bei der ''Komplement-Methode'' wird vom Subtrahenden das zugehörige [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] berechnet. Anschließend werden der Minuend und das Komplement addiert. Das Verfahren wird insbesondere in der [[Technische Informatik|technischen Informatik]], etwa beim mechanischen Feld-Tarrant-[[Comptometer]], dem mechanischen [[Hoffritz-Addierer]], sowie elektronischen [[Addierwerk]]en in modernen Computersystemen, angewendet.<ref>{{Literatur|Autor=Donald E. Knuth|Titel=The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms|Auflage=3|Ort=New York|Verlag=Addison-Wesley|Jahr=1997|ISBN=9780201896848}}</ref>

;Beispiel

Ausgangsformel (linke Seite im [[Dezimalsystem]], rechte Seite im [[Dualsystem]]):
:<math>13_{10}-9_{10} = 1101_{2} - 1001_{2}</math>

Dies entspricht:
:<math>13_{10}+\left(-9_{10}\right) = 1101_{2} + \left(-1001_{2}\right)</math>

Berechnung des Komplements im Dezimalsystem ([[Zehnerkomplement]]) und im Dualsystem ([[Zweierkomplement]]):

{|class="wikitable"
|+ Berechnung des Komplements
!rowspan="2"| Operation !!colspan="2"| Ergebniswert
|-
! Zehnerkomplement !! Zweierkomplement
|-
| Ausgangswert ||align="right"| <math>\ldots\ 000\ 009,0_{10}</math> ||align="right"|<math>\ldots\ 0000\ 1001,0_{2}</math>
|-
| Invertierung ||align="right"| <math>\ldots\ 999\ 990,\dot{9}_{10}</math> ||align="right"| <math>\ldots\ 1111\ 0110,\dot{1}_{2}</math>
|-
| mit <math>0,\dot{9}_{10} = 0,\dot{1}_2 = 1</math> ||align="right"| <math>\ldots\ 999\ 991,0_{10}</math> ||align="right"| <math>\ldots\ 1111\ 0111,0_{2}</math>
|}

Addition:
:<math>\begin{array}{rrrcrrr}
& 13_{10} & & & 1101_{2} \\
+ & \ldots\ 999\ 991_{10} & & + & \ldots\ 1111\ 0111_{2} \\
= & \ldots\ 000\ 004_{10} & & = & \ldots\ 0000\ 0100_{2} \\
= & 4_{10} & & = & 100_{2}
\end{array}</math>

== Schriftliche Subtraktion ==
Die schriftliche Subtraktion ist neben der [[Addition#Schriftliche Addition|schriftlichen Addition]] eine der grundlegenden [[Kulturtechnik]]en, die bereits in den ersten Schuljahren der Grundschule erlernt wird. Die Beherrschung der schriftlichen Subtraktion ist Voraussetzung für das Erlernen der [[Schriftliche Division|schriftlichen Division]].

=== Vertikale Subtraktion mit Überträgen ===
In den Grundschulen werden heute meist Verfahren gelehrt, bei denen die einander entsprechenden [[Stellenwertsystem|Stellen]] der Minuenden und Subtrahenden ''übereinander'' stehen. Die Stellen werden nacheinander abgearbeitet, meist von rechts nach links.

Für das schriftliche Subtrahieren muss der Minuend (Zahl oben) größer oder gleich dem Subtrahenden (Zahl(en) unten) sein. Negative Ergebnisse sind somit direkt nicht möglich.

Wenn der Minuend doch kleiner ist als der Subtrahend, dann können die Vorzeichen zum Rechnen vertauscht werden.
Der Subtrahend wird so zum Minuend (oben geschrieben) und der Minuend zum Subtrahend (unten geschrieben). Es kann dann mit den unten beschriebenen Verfahren gerechnet werden. Das Ergebnis muss aber zum Schluss mit einem Minus versehen werden, denn es ist immer negativ (keine natürliche Zahl). Damit wird der zuvor zum Berechnen durchgeführte Vorzeichenwechsel wieder rückgängig gemacht.

Wenn die einzelnen Stellen der Subtrahenden größer sind als die gleichen Stellen der Minuenden, müssen [[Übertrag|Überträge]] gehandhabt werden. Das heißt, der Minuend wird, um die Subtraktion zu ermöglichen, um 10 erhöht; um dies auszugleichen, muss in der links benachbarten Spalte entweder der Minuend erniedrigt (Entbündelungsverfahren; Vorabberechnung der Überträge) oder der Subtrahend erhöht werden (Ergänzungsverfahren; Subtraktion von rechts nach links). Im deutschsprachigen Raum hat sich mit dem Ergänzungsverfahren die letztgenannte Vorgehensweise durchgesetzt. Im Jahr 2000 trat in einigen [[Land (Deutschland)|Bundesländern]] ein neuer Lehrplan in Kraft, der nun statt des Ergänzens das Entbündeln als Standard vorschreibt.

==== Ergänzungsverfahren ====
Beim Ergänzungsverfahren, das auch Auffülltechnik oder (in den USA) ''Austrian method'' („Österreichische Methode“) genannt wird, wird keine Subtraktion vorgenommen, sondern der Subtrahend umgekehrt bis zum Minuenden ''erhöht''. Falls dies nicht möglich ist, wird der Minuend um 10 erhöht. Die 10 wird nicht „geborgt“, sondern als 1 zum Subtrahenden der nächsten Teilberechnung addiert. Im deutschsprachigen Raum wird dieses Verfahren an den Grundschulen als Standardmethode gelehrt. Einer der Vorteile des Verfahrens besteht darin, dass es den Umgang mit Aufgaben vorbereitet, bei denen von einem Minuenden mehrere Subtrahenden abgezogen werden sollen.

;Beispiel
{|class="wikitable" style="text-align:center"
!||Beschreibung
|-
|<math>\begin{array}{r}75{\color{red}3}\\-\underset{ }{4}9{\color{red}1}\\\hline\end{array}</math>
|1 + … = 3
|-
|<math>\begin{array}{r}7{\color{red}5}3\\-\underset{ }{4}{\color{red}9}1\\\hline
{\color{Gray}2}\end{array}</math>
|Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
|-
|<math>\begin{array}{r}7{\color{red}5}3\\-\underset{ }{4}{\color{red}9}1\\\hline
{\color{Gray}2}\end{array}</math>
|9 + … = 5 Die angepeilte Summe (5) ist zu klein!
|-
|<math>\begin{array}{r}7{\color{red}5}3\\-\underset{\color{red}1}{4}{\color{red}9}1\\\hline
{\color{Gray}2}\end{array}</math>
|Sie wird darum um 10 erhöht. Die 1 wird unter den nächsten Subtrahenden geschrieben.
|-
|<math>\begin{array}{r}7{\color{red}5}3\\-\underset{\color{red}1}{4}{\color{red}9}1\\\hline
{\color{Gray}62}\end{array}</math>
|9 + … = 15 Die Berechnung kann jetzt durchgeführt werden, das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
|-
|<math>\begin{array}{r}{\color{red}7}53\\-{\color{red}\underset{1}{4}}91\\\hline
{\color{Gray}62}\end{array}</math>
|(4 + 1) + … = 7
|-
|<math>\begin{array}{r}{\color{red}7}53\\-{\color{red}\underset{1}{4}}91\\\hline
{\color{Gray}262}\end{array}</math>
|Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
|-
|<math>\begin{array}{r}753\\-\underset{1}{4}91\\\hline
{\color{Gray}262}\end{array}</math>
|Das Gesamtergebnis.
|}

==== Subtraktion von links nach rechts ====
Die Subtraktion kann auch von links nach rechts durchgeführt werden. Bei diesem ungewöhnlichen Verfahren, das eine Variante des Ergänzungsverfahrens ist, werden die Überträge abgearbeitet, bevor die Differenz genau ausgerechnet wird. Da die Überträge weder notiert noch gemerkt werden müssen, ist die Methode nicht nur vergleichsweise resistent gegen Flüchtigkeitsfehler, sondern auch sehr schnell und sogar fürs Kopfrechnen geeignet.

;Beispiel
<gallery>
Datei:LeftToRight Subtraction Step 1.svg|7 − 4 = 3 Dieser Wert wird nur gemerkt, nicht notiert.
Datei:LeftToRight Subtraction Step 2.JPG|Da in der folgenden Spalte der Minuend kleiner ist als der Subtrahend, wird der soeben errechnete Wert um 1 erniedrigt.
Datei:LeftToRight Subtraction Step 3.JPG|15 − 9 = 6
Datei:LeftToRight Subtraction Step 4.JPG|Da in der folgenden Spalte der Minuend nicht kleiner ist als der Subtrahend, bleibt es bei diesem Wert.
Datei:LeftToRight Subtraction Step 5.JPG|3 − 1 = 2
</gallery>

Findet sich eine Spalte oder eine Sequenz von mehreren Spalten, in denen zwei gleiche Ziffern stehen, und rechts daneben eine Spalte mit einem Minuend, der kleiner als der Subtrahend ist, so muss die bei diesem Verfahren routinemäßige „Vorausschau“ nicht nur die zwei gleichen Ziffern, sondern auch die darauf folgenden Spalten umfassen. Jede Spalte mit den gleichen Ziffern erhält dann eine Neun statt einer Null als Ergebnis.

Die Vorausschau über mehreren Spalten in den oben geschilderten Fällen ist eine Schwachstelle dieser Methode.

==== Entbündelungsverfahren ====
Abziehen mit „Entbündeln“ bedeutet, dass der zu kleine Minuend bei seinem linken Nachbarn eine „Anleihe“ macht. Der Minuend wird um 10 erhöht und der linke Nachbar um 1 erniedrigt. Das Verfahren wird an den Grundschulen z. B. der [[Vereinigte Staaten|Vereinigten Staaten]] als Standardmethode gelehrt. Der reine Rechenaufwand ist ähnlich wie beim Ergänzungsverfahren; wenn von einer Null „geliehen“ werden muss, muss diese jedoch bei ihrem eigenen linken Nachbarn eine „Anleihe“ machen – eine Technik, die zusätzlich erlernt werden muss (beim Ergänzungsverfahren wird sie nicht gebraucht). Außerdem muss beim Entbündeln mehr geschrieben werden.

;Beispiel
{| class="wikitable"
! || Beschreibung
|-
|<math>\begin{array}{r}75{\color{red}3}\\-49{\color{red}1}\\\hline\end{array}</math>
|3 − 1 = …
|-
|<math>\begin{array}{r}75{\color{red}3}\\-49{\color{red}1}\\\hline{\color{Gray}2}\end{array}</math>
|Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
|-
|<math>\begin{array}{r}7{\color{red}5}3\\-4{\color{red}9}1\\\hline{\color{Gray}2}\end{array}</math>
|5 − 9 = … Der Minuend (5) ist zu klein!
|-
|<math>\begin{array}{r}\overset{{\color{Gray}6}}{\cancel{7}}\overset{{\color{red}15}}{\cancel{5}}3\\-4{\color{red}9}1\\\hline{\color{Gray}2}\end{array}</math>
|Er wird darum um 10 erhöht. Diese 10 wird von der links daneben stehenden Ziffer (7) „geliehen“; diese wird um 1 erniedrigt.
|-
|<math>\begin{array}{r}\overset{{\color{Gray}6}}{\cancel{7}}\overset{{\color{red}15}}{\cancel{5}}3\\-4{\color{red}9}1\\\hline{\color{Gray}62}\end{array}</math>
|15 − 9 = … Die Subtraktion kann jetzt durchgeführt werden. Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
|-
|<math>\begin{array}{r}\overset{{\color{Red}6}}{\cancel{7}}\overset{{\color{Gray}15}}{\cancel{5}}3\\-{\color{red}4}91\\\hline{\color{Gray}62}\end{array}</math>
|6 − 4 = …
|-
|<math>\begin{array}{r}\overset{\color{Red}6}{\cancel{7}}\overset{\color{Gray}15}{\cancel{5}}3\\-{\color{red}4}91\\\hline{\color{Gray}262}\end{array}</math>
|Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
|-
|<math>\begin{array}{r}\overset{{\color{Gray}6}}{\cancel{7}}\overset{{\color{Gray}15}}{\cancel{5}}3\\-491\\\hline{\color{Gray}262}\end{array}</math>
|Das Gesamtergebnis.
|}

==== Vorab-Entbündelung ====
Eine Variante des Entbündelungsverfahrens besteht darin, dass alle Stellen in einem ersten Arbeitsgang vollständig entbündelt werden, sodass für den zweiten Arbeitsgang, bei dem nur noch subtrahiert wird, hinreichend große Minuenden zur Verfügung stehen.<ref>[http://www.math.nyu.edu/~braams/links/em-arith.html The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] Subtraction: Trade First</ref>

;Beispiel
{| class="wikitable"
! || Beschreibung
|-
|<math>\begin{array}{r}75{\color{red}3}\\-49{\color{red}1}\\\hline\end{array}</math>
|3 − 1 = möglich. Kein „leihen“ von der links daneben stehenden Ziffer notwendig.
|-
|<math display="inline">\begin{array}{r}\overset{\color{Gray}6}{\cancel{7}}\overset{\color{Gray}15}{\cancel{\color{red}5}}3\\-4{\color{red}9}1\\\hline\end{array}</math>
|5 − 9 = nicht möglich. Die 5 wird um 10 erhöht. Da die 10 bei der links benachbarten 7 „geliehen“ ist, muss diese um 1 erniedrigt werden.
|-
|<math>\begin{array}{r}\overset{{\color{Gray}6}}{\cancel{7}}\overset{\color{Gray}15}{\cancel{5}}{\color{red}3}\\-49{\color{red}1}\\\hline{\color{Gray}2}\end{array}</math>
|Abarbeitung der Stellen: 3 − 1 = 2
|-
|<math>\begin{array}{r}\overset{\color{Gray}6}{\cancel{7}}\overset{\color{red}15}{\cancel{5}}3\\-4{\color{red}9}1\\\hline{\color{Gray}62}\end{array}</math>
|15 − 9 = 6
|-
|<math>\begin{array}{r}\overset{\color{red}6}{\cancel{7}}\overset{\color{Gray}15}{\cancel{5}}3\\-{\color{red}4}91\\\hline{\color{Gray}262}\end{array}</math>
|6 − 4 = 2
|}

=== Vertikale Subtraktion ohne Überträge ===
==== Teildifferenzen ====
Die ''Partial Differences''-Methode unterscheidet sich von anderen vertikalen Subtraktionsmethoden dadurch, dass keine Überträge verwendet werden. An deren Stelle treten Teildifferenzen, die – je nachdem, ob in einer Spalte der Minuend oder der Subtrahend größer ist – ein Plus- oder ein Minuszeichen erhalten. Die Summe der Teildifferenzen ergibt die Gesamtdifferenz.<ref>{{Webarchiv|url=http://ouronlineschools.org/Schools/NC/Demoschool/4thGrade/Math/PartialDifferences.htm |wayback=20140623021239 |text=Partial-Differences Subtraction }}; [http://www.math.nyu.edu/~braams/links/em-arith.html The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] Subtraction: Partial Differences</ref>

;Beispiel
{|class="wikitable"
! || Beschreibung
|-
|<math>\begin{array}{rr}&{\color{red}7}53\\-&{\color{red}4}91\\\hline{\color{Gray}+}&{\color{Gray}300}\end{array}</math>
|Die kleinere Zahl wird von der größeren abgezogen: 700 − 400 = 300 Weil der Minuend größer ist als der Subtrahend, erhält die Differenz ein Pluszeichen.
|-
|<math>\begin{array}{rr}&7{\color{red}5}3\\-&4{\color{red}9}1\\\hline{\color{Gray}+}&{\color{Gray}300}\\{\color{Gray}-}&{\color{Gray}40}\end{array}</math>
|Die kleinere Zahl wird von der größeren abgezogen: 90 − 50 = 40 Weil der Subtrahend größer ist als der Minuend, erhält die Differenz ein Minuszeichen.
|-
|<math>\begin{array}{rr}&75{\color{red}3}\\-&49{\color{red}1}\\\hline{\color{Gray}+}&{\color{Gray}300}\\{\color{Gray}-}&{\color{Gray}40}\\{\color{Gray}+}&{\color{Gray}2}\end{array}</math>
|Die kleinere Zahl wird von der größeren abgezogen: 3 − 1 = 2 Weil der Minuend größer ist als der Subtrahend, erhält die Differenz ein Pluszeichen.
|-
|<math>\begin{array}{rr}&753\\-&491\\\hline{\color{red}+}&{\color{red}300}\\{\color{red}-}&{\color{red}40}\\{\color{red}+}&{\color{red}2}\\\hline & {\color{Gray}262}\end{array}</math>
| + 300 − 40 + 2 = 262
|}

=== Nicht-vertikale Verfahren ===
==== Ausschreiten der Differenz ====
Die Berechnung einer Differenz muss nicht Stelle für Stelle erfolgen. Meist umständlich, aber möglich ist es auch, den zwischen einem Subtrahenden und einem Minuenden liegenden Zahlenraum auszuschreiten.<ref>[http://www.math.nyu.edu/~braams/links/em-arith.html The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] Subtraction: Counting Up</ref>

;Beispiel

1234 − 567 = kann über folgende Schritte errechnet werden:
* 567 + '''3''' = 570
* 570 + '''30''' = 600
* 600 + '''400''' = 1000
* 1000 + '''234''' = 1234
Um die Differenz zu ermitteln, werden die Werte der Einzelschritte addiert: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

==== Zergliederung des Subtrahenden ====
Eine weitere Vorgehensweise, die sich gleichermaßen für die schriftliche Subtraktion wie für das Kopfrechnen eignet, ist die Zergliederung des Subtrahenden, der in Einzelschritten vom Minuenden abgezogen wird.<ref>[http://www.math.nyu.edu/~braams/links/em-arith.html The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] Subtraction: Left to Right Subtraction</ref>

;Beispiel

„1234 − 567 =“ kann über folgende Schritte errechnet werden:
* 1234 − '''500''' = 734
* 734 − '''60''' = 674
* 674 − '''7''' = 667

==== Gleiche Veränderung ====
Grundlage der ''Same change''-Subtraktion ist die Beobachtung, dass eine Subtraktion einfach durchzuführen ist, wenn am Ende des Subtrahenden eine oder mehrere Nullen stehen. Der Subtrahend wird bei diesem Verfahren darum auf den nächstliegenden Zehner erhöht oder erniedrigt; da der Minuend um dieselbe Differenz erhöht oder erniedrigt wird, nimmt die Manipulation auf die Differenz keinen Einfluss. Wenn die Aufgabe danach immer noch zu schwer ist, kann die Operation wiederholt werden.<ref>[http://www.math.nyu.edu/~braams/links/em-arith.html The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] Subtraction: Same Change Rule</ref>

;Beispiel

„1234 − 567 =“ kann über folgende Schritte errechnet werden:
*1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

== Siehe auch ==
* [[Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal#Algebraische_Operationen|Subtraktion zweier Zahlen mit Zirkel und Lineal]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Subtraction}}
{{Wiktionary}}
* [https://web.archive.org/web/20120130170553/http://www.lehrplan-bayern.de/pdf/Mathe_11.pdf Beispiele für das Abziehen mit Entbündeln und Erweiterungstechnik] (PDF-Datei; 39 kB)

== Einzelnachweise ==
<references/>

{{Normdaten|TYP=s|GND=4359078-0}}

[[Kategorie:Subtraktion| ]]

Subtraktion - Versionsgeschichte

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