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2025-02-03T06:49:27Z

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Als '''Schwingungen''' oder '''Oszillationen''' ({{laS|oscillare}} ‚schaukeln‘) werden wiederholte zeitliche Schwankungen von [[Zustandsgröße]]n eines Systems bezeichnet.<ref name="Magnus" /><ref name="DIN 1311" /> Unter Schwankung ist dabei die Abweichung von einem Mittelwert zu verstehen. Schwingungen können in allen rückgekoppelten Systemen auftreten.<ref>[http://www-docs.tu-cottbus.de/mechanik/public/pdf/TM2/tm2-m13.pdf ''13 Schwingungen.''] (PDF; 92 kB) TU Cottbus.</ref> Beispiele für Schwingungen sind in der Mechanik, in der Elektrotechnik, der Biologie, in der Wirtschaft und in vielen anderen Bereichen anzutreffen.

Man unterscheidet:
* [[Periodische Funktion|periodische]]<ref name="Jürgler" /> und nichtperiodische (quasiperiodische oder chaotische<ref>Michel Hénon: ''Numerical exploration of Hamiltonian Systems.'' In: Gérard Iooss, Robert H. G. Helleman, Raymond Stora (Hrsg.): ''Chaotic Behaviour of Deterministic Systems.'' North-Holland, 1983, S. 53–76.</ref><ref>Steven H. Strogatz: ''Nonlinear Dynamics and Chaos''. Perseus Books, 2001, S. 273 ff., Kapitel 8.6 – ''Coupled Oscillators and Quasiperiodicity''.</ref>) Schwingungen
* ungedämpfte, [[Dämpfung|gedämpfte]] und [[aperiodisch]]e Schwingungen
* freie, [[Erzwungene Schwingung|erzwungene (fremderregte)]], selbsterregte und [[Parametererregte Schwingung|parametererregte]] Schwingungen
* [[Linearität (Physik)|lineare]] und nichtlineare Schwingungen
* Schwingungen mit einem [[Freiheitsgrad]], mit mehreren Freiheitsgraden und mit unendlich vielen Freiheitsgraden (Schwingungen eines [[Kontinuum (Physik)|Kontinuums]])
* kontinuierliche Schwingungen und Oszillation zwischen [[Diskrete Mathematik|diskreten]] Zuständen

Alle diese Eigenschaften können kombiniert sein.

Als [[Vibration]] werden periodische, mit Verformung verbundene mechanische Schwingungen eines Körpers bezeichnet. Eine Schwingung, die zur Informationsübermittlung dient, nennt man manchmal Signal, zum Beispiel [[elektrisches Signal]]. Die räumliche Ausbreitung einer Störung oder Schwingung ist eine [[Welle]].
[[Datei:Waveforms.svg|mini|Gegenüberstellung elementarer Schwingungsformen. Die waagerechte Achse stellt die Zeit dar]]

== {{Anker|Harmonische Schwingung}} Harmonische Schwingungen ==
{{Siehe auch|Harmonischer Oszillator}}
{{Manueller Rahmen|content=
[[Datei:Schwingungsanimation nogif.svg|350px]][[Datei:HarmonischeSchw.gif|25px]]
|caption = Darstellung einer harmonischen Schwingung.
}}
Als ''harmonisch'' wird eine Schwingung bezeichnet, deren Verlauf durch eine [[Sinusfunktion]] beschrieben werden kann.

Die Grafik zeigt eine harmonische Schwingung mit der Auslenkung <math>y(t)</math>, der [[Amplitude]] <math>y_0</math> und der [[Periodendauer]] <math>T</math>.

Die Auslenkung <math>y(t)</math> zu einem Zeitpunkt <math>t</math> gibt den momentanen, die Amplitude den maximal möglichen Wert der Größe <math>y</math> an. Die Periodendauer oder die [[Schwingungsdauer]] ist die [[Zeit]], die verstreicht, während ein schwingungsfähiges [[System]] genau eine Schwingungsperiode durchläuft, d. h. nach der es sich wieder im selben Schwingungszustand befindet. Der [[Kehrwert]] der Periodendauer ''T'' ist die [[Frequenz]] ''f'', also: <math>f = {1 \over T} \quad</math>.<br /> Statt ''f'' wird auch der griechische Buchstabe <math>\nu</math> ([[Ny]]) verwendet. Die [[Maßeinheit|Einheit]] der Frequenz ist [[Hertz (Einheit)|Hertz]] (1 Hz = 1 s<sup>−1</sup>).

Eine ungedämpfte Schwingung ist harmonisch, wenn die [[Rückstellgröße]] (die rückstellende [[Kraft]]) proportional zur Auslenkung beispielsweise eines [[Federpendel]]s ist. Hierbei spricht man auch von einem harmonischen Oszillator oder einem [[Lineares System (Systemtheorie)|linearen System]], da die rückstellende Kraft sich linear mit der Auslenkung ändert: Verdoppelt sich diese, verdoppelt sich auch der Betrag der rückstellenden Kraft <math>F</math>. Dies führt auf eine lineare Differentialgleichung der Form <math>\ddot{y}(t) = F = -\kappa \cdot y(t)</math> für alle Zeiten <math>t</math>, wobei <math>\kappa>0</math> ein positiver Proportionalitätsfaktor ist, für welchen sich aus der Lösung der Gleichung <math>\kappa=\omega^2</math> mit <math>\omega= 2\pi\cdot f</math> ergibt.

Eine solche Schwingung, d. h., eine Lösung der vorstehenden Differentialgleichung, lässt sich allgemein beschreiben durch
: <math>y(t) = y_0 \cdot \sin(2\pi f t + \varphi_0)</math>

mit
: <math>y_0</math>  = [[Amplitude]] und
: <math>\varphi_0</math>  = [[Nullphasenwinkel]] der Schwingung.

Das <math>2\pi</math>-fache der Frequenz, <math>\omega = 2\pi \cdot f</math>, ist die [[Kreisfrequenz]] der Schwingung.
Durch Verwendung der Kreisfrequenz ergibt sich eine kompaktere Schreibweise:
: <math>y(t) = y_0 \cdot \sin(\omega\,t + \varphi_0) \, .</math>

== Linear gedämpfte Schwingung ==
{{Manueller Rahmen|content=
[[Datei:Damped oscillation graph2.svg|350px]][[Datei:damped spring.gif|63px]]
|caption = Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Größe <math>x(t)</math><br />bei einer freien gedämpften Schwingung.
}}

Makroskopische [[Physikalisches System|physikalische Systeme]] sind immer [[Dämpfung|gedämpft]]. Da sie beispielsweise durch [[Reibung]] [[Energie]] an die Umgebung abgeben, nimmt die Amplitude ihrer Schwingung im Laufe der Zeit ab. Überlässt man ein solches System sich selbst (freie Schwingung), so führt dieses letztendlich zum „Stillstand“, wie aus dem [[Thermodynamik|zweiten Hauptsatz der Thermodynamik]] hervorgeht. [[Perpetuum mobile|Perpetua mobilia]] sind also (siehe [[Energieerhaltungssatz]]) nicht möglich.

Stellt man die Bewegungsgleichung eines Federpendels mit einer zur Geschwindigkeit proportionalen Dämpfung auf, so ergibt sich folgende Differentialgleichung:
:<math>m \ddot x + d \dot x + k x = 0 \, .</math>

Dabei ist
:<math>m</math> die [[Masse (Physik)|Masse]],
:<math>d</math> die [[Dämpfungskonstante]] und
:<math>k</math> die [[Federkonstante]].
(Für [[Drehschwingung]]en ist <math>m</math> durch das [[Trägheitsmoment]] <math>J</math> und <math>x</math> durch den Auslenkungswinkel <math>\varphi</math> zu ersetzen.)

Hierbei handelt es sich um eine homogene [[lineare gewöhnliche Differentialgleichung]] 2. Ordnung, die sich auf die allgemeine Form
:<math>\ddot x +2 \delta \dot x + \omega_0^2 x = 0</math>
bringen lässt, wenn man die (positiven) Abkürzungen für die [[Abklingkonstante]]
:<math>\delta=\frac{d}{2m}</math>
und die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}</math>
einführt, deren Bedeutungen erst bei der Interpretation der Lösung deutlich werden.

Beim klassischen Weg zur Lösung einer solchen linearen homogenen Differentialgleichung (alternativ kann man Methoden der [[Operatorenrechnung]] benutzen) können mit Hilfe des Ansatzes
:<math>x(t)=e^{\lambda t}</math>
mit gegebenenfalls [[Komplexe Zahl|komplexem]] Parameter <math>\lambda</math> zwei [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] Lösungen gefunden werden, welche ein [[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalsystem]] bilden. Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt sich:
:<math>(\lambda^2 +2 \delta \lambda + \omega_0^2) \, e^{\lambda t} = 0.</math>
Das Polynom
:<math>P(\lambda) = \lambda^2 + 2 \delta \lambda + \omega_0^2</math>
ist das [[charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] der Differentialgleichung; die Differentialgleichung kann nur dann erfüllt sein, wenn das <math>\lambda</math> eine Nullstelle des Polynoms ist, da die Exponentialfunktion niemals null wird. Abhängig von der [[Diskriminante]]n
:<math>\delta^2-\omega_0^2</math>
dieser [[quadratische Gleichung|quadratischen Gleichung]] besitzt das Polynom zwei reelle, zwei [[konjugiert komplex]]e oder eine doppelte Nullstelle. Das Verhalten des Systems ist von der Art der Nullstellen abhängig, was eine Fallunterscheidung erforderlich macht.

Die Theorie der [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|linearen Differentialgleichungen]] zeigt, dass die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung eine [[Linearkombination]] ihrer [[Fundamentallösung]]en ist. Besitzt das charakteristische Polynom zwei Lösungen (also ist die Diskriminante ungleich 0), dann lässt sich die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung wie folgt schreiben:
:<math>x(t) = X_1 e^{\lambda_1 t}+X_2 e^{\lambda_2 t}.</math>
Die beiden (im Allgemeinen komplexen) Konstanten <math>X_1</math> und <math>X_2</math> repräsentieren die zwei noch vorhandenen Freiheitsgrade der allgemeinen Lösung. Durch die Festlegung von zwei [[Anfangsbedingung]]en (z. B. <math>x(0)</math> oder/und <math>\dot x(0)</math>) müssen die beiden Konstanten für einen konkreten Fall präzisiert werden.
[[Datei:Federpendel verschiedene Dämpfungen.gif|mini|700x700px|Schwingfall (links), Aperiodischer Grenzfall (mittig) und Kriechfall (rechts) einer gedämpften Schwingung.]]
Hat das charakteristische Polynom eine doppelte Nullstelle, ist die Lösung
:<math>x(t) = X_1 e^{\lambda t} + X_2 t e^{\lambda t}.</math>

=== Schwingfall ===
Eine Schwingung kann es nur geben, wenn die Verluste gering sind. Dann ist mit <math>\delta<\omega_0</math> die Diskriminante negativ, der Wurzelausdruck imaginär und man erhält zwei konjugiert komplexe Lösungen:
:<math>\lambda_{1,2}=-\delta \pm \mathrm i\sqrt {\omega_0^2-\delta^2}</math>.
Mit der gedämpften Eigenkreisfrequenz:
:<math>\omega_d = \sqrt {\omega_0^2-\delta^2}</math>.
ergibt sich kürzer:
:<math>\lambda_{1,2}=-\delta \pm \mathrm i \omega_d</math>.
Damit erhält man
:<math>x(t) = e^{-\delta t} \left(X_1 e^{\mathrm i \omega_d t}+X_2 e^{-\mathrm i \omega_d t}\right).</math>
Mit Hilfe der [[Eulersche Formel|Eulerschen Formeln]] lässt sich die Lösung der homogenen Differentialgleichung auch in trigonometrischer Form angeben. Wenn die Anfangsbedingungen reell sind, dann sind auch die Koeffizienten in der trigonometrischen Form reell und dadurch praktisch besser interpretierbar:
:<math>x(t)=e^{-\delta t}\left(X_3 \sin(\omega_d\, t)+X_4 \cos(\omega_d\, t)\right)\,</math>
oder
:<math>x(t)=x_0\,e^{-\delta t}\cos(\omega_d\, t+ \varphi_0) \, .</math>
Auch hier sind jeweils die beiden Konstanten <math>X_3</math> und <math>X_4</math> bzw. <math>x_0</math> und <math>\varphi_0</math> durch die Anfangsbedingungen zu bestimmen. Insbesondere die letzte Form ist leicht als „gedämpfte Schwingung“ zu interpretieren.

Durch Vorgabe der zwei Anfangsbedingungen <math>x(0)</math> und <math>\dot x(0)</math> können die beiden Konstanten eliminiert werden. Ausgehend von der ersten trigonometrischen Form erhält man die konkrete von beiden Anfangsbedingungen abhängige Lösung

:<math>x(t)=e^{-\delta t}\left(\frac{\dot x(0)+\delta x(0)}{\omega_d}\cdot \sin(\omega_d\, t)+x(0)\cdot \cos(\omega_d\, t)\right)\, .</math>

Wenn die Abklingkonstante <math>\delta</math> gleich Null ist, bleibt die Amplitude konstant. Die Schwingung ist ungedämpft mit der Kreisfrequenz <math>\omega_d=\omega_0</math>.

=== Aperiodischer Grenzfall ===
Die Grenze, ab der keine Schwingung mehr möglich ist, bildet der [[Aperiodischer Grenzfall|aperiodische Grenzfall]] (<math>\delta=\omega_0</math> bzw. <math>\omega_d = 0</math>). Die Lösung enthält dann keine Sinusfunktion. Die allgemeine Lösung ist:
:<math>x(t) = X_1\;e^{-\delta t} +X_2\;t\;e^{-\delta t} =e^{-\delta t}\cdot (X_1 + t\;X_2).</math>

=== Kriechfall ===
Bei hoher Dämpfung, also für <math>\delta>\omega_0</math> ergibt sich der [[Kriechfall]], dessen Lösung sich aus zwei Exponentialfunktionen mit den beiden reellen <math>\lambda_{1,2}=-\delta\pm\tilde\omega_d</math> zusammensetzt:
:<math>x(t) = (X_1 e^{\tilde\omega_d t} + X_2 e^{-\tilde\omega_d t})e^{-\delta t}</math>
mit <math>\tilde \omega_d = \sqrt{\delta^2 - \omega_0^2}</math>. Ähnlich wie im Schwingfall lässt sich dies in Termen der [[Hyperbelfunktion]]en schreiben:
:<math>x(t) = (X_3 \sinh(\tilde\omega_d t) + X_4\cosh(\tilde\omega_d t))e^{-\delta t}</math>
oder
:<math>x(t) = X_5 e^{-\delta t} \cosh(\tilde\omega_d t + \phi_0)</math>.

== {{Anker|Frequenzspektrum einer Schwingung}} Frequenzspektrum ==
[[Datei:Diff Fourier-Analyse.svg|mini|hochkant=1.6|Zusammenhang von Zeit- und Frequenzbereich]]
{{Hauptartikel|Frequenzspektrum}}
Eine Schwingung lässt sich statt als zeitabhängige Änderung auch als Funktion im [[Frequenzraum]] betrachten. Die mathematische Transformation nennt man [[Fouriertransformation]]. Der Informationsgehalt bleibt dabei erhalten, daher lässt sich aus einem Frequenzspektrum durch Rücktransformation die entsprechende zeitabhängige Schwingung rekonstruieren. Hintergrund dieser Überlegung ist, dass sich jede Schwingung durch eine additive Überlagerung ([[Superposition (Physik)|Superposition]]) von harmonischen Schwingungen unterschiedlicher Frequenz darstellen lässt. Die Superposition zweier harmonischer Schwingungen nennt man [[Schwebung]].
{{Siehe auch|Fourieranalyse}}

== {{Anker|Anregung einer Schwingung}} Anregung ==


=== Freie Schwingungen ===
Freie Schwingungen führt ein schwingfähiges System aus, das – nach einer Störung/Auslenkung sich selbst überlassen – je nach Dämpfung oszillierend oder „kriechend“ in den Gleichgewichtszustand zurückkehrt (siehe oben). Die Frequenz der freien Schwingung ist die [[Eigenfrequenz]] des Schwingers. Bei Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden gibt es entsprechend viele Eigenfrequenzen.

=== Erzwungene Schwingungen ===
{{Hauptartikel|Erzwungene Schwingung}}

Erzwungene Schwingungen führt ein Schwinger aus, der durch zeitveränderliche äußere Einwirkung zum Schwingen angeregt (gezwungen) wird. Praktisch bedeutsam sind vor allem periodische Erregungen und darunter die harmonische, sinusförmige Erregung. Die Frequenz der periodischen Erregung wird als Erregerfrequenz bezeichnet. Es gibt auch mehrfrequente Erregungen oder Erregungen durch Zufallsprozesse.

Im Falle der harmonischen Erregung führt ein lineares System im Allgemeinen zwei Schwingungen gleichzeitig aus:
* die freie Schwingung (mit der Eigenfrequenz bzw. mehreren Eigenfrequenzen), deren Größe von den [[Anfangsbedingung]]en abhängt und die durch die stets vorhandene Dämpfung während der [[Einschwingzeit]] abklingt, und
* die erzwungene Schwingung mit der Erregerfrequenz bei konstanter Anregungsstärke. Die Amplitude dieser Schwingung ist nach Beendigung des Einschwingvorgangs konstant. Das Verhältnis zwischen der Amplitude und der Stärke der Erregung wird durch die Vergrößerungsfunktion quantifiziert.

In der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] sind die wichtigsten Erregungsmechanismen die ''Wegerregung'', die ''Krafterregung'' und die [[Unwucht]]erregung (siehe [[Vergrößerungsfunktion]]).

Die Amplitude der erzwungenen Schwingung nimmt im Falle der [[Resonanz]] ein Maximum an. Bei fehlender Dämpfung und Gleichheit von (einer) Erregerfrequenz und (einer) Eigenfrequenz wird die Amplitude unendlich. Mit wachsendem Dämpfungswert verschiebt sich die Resonanzstelle geringfügig und die Resonanzamplitude nimmt ab.

=== Selbsterregte Schwingungen ===
Schwingungssysteme, bei denen die Energiezufuhr durch ein geeignetes Steuerelement und den Schwingungsvorgang selbst gesteuert wird, führen selbsterregte Schwingungen aus und werden [[Oszillator]] genannt. In den Differentialgleichungen wirkt sich diese Erscheinung so aus, dass der Dämpfungswert Null wird. Ein typisches Beispiel im Bereich der Mechanik sind die Schwingungen der Saiten einer Violine. Diese werden dadurch verursacht, dass die Haftreibung zwischen Bogen und Saite größer ist als die Gleitreibung und die Gleitreibung mit wachsender Differenzgeschwindigkeit noch abnimmt. Weitere Beispiele sind das Tönen von Gläsern durch Reiben des Randes und elektronische Taktgeber ([[Oszillatorschaltung]]).

Selbsterregte Schwingungen nehmen in der Amplitude zu, bis die überproportional mit der Amplitude zunehmende Dämpfung die Energieeinkopplung kompensiert oder das schwingende System zerstört wird.

=== Parametererregte Schwingungen ===
{{Hauptartikel|Parametrischer Oszillator}}
Eine parametererregte Schwingung tritt dann auf, wenn sich Parameter des Schwingungssystems (Trägheitsgrößen, Dämpfungswerte oder Federkonstanten) periodisch ändern, z. B. beim [[Schaukel]]n.

== Lineare und nichtlineare Schwingungen ==
Lineare Schwingungen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie sich mit Differentialgleichungen beschreiben lassen, bei denen alle Abhängigkeiten von der schwingenden Größe und ihren zeitlichen [[Differentialrechnung|Ableitungen]] [[Linearität (Physik)|linear]] sind. Bei nichtlinearen Schwingungen ist dies nicht der Fall, sie sind daher nicht streng sinusförmig. Von größerer praktischer Bedeutung ist, dass sich bei einem getriebenen Oszillator das Resonanzverhalten erzwungener Schwingungen ändert und die Amplituden selbsterregter Schwingungen beschränkt bleiben.

Nichtlineare Systeme sind häufig nicht [[integrabel]], d. h. die Differentialgleichung(en) besitzen keine [[analytische Lösung]]. Das Schwingverhalten solcher Systeme wird daher meist mit [[Numerische Simulation|numerischen Computersimulationen]] untersucht. Eines der ersten dieser Experimente war das [[Fermi-Pasta-Ulam-Experiment]], bei dem eine [[Saitenschwingung]] mit nichtlinearem Stör[[term]] untersucht wurde. Als Lösung solcher Systeme erhält man je nach Energie der Schwingung häufig eine quasiperiodische oder [[Chaosforschung|chaotische]] Oszillation. Chaotisches Verhalten lässt sich beispielsweise bei einem [[Doppelpendel]] beobachten. Ein nichtlineares System, das ''kein'' chaotisches Verhalten ermöglicht, ist der [[Van-der-Pol-System|Van-der-Pol-Oszillator]].

== Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden ==
[[Datei:Lissajous.gif|gerahmt|Diese Animation zeigt eine [[Lissajous-Figur]], wie sie ein [[Oszilloskop]] bei einem [[Frequenz]]-Verhältnis von annähernd 2:3 anzeigen würde ([[Amplitude]]n-Verhältnis 1:1)]]
Schwingungen mit einem [[Freiheitsgrad]] sind solche, die sich mit einer schwingenden Größe vollständig beschreiben lassen. Ein Beispiel dafür sind Schwingungen des ''ebenen'' [[Mathematisches Pendel|Fadenpendels]]. Lässt man beim Pendel räumliche Bewegungen zu wie bei einem [[Foucaultsches Pendel|foucaultschen Pendel]], so handelt es sich bereits um einen Schwinger mit zwei Freiheitsgraden. Im Folgenden beschränken wir uns auf die Betrachtung kleiner Auslenkungen.

An diesem Beispiel lässt sich sehen, dass die Bezeichnung als Schwingung von den betrachteten Größen abhängen kann, also der Wahl der [[Generalisierte Koordinate|generalisierten Koordinaten]]. So lässt sich das Pendel auslenken, sodass die Schwingung in einer Ebene stattfindet. Gibt man dem Pendel zusätzlich noch eine Anfangsgeschwindigkeit senkrecht zur Auslenkungsrichtung, so kann man [[Ellipse]]nbahnen oder eine [[Rotation (Physik)|Kreisbewegung]] mit konstanter [[Winkelgeschwindigkeit]] beobachten.

Betrachtet man Auslenkungswinkel des Pendels von der Seite von zwei verschiedenen Richtungen, erhält man zwei harmonischen Schwingungen gleicher Periodendauer. Eine Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen nennt man [[Lissajous-Figur]]. Eine andere Möglichkeit ist, das Pendel von oben zu betrachten und Abstand zur Ruhelage sowie die Richtung der Auslenkung als fortlaufende Entfernung zum Anfangswinkel zu notieren. Im Fall einer Kreisbahn sind beide keine Schwingungen mehr.

Die Anzahl der Freiheitsgrade eines mechanischen Systems mit mehreren Massen, die sich unabhängig voneinander bewegen können, ist die Summe aller einzelnen Freiheitsgrade. Weitere Beispiele für Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden sind Torsionsschwingungen einer Kurbelwelle oder die Horizontalschwingungen eines mehrgeschossigen Bauwerkes unter Erdbebeneinfluss.

Manche Schwingungen eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden lassen sich bei geeigneter Wahl der Koordinaten als mehrere unabhängige Schwingungen betrachten. Für eine Schwingung, die sich mittels Differentialgleichungen beschreiben lässt, bedeutet dies, die Gleichungen der einzelnen Koordinaten zu entkoppeln. Sind die einzelnen Schwingungen periodisch, lassen sich dann aus den entkoppelten Differentialgleichungen die Eigenfrequenzen des Systems bestimmen. Lassen sich alle Eigenfrequenzen als ganzzahliges Vielfaches einer Konstanten schreiben, so ist auch die Schwingung des Gesamtsystems periodisch.

Bei nichtlinearen Schwingungssystemen ist eine Entkopplung der Differentialgleichungen in geschlossener Form meist nicht möglich. Es existieren jedoch Näherungsverfahren, die ausgehend von einer [[Linearisierung]] der Differentialgleichungen eine iterative Lösung ermöglichen.

== Schwingungen eines Kontinuums ==
[[Datei:Chladini.Diagrams.for.Quadratic.Plates.svg|mini|Schwingungen quadratischer Platten. Dargestellt sind die [[Knotenlinie]]n von [[Stehende Welle|stehenden Wellen]], auch [[Chladnische Klangfigur]]en genannt.]]
{{Siehe auch|Stehende Welle}}
Eine an einer Stelle in einem [[Kontinuum (Physik)|Kontinuum]] angeregte Schwingung breitet sich darin als [[Welle]] aus. An Grenzflächen, an denen das [[Ausbreitungsmedium]] wechselt, kann die Welle reflektiert werden. Innerhalb des schwingenden Körpers überlagern sich die ursprüngliche und die reflektierte Welle, so dass eine stehende Welle entsteht; Beispiele sind eine schwingende Saite eines Musikinstruments – geometrisch [[Dimension (Mathematik)|eindimensional]] – oder die zweidimensional schwingende [[Schwingungsmembran|Membran]] in einem [[Lautsprecher]]. Die stehende Welle lässt sich mathematisch durch [[Harmonischer Oszillator#Gekoppelte harmonische Oszillatoren|unendlich viele gekoppelte Oszillatoren]], also ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden beschreiben.

Von praktischem Interesse in der Technik sind des Weiteren die Schwingungen von [[Stock (Stab)|Stäben]], [[Platte (Technische Mechanik)|Platten]] und [[Schale (Technische Mechanik)|Schalen]]. Ein einseitig eingespannter Balken besitzt viele Freiheitsgrade der Schwingung, die sich nicht nur durch ihre [[Resonanzfrequenz]]en, sondern auch durch die Art ihrer Bewegung unterscheiden.
<gallery>
Beam mode 1.gif|Schwingungsform eines einseitig eingespannten Balkens bei der tiefsten [[Eigenfrequenz]] – erste Querbiegungsmode
Beam mode 6.gif|Schwingungsform desselben Balkens bei einer höheren [[Eigenfrequenz]] – zweite Vertikalbiegungsmode
Beam mode 2.gif|Schwingungsform desselben Balkens bei einer höheren [[Eigenfrequenz]] – erste Torsionsmode
Beam mode 5.gif|Schwingungsform desselben Balkens bei einer höheren [[Eigenfrequenz]] – zweite Torsionsmode
</gallery>

== Weitere Beispiele ==
Im Alltag begegnen uns Schwingungen zum Beispiel in [[Musikinstrument]]en und am Uhrpendel, aber auch in [[Schwingquarz]]en von Uhren oder zur Takterzeugung in anderen elektronischen Geräten.

Auch die Atome in einem Kristallgitter oder Moleküle können um eine Gleichgewichtslage schwingen und erzeugen so zum Beispiel charakteristische [[Absorptionsspektrum|Absorptionsspektren]].

[[Oszillierende Reaktion]]en geben den Takt vor für die Atmung und den Herzschlag.

Bei [[Elektronenröhre]]n wird häufig [[Mikrofonie]] beobachtet. Sie entsteht durch von außen auf die Bauteile einwirkende störende mechanische Schwingungen etwa durch nah dabeistehende Lautsprecher. Das geschieht in ähnlicher Form beim Schallplattenspieler. Besonders deutlich ist der Pfeif- oder Heulton, den ein [[Mikrofon]] in Abhängigkeit vom Abstand zum Lautsprecher durch [[Akustische Rückkopplung]] erzeugt.

Als [[Regenerativeffekt]] bezeichnet man in der Fertigungstechnik Schwingungen, die während des Fertigungsvorganges innerhalb einer Maschine auftreten.

In der Geologie und Meteorologie werden kleinere und mit gewisser Regelmäßigkeit wiederkehrende Schwankungen des [[Meeresspiegel]]s, der [[Eisrandlage]]n, der Erdkrustenstücke, des [[Erdmagnetfeld]]es oder des Klimas beobachtet.

In der Wirtschaft dient das [[Goodwin-Modell]] zur Erklärung von Konjunkturzyklen.

Die [[Lotka-Volterra-Gleichungen]] beschreiben näherungsweise die Schwankungen von Räuber- und Beutepopulationen.

== Siehe auch ==
* [[Harmonograph]]
* [[Humanschwingung]]en, mechanische Schwingungen, die auf den Menschen einwirken
* [[Vibration]]en, Schwingungen von Stoffen und Körpern
* [[Zeigermodell]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Hans Dresig]], [[Alexander Fidlin]]
|Titel=Schwingungen und mechanische Antriebssysteme: Modellbildung, Berechnung, Analyse, Synthese
|Auflage=3., überarb. und erw.
|Verlag=Springer Vieweg Verlag
|Ort=Berlin / Heidelberg
|Datum=2014
|ISBN=978-3-642-24116-1}}
* {{Literatur
|Autor=N. N. Bogoliubow, Y. A. Mitropolski
|Titel=Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations
|Auflage=2.
|Verlag=Hindustan Pub. Corp. / Gordon and Breach Science Publishers
|Ort=Delhi / New York / London
|Datum=1961
|Sprache=en
|Online={{Google Buch |BuchID=NRwfI8vuoOEC |SeitenID=PR5}}
|OCLC=564000480}}
* {{Literatur
|Autor=Thomas Frey, [[Martin Bossert]]
|Titel=Signal- und Systemtheorie
|Sammelwerk=Teubner Informationstechnik
|Verlag=Teubner Verlag
|Ort=Stuttgart / Leipzig / Wiesbaden
|Datum=2004
|ISBN=3-519-06193-7}}
* {{Literatur
|Autor=[[Anatole Katok]], [[Boris Hasselblatt]]
|Titel=Introduction to the modern theory of dynamical systems
|Sammelwerk=Encyclopedia of mathematics and its applications
|Band=54
|Verlag=Cambridge University Press
|Ort=Cambridge
|Datum=1996
|ISBN=0-521-57557-5
|Sprache=en}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Schwingbewegungen}}
{{Wiktionary|oszillieren}}
* [http://lp.uni-goettingen.de/get/text/4819 Schwingungen: Kurs Uni Göttingen]

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Magnus">
{{Literatur
|Autor=Kurt Magnus, Karl Popp
|Titel=Schwingungen
|Auflage=7
|Verlag=Teubner
|Datum=2005
|ISBN=3-519-52301-9
|Seiten=13
|Online={{Google Buch |BuchID=B0fEFQenMgcC |Seite=13}}
|Zitat=„Als Schwingungen werden mehr oder weniger regelmäßig erfolgende zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen bezeichnet.“}}
</ref>
<ref name="Jürgler">
{{Literatur
|Autor=Rudolf Jürgler
|Titel=Maschinendynamik
|Auflage=3., neu bearbeitete Auflage
|Verlag=Springer
|Datum=2004
|ISBN=3-540-62227-6
|Seiten=3
|Online={{Google Buch |BuchID=bL_k6xRI0a4C |Seite=3}}}}
</ref>
<ref name="DIN 1311">
DIN 1311-1:2000: ''Schwingungen und schwingungsfähige Systeme – Teil 1: Grundbegriffe, Einteilung.'' Abschnitt 3 „Eine Schwingung ist eine zeitliche Änderung einer Zustandsgröße eines Systems, bei der im allgemeinen diese Zustandsgröße abwechselnd zu- und abnimmt. Spezielle zeitliche Änderungen wie Stoß- und Kriechvorgänge werden im erweiterten Sinn auch als Schwingungen bezeichnet.“
</ref>
</references>

{{Normdaten|TYP=s|GND=4053999-4}}

[[Kategorie:Wellenlehre]]
[[Kategorie:Schwingung| ]]
[[Kategorie:Physikalisches Grundkonzept]]

Schwingung - Versionsgeschichte

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