imported>Daniel5Ko: /* Geschichte und Lösungen */ "Durch Umformung der Quantoren" verwendet (unnötigerweise; die Richtung, die benötigt wird, geht zwar durch, es ist aber anscheinend von einer Äquivalenz die Rede, deren andere Richtung nicht durchgeht) klassische Logik, wodurch der Beweis eben nicht so recht in intuitionistischer Logik gültig wäre. Daher Umbau. Und ja, es handelt sich nun um einen "direkten Beweis" nach allen vernünftigen Maßstäben.

2025-05-05T22:21:21Z

Geschichte und Lösungen: "Durch Umformung der Quantoren" verwendet (unnötigerweise; die Richtung, die benötigt wird, geht zwar durch, es ist aber anscheinend von einer Äquivalenz die Rede, deren andere Richtung nicht durchgeht) klassische Logik, wodurch der Beweis eben nicht so recht in intuitionistischer Logik gültig wäre. Daher Umbau. Und ja, es handelt sich nun um einen "direkten Beweis" nach allen vernünftigen Maßstäben.

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[[Datei:Honourable Bertrand Russell.jpg|mini|Namensgeber Bertrand Russell]]
Die '''Russellsche Antinomie''' oder auch '''Russellsche Paradoxie''' ist ein von [[Bertrand Russell]] und [[Ernst Zermelo]] entdecktes [[Paradoxon]] der [[Naive Mengenlehre|naiven Mengenlehre]], das Russell 1903 publizierte und das daher seinen Namen trägt.

== Begriff und Problematik ==
Russell bildete seine [[Antinomie]] mit Hilfe der „Klasse aller Klassen, die sich nicht selbst als Element enthalten“,<ref>[http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/s106 Bertrand Russell: ''The principles of Mathematics'', Cambridge 1903, Kap. X, Zusammenfassung §106.]</ref> die als '''Russellsche Klasse''' bezeichnet wird; er definierte sie formal folgendermaßen:<ref>Russells eigene Formel (in Peano-Notation) im Brief an Frege in: Gottlob Frege: ''Briefwechsel mit D.Hilbert, E. Husserl, B. Russell'', ed. G. Gabriel, F. Kambartel, C. Thiel, Hamburg 1980, S. 60. (Briefwechsel zwischen Russell und Frege online in der [https://www.hs-augsburg.de/~harsch/germanica/Chronologie/19Jh/Frege/fre_brif.html Bibliotheca Augustana].)</ref>
: <math>R :=\{\,x\mid x\notin x\,\}</math>

{{Belege|Zum folgenden Absatz fehlen die Quellennachweise. Zudem ist es unhaltbar zu behaupten, die russellsche Antinomie habe "schlagartig das Ende der naiven Mengenlehre herbeigeführt". Das ist so nicht richtig, denn auch weiterhin wird naive Mengenlehre betrieben. Richtig ist indes die Feststellung, dass die naive uneingeschränkte Anwendung eines Komprehensionsaxioms zu Widersprüchen führt.|Dieser Abschnitt}}

Oft wird die Russellsche Klasse auch als „Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ definiert; das entspricht der damaligen Mengenlehre, die noch nicht zwischen [[Klasse (Mengenlehre)|Klassen]] und [[Menge (Mathematik)|Mengen]] unterschied. Die Russellsche Antinomie ist aber im Gegensatz zu den älteren Antinomien der naiven Mengenlehre ([[Burali-Forti-Paradoxon]] und [[Cantorsche Antinomie]]n) rein logischer Natur und unabhängig von Mengenaxiomen. Daher hat sie besonders stark gewirkt und schlagartig das Ende der naiven Mengenlehre herbeigeführt.

Russell leitete seine Antinomie sinngemäß so ab:<ref>[http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/s101 Bertrand Russell: ''The principles of Mathematics'', Cambridge 1903, §101.]</ref> Angenommen,<math>\,R</math> enthalte sich selbst, dann gilt aufgrund der Klasseneigenschaft, mit der<math>\,R</math> definiert wurde, dass<math>\,R</math> sich nicht enthält, was der Annahme widerspricht. Angenommen, es gelte das Gegenteil und<math>\,R</math> enthalte sich nicht selbst, dann erfüllt<math>\,R</math> die Klasseneigenschaft, so dass<math>\,R</math> sich doch selbst enthält, entgegen der Annahme. Mathematisch drückt dies folgende widersprüchliche Äquivalenz aus:
:<math>R \in R \iff R \notin R</math>
Zur Ableitung dieses Widerspruchs werden keine Axiome und Sätze der Mengenlehre benutzt, sondern außer der Definition nur Freges [[Klasse (Mengenlehre)#Klassenterme|Abstraktionsprinzip]], das Russell in seine Typentheorie übernahm:<ref>Gottlob Frege: ''Grundgesetze der Arithmetik'', I, 1893, S. 52 erläutert dieses Abstraktionsprinzip. Es ist aber bei Frege kein Axiom, sondern ein Satz, der aus anderen Axiomen abgeleitet wird.</ref><ref>Bertrand Russell: [http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/cursos/selecaoartigos/Russell(1905).pdf ''Mathematical logic as based on the theory of types''] (PDF; 1,9 MB), in: ''American Journal of Mathematics'' 30 (1908), Seite 250.</ref>
:<math>y \in \{\,x\mid A(x)\,\} \iff A(y)</math>

== Geschichte und Lösungen ==
Russell entdeckte sein Paradoxon Mitte 1901 bei der Beschäftigung mit der [[Cantorsche Antinomie|ersten Cantorschen Antinomie]] von 1897.<ref>Zeitangabe laut Russells Brief an Frege vom 22. Juni 1902. In: Frege: Wissenschaftlicher Briefwechsel, ed. G. Gabriel, H. Hermes, F. Kambartel, C. Thiel, A. Veraart, Hamburg 1976, S. 215f.</ref> Er veröffentlichte die Antinomie in seinem Buch {{lang|en|''The Principles of Mathematics''}} 1903.<ref>[http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/s100 Bertrand Russell: ''The Principles of Mathematics'', Cambridge 1903, §100]</ref> Schon 1902 teilte er sie [[Gottlob Frege]] brieflich mit.<ref>Russells Brief an Frege vom 16. Juni 1902. In: Gottlob Frege: ''Briefwechsel mit D.Hilbert, E. Husserl, B. Russell'', ed. G. Gabriel, F. Kambartel, C. Thiel, Hamburg 1980, S. 59f. (Briefwechsel zwischen Russell und Frege online in der [https://www.hs-augsburg.de/~harsch/germanica/Chronologie/19Jh/Frege/fre_brif.html Bibliotheca Augustana].)</ref> Er bezog sich auf Freges ersten Band der ''Grundgesetze der Arithmetik'' von 1893, in der Frege die [[Arithmetik]] auf ein mengentheoretisches [[Axiomensystem]] aufzubauen versuchte. Die Russellsche Antinomie zeigte, dass dieses Axiomensystem widersprüchlich war. Frege reagierte darauf im Nachwort des zweiten Bands seiner ''Grundgesetze der Arithmetik'' von 1903:

{{Zitat|Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte.|ref=<ref>Gottlob Frege: ''Grundlagen der Arithmetik'', II, 1903, Anhang S. 253–261.</ref>|Autor=Gottlob Frege}}

Russell löste das Paradoxon bereits 1903 durch seine [[Typentheorie]]; in ihr hat eine Klasse stets einen höheren Typ als ihre Elemente; Aussagen wie „eine Klasse enthält sich selbst“, mit der er seine Antinomie bildete, lassen sich dann gar nicht mehr formulieren.<ref>[http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/s497 Bertrand Russell: ''The Principles of Mathematics'', Cambridge 1903, §§497-500.]</ref> Er versuchte also, da er an Freges Abstraktionsprinzip festhielt,<ref>Russell/Whitehead: ''Principia mathematica'' I, Cambridge 1910, S. 26</ref> das Problem durch eine eingeschränkte Syntax der zulässigen Klassen-Aussagen zu lösen. Die eingeschränkte Syntax erwies sich aber als kompliziert und unzulänglich zum Aufbau der Mathematik und hat sich nicht dauerhaft durchgesetzt.

Parallel zu Russell entwickelte Zermelo, der die Antinomie unabhängig von Russell fand und schon vor Russells Publikation kannte,<ref>laut einem Brief von Hilbert vom 7. November 1903, in: Gottlob Frege: ''Briefwechsel mit D. Hilbert, E. Husserl, B. Russell'', ed. G. Gabriel, F. Kambartel, C. Thiel, Hamburg 1980, S. 23f/47</ref> die erste [[axiomatische Mengenlehre]] mit uneingeschränkter Syntax. Das [[Aussonderungsaxiom]] dieser [[Zermelo-Mengenlehre]] von 1907 gestattet nur noch eine eingeschränkte Klassenbildung innerhalb einer gegebenen Menge. Er zeigte durch einen [[Indirekter Beweis|indirekten Beweis]] mit dieser Antinomie, dass die Russellsche Klasse keine Menge ist.<ref>Ernst Zermelo: ''Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre'', Mathematische Annalen 65 (1908), S. 261–281; dort S. 265.</ref> Sein Lösungsweg hat sich durchgesetzt. In der erweiterten [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] (ZF), die heute als [[Grundlagen der Mathematik|Grundlage der Mathematik]] dient, stellt zusätzlich das [[Fundierungsaxiom]] sicher, dass keine Menge sich selbst enthalten kann, so dass hier die Russellsche Klasse identisch mit der [[Allklasse]] ist.

Da die Russellsche Antinomie rein logischer Natur ist und nicht von Mengenaxiomen abhängt, ist schon auf der Ebene der widerspruchsfreien [[Prädikatenlogik]] erster Stufe beweisbar, dass die Russellsche Klasse als Menge nicht existent ist. Das macht folgende Argumentation einsichtig:
:Die Aussage <math>y\in x\iff y\notin y</math> sei mit <math>\,\mbox{R}yx</math> abgekürzt.
:Wir wollen zeigen: <math>\lnot \exists x.\, \forall y.\, \mathrm R yx</math>.
:Nimmt man <math>\exists x.\, \forall y.\, \mathrm R yx</math> an, ergibt sich sofort <math>\exists x.\, \mathrm R x x</math>.
: Das, also <math>\exists x.\, x \in x \iff x \notin x</math>, ist offensichtlich ein Widerspruch, also haben wir
:<math>\,\mbox{Es gibt kein }x \colon \mbox{Fuer alle }y \colon (y\in x\iff y\notin y)</math>.
Dieser Satz bedeutet in der prädikatenlogischen Sprache: Es gibt keine Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten. Er gilt in allen modernen [[Axiomatische Mengenlehre|axiomatischen Mengenlehren]], die auf der Prädikatenlogik erster Stufe aufbauen, zum Beispiel in ZF. Er gilt auch in der [[Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre]], in der aber die Russellsche Klasse als [[Klasse (Mengenlehre)|echte Klasse]] existiert. In der [[Klassenlogik]] von [[Arnold Oberschelp|Oberschelp]], die eine nachweislich widerspruchsfreie Erweiterung der Prädikatenlogik erster Stufe ist, können zudem beliebige Klassenterme zu beliebigen definierenden Aussagen gebildet werden; speziell ist dort auch die Russellsche Klasse ein korrekter Term mit beweisbarer Nichtexistenz.<ref>Arnold Oberschelp: ''Allgemeine Mengenlehre'', Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich, 1994, S. 37.</ref> In diese Klassenlogik können Axiomensysteme wie die ZF-Mengenlehre eingebunden werden.

Da der Satz in einem direkten Beweis abgeleitet wurde, ist er auch in der [[Intuitionismus (Logik und Mathematik)|intuitionistischen Logik]] gültig.

== Varianten der Russellschen Antinomie ==
Die [[Grelling-Nelson-Antinomie]] von 1908 ist ein durch die Russellsche Antinomie inspiriertes semantisches Paradoxon.

Es gibt zahlreiche populäre Varianten der Russellschen Antinomie. Am bekanntesten ist das [[Barbier-Paradoxon]], mit dem Russell selbst 1918 seinen Gedankengang veranschaulichte und verallgemeinerte.

[[Currys Paradoxon]] von 1942 enthält als Spezialfall eine Verallgemeinerung der Russellschen Antinomie.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Ulf Friedrichsdorf, [[Alexander Prestel]]
|Titel=Mengenlehre für den Mathematiker
|Reihe=[[vieweg studium]] - Grundkurs Mathematik
|BandReihe=58
|Verlag=[[Friedrich Vieweg & Sohn]]
|Ort=Braunschweig, Wiesbaden
|Datum=1985
|ISBN=3-528-07258-X}}
* {{Literatur
|Autor=[[Paul R. Halmos]]
|Titel=Naive Mengenlehre
|Reihe=Moderne Mathematik in elementarer Darstellung
|BandReihe=6
|Auflage=4.
|Verlag=[[Vandenhoeck & Ruprecht]]
|Ort=Göttingen
|Datum=1976
|ISBN=3-525-40527-8}}
* {{Literatur
|Autor=Paul R. Halmos
|Titel=Naive Set Theory
|TitelErg=Reprint of the 1960 original published by [[Van Nostrand]]
|Auflage=
|Verlag=[[Dover Publications]]
|Ort=Mineola, NY
|Datum=2017
|ISBN=978-0-486-81487-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[Arnold Oberschelp]]
|Titel=Allgemeine Mengenlehre
|Verlag=[[BI Wissenschaftlicher Verlag]]
|Ort=Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich
|Datum=1994
|ISBN=3-411-17271-1}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Weblinks ==
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/||A. D. Irvine}}
* {{IEP|http://www.iep.utm.edu/p/par-russ.htm||Kevin C. Klement}}

[[Kategorie:Paradoxon]]
[[Kategorie:Mathematische Logik]]
[[Kategorie:Semantik (Philosophie)]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Bertrand Russell]]
[[Kategorie:Gottlob Frege]]

Russellsche Antinomie - Versionsgeschichte