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2025-07-05T18:15:13Z

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{| style="float: right;
|style="text-align:center"| [[Datei:OblateSpheroid.PNG|alternativtext=|mini|240x240px|Abgeplattetes Rotationsellipsoid]]
|style="text-align:center"| [[Datei:ProlateSpheroid.png|alternativtext=|mini|277x277px|Verlängertes Rotationsellipsoid]]
|}

Ein '''Rotations[[ellipsoid]]''' (englisch ''spheroid'') ist eine [[Rotationsfläche]], die durch die [[Drehung]] einer [[Ellipse]] um eine ihrer Achsen entsteht. Anders als bei einem [[Dreiachsiges Ellipsoid|dreiachsigen bzw. triaxialen Ellipsoid]] sind zwei Achsen gleich lang.

Je nachdem, welche der beiden [[Halbachsen der Ellipse|Halbachsen]] der erzeugenden [[Ellipse]] als [[Drehachse]] fungiert, werden unterschieden:
* das abgeplattete (''oblate'') Ellipsoid bei Rotation um die kleine Halbachse (Beispiel: Form einer [[Schokolinse]])
* das [[Verlängertes Ellipsoid|verlängerte (''prolate'') Ellipsoid]] bei Rotation um die große Halbachse (Beispiel: Form des [[Rugbyball]]s).

== Vorkommen ==
[[Datei:Rotationsellipsoid.png|mini|250px|Rotationsellipsoid und Massenverlagerung (rot)]]
Die meisten größeren [[Himmelskörper]] sind angenähert abgeplattete Rotationsellipsoide, die auch ''Sphäroide'' genannt werden. Sie entstehen durch die [[Zentripetalkraft|Fliehkraft]], die bewirkt, dass ein sich drehender kugelförmiger [[Körper (Geometrie)|Körper]] verformt wird. An den [[Pol (Geographie)|Polen]], also den Durchstoßpunkten der [[Rotationsachse]], werden diese Körper abgeplattet, am [[Äquator]] entsteht eine Ausbauchung. Besonders deutlich ist die Abplattung bei den großen [[Gasplanet]]en [[Jupiter (Planet)|Jupiter]] und [[Saturn (Planet)|Saturn]] ausgeprägt, weil sie besonders schnell rotieren und nicht verfestigt sind. Aber auch die [[Erde]] und die anderen [[Planet]]en des [[Sonnensystem]]s werden durch die bei der Rotation entstehenden Fliehkräfte zu Rotationsellipsoiden verformt. Der in zehn Stunden rotierende Jupiter ist um etwa 1/16 abgeplattet, die [[Erdabplattung]] beträgt 1/298,257223563 ([[World Geodetic System 1984|WGS 84]]).

[[Elliptische Galaxie]]n sind oft ''keine'' Rotationsellipsoide, sondern triaxial.

== Parameterdarstellung ==
[[Datei:Ellipsoid-rot-ax.svg|350px|mini|Abgeplattetes und verlängertes Rotationsellipsoid]]
Die folgende [[Parameterdarstellung]] beschreibt ein Rotationsellipsoid, das durch Rotation der Halb-[[Ellipse]] <math>(a \cos t, 0, c\sin t), -\tfrac{\pi}{2} \leq t \leq \tfrac{\pi}{2}</math> (in der <math>x</math>-<math>z</math>-[[Ebene (Mathematik)|Ebene]]) um die <math>z</math>-Achse entsteht (s. [[Rotationsfläche]]):

: <math>\begin{pmatrix}
a ~ \cos t ~ \cos \varphi \\
a ~ \cos t ~ \sin\varphi \\
c ~ \sin t \end{pmatrix} \qquad
(-\tfrac{\pi}{2} \leq t \leq \tfrac{\pi}{2}\ ,\ 0 \leq \varphi < 2\pi , \ 0 < a,c)</math>.

Die Zahlen <math>a,c</math> sind die Halbachsen der rotierenden Halbellipse. Im Fall <math>a>c</math> entsteht ein abgeplattetes Rotationsellipsoid, im Fall <math>a<c</math> ein verlängertes Rotationsellipsoid. Falls <math>a=c</math> ist, ergibt sich eine [[Kugel]] mit [[Radius]] <math>a</math>.

Man beachte: Die Pole (Punkte auf der [[Rotationsachse]]) besitzen keine eindeutige Darstellung.

Das entstandene Rotationsellipsoid besitzt die [[Implizite Fläche|implizite Darstellung]]:
:<math>\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \ . </math>

== Volumen ==
Das [[Volumen]] des obigen Rotationsellipsoids beträgt
:<math>V = \frac{4\pi}{3} a^2 c</math>.

Dabei ist <math>a</math> der [[Radius]] des Äquatorkreises und <math>c</math> der Abstand der Pole vom [[Mittelpunkt]].

== Oberfläche ==
Die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]]<ref>Beyer, CRC Handbook of Mathematical Sciences, 5th Edition, S. 198.</ref> für das abgeplattete [[Ellipsoid]] (<math>a>c</math>) berechnet man mit
:<math>A = 2\pi a \left(a + \frac{c^2}{\sqrt{a^2-c^2}}\,\operatorname{arsinh}\left(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}c\right)\right) \ ,</math>

die des verlängerten Ellipsoids (<math>c>a</math>) mit
:<math>A = 2\pi a \left(a + \frac{c^2}{\sqrt{c^2-a^2}}\,\operatorname{arcsin}\left(\frac{\sqrt{c^2-a^2}}c\right)\right)\ .</math>

Eine [[Kugel]] mit [[Radius]] <math>r</math> hat das [[Volumen]] <math> V = \frac{4\pi}{3} r^3</math> und die Oberfläche <math>A=4\pi r^2</math> (s. Kugel).

;Herleitung der Formeln
Der Inhalt des Flächenmantels einer durch Rotation der [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] <math>(r(t),0,z(t))\ , t_1\le t\le t_2</math> erzeugten [[Rotationsfläche]] ist
:<math> A = 2 \pi \int_{t_1}^{t_2} r \ \sqrt{\dot r^2 + \dot z ^2} \, dt. \ </math> (siehe [[Rotationsfläche]])
Für das obige Rotationsellipsoid ist <math>r(t)=a \cos t, \ z(t)=c \sin t </math>. Es muss also das [[Integralrechnung|Integral]]
:<math>A = 2\cdot 2\pi\int_0^{\pi/2} a \cos t \sqrt{a^2\sin^2 t+c^2\cos^2 t} \mathrm{d}t</math>
(2-mal ein halbes Ellipsoid) berechnet werden. Für <math>a=c</math> ist <math>\sqrt{a^2\sin^2 t+c^2\cos^2 t} = \sqrt{a^2(\sin^2 t+\cos^2 t)} = a</math> und es ergibt sich die Oberfläche einer [[Kugel]]. Im Folgenden wird <math>a\ne c</math> vorausgesetzt.

Die [[Integration durch Substitution|Substitution]] <math>u = \sin t</math> mit <math>\mathrm{d}u = \cos t \mathrm{d} t</math> führt zu
:<math>A = 4\pi a \int_0^1\!\! \sqrt{a^2 u^2 + c^2 (1-u^2)}\ \mathrm{d}u = 4\pi a \int_0^1\!\! \sqrt{(a^2-c^2) u^2 + c^2 }\ \mathrm{d}u </math>
und damit zu
:<math>A=4\pi a \sqrt{a^2-c^2}\int_0^1\!\! \sqrt{u^2 + \frac{c^2}{a^2-c^2 }}\ \mathrm{d}u \quad , </math> falls <math> a>c </math>, und
:<math>A=4\pi a \sqrt{c^2-a^2}\int_0^1\!\! \sqrt{\frac{c^2}{c^2-a^2 }-u^2}\ \mathrm{d}u \quad , </math> falls <math> c>a</math>.
Unter Beachtung, dass der Bruch unter der [[Quadratwurzel]] in beiden Fällen positiv ist, ergeben sich mit Hilfe einer Integrationstabelle (z. B. [[Taschenbuch der Mathematik|Bronstein-Semendjajew]]) die [[Stammfunktion]]en für die beiden [[Integralrechnung|Integrale]] und schließlich die oben angegebenen [[Mathematische Formel|Formeln]] für die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]].

== Anwendung ==
In der [[Geodäsie]], [[Kartografie]] und den anderen [[Geowissenschaften]] werden Rotationsellipsoide als [[geometrisch]]e Annäherung an das physikalische [[Geoid]] benutzt. Diese Rotationsellipsoide dienen dann als [[Referenzfläche]], um die Lage bzw. Höhe von Objekten der [[Erdoberfläche]] anzugeben. Man spricht dann von einem [[Referenzellipsoid]].

In einem Hohlkörper reflektieren die Begrenzungsflächen des (gestreckten) Rotationsellipsoids die [[Strahlung]] von einem [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkt]] zum anderen. Den Effekt nutzt ein [[Flüstergewölbe]] für die Bündelung von [[Schallwelle]]n. Derart geformte optische Reflektoren bündeln die Strahlung einer nahezu punktförmigen, sich in einem der [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkte]] befindlichen [[Lichtquelle]] auf den anderen Brennpunkt des [[Ellipsoid]]s. Dort kann sich die [[Grenzfläche]] eines [[Lichtleitkabel]]s, ein anderes optisches Element oder der Ort eines strahlungsinduzierten Prozesses befinden.

== Anwendungsbeispiele ==

=== Jupiter und Saturn ===
Die Planeten Jupiter und Saturn sind wegen den durch die schnelle Rotation wirkenden [[Zentrifugalkraft|Zentrifugalkräfte]] an den Polen deutlich flacher als am Äquator und haben annähernd die Form eines Rotationsellipsoids.

==== Jupiter ====
Jupiter hat den Äquatordurchmesser 142984 km und den Poldurchmesser 133708 km. Also gilt für die Halbachsen <math>a = 71492 \ \mathrm{km} </math> und <math>c = 66854 \ \mathrm{km} </math>. Die [[Masse (Physik)|Masse]] des Jupiter beträgt etwa 1,899 · 1027 kg. Daraus ergibt sich mithilfe der oben genannten [[Mathematische Formel|Formeln]] für das [[Volumen]], die mittlere [[Dichte]] und die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]]:

* '''Volumen''': <math>V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot a^2 \cdot c = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (71492 \ \mathrm{km})^2 \cdot 66854 \ \mathrm{km} \approx 1{,}4313 \cdot 10^{15} \ \mathrm{km^3}</math>

: Das ist etwa 1321-mal so viel wie das [[Volumen]] der Erde.

* '''Mittlere Dichte''': <math>\rho = \frac{m}{V} = \frac{1{,}899 \cdot 10^{27} \ \mathrm{kg}}{1{,}4313 \cdot 10^{15} \ \mathrm{km^3}} = \frac{1{,}899 \cdot 10^{27} \ \mathrm{kg}}{1{,}4313 \cdot 10^{24} \ \mathrm{m^3}} \approx 1327 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3}</math>

: Jupiter hat also insgesamt eine etwas höhere [[Dichte]] als Wasser unter [[Standardbedingungen]].

* '''Oberfläche''': <math>A \approx 4 \cdot \pi \cdot \left(\frac{(a \cdot b)^\frac{8}{5} + (a \cdot c)^\frac{8}{5} + (b \cdot c)^\frac{8}{5}}{3}\right)^\frac{5}{8} = 4 \cdot \pi \cdot \left(\frac{(71492 \ \mathrm{km} \cdot 71492 \ \mathrm{km})^\frac{8}{5} + (71492 \ \mathrm{km} \cdot 66854 \ \mathrm{km})^\frac{8}{5} + (71492 \ \mathrm{km} \cdot 66854 \ \mathrm{km})^\frac{8}{5}}{3}\right)^\frac{5}{8} \approx 6{,}15 \cdot 10^{10} \ \mathrm{km^2}</math>

: Das ist etwa 121-mal so viel wie die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]] der Erde.

==== Saturn ====
Saturn hat den Äquatordurchmesser 120536 km und den Poldurchmesser 108728 km. Also gilt für die Halbachsen <math>a = 60268 \ \mathrm{km} </math> und <math>c = 54364 \ \mathrm{km} </math>. Die [[Masse (Physik)|Masse]] des Saturn beträgt etwa 5,683 · 1026 kg. Daraus ergibt sich:

* '''Volumen''': <math>V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot a^2 \cdot c = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (60268 \ \mathrm{km})^2 \cdot 54364 \ \mathrm{km} \approx 8{,}2713 \cdot 10^{14} \ \mathrm{km^3}</math>

: Das ist etwa 764-mal so viel wie das [[Volumen]] der Erde.

* '''Mittlere Dichte''': <math>\rho = \frac{m}{V} = \frac{5{,}683 \cdot 10^{26} \ \mathrm{kg}}{8{,}2713 \cdot 10^{14} \ \mathrm{km^3}} = \frac{5{,}683 \cdot 10^{26} \ \mathrm{kg}}{8{,}2713 \cdot 10^{23} \ \mathrm{m^3}} \approx 687 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3}</math>

: Saturn hat also insgesamt eine etwas geringere [[Dichte]] als Wasser unter [[Standardbedingungen]].

* '''Oberfläche''': <math>A \approx 4 \cdot \pi \cdot \left(\frac{(a \cdot b)^\frac{8}{5} + (a \cdot c)^\frac{8}{5} + (b \cdot c)^\frac{8}{5}}{3}\right)^\frac{5}{8} = 4 \cdot \pi \cdot \left(\frac{(60268 \ \mathrm{km} \cdot 60268 \ \mathrm{km})^\frac{8}{5} + (60268 \ \mathrm{km} \cdot 54364 \ \mathrm{km})^\frac{8}{5} + (60268 \ \mathrm{km} \cdot 54364 \ \mathrm{km})^\frac{8}{5}}{3}\right)^\frac{5}{8} \approx 4{,}27 \cdot 10^{10} \ \mathrm{km^2}</math>

: Das ist etwa 84-mal so viel wie die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]] der Erde.

=== Rugbyball ===
Ein [[Rugbyball]] hat eine Länge von etwa 280 Millimetern und an der Nebenachse einen [[Durchmesser]] von etwa 200 Millimetern. Also gilt für die Halbachsen <math>a = 100 \ \mathrm{mm} </math> und <math>c = 140 \ \mathrm{mm} </math>. Die [[Masse (Physik)|Masse]] eines Rugbyballs beträgt etwa 400 Gramm. Daraus ergibt sich:

* '''Volumen''': <math>V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot a^2 \cdot c = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (100 \ \mathrm{mm})^2 \cdot 140 \ \mathrm{mm} \approx 5{,}86 \cdot 10^{6} \ \mathrm{mm^3} = 5{,}86 \cdot 10^{-3} \ \mathrm{m^3}</math>
* '''Mittlere Dichte''': <math>\rho = \frac{m}{V} = \frac{400 \ \mathrm{g}}{5{,}86 \cdot 10^{-3} \ \mathrm{m^3}} = \frac{0{,}4 \ \mathrm{kg}}{5{,}86 \cdot 10^{-3} \ \mathrm{m^3}} \approx 68 \ \mathrm{kg} / \mathrm{m^3}</math>

=== Kuppel des Berliner Reichstagsgebäudes ===
[[Datei:Kuppel Reichstag Berlin Rotationsellipsoid.png|mini]]
Die nach der [[Deutsche Wiedervereinigung|Deutschen Wiedervereinigung]] neu errichtete [[Kuppel]] des [[Berlin]]er [[Reichstagsgebäude]]s hat die Form eines halben Rotationsellipsoiden mit einem [[Durchmesser]] von 38 Metern an der Nebenachse und einer Höhe von 23,5 Metern. Also gilt für die Halbachsen <math>a = 19 \ \mathrm{m} </math> und <math>c = 23{,}5 \ \mathrm{m} </math>. Daraus ergibt sich das '''Volumen'''
:<math>V = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot a^2 \cdot c = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot (19 \ \mathrm{m})^2 \cdot 23{,}5 \ \mathrm{m} \approx 17767{,}8\ \mathrm{m^3}</math>.<ref>Georg Glaeser: ''Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik'', 4. Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, ISBN 978-3-662-64382-2, Seite 233</ref><ref>[https://berlintouristinformation.com/sehenswuerdigkeiten/reichstag/ Guide zum Reichstag] Berlin Tourist Information, abgerufen am 3. Oktober 2022</ref>

== Siehe auch ==
* [[Ellipsoid]]
* [[Rotationsparaboloid]]
* [[Rotationshyperboloid]]
* [[Achernar]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4178493-5}}

[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Rotationsellipsoid - Versionsgeschichte

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