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{{Zeichen|ℝ|Der [[Buchstabe mit Doppelstrich|Buchstabe R mit<br />Doppelstrich]] steht für die<br />Menge der ''reellen Zahlen''}}
[[Datei:Number-systems.svg|mini|Die reellen Zahlen (ℝ) beinhalten die [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] (ℚ), zu denen wiederum die [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] (ℤ) und die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] (ℕ) gehören]]

Die '''reellen Zahlen''' bilden einen in der [[Mathematik]] bedeutenden [[Zahlenbereich]]. Er ist eine Erweiterung des Bereichs der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]], womit die [[Physikalische Größe#Zahlenwert und Einheit|Maßzahlen]] der [[Messwert]]e für übliche [[physikalische Größe]]n wie zum Beispiel [[Länge (Physik)|Länge]], [[Temperatur]] oder [[Masse (Physik)|Masse]] als reelle Zahlen aufgefasst werden können. Die reellen Zahlen umfassen die rationalen Zahlen und die [[Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]].

Die Gesamtheit der reellen Zahlen hat gegenüber der Gesamtheit der rationalen Zahlen besondere [[Topologie (Mathematik)|topologische Eigenschaften]]. Diese bestehen unter anderem darin, dass für jedes „stetige Problem“, für das in einem gewissen Sinne beliebig gute, nahe beieinander liegende näherungsweise Lösungen in Form von reellen Zahlen existieren, auch eine reelle Zahl als exakte Lösung existiert. Daher können die reellen Zahlen in der [[Analysis]], der Topologie und der [[Geometrie]] vielseitig eingesetzt werden. Beispielsweise können [[Länge (Mathematik)|Längen]], [[Flächeninhalt]]e und [[Rauminhalt]]e sehr vielfältiger geometrischer Objekte sinnvoll als reelle Zahlen, nicht aber etwa als rationale Zahlen definiert werden. Wenn in [[Empirie|empirischen Wissenschaften]] mathematische Konzepte – wie zum Beispiel Längen – zur Beschreibung eingesetzt werden, spielt daher dort auch die Theorie der reellen Zahlen oft eine wichtige Rolle.

== Einteilung der reellen Zahlen ==
[[Datei:Real number line.svg|mini|350px|Die reellen Zahlen werden in der Schule häufig mit der [[Zahlengerade]]n veranschaulicht.]]

Zur Bezeichnung der Menge aller reellen Zahlen wird das Symbol <math>\R</math> ([[Unicode]] U+211D: ℝ, siehe [[Buchstabe mit Doppelstrich]]) oder auch <math>\mathbf{R}</math> verwendet. Die reellen Zahlen umfassen

* [[rationale Zahl]]en: <math>\Q = \left\{\dotsc, -\tfrac{2}{1}, -\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{1}, 0, \tfrac{1}{1}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{1}, \tfrac{1}{3}, \dotsc\right\} = \left.\left\{\tfrac{p}{q} \right| p \in \Z, q \in \N \setminus \{0\}\right\}</math>,
** [[ganze Zahl]]en: <math>\Z = \{\dotsc, -2, -1, 0, 1, 2, \dotsc\}</math>,
*** [[natürliche Zahl]]en: <math>\N</math> (ohne 0): <math>\{1, 2, 3, \dotsc\}</math> oder (mit 0): <math>\{0, 1, 2, 3, \dotsc\}</math> (auch <math>\N_0</math>) und
* [[irrationale Zahl]]en: <math>\R \setminus \Q</math> = die Menge aller Elemente von <math>\R</math>, die nicht in <math>\Q</math> liegen. Diese lassen sich wiederum unterteilen in
** [[Algebraische Zahl|algebraische]] irrationale Zahlen und
** [[Transzendente Zahl|transzendente]] irrationale Zahlen. Zu letzteren gehören die
*** [[Berechenbare Zahl|nicht berechenbaren Zahlen]].

Die rationalen Zahlen sind diejenigen Zahlen, die sich als Bruch ganzer Zahlen darstellen lassen. Eine Zahl heißt irrational, wenn sie reell, aber nicht rational ist. Die ersten Beweise, dass die Zahlengerade irrationale Zahlen enthält, wurden von den [[Pythagoräer]]n geführt. Irrationale Zahlen sind beispielsweise die nicht ganzzahligen Wurzeln aus ganzen Zahlen wie <math>\sqrt{2}</math> oder <math>\sqrt[3]7</math>.

Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der (reellen) algebraischen Zahlen, d. h. der reellen Lösungen von [[Algebraische Gleichung|Polynomgleichungen]] mit ganzzahligen Koeffizienten. Diese Menge umfasst unter anderem sämtliche reellen <math>n</math>-ten Wurzeln aus rationalen Zahlen für <math>n \in \N</math> und deren endliche Summen, aber nicht nur diese (z. B. Lösungen geeigneter [[Gleichung fünften Grades|Gleichungen 5. Grades]]). Ihr [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] in <math>\R</math> ist die Menge der reellen transzendenten Zahlen. Eine transzendente Zahl ist demnach stets irrational. Transzendent sind zum Beispiel die [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> (Pi) und die [[Eulersche Zahl]] <math>e</math>. Alle bisher genannten Beispiele sind berechenbar, im Gegensatz zum Grenzwert einer [[Specker-Folge]].

== Notation für häufig verwendete Teilmengen der reellen Zahlen ==
Ist <math>a \in \R</math>, dann bezeichnet
:<math>\R^{\neq a} = \R \setminus \{a\}</math> die Menge aller reellen Zahlen außer der Zahl <math>a</math>,
:<math>\R^{\geq a} = \{x \in \R \mid x \geq a\}</math>,
:<math>\R^{>a} = \{x \in \R \mid x > a\}</math>,
:<math>\R^{\leq a} = \{x \in \R \mid x \leq a\}</math>,
:<math>\R^{<a} = \{x \in \R \mid x < a\}</math>.
Besonders häufig wird diese Schreibweise mit <math>a = 0</math> verwendet, um die Menge <math>\R^{>0}</math> der positiven reellen Zahlen oder die Menge <math>\R^{\geq 0}</math> der nichtnegativen reellen Zahlen zu bezeichnen. Gelegentlich finden sich für den Spezialfall <math>a = 0</math> auch die Bezeichnungen <math>\R^{+}</math> oder <math>\R^{+}_0</math>. Hierbei ist jedoch Vorsicht geboten, da in <math>\R^{+}</math> bei manchen Autoren die Null eingeschlossen ist, bei anderen nicht.

== Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen ==
Die Konstruktion der reellen Zahlen als [[Zahlbereichserweiterung]] der rationalen Zahlen war im [[19. Jahrhundert]] ein wichtiger Schritt, um die [[Analysis]] auf ein solides mathematisches Fundament zu stellen. Die erste exakte Konstruktion geht wohl auf [[Karl Weierstraß]] zurück, der die reellen Zahlen über beschränkte [[Reihe (Mathematik)|Reihen]] mit positiven Gliedern definierte.<ref>[[Georg Cantor]]: ''Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.'' 1883, § 9, zitiert nach Oskar Becker: ''Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung.'' 1. Auflage. suhrkamp taschenbuch wissenschaft, 1995, ISBN 3-518-27714-6, S. 245 ff.</ref>

Heute gebräuchliche Konstruktionen der reellen Zahlen:
* Darstellung als [[Dedekindscher Schnitt|Dedekindsche Schnitte]] rationaler Zahlen: Dabei werden die reellen Zahlen als [[Supremum|kleinste obere Schranken]] von nach oben beschränkten Teilmengen der rationalen Zahlen definiert.<ref>[[Edmund Landau]]: ''Grundlagen der Analysis.'' Chelsea Publishing, New York 1948.</ref>
* Darstellung als Äquivalenzklassen von [[Cauchy-Folge]]n: Diese heute weit verbreitete Konstruktion der reellen Zahlen geht wohl auf [[Georg Cantor]] zurück,<ref>[[Georg Cantor]]: ''Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.'' 1883, § 9, zitiert nach Oskar Becker: ''Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung.'' 1. Auflage. suhrkamp taschenbuch wissenschaft, 1995, ISBN 3-518-27714-6, S. 248.</ref> der die reellen Zahlen als [[Äquivalenzklasse]]n ''rationaler'' Cauchy-[[Folge (Mathematik)|Folgen]] definierte. Dabei gelten zwei Cauchy-Folgen als äquivalent, wenn ihre (punktweisen) Differenzen eine [[Nullfolge]] bilden. Wie man relativ leicht nachprüft, ist diese [[Relation (Mathematik)|Relation]] tatsächlich [[Reflexive Relation|reflexiv]], [[Transitive Relation|transitiv]] und [[Symmetrische Relation|symmetrisch]], also zur Bildung von Äquivalenzklassen geeignet.
: Die durch die [[Addition]] und [[Multiplikation]] rationaler Zahlen induzierten Operationen einer Addition und Multiplikation von Äquivalenzklassen sind [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], das heißt unabhängig von der Auswahl der Repräsentanten der Operanden, also der Cauchy-Folgen. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die so definierten reellen Zahlen einen [[Körper (Algebra)|Körper]]. Durch die Ordnung der rationalen Zahlen wird auch eine [[Ordnungsrelation|totale Ordnung]] induziert. Insgesamt bilden die reellen Zahlen damit einen [[Geordneter Körper|geordneten Körper]].
* Darstellung als Äquivalenzklassen von [[Intervallschachtelung]]en rationaler Intervalle.<ref name="Knopp">Konrad Knopp: ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.'' 5. Auflage. Springer Verlag, 1964, ISBN 3-540-03138-3; § 3 ''Die irrationalen Zahlen.''</ref>
* Vervollständigung der [[Topologische Gruppe|topologischen Gruppe]] der rationalen Zahlen in dem Sinne, dass die kanonische [[uniforme Struktur]] vervollständigt wird.<ref>{{Literatur |Autor=[[Nicolas Bourbaki]] |Titel=Topologie Générale |Reihe=Éléments de mathématique |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2007 |ISBN=3-540-33936-1 |Kapitel=4 |Seiten=3}}</ref>

Jede der vier genannten Konstruktionsmethoden [[Vollständiger Raum|„vervollständigt“ (komplettiert)]] die rationalen Zahlen, führt zur (bis auf [[Isomorphie (Mathematik)|Isomorphie]]) gleichen Struktur (zum Körper der reellen Zahlen) und beleuchtet eine andere Eigenschaft der rationalen und reellen Zahlen und ihrer Beziehung zueinander:

* Die Methode der Dedekindschen Schnitte vervollständigt die [[Ordnungsrelation|Ordnung]] auf den rationalen Zahlen zu einer [[Ordnungstopologie|ordnungsvollständigen]] Ordnung. Als Ergebnis liegen die rationalen Zahlen (im Sinne der Ordnung) dicht in den reellen Zahlen und jede nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum.
* Die Methode der Cauchyfolgen vervollständigt die Menge der rationalen Zahlen als [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] zu einem vollständigen metrischen Raum im topologischen Sinn. Damit liegen die rationalen Zahlen im topologischen Sinn dicht in den reellen Zahlen und jede Cauchy-Folge besitzt einen Grenzwert. Diese Methode der Vervollständigung (Komplettierung) ist auch bei vielen anderen mathematischen Strukturen anwendbar.
* Die Methode der Intervallschachtelungen reflektiert die numerische Berechnung von reellen Zahlen: Sie werden durch Näherungswerte mit einer gewissen Genauigkeit (einem Näherungsfehler) [[Approximation|approximiert]], also in ein Intervall um den Näherungswert eingeschlossen. Der Beweis, dass sich die Näherung (durch [[Iteration|iterative]] oder [[Rekursion|rekursive]] Verfahren) beliebig verbessern lässt, ist dann ein Beweis für die „Existenz“ eines reellen Grenzwertes.
* Die Methode über die Vervollständigung einer uniformen Struktur verwendet ein besonders allgemeines Konzept, das sich nicht nur auf geordnete oder mit einem Abstandsbegriff versehene Strukturen wie die rationalen Zahlen anwenden lässt.

== Axiomatische Einführung der reellen Zahlen ==
Die Konstruktion der reellen Zahlen als [[Zahlbereichserweiterung]] der rationalen Zahlen wird in der Literatur oft in vier Schritten vorgenommen: Von der Mengenlehre über die natürlichen, die ganzen, die rationalen schließlich zu den reellen Zahlen wie oben beschrieben. Eine direkte Möglichkeit, die reellen Zahlen mathematisch zu erfassen, besteht darin, sie durch [[Axiom]]e zu beschreiben. Dazu benötigt man drei Gruppen von Axiomen – die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert.

# Die reellen Zahlen sind ein [[Körper (Algebra)|Körper]].
# Die reellen Zahlen sind [[Ordnungsrelation|total geordnet]] (siehe auch [[geordneter Körper]]), d. h., für alle reellen Zahlen <math>a, b, c</math> gilt:
## Es gilt genau eine der Beziehungen <math>a < b</math>, <math>a = b</math>, <math>b < a</math> ([[Trichotomie]]).
## Aus <math>a < b</math> und <math>b < c</math> folgt <math>a < c</math> ([[Transitive Relation|Transitivität]]).
## Aus <math>a < b</math> folgt <math>a + c < b + c</math> (Verträglichkeit mit der Addition).
## Aus <math>a < b</math> und <math>c > 0</math> folgt <math>ac < bc</math> (Verträglichkeit mit der Multiplikation).
# Die reellen Zahlen sind [[Ordnungsvollständigkeit|ordnungsvollständig]], d. h., jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von <math>\R</math> besitzt ein [[Supremum]] in <math>\R</math>.

Wenn man die reellen Zahlen axiomatisch einführt, dann ist die Konstruktion als Zahlbereichserweiterung eine Möglichkeit für den Beweis ihrer Existenz, genauer: Die Konstruktion in vier Schritten aus der Mengenlehre beweist, dass ein Modell für die durch die Axiome beschriebene Struktur in der Mengenlehre, von der die Konstruktion ausging, vorhanden ist. Außerdem ist durch die angegebenen Axiome der Körper der reellen Zahlen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Dies folgt im Wesentlichen daraus, dass ein Modell der reellen Zahlen außer der Identität keinen weiteren Automorphismus zulässt.<ref>Ebbinghaus u. a.: ''Zahlen.'' 1992, Teil A, Kapitel 2, § 5.3.</ref>

Statt der oben genannten Axiome gibt es weitere Möglichkeiten, die reellen Zahlen axiomatisch zu charakterisieren. Besonders das Axiom der Vollständigkeit kann unterschiedlich formuliert werden. So gibt es insbesondere für die oben beschriebenen Konstruktionsmöglichkeiten auch unterschiedliche Möglichkeiten, die Vollständigkeit auszudrücken, wie der nächste Abschnitt zeigt.

=== Zum Supremumsaxiom gleichwertige Axiome ===
Alternativ zum [[Supremumsaxiom]] kann gefordert werden:<ref>Ebbinghaus u. a.: ''Zahlen.'' 1992, Teil A, Kapitel 2, § 5.2.</ref><ref>Der kleine Duden „Mathematik“ 1996, S. 448–449</ref>

* Das ''[[Archimedisches Axiom|Archimedische Axiom]]'' und das ''Vollständigkeitsaxiom,'' das besagt, dass jede [[Cauchy-Folge]] in <math>\R</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]].
* Das ''Archimedische Axiom'' und das ''Intervallschachtelungsaxiom,'' das besagt, dass der Durchschnitt jeder monoton fallenden Folge abgeschlossener beschränkter Intervalle nichtleer ist.
* Das ''Infimumsaxiom,'' das besagt, dass jede nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge von <math>\R</math> ein Infimum besitzt.
* Das ''Heine-Borel-Axiom,'' das besagt, dass, wenn ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall von <math>\R</math> durch beliebig viele offene Mengen von <math>\R</math> überdeckt wird, es unter diesen [[Offene Menge|offenen Mengen]] stets auch nur endlich viele gibt, die das Intervall bereits überdecken.
* Das ''Bolzano-Weierstraß-Axiom,'' das besagt, dass jede unendliche beschränkte Teilmenge von <math>\R</math> mindestens einen [[Häufungspunkt]] besitzt.
* Das ''Monotonieaxiom,'' das besagt, dass jede monotone beschränkte Folge in <math>\R</math> konvergiert.
* Das ''Zusammenhangsaxiom,'' das besagt, dass die reellen Zahlen mit der üblichen Topologie versehen einen zusammenhängenden topologischen Raum bilden.

Außerdem gibt es die Möglichkeit, die Vollständigkeit durch stetige Funktionen zu beschreiben, indem man bestimmte Eigenschaften stetiger Funktionen zu Axiomen erhebt. Etwa:
* Das ''Zwischenwertaxiom:''
*: Eine auf einem Intervall von <math>\R</math> definierte stetige reelle Funktion nimmt in ihrem Wertebereich stets jeden Zwischenwert an.
* Das ''Beschränktheitsaxiom:''
*: Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von <math>\R</math> definierte stetige reelle Funktion hat stets einen nach oben beschränkten Wertebereich.
* Das ''Maximumsaxiom:''
*: Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von <math>\R</math> definierte stetige reelle Funktion besitzt stets eine Maximumsstelle.

== Mächtigkeiten ==
Die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] von <math>\R</math> wird mit <math>\mathfrak c</math> ''(Mächtigkeit des [[Kontinuum (Mathematik)|Kontinuums]])'' bezeichnet. Sie ist größer als die Mächtigkeit der Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]], die als kleinste unendliche Mächtigkeit <math>\aleph_0</math> heißt. Die Menge der reellen Zahlen ist deshalb [[überabzählbar]]. Ein Beweis für ihre Überabzählbarkeit ist [[Cantors zweites Diagonalargument]]. Informell bedeutet „Überabzählbarkeit“, dass jede Liste <math>x_1, x_2, x_3, \dotsc</math> reeller Zahlen unvollständig ist.
Da die Menge der reellen Zahlen [[gleichmächtig]] zu der [[Potenzmenge]] der natürlichen Zahlen ist, gibt man ihre Mächtigkeit auch mit <math>2^{\aleph_0}</math> an.

Die eingangs genannten weniger umfassenden Erweiterungen der Menge der natürlichen Zahlen sind dagegen gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen, also ''abzählbar.'' Für die Menge der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] lässt sich dies durch [[Cantors erstes Diagonalargument]] beweisen. Selbst die Menge der [[Algebraische Zahl|algebraischen Zahlen]] und allgemeiner die Menge der [[Berechenbare Zahl|berechenbaren Zahlen]] sind abzählbar. Die Überabzählbarkeit entsteht also erst durch die Hinzunahme der nicht berechenbaren transzendenten Zahlen.

In der Mengenlehre wurde nach [[Georg Cantor|Cantors]] Entdeckungen die Frage untersucht: „Gibt es eine Mächtigkeit zwischen abzählbar und der Mächtigkeit der reellen Zahlen, zwischen <math>\aleph_0</math> und <math>\mathfrak c</math>?“ – Oder, für die reellen Zahlen formuliert: „Ist jede überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen gleichmächtig zur Menge aller reellen Zahlen?“ Die Vermutung, dass die Antwort auf die erste Frage „Nein“ und auf die zweite Frage „Ja“ lautet, wird als [[Kontinuumshypothese|Kontinuumshypothese (CH)]] bezeichnet, kurz formuliert als <math>\aleph_1 = \mathfrak c</math> und <math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>. Die Kontinuumshypothese ist unabhängig von den üblicherweise verwendeten Axiomensystemen wie der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC)]], d. h., sie kann im Rahmen dieser Systeme weder bewiesen noch widerlegt werden.

== Topologie, Kompaktheit, erweiterte reelle Zahlen ==
Die übliche [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], mit der die reellen Zahlen versehen werden, ist diejenige, die aus der [[Basis (Topologie)|Basis]] der offenen [[Intervall (Mathematik)|Intervalle]]
:<math>(a,b) = {]a,b[} = \{x \in \R \mid a < x < b\}; \quad a, b \in \R</math>
erzeugt wird. In dieser Form geschrieben ist es die [[Ordnungstopologie]]. Offene Intervalle in den reellen Zahlen lassen sich aber auch durch Mittelpunkt <math>p</math> und Radius <math>r</math> darstellen: <math>]p - r , p + r[</math>, also als offene Kugeln
:<math>B_r(p) := \{x \in \R \mid |x - p| < r\}</math>
bezüglich der durch die [[Betragsfunktion]] definierten Metrik <math>d(x,y) := |x - y|</math>. Die von den offenen Intervallen erzeugte Topologie ist also gleichzeitig die Topologie dieses [[Metrischer Raum|metrischen Raums]]. Da die rationalen Zahlen in dieser Topologie [[Dichte Teilmenge|dicht]] liegen, reicht es, sich bei den Intervallgrenzen bzw. den Mittelpunkten und Radien der Bälle, die die Topologie definieren, auf rationale Zahlen <math>a, b, p, r</math> zu beschränken, die Topologie genügt daher beiden [[Abzählbarkeitsaxiom]]en.

Im Gegensatz zu den rationalen Zahlen sind die reellen Zahlen ein [[lokalkompakter Raum]]; zu jeder reellen Zahl <math>x</math> lässt sich also eine offene Umgebung angeben, deren Abschluss kompakt ist. So eine offene Umgebung ist einfach zu finden; jede beschränkte, offene Menge <math>U</math> mit <math>x \in U</math> leistet das Gewünschte: nach dem [[Satz von Heine-Borel]] ist <math>\bar{U}</math> kompakt.

Der reelle Zahlenkörper ist nur ''lokalkompakt,'' aber nicht ''kompakt.'' Eine verbreitete [[Kompaktifizierung]] sind die sogenannten ''[[Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]]'' <math>\overline{\R} := \R \cup \{-\infty, +\infty\}</math>, wobei die [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] von <math>-\infty</math> durch die [[Umgebungsbasis]]
:<math>\{B_r(-\infty) \mid r \in \mathbb Q^+\}</math> mit <math>B_r(-\infty) := \{x \in \R \mid x < -\tfrac1r\}</math>
und die Umgebungen von <math>+\infty</math> durch die Umgebungsbasis
:<math>\{B_r(+\infty) \mid r \in \mathbb Q^+\}</math> mit <math>B_r(+\infty) := \{x \in \R \mid x > \tfrac1r\}</math>
definiert werden. Diese Topologie genügt weiterhin beiden Abzählbarkeitsaxiomen. <math>\overline{\R}</math> ist [[homöomorph]] zum abgeschlossenen Intervall <math>[0,1]</math>, beispielsweise ist die Abbildung <math>x \mapsto \arctan x</math> ein Homöomorphismus <math>\overline{\R} \to [-\pi/2,\pi/2]</math>, und alle kompakten Intervalle sind mittels affin-linearer Funktionen homöomorph. [[Grenzwert (Folge)|Bestimmt divergente Folgen]] sind in der Topologie der erweiterten reellen Zahlen konvergent, beispielsweise handelt die Aussage
:<math>\lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty</math>
in dieser Topologie von einem echten Grenzwert.

Mit <math>-\infty < x < \infty</math> für alle <math>x \in \R</math> sind die erweiterten reellen Zahlen weiterhin totalgeordnet. Es ist allerdings nicht möglich, die Körperstruktur der reellen Zahlen auf die erweiterten reellen Zahlen zu übertragen, beispielsweise hat die Gleichung <math>\infty + x = \infty</math> keine eindeutige Lösung.

== Verwandte Themen ==
* Ein [[Nichtstandardanalysis|Nicht-Standard-Modell der Analysis]] leitet sich aus der [[Modelltheorie]] ab.
* Eine näherungsweise Darstellung reeller Zahlen im Computer erfolgt durch [[Gleitkommazahl]]en.
* Berechnungen unter Berücksichtigung der Näherungsfehler ermöglicht die [[Intervallarithmetik]].
* Die Darstellung von Zahlen erfolgt in einem [[Zahlensystem]].

== Literatur ==
* [[Oliver Deiser]]: ''Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen.'' Springer-Verlag, 2007, ISBN 3-540-45387-3.
* [[Klaus Mainzer]]: ''Reelle Zahlen.'' In: [[Heinz-Dieter Ebbinghaus]] u. a.: ''Zahlen.'' 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-55654-0, Kapitel 2.
* [[Otto Forster]]: ''Analysis 1. Differential und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' 4. Auflage. vieweg, 1983, ISBN 3-528-37224-9.
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis, Teil 1.'' 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2.
* {{Literatur
|Autor=John M. H. Olmsted
|Titel=The Real Number System
|Verlag=Appleton-Century-Crofts
|Ort=New York
|Datum=1962}}
* {{Literatur
|Herausgeber=Meyers Lexikonredaktion
|Titel=Der kleine Duden „Mathematik“
|TitelErg=Bearbeitet von Dipl.-Math. Hermann Engesser
|Auflage=2.
|Verlag=[[Dudenverlag]]
|Ort=Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich
|Datum=1996
|ISBN=3-411-05352-6}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary|reelle Zahl}}
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Reelle Zahlen}}
{{Wikibooks|Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen|Analysis – Reelle Zahlen}}
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik/ Zahlenmengen|<math>{\color{BlueViolet}\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix} }</math> Mathematik für die Schule |suffix=Zahlenmengen}}
* {{EoM |Autor=L. D. Kudryavtsev |Url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Real_number |Titel=Real number}}
* {{MathWorld |id=RealNumber |title=Real number}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahl]]

Reelle Zahl - Versionsgeschichte

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