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2025-07-15T08:11:25Z

Schreibweise von Bankers' Rounding korrigiert (das s gehört vor den Apostroph, weil es eine Pluralform ist; so ist das auch in der englischsprachigen Wikipedia)

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{{Begriffsklärungshinweis|Zur Rundung in linguistischem Sinne siehe [[Rundung (Phonetik)]].}}
Die '''Rundung''' oder auch das '''Runden''' ist die Ersetzung einer [[Zahl]] durch einen [[Näherungswert]], der gewünschte Eigenschaften hat, welche der ursprünglichen Zahl fehlen.

Man rundet, um
* Zahlen mit [[Dezimalbruch|Nachkommastellen]] leichter lesbar zu machen;
* die beschränkte Anzahl darstellbarer [[Stellenwertsystem|Stellen]] einzuhalten (auch bei [[Gleitkommazahl]]en);
* den Wert [[irrationale Zahl|irrationaler Zahlen]] wenigstens ungefähr anzugeben, etwa der [[Kreiszahl]] <math>\pi</math>;
* um der Genauigkeit eines Ergebnisses Rechnung zu tragen und dadurch [[Scheingenauigkeit]] zu vermeiden; dafür werden nicht nur Nachkommastellen gerundet, sondern auch große [[Ganze Zahl|Ganzzahlen]] ohne Verkürzung der Darstellung. Zum Beispiel rundet die [[Bundesagentur für Arbeit]] die errechnete Anzahl der Arbeitslosen auf volle 100. Hier bleibt die Anzahl der dargestellten Ziffern unverändert, aber die letzten zwei Stellen werden als ''[[Signifikante Stellen|nicht signifikant]]'' angedeutet;
* eine gegebene Zahl an die darstellbare oder zu benutzende [[Maßeinheit|Einheit]] anzupassen. Beispiele sind beim Bargeld die kleinste Münze, beim Buchgeld die kleinste rechnerische Währungseinheit, bei Küchenwaagen ganze Gramm, bei [[Sitzzuteilungsverfahren]] für die [[Verhältniswahl]] ganze Mandate.

Wird eine positive Zahl vergrößert, so spricht man von „aufrunden“; wird sie verkleinert, von „abrunden“. Bei negativen Zahlen sind diese Wörter doppeldeutig.
Werden Nachkommastellen nur weggelassen, spricht man von „abschneiden“.

Das Zeichen „ungefähr gleich“ ( [[≈]] ) kann darauf hinweisen, dass die nachfolgende Zahl gerundet ist. Es wurde 1892 von [[Alfred George Greenhill]] eingeführt.<ref>Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele, Anne Schilling: ''Linear Algebra as an Introduction to Abstract Mathematics.'' World Scientific, Singapur 2016, ISBN 978-981-4730-35-8, S. 186.</ref>

== Rundungsregeln ==
=== Kaufmännisches Runden ===
Das ''Kaufmännische Runden'' ([[Positive und negative Zahlen|nichtnegativer]] Zahlen) geschieht wie folgt:<ref>{{Internetquelle |url=https://www.billomat.com/lexikon/k/kaufmaennisches-runden/ |titel=Kaufmännisches Runden – Was ist kaufmännisches Runden? |hrsg=Billomat GmbH & Co. KG ([[Nürnberg]]) |abruf=2018-03-31 |kommentar=erläutert besonders den [[#Umgang mit gerundeten Zahlen|Umgang mit gerundeten Zahlen]]}}</ref>
* Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4, dann wird abgerundet.
* Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5, 6, 7, 8 oder 9, dann wird aufgerundet.
Diese Rundungsregel wird durch die Norm [[DIN 1333]] beschrieben. Das Runden wird so auch häufig bereits in der Grundschule gelehrt. Auf Englisch heißt dieses Runden ''Round Half Up'', und nicht ''[[#Symmetrisches_Runden|Bankers' Rounding]]''.

'''Beispiele''' (jeweils Rundung auf zwei Nachkommastellen):
* 13,3749… € ≈ 13,37 €
* 13,3750… € ≈ 13,38 €

Negative Zahlen werden nach ihrem [[Betragsfunktion|Betrag]] gerundet, bei einer ''5'' also weg von null ([[Englische Sprache|engl]]: ''Away from Zero''):
* −13,3749… € ≈ −13,37 €
* −13,3750… € ≈ −13,38 €

Das ''Kaufmännische Runden'' wird im juristischen Umfeld teilweise auch als ''Bürgerliches Runden'' bezeichnet und z. B. in {{§|14|BeamtVG|juris}} des [[Beamtenversorgungsgesetz]]es so erklärt:
{{Zitat
|Text=Der Ruhegehaltssatz ist auf zwei Dezimalstellen auszurechnen. Dabei ist die zweite Dezimalstelle um eins zu erhöhen, wenn in der dritten Stelle eine der Ziffern fünf bis neun verbleiben würde.}}

{{Anker|Mathematisches Runden}}

=== Symmetrisches Runden ===
Kaufmännisches und symmetrisches Runden unterscheiden sich voneinander nur darin, wohin eine Zahl ''genau in der Mitte'' zwischen zwei Zahlen mit der gewählten Anzahl von Dezimalziffern gerundet wird.

Die ''symmetrische'' (oder ''geodätische, mathematische, unverzerrte, wissenschaftliche''<ref>{{Webarchiv |url=http://www.math.uni-augsburg.de/prof/dida/studium/lehre/ws0607/didazahlensystem/Folien/Folien13.pdf |wayback=20150219201517 |text=''Didaktik der Zahlbereiche''}} (PDF; 118 kB) Universität Augsburg, C. Bescherer.</ref>) Rundung ist wie folgt definiert (Formulierung angepasst):<ref>Ilja N. Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik, ISBN 978-3808557891.</ref>
# Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet.
# Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5 (gefolgt von weiteren Ziffern, die nicht alle null sind), 6, 7, 8 oder eine 9, so wird aufgerundet.
# Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle lediglich eine 5 (oder eine 5, auf die nur Nullen folgen), so wird derart gerundet, dass die letzte beizubehaltende Ziffer gerade wird („Gerade-Zahl-Regel“).

Diese Art der Rundung wird in [[Numerische Mathematik|numerischer Mathematik]], Ingenieurwissenschaft und Technik verwendet. Sie ist im [[IEEE 754|IEEE-754]]-Standard für das Rechnen mit binären Gleitkommazahlen in Computern vorgesehen. In englischsprachiger Literatur heißt sie ''Round to Even'' oder ''Banker’s Rounding''.<ref>[http://support.microsoft.com/kb/196652/en-us How To Implement Custom Rounding Procedures] – Article 196652, Microsoft Support (2004).</ref>

''Beispiele'' (Rundung auf eine Nachkommastelle):
* 2,2499 ≈ 2,2 (nach Regel 1)
* 2,25 ≈ 2,2 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)
* 2,2501 ≈ 2,3 (nach Regel 2)
* 2,35 ≈ 2,4 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)
* 2,45 ≈ 2,4 (nach Regel 3 werden die Zahlen 2,45 und 2,35 auf dieselbe Zahl gerundet)

Das im vorherigen Abschnitt beschriebene kaufmännische Runden erzeugt kleine systematische Fehler, da das Aufrunden um 0,5 vorkommt, das Abrunden um 0,5 jedoch nie; das kann Statistiken geringfügig verzerren. Die hier beschriebene mathematische Rundung rundet von der genauen Mitte zwischen zwei Ziffern immer zur nächsten geraden Ziffer auf oder ab. Dadurch wird im Mittel etwa ebenso oft auf- wie abgerundet, zumindest wenn die Ursprungszahlen [[Stochastik|stochastisch]] sind. (Gegenbeispiel: Sind kleine Zahlen häufiger als große, kann systematisch häufiger nach unten als nach oben gerundet werden, siehe [[Benfordsches Gesetz]].)

=== Summenerhaltendes Runden ===
Beim summenerhaltenden Runden werden die Summanden so gerundet, dass deren Summe gleich der gerundeten Summe der Summanden ist. Dabei kann es erforderlich sein, manchen Summanden vom nächstgelegenen gerundeten Wert weg zu runden.

Wichtige Anwendungen sind die Sitzzuteilung bei der [[Verhältniswahl]] und die Aufteilung der gesamten [[Mehrwertsteuer]] in einer Rechnung auf deren einzelnen Posten.

Gründlich erforscht ist der Fall, dass alle Summanden positiv sind, siehe ''[[Sitzzuteilungsverfahren]].''

Für Summanden mit beiderlei Vorzeichen kann man das dortige [[Hare/Niemeyer-Verfahren]] verallgemeinern: Man rundet alle Zahlen auf die nächstliegenden runden Zahlen, und solange die Summe zu groß (oder zu klein) ist, wählt man von den aufgerundeten (beziehungsweise abgerundeten) Zahlen eine derjenigen mit der größten Aufrundung (bzw. dem größten [[Betragsfunktion|Betrag]] der Abrundung) und ändert ihre Rundung in die entgegengesetzte Richtung. Damit wird die Summe der Beträge der Änderungen [[Extremwert|minimal]].

== Umgang mit gerundeten Zahlen ==
=== Runden bereits gerundeter Zahlen ===
Ist die Ausgangszahl bereits das Ergebnis einer Rundung, so muss für den Grenzfall, dass die neue Rundungsstelle 5 ist (und alle Stellen danach Nullen), wenn möglich auf die ungerundete Zahl zurückgegriffen werden (etwa bei mathematischen Konstanten):
* ungerundete Zahl bekannt: 13,374999747, gerundete Ausgangszahl: 13,3750
: → Rundung der ungerundeten Zahl auf zwei Nachkommastellen ergibt: 13,37
* ungerundete Zahl unbekannt, gerundete Ausgangszahl: 13,3750
: → Rundung der zuvor bereits gerundeten Zahl auf zwei Nachkommastellen ergibt: 13,38.

=== Kennzeichnung von Rundungsergebnissen ===
In wissenschaftlichen Arbeiten und [[Logarithmentafel]]n wird manchmal kenntlich gemacht, ob die letzte Ziffer durch Auf- oder Abrunden erhalten wurde. Eine Ziffer, die durch Aufrunden erhalten wurde, wird mit einem Strich unter (oder auch oberhalb) der Ziffer kenntlich gemacht, eine Ziffer, die durch das Runden nicht verändert wurde (die Zahl wurde also abgerundet), wird mit einem Punkt über der Ziffer gekennzeichnet.

'''Beispiele:'''
* <math>3{,}4134928...</math> wird zu <math>3{,}413{\underline{5}}</math>; diese Zahl wird beim ''erneuten'' Runden zu <math>3{,}413</math>. Beim erneuten Runden (im Beispiel auf drei Stellen nach dem Komma) ist also abzurunden.
* <math>2{,}6245241...</math> wird zu <math>2{,}624{\dot{5}}</math>; diese Zahl wird beim ''erneuten'' Runden zu <math>2{,}625</math>, deutlicher <math>2{,}62{\underline{5}}</math>. Beim erneuten Runden (im Beispiel auf drei Stellen nach dem Komma) ist also aufzurunden. Für weiteres Runden (hier auf zwei Stellen) wäre abzurunden, angedeutet durch <u>5</u>.
Sind keine weiteren Stellen bekannt, so wird die Ausgangszahl als exakt angenommen.

=== Rechnen mit gerundeten Zahlen ===
Werden gerundete Zahlen in eine Berechnung einbezogen, dann muss auch der Einfluss der Rundung auf das Endergebnis berücksichtigt werden. Abhängig davon, wie die gerundete Zahl in die Berechnung eingeht (z. B. linear, quadratisch, exponentiell oder auch nur als Summand), muss auch die Zahl der signifikanten Stellen des Ergebnisses begrenzt werden. Eine genaue Betrachtung wird entsprechend der Unsicherheitsfortpflanzung bei [[Messunsicherheit]]en durchgeführt. Eine häufig angewendete einfache [[Faustregel]] besagt, dass das Endergebnis auf die gleiche Anzahl signifikanter Stellen gerundet werden soll wie die gerundete Zahl. Wenn z. B. eine Kraft mit 12,2 Newton gemessen wird, dann werden alle Endergebnisse, die von dieser Kraft abhängen, so gerundet, dass maximal drei signifikante Stellen übrig bleiben. So wird dem Leser nicht eine höhere Genauigkeit vorgetäuscht, als wirklich vorhanden ist. Diese Regel ist allerdings nur dann problemlos anwendbar, wenn das Endergebnis proportional zur gerundeten Zahl ist.

== Rundungsregeln formal ==
Gerade das [[#Kaufmännisches Runden|kaufmännische Runden]] wird so erklärt, dass auch Kinder es verstehen. Dafür muss man nur [[Preis (Wirtschaft)|Preise]] von [[Ware]]n und [[Arbeitsentgelt|Gehältern]] in der Kommaschreibweise kennen.
Selbst im Kapitel „Elementarmathematik“ des ''[[Taschenbuch der Mathematik|Taschenbuchs der Mathematik]]'' von Bronstein/Semendjajew<ref name="BS20-2.1.1.">{{Literatur |Autor=[[Ilja Nikolajewitsch Bronschtein|J. N. Bronstein]], [[Konstantin Adolfowitsch Semendjajew|K. A. Semendjajew]] |Hrsg=Günter Grosche, Viktor Ziegler |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=20 |Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]] |Ort=Thun und Frankfurt/Main |Datum=1981 |ISBN=3-87144-492-8 |Kapitel=Abschnitt 2.1. „Elementare Näherungsrechnung“ (bearbeitet von G. Grosche), Abschnitt 2.1.1.}}</ref>
werden etwas kompliziertere Rundungsregeln ohne Zuhilfenahme tieferer mathematischer Ausdrucksweisen formuliert, allerdings von mathematischen Erläuterungen begleitet. Im vorliegenden Abschnitt kommen einige dieser und einige andere mathematische Gesichtspunkte zur Sprache.

=== Endliche und unendliche Ziffernfolgen ===
Bronstein/Semendjajew<ref name="BS20-2.1.1." /> erörtern das Ab- oder Aufrunden anhand [[Wort (Theoretische Informatik)|formaler Zahlwörter]] – [[Zeichenkette]]n in einem (dezimalen) [[Stellenwertsystem]], nicht zu verwechseln mit der [[Zahlwort|Wortart]]. [[Positive und negative Zahlen|Positive]] [[Dezimalbruch|Dezimalbrüche]] <math>\frac{a}{10^n}</math> (im engeren Sinne, <math>a,n\in\N</math>) können als
:<math>z_vz_{v-1}\ldots z_1,z_{-1}z_{-2}\ldots z_{-n}</math>
geschrieben werden (oder umgekehrt). Hierbei gibt es <math>v</math> Stellen vor dem Komma (allgemeiner '''Trennzeichen''')<ref name="BS20-2.1.1.1." /> und <math>n</math> Stellen danach.
<math>z_v,\ldots,z_{-n}</math> sind aus dem [[Stellenwertsystem#Ziffernvorrat|Ziffernvorrat]]
{<code>0</code>,<code>1</code>,<code>2</code>,<code>3</code>,<code>4</code>,<code>5</code>,<code>6</code>,<code>7</code>,<code>8</code>,<code>9</code>}.

Andere positive reelle Zahlen können durch Dezimalbrüche (als Näherungswerte) beliebig genau [[Approximation|angenähert]] werden, vgl. [[Stellenwertsystem#Darstellungen verschiedener Zahlenarten|''Darstellungen verschiedener Zahlenarten'']] und [[Dezimalsystem#Dezimalbruchentwicklung|''Dezimalbruchentwicklung'']]. Die Koeffizienten der Dezimalbruchentwicklung
: <math>\sum_{i=v}^\infty a_i10^i</math>
einer solchen Zahl <math>x</math> ergeben dann eine unendlich lange (durch ein Komma bzw. Trennzeichen unterbrochene) Folge von Ziffern
<math>z_vz_{v-1}\ldots z_0,z_{-1}\ldots</math>.
Hierbei ist jeweils die ''Zahl'' <math>a_i</math> der '''Ziffernwert'''<ref name="BS20-2.1.1.1.">{{Literatur |Autor=Bronstein, Semendjajew |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=20 |Datum=1981 |Kapitel=Abschnitt 2.1.1.1. „Zahlendarstellung im Positionssystem“ |Seiten=149}}</ref>
von <math>z_i</math> – <code>0</code> hat den Ziffernwert <math>0</math>, <code>1</code> hat den Ziffernwert <math>1</math> usw. Mit
: <math>A(j):=\sum_{i=v}^{-j} a_i10^i\qquad(j\geq-v)</math>
ist die Folge der Näherungswerte <math>A(j)</math> [[Monotoniekriterium|monoton steigend]] und durch <math>x</math> nach oben [[Folge (Mathematik)#Beschränktheit|beschränkt]]. Mehr noch: der '''Abbruchfehler'''<ref name="BS20-2.1.1.2.">{{Literatur |Autor=Bronstein, Semendjajew |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=20 |Datum=1981 |Kapitel=Abschnitt 2.1.1.2. „Abbruchfehler und Rundungsregeln“ |Seiten=150}}</ref>
<math>x-A(j)\leq10^{-j}</math> geht gegen 0, somit [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]] <math>A(j)</math> gegen <math>x</math>. Ist
:<math>Z(j):=z_v\ldots z_0,z_{-1}\ldots z_{-j}</math>
jeweils die <math>A(j)</math> darstellende Zeichenkette, so ist für <math>1\leq k\leq l</math> die Zeichenkette <math>Z(k)</math> ein [[Wort (Theoretische Informatik)#Präfix|Präfix]] der Zeichenkette <math>Z(l)</math>, von der unendlich langen, <math>x</math> darstellenden Zeichenkette – salopp <math>Z(\infty)</math> – ist es etwas Ähnliches, Bronstein/Semendjajew<ref name="BS20-2.1.1.2." /> nennen es informell ein „[[Anfangsstück]]“
von letzterer. Dasselbe wie für <math>Z(k)</math> lässt sich von <math>Z(0):=z_v\ldots z_0</math> sagen (Komma und [[Nachkommastelle]]n fehlen).

Die Aussagen über <math>A(j)</math> und <math>Z(j)</math> treffen aber auch zu, wenn <math>x</math> durch eine endliche Zeichenkette mit <math>n</math> Nachkommastellen <math>z_{-1}\ldots z_{-n}</math> darstellbar ist. In diesem Fall sind für <math>i>n</math> die Koeffizienten <math>a_i=0</math> und die Ziffern <math>z_i</math> <code>0</code>. Diese Betrachtungsweise ist auch für die Formulierung von Rundungsregeln hilfreich.

Für negative Zahlen gilt das Entsprechende mit vorangestelltem [[Minuszeichen]] usw. (die Folge der Näherungswerte fällt…).

Mit anderen Ziffernvorräten und anderen Kriterien für die Darstellbarkeit durch endliche Zeichenketten gilt das Vorige auch für [[Stellenwertsystem]]e zu anderen Basen statt 10. Die Basis 10 ist alltäglich, wenn man sich nicht (beruflich) mit der Implementierung von [[#Rundung im Computer|Rundung im Computer]] befasst, wo [[Potenz (Mathematik)|Potenzen]] von 2 als Basen dienen.

Die allseits beliebte Pünktchenschreibweise <math>z_{-1}...z_{-j}</math> ist formal als folgendermaßen [[Rekursive Definition|rekursiv definiert]] zu verstehen (<math>\circ</math> steht für die [[Wort (Theoretische Informatik)#Konkatenation|Konkatenation]] von Zeichenketten, <math>\varepsilon</math> für die [[Wort (Theoretische Informatik)#Definition|leere Zeichenkette]]):
:<math>z_{-1}\ldots z_{-0}=\varepsilon;\qquad z_{-1}\ldots z_{-(j+1)}=z_{-1}\ldots z_{-j}\circ(z_{-(j+1)})\quad (j\in\N_0).</math>

=== „Abschneiden“/„Abbrechen“ ===
Abschneiden oder Abbrechen/Abbruch<ref name="BS20-2.1.1.2." /> nach der <math>b</math>-ten Nachkommastelle einer Zahl, von der <math>n\geq b</math> Nachkommastellen bekannt sind, bedeutet, dass man das „Zahlwort“ <math>z_v\ldots z_0,z_{-1}\ldots z_{-n}\ldots</math> durch <math>z_v\ldots z_0,z_{v+1}\ldots z_{-b}</math> als „Näherung“ ersetzt, in der dazu oben verwendeten Notation <math>Z(n)</math> durch <math>Z(b)</math>. Man verwendet also ein ''Präfix'' oder ein „Anfangsstück“ einer genaueren Zeichenkette. Der Fall <math>b=n</math> liegt praktisch etwa vor, wenn man bei einer nicht mit endlich vielen Ziffern darstellbaren Zahl, nacheinander die ersten <math>n</math> Nachkommastellen bestimmt und keine weiteren – in diesem Fall ist allerdings die durch <math>Z(b)</math> dargestellte Zahl Näherungswert eher für <math>x</math>. Für die mathematische Rundung auf die <math>b</math>-te Nachkommastelle ist jedoch die Kenntnis von (mindestens) <math>z_{-b-1}</math> erforderlich.

Das Abbrechen einer mit <math>n>b</math> Nachkommastellen vorliegenden Zahl – z. B. so aus Messwerten errechnet oder vom [[Messgerät]] abgelesen – <math>b</math> Nachkommastellen kann beim [[#Rechnen mit gerundeten Zahlen|Rechnen mit gerundeten Zahlen]] sinnvoll sein, oder wenn man weiß, dass das Gerät zwar <math>n</math> Nachkommastellen anzeigt, aber nur <math>b</math> davon zuverlässig messen kann.

=== Abrunden ===
Die [[Gaußklammer]] :<math>\lfloor ... \rfloor</math>, auch ''Gauß-, Ganzzahl-'' oder ''Abrundungs-[[Funktion (Mathematik)|Funktion]]'' genannt, bildet jede [[Reelle Zahlen|reelle Zahl]] auf die größte [[Ganze Zahlen|ganze Zahl]] ab, die nicht größer ist als die reelle Zahl.

'''Folgerungen:'''
* Die Gaußfunktion ändert nicht das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]], kann aber eine positive Zahl auf null abbilden.
* Für [[Positive Zahl|positive]] Zahlen in Stellenschreibweise ist die Anwendung der Gaußfunktion identisch mit dem Abschneiden der Nachkommastellen (einschließlich des Kommas).
* Für jede ''negative nicht-ganze'' Zahl ist der Betrag des Funktionswerts ''größer'' als der Betrag der Eingangszahl.

Im Dezimalsystem ist unter Verwendung der Gaußklammer der aus <math>x</math> auf die <math>b</math>-te Nachkommastelle abgerundete Wert
:<math>\frac{\lfloor10^b\cdot x\rfloor}{10^b} = \lfloor10^b\cdot x\rfloor \cdot 10^{-b}</math>.

Um eine positive ''nicht-ganze'' Zahl <math>x</math> in Stellenschreibweise so abzurunden, dass nur noch die <math>b</math>-te Nachkommastelle beibehalten wird (sie auf die <math>b</math>-te Stelle nach dem Komma abzurunden), schneidet man einfach die ''weiteren'' Nachkommastellen ab.

=== Aufrunden ===
Das Gegenstück zur Gaußklammerfunktion ist die [[Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion|Aufrundungsfunktion]] (auch ''obere Gaußklammer''), die einer reellen Zahl <math>x</math> die ganze Zahl
:<math>\lceil x\rceil:=\min\{y\in \Z \mid y\geq x\}</math>
zuordnet. Der auf die <math>b</math>-te Nachkommastelle aufgerundete Wert einer reellen Zahl <math>x</math> ist
<math>\lceil10^b\cdot x\rceil \cdot 10^{-b}</math>.

== Rundung im Computer ==
Da [[Gleitkommazahl]]en im Computer nur einen bestimmten, endlichen Speicherbereich belegen, ist die Genauigkeit systembedingt eingeschränkt. Nach mathematischen Operationen (wie der Multiplikation) entstehen zudem in der Regel Zahlen, die eine höhere Genauigkeit benötigen würden. Um das Ergebnis dennoch darstellen zu können, muss in irgendeiner Weise so gerundet werden, dass die Zahl in das vorgesehene Zahlenformat (z. B. [[IEEE 754]]) passt.

Das einfachste Rundungsschema ist das '''Abschneiden''' (engl. ''truncation'' oder ''chopping''): Eine Zahl wird links eines bestimmten Punktes stehen gelassen, der Rest fallen gelassen. Dadurch wird sie auf die nächstmögliche Zahl abgerundet. Zum Beispiel wird, wenn man auf null Nachkommastellen rundet, aus <math>10{,}11_2=2{,}75_{10}</math> eine <math>10_2=2_{10}</math>. Diese Methode ist sehr schnell, sie leidet aber unter einem verhältnismäßig großen Rundungsfehler (im Beispiel beträgt er <math>0{,}75_{10}</math>). Das Abschneiden ist jedoch eine unverzichtbare Methode in der digitalen [[Signalverarbeitung]]. Als einzige Methode kann mit ihr sicher ein instabiler Grenzzyklus durch Rundungsfehler in [[Digitales Filter|digitalen Filtern]] verhindert werden.

Als weiteres Rundungsschema wird ebenfalls das '''kaufmännische Runden''' verwendet (engl. ''round-to-nearest''). Man addiert dabei vor dem Runden <math>0{,}1_2=0{,}5_{10}</math> auf die zu rundende Zahl und schneidet danach ab. Im Beispiel hieße das, dass <math>2{,}75_{10}+0{,}5_{10}=3{,}25_{10}=11{,}01_2</math> abgeschnitten wird zu <math>11_2=3_{10}</math>. Der Fehler beträgt hierbei nur <math>0{,}01_2=0{,}25_{10}</math>. Allerdings ist dieses Runden positiv verzerrt.

Daher zieht man das '''mathematische Runden''' in Betracht ({{enS|round-to-nearest-even}}), das bei Zahlen, die auf <math>\ldots{,}\ldots 5_{10}=\ldots{,}\ldots 1_{2}</math> enden, jeweils zur nächsten geraden Zahl rundet. Dieses Rundungsverfahren ist im IEEE-754-Standard vorgesehen. Alternativ kann auch auf die nächste ungerade Zahl gerundet werden ({{enS|round-to-nearest-odd}}).

Wenngleich das mathematische Runden eine gute numerische Leistung zeigt, benötigt es doch eine vollständige Addition, da das Übertragsbit im schlimmsten Fall durch alle Stellen der Zahl wandert. Damit besitzt es eine verhältnismäßig schlechte Laufzeitleistung. Als mögliche Umgehung dieser Problematik bietet sich eine vorgefertigte Tabelle an, die die gerundeten Ergebnisse enthält, welche nur noch abgerufen werden müssen.

== Weblinks ==

{{Wiktionary|runden}}
{{Wiktionary|Rundung|suffix=-}}
{{Wiktionary|abrunden|suffix=-}}
{{Wiktionary|aufrunden|suffix=-}}

* [http://ec.europa.eu/economy_finance/publications/publication1224_de.pdf Die Einführung des Euro und die Rundung von Währungsbeträgen] (PDF; 200 kB) – Europäische Kommission, 1999

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Rundung| ]]

Rundung - Versionsgeschichte

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