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2025-02-06T22:10:57Z

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[[Datei:Rectangle.svg|mini|Rechteck mit Länge ''a'', Breite ''b'' und [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] ''d'']]

In der [[Geometrie]] ist ein '''Rechteck''' (ein '''Orthogon''') ein [[Euklidische Ebene|ebenes]] [[Viereck]], dessen [[Innenwinkel]] alle [[Rechter Winkel|rechte Winkel]] sind. Es ist ein Spezialfall des [[Parallelogramm]]s und damit auch des [[Trapez (Geometrie)|Trapezes]]. Ein Sonderfall des Rechtecks ist das [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]], bei dem alle Seiten gleich lang sind.
In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] ist ein Rechteck eine [[Mannigfaltigkeit mit Rand|Mannigfaltigkeit]] mit Rand, genauer eine Mannigfaltigkeit mit Ecken.

== Eigenschaften ==

* Gegenüber liegende Seiten sind gleich lang und [[Parallel (Geometrie)|parallel]].
* Die vier [[Innenwinkel]] sind gleich, d. h., es ist ein [[gleichwinkliges Polygon]]. Die Innenwinkel sind [[Rechter Winkel|rechte Winkel]].
* Die beiden [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] sind gleich lang und halbieren einander.
* Es besitzt einen [[Umkreis]] und ist daher ein [[Sehnenviereck]]. Umkreismittelpunkt ist der [[Schnittpunkt]] der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]].
* Es ist [[Achsensymmetrie|achsensymmetrisch]] bezüglich der [[Mittelsenkrechte]]n der Seiten. Die beiden [[Symmetrieachse]]n stehen also senkrecht aufeinander.
* Es ist [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] (zweizählig symmetrisch) bezüglich des Schnittpunkts der Diagonalen.
* Die [[Symmetriegruppe]] ist die [[Kleinsche Vierergruppe]].

Das Rechteck kann charakterisiert werden als

* [[Parallelogramm]] mit einem [[Rechter Winkel|rechten Winkel]],
* Parallelogramm mit gleich langen [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]],
* [[Viereck]] mit gleich langen [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]], die sich halbieren,
* Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten gleich lang sind und ein Winkel ein rechter ist.

== Formeln ==
[[Datei:Illustration for the area of a rectangle.svg|mini|Der [[Flächeninhalt]] eines Rechtecks ist gleich dem [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] der Seitenlängen.]]

{| class="wikitable"
|-
! colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Mathematische Formeln zum Rechteck
|-
|'''[[Flächeninhalt]]'''
|<math>A = a \cdot b</math>
|-
|[[Umfang (Geometrie)|'''Umfang''']]
|<math>U = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b)</math>
|-
|Länge der [[Diagonale (Geometrie)|'''Diagonalen''']]
|<math>d = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
|-
|[[Umkreis|'''Umkreisradius''']]
|<math>r_u = \tfrac{d}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2}</math>
|-
|'''[[Innenwinkel]]'''
|<math>\alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ</math>
|}

Die Formel für die [[Länge (Mathematik)|Länge]] der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] beruht auf dem [[Satz des Pythagoras]]. Der [[Umkreis]]radius ergibt sich durch Halbierung der Länge der Diagonalen.

Um ein Rechteck zu konstruieren, müssen zwei Größen gegeben sein. Häufig sind entweder beide Seitenlängen gegeben, oder eine der beiden Seitenlängen und die Länge der Diagonalen.

=== Optimierungsprobleme und das Quadrat ===
Es gibt verschiedene [[Optimierungsproblem]]e für Rechtecke. Sucht man ein Rechteck, das bei

* gegebener Länge der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] oder gegebenem [[Flächeninhalt]] des [[Umkreis]]es den maximalen Umfang
* gegebener Länge der Diagonale oder gegebenem Flächeninhalt des Umkreises den maximalen Flächeninhalt
* gegebenem [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] die minimale Länge der Diagonale oder den minimalen Flächeninhalt des Umkreises
* gegebenem Umfang den maximalen Flächeninhalt
* gegebenem Flächeninhalt die minimale Länge der Diagonale oder den minimalen Flächeninhalt des Umkreises
* gegebenem Flächeninhalt den minimalen Umfang

hat, dann ergibt sich als [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] jeweils das [[Quadrat]].

Jeweils zwei der sechs [[Optimierungsproblem]]e sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mit anderen gegebenen Größen, sodass es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme sind. Für die genannten Optimierungsprobleme ist das [[Quadrat]] das gesuchte Rechteck. Das gilt selbstverständlich nicht für alle Optimierungsprobleme.

Dass die Optimierungsprobleme für die Länge der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] und den [[Flächeninhalt]] des [[Umkreis]]es jeweils dieselbe [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] haben, ist offensichtlich, weil der Flächeninhalt <math>\pi \cdot r_u^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot d^2 </math> des Umkreises eine [[Stetige Funktion|stetige]] und [[streng monoton]] steigende [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] mit der Funktionsvariablen <math>d </math> ist.

[[Datei:WRectangle.png|mini|Rechteck mit den Seitenlängen und [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] d]]

Ist zum Beispiel bei gegebener Länge <math>d </math> der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] das Rechteck ABCD mit dem größten [[Flächeninhalt]] gesucht, dann hilft es, den [[Umkreis]] zu betrachten. Die Diagonale AC ist nach dem Satz des Thales der Durchmesser des Umkreises.

Das Rechteck besteht aus den [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecken]] ABC und CDA. Der [[Flächeninhalt]] des [[Dreieck]]s ABC ist dann am größten, wenn die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] des Punkts B auf der Seite AC am größten ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die Seiten AB und BC gleich lang sind, das Dreieck also auch [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklig]] ist. Ebenso ist der Flächeninhalt des Dreiecks CDA genau dann am größten, wenn die Seiten CD und DA gleich lang sind. Der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD ist also genau dann am größten, wenn alle 4 Seiten gleich lang sind, also wenn es ein [[Quadrat]] ist.

Eine andere Möglichkeit ist, den [[Flächeninhalt]] mit [[Ungleichung]]en abzuschätzen.

Ein Rechteck mit den Seitenlängen <math>a </math> und <math>b </math> hat die Diagonalenlänge <math>\sqrt{a^2 + b^2} </math> und den Flächeninhalt <math>a \cdot b </math>. Das [[Quadrat]] mit der Seitenlänge <math>\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot a^2 + 2 \cdot b^2} </math> hat dieselbe Diagonalenlänge und den [[Flächeninhalt]] <math>\frac{a^2 + b^2}{2} </math>. Wegen der [[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel]] <math>\sqrt{a \cdot b} \leq \frac{a + b}{2} </math> gilt <math>a \cdot b \leq \frac{a^2 + b^2}{2} </math> für alle positiven Seitenlängen <math>a </math> und <math>b </math> und Gleichheit genau dann, wenn <math>a = b </math> ist. Daraus folgt, dass das Quadrat das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt ist.

== Rechteckgitter ==
[[Datei:Rectangular Lattice.svg|mini|Rechteckgitter]]

Das Rechteckgitter ist eine Anordnung von [[Unendlichkeit|unendlich]] vielen [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] in der [[zweidimensional]]en [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]]. Diese Punktmenge kann formal als die [[Menge (Mathematik)|Menge]]

: <math> \left\{(a \cdot x_1,b \cdot x_2) \in \mathbb R^2 \mid a, b > 0 \ \land \ x_1 \in \mathbb Z \ \land \ x_2 \in \mathbb Z \right\}</math>

geschrieben werden, wobei die positiven [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>
a
</math>, <math>
b
</math> die [[Abstand|Abstände]] zwischen benachbarten [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] sind. Das Rechteckgitter entsteht durch 2 Parallelstreckungen (siehe [[Affine Abbildung]]) aus dem [[Quadratgitter]].<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/CubicLattice.html Cubic Lattice]</ref>

Dieses Rechteckgitter ist [[Achsensymmetrie|achsensymmetrisch]], [[Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]] und [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]]. Außerdem ist es [[Translationssymmetrie|translationsymmetrisch]] für alle [[Vektor]]en mit bestimmten [[Vektor#Länge bzw. Norm|Längen]], die parallel zu den 2 Koordinatenachsen verlaufen, nämlich die unendlich vielen Vektoren <math>
a \cdot a_1 \cdot \vec{e}_1
</math>, <math>
b \cdot a_2 \cdot \vec{e}_2
</math>, wobei <math>
a_1
</math>, <math>
a_2
</math> [[ganze Zahl]]en sind und <math>
e_1
</math>, <math>
e_2
</math> die 2 [[Einheitsvektor]]en im [[zweidimensional]]en eudklidischen [[Vektorraum]].

Wird eine [[geometrische Figur]] in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] in einem [[Quadratgitter]] platziert und dann durch Parallelstreckungen modifiziert, sodass ein Rechteckgitter entsteht, dann entstehen abhängig von der Art und Ausrichtung dieser geometrischen Figuren andere geometrische Figuren:

{| class="wikitable"
! colspan="3"|Parallelstreckungen von [[Geometrische Figur|geometrischen Figuren]]
|-
! rowspan="2"|[[Geometrische Figur|Figur]] im [[Würfel (Geometrie)#Würfelgitter|Würfelgitter]]
! colspan="2"|[[Geometrische Figur|Figur]] im Quadergitter
|-
!bei [[Orthogonalität|orthogonaler]] Ausrichtung
!bei beliebiger Ausrichtung
|-
|[[Quadrat]]
|Rechteck
|[[Parallelogramm]]
|-
|Rechteck
|Rechteck
|[[Parallelogramm]]
|-
|[[Raute]]
|[[Raute]]
|[[Parallelogramm]]
|-
|[[Parallelogramm]]
|
|[[Parallelogramm]]
|-
|[[rechtwinkliges Dreieck]]
|[[rechtwinkliges Dreieck]]
|[[Dreieck]]
|-
|[[gleichschenkliges Dreieck]]
|[[gleichschenkliges Dreieck]]
|[[Dreieck]]
|-
|[[Kreis]]
|[[Ellipse]]
|[[Ellipse]]
|-
|[[Ellipse]]
|[[Ellipse]]
|[[Ellipse]]
|}

== Goldenes Rechteck ==
[[Datei:SimilarGoldenRectangles.svg|mini|Beide Rechtecke – je mit den Seitenverhältnissen a : b sowie (a + b) : a – sind jeweils Goldene Rechtecke ([[:Datei:Animation GoldenerSchnitt.gif|animierte Darstellung]]).]]

Rechtecke mit der Eigenschaft <math> \frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} </math> für die Seitenlängen a und b nennt man [[Goldenes Rechteck|Goldene Rechtecke]]. Als [[Seitenverhältnis]] ergibt sich der [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]], also <math> \frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}6180339887 </math>.

== Perfektes Rechteck ==
{{Hauptartikel|Perfektes Rechteck}}

Ein Rechteck heißt ''perfekt'', falls man es mit [[Quadrat]]en lückenlos und überschneidungsfrei überdecken kann, wobei alle Quadrate unterschiedlich groß sind. Es ist nicht einfach, eine solche [[Parkettierung]] zu finden. Eine solche Zerlegung eines Rechtecks mit den Seitenlängen 32 und 33 in 9 Quadrate wurde 1925 von [[Zbigniew Moroń]] gefunden. Sie besteht aus den Quadraten mit den Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18.<ref name="Moroń">{{Internetquelle |autor=Zbigniew Moroń |url=http://squaring.net/history_theory/z_moron.html |titel=Darstellung der Rechtecke nach Moroń |abruf=2021-03-27}}</ref><ref>{{MathWorld|id=PerfectSquareDissection|title=Perfect Square Dissection}}</ref>

Ein weiteres Beispiel eines perfekten Rechtecks – ebenfalls von Zbigniew Moroń – hat die Seitenlängen 47 und 65. Es wird überdeckt von 10 Quadraten mit den Seitenlängen 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 und 25.<ref name="Moroń" />

<div style="float:left;">[[Datei:Perfektes Rechteck.svg|mini|hochkant=0.9|Perfektes Rechteck 32 x 33 (9 Quadrate)]]</div>
<div style="float:left;">[[Datei:Schramm-Biermann Perfektes Rechteck 47x65.jpg|mini|hochkant=1.2|[[Irene Schramm-Biermann]]: <br /> Perfektes Rechteck 47 x 65 (10 Quadrate)]]</div>
{{Absatz}}

== Spiralen ==
[[Datei:Aehnliche Rechtecke Spiralanordnung.svg|mini|Ineinander liegende spiralförmig angeordnete Rechtecke]]

Eine unendliche Folge von ineinander liegenden Rechtecken, die von jeweils vier [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecken]] eingeschlossen sind, lassen sich so wie in der Abbildung anordnen, in der die ersten 12 Folgenglieder farbig dargestellt sind. Dadurch entstehen vier unendliche [[Grenzwert (Folge)|konvergente Reihen]] aus [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlichen]] rechtwinkligen Dreiecken, deren Grenzwerte identisch sind und jeweils spiralförmig die gesamte Fläche des großen Rechtecks ausfüllen. Die Flächenmaßzahlen der mittleren Rechtecke konvergieren hierbei gegen Null.

Bezeichnet man die Seitenlängen des Ausgangsrechtecks mit a und b, so hat jede der vier Spiralen die Flächenmaßzahl <math>\tfrac{1}{4}ab</math>.<ref name="Walser">Hans Walser: ''Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren – Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen'', [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH [[Berlin]] 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seite 78</ref>

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Commonscat|Rectangles|Rechteck}}
* [http://www.elsy.at/kurse/index.php?kurs=Rechteck+und+Quadrat&status=public Rechteck – Animierte Lernsequenz – Konstruktion, Umfang, Flächeninhalt]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Viereck]]
[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]

Rechteck - Versionsgeschichte

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