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2025-05-30T20:44:29Z

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{{Dieser Artikel|behandelt die geometrische Rautenform. Zum Schriftzeichen # siehe [[Rautezeichen]], für weitere Bedeutungen siehe [[Raute (Begriffsklärung)]].}}
[[Datei:Rhombus.svg|mini|Eigenschaften einer Raute:<br />Jeweils zwei Seiten sind zueinander parallel und die Verbindungslinien der gegenüberliegenden Ecken schneiden einander im rechten Winkel]]

Eine '''Raute''' oder ein '''Rhombus''' (von {{grcS|ῥόμβος|rhómbos}})<ref>{{Literatur |Autor=[[Wilhelm Pape]], Max Sengebusch (Bearb.) |Titel=Handwörterbuch der griechischen Sprache |Auflage=3. Auflage, 6. Abdruck |Verlag=Vieweg & Sohn |Ort=Braunschweig |Datum=1914 |Online=http://images.zeno.org/Pape-1880/K/big/Pape-1880----02-0848.png |Abruf=2020-09-05}}</ref> ist in der [[Geometrie]] ein ebenes [[Viereck]] mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] und gegenüberliegende [[Winkel]] gleich groß.

== Etymologie ==

Das [[Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache|Etymologische Wörterbuch der deutschen Sprache]] sieht eine Verwendung des geometrischen Begriffs „Raute“ (mittelhochdeutsch ''rūte'' von althochdeutsch ''rūta,'' entlehnt von lateinisch ''ruta'') seit dem 14. Jahrhundert und nennt die Entstehung „dunkel“. Den Auflagen von 1934 bis 1975 zufolge ergebe sich ein Rhombus, wenn die Spitzen der vier [[Kronblatt|Kronblätter]] der [[Weinraute|Rautenblüte]] durch Geraden verbunden würden. Die Erstverwendung in der Geometrie sei für 1539 bezeugt. Spätere Auflagen enthalten diese Erklärung nicht mehr und führen nur eine fachsprachlich gleichbedeutende [[Mittelhochdeutsche Sprache|spätmittelhochdeutsche]] Form ''rūta'' an.<ref>''Raute.'' In: Friedrich Kluge: ''[[Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache]].'' 11. Auflage 1934, 21. Auflage 1975, 25. Auflage 2011.</ref> Botanische etymologische Lexika weisen darauf hin, dass die Weinraute keine rhombische Laubblattspreite habe.<ref>''Ruta.'' In: Helmut Genaust: ''Etymologische Handbuch der deutschen Pflanzennamen.'' 3. Auflage 1989. Im Anschluss ''Ruta graveolens L.'' In: Friedhelm Sauerhoff: ''Etymologisches Wörterbuch der deutschen Pflanzennamen.'' 2. Auflage. 2004.</ref> Dem Etymologischen Wörterbuch von [[Wolfgang Pfeifer (Etymologe)|Wolfgang Pfeifer]] zufolge entstand der Begriff durch die „zuerst in der Heraldik auftretende geometrische Figur in der stilisierten vierteiligen Blütenform der Pflanze“ als Entlehnung aus lateinisch ''rūta,'' griechisch ''rhȳtḗ (ῥυτή)'' („Bitterkraut“).<ref>Wolfgang Pfeifer: ''Etymologisches Wörterbuch des Deutschen.'' [https://www.dwds.de/wb/Raute Online], abgerufen am 5. September 2020.</ref>

[[Datei:Walther-Multa-32-Tastatur-rechte-Hälfte-2.jpg|mini|Rautezeichen, Spitzraute und Stern auf der Tastatur einer [[Rechenmaschine]]]]

== Bezeichnungen, Darstellungen und Verwendung als Zeichen ==
{{Hauptartikel|Raute (Heraldik)|Raute (Symbol)}}

Neben „Raute“ werden die Ausdrücke „Rhombus“ (Plural: Rhomben) und „Karo“ verwendet. Beispielsweise heißt ein Webmuster bei Textilien: „Karomuster“.

Ein [[Quadrat]], das auf der Spitze steht, wird manchmal ebenfalls verallgemeinernd als Raute bezeichnet.

Rautenformen als Schriftzeichen finden sich in [[Unicode]] im Block ''[[Unicodeblock Geometrische Formen|Geometrische Formen]],'' beispielsweise ◆ (U+25C6 {{Kapitälchen|black diamond}} „vollflächiges Karo“), ◇ (U+25C7 {{Kapitälchen|white diamond}} „hohles Karo“) und ◊ (U+25CA {{Kapitälchen|lozenge}} „Spitzraute“<ref>Benennung laut [[DIN 5009]]:2022-06 Beiblatt 1, Tabelle 10 „Schmuckzeichen und geometrische Formzeichen“; ebenfalls so benannt im informativen Anhang zur Tastaturnorm [[DIN 2137]] seit der Ausgabe 2018-12.</ref>).

In der [[Heraldik]] heißen rautenförmige Elemente auch ''[[Wecke (Heraldik)|Wecke]]'' und ''[[Spindel (Heraldik)|Spindel]],'' das auf die Spitze gestellte Quadrat auch ''Kantenwürfel.''

Symbole in Rautenform oder mit rautenförmigen Bestandteilen kommen in vielen Verwendungen wie z. B. als [[Logo (Zeichen)|Logo]] von Sportvereinen und Firmen vor.

Straßenverkehr: Seit einigen Jahren zeigt eine auf eine Fahrspur gemalte Raute die Stelle einer Sensorschleife an, mit der eine Ampelsteuerung ein angkommendes (metallenes) Fahrzeug erkennen kann. Spätestens mit August 2024 hat Frankreich eine blaue Verkehrstafel mit weißer Raute eingeführt. Damit wird markiert, dass eine linke Fahrspur einer Autobahn oder am Pariser Ring nur von Bussen, Taxis oder Fahrgemeinschaften (Pkws mit mindestens 2 Insassen) oder Elektrofahrzeugen (mit einer Rautenplakette) benützt werden darf.<ref>[https://www.chip.de/news/Kostet-Autofahrer-135-Euro-Wie-Sie-beim-blauen-Rauten-Schild-richtig-reagieren_185188836.html Kostet Autofahrer 135 Euro: Wie Sie beim blauen Rauten-Schild richtig reagieren] chip.de, 15. Mai 2025.</ref>

== Eigenschaften ==

Eine ''Raute'' ist ein ebenes [[Viereck]] mit vier gleich langen Seiten.<ref>[[Gerhard Holland]]: ''Geometrie in der Sekundarstufe.'' Bibliographisches Institut&Brockhaus AG, Mannheim/Wien/Zürich 1988, ISBN 3-411-03178-6, S. 163.</ref> Alternativ lässt sich die Raute als [[Parallelogramm]] definieren, dessen [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] einander [[Rechter Winkel|rechtwinklig]] schneiden (siehe [[orthodiagonales Viereck]]).

Für jede Raute gilt:

* Gegenüberliegende Seiten sind [[Parallelität (Geometrie)|parallel]].
* Gegenüberliegende [[Innenwinkel]] sind gleich groß, benachbarte Innenwinkel [[Supplementärwinkel|supplementär]], d. h., ihre Summe ist 180°.
* Die Innenwinkel werden durch eine [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] halbiert.
* Die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander.
* Sie besitzt einen [[Inkreis]] und ist daher ein [[Tangentenviereck]]. Inkreismittelpunkt ist der [[Schnittpunkt]] der Diagonalen.
* Die Diagonalen sind [[Symmetrieachse]]n. Die beiden Symmetrieachsen stehen also senkrecht aufeinander.
* Sie ist [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] (zweizählig symmetrisch) bezüglich des Schnittpunkts der Diagonalen.
* Die [[Symmetriegruppe]] ist die [[Kleinsche Vierergruppe]] (außer die gegebene Raute ist sogar ein Quadrat, dann ist die Symmetriegruppe eine [[Diedergruppe]] mit 8 Elementen, weil dann außer den Spiegelungen noch Drehungen dazukommen).

Die Raute kann charakterisiert werden als

* [[Parallelogramm]] mit zwei benachbarten gleich langen Seiten
* Parallelogramm mit [[Orthogonalität|orthogonalen]] [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]]
* Parallelogramm mit einer Diagonalen, die einen [[Innenwinkel]] halbiert
* [[Drachenviereck]] mit paarweise [[Parallelität (Geometrie)|parallelen]] Seiten
* [[Viereck]] mit orthogonalen Diagonalen, die einander halbieren
* Viereck mit genau 2 Symmetrieachsen, von denen jede durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte verläuft<ref>Lambacher-Schweizer: Mathematik für Gymnasien 6, Stuttgart, Klett-Verlag, 2010, ISBN 978-3-12-734561-2, S. 83. Es gibt weitere Belege in der fachdidaktischen Literatur.</ref>
* Viereck, dessen zwei Diagonalen jeweils zwei gegenüberliegende Innenwinkel halbieren

Um eine Raute zu konstruieren, sind zwei Bestimmungsstücke, z. B. die Seitenlänge und ein [[Winkel]], notwendig.

== Formeln ==

{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" | Mathematische Formeln zur Raute
|-
| rowspan="4" |'''[[Flächeninhalt]]'''
|<math>A = a \cdot h_a</math>
| rowspan="12" |[[Datei:Raute.svg|alternativtext=|rahmenlos]]
|-
|<math>A = \frac{e \cdot f}{2}</math>
|-
|<math>A = a^2 \cdot \sin(\alpha) = a^2 \cdot \sin(\beta)</math>
|-
|<math>A = \frac{h_a^2}{\sin(\alpha)} = \frac{h_a^2}{\sin(\beta)}</math>
|-
|[[Umfang (Geometrie)|'''Umfang''']]
|<math>u = 4 \cdot a</math>
|-
|'''Seitenlänge'''
|<math>a = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{e^2 + f^2}</math>
|-
| rowspan="2" |Länge der [[Diagonale (Geometrie)|'''Diagonalen''']]
|<math>e = 2 \cdot a \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2 \cdot a \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)</math>
|-
|<math>f = 2 \cdot a \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2 \cdot a \cdot \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)</math>
|-
|[[Inkreis|'''Inkreisradius''']]
|<math>r_i = \frac{h_a}{2} = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2} = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{2}</math>
|-
| rowspan="2" |[[Höhe (Geometrie)|'''Höhe''']]
|<math>h_a = a \cdot \sin(\alpha) = a \cdot \sin(\beta)</math>
|-
|<math>h_a = \frac{e \cdot f}{\sqrt{e^2 + f^2}}</math>
|-
|'''[[Innenwinkel]]'''
|<math>\alpha + \beta = 180^\circ</math>
|}

=== Optimierungsprobleme und das Quadrat ===

Es gibt verschiedene [[Optimierungsproblem]]e für Rauten. Sucht man eine Raute, die bei

* gegebener Länge der [[Höhe]] oder gegebenem [[Flächeninhalt]] des [[Inkreis]]es den minimalen [[Umfang (Geometrie)|Umfang]]
* gegebener Länge der Höhe oder gegebenem Flächeninhalt des Inkreises den minimalen Flächeninhalt
* gegebenem Umfang die maximale Höhe oder den maximalen Flächeninhalt des Inkreises
* gegebenem Umfang den maximalen Flächeninhalt
* gegebenem Flächeninhalt die maximale Höhe oder den maximalen Flächeninhalt des Inkreises
* gegebenem Flächeninhalt den minimalen Umfang

hat, dann ergibt sich als [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] jeweils das [[Quadrat]].

Jeweils zwei der sechs [[Optimierungsproblem]]e sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mit anderen gegebenen Größen, sodass es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme sind. Für die genannten Optimierungsprobleme ist das [[Quadrat]] die gesuchte Raute. Das gilt selbstverständlich nicht für alle Optimierungsprobleme.

Dass die Optimierungsprobleme für die [[Höhe]] und den [[Flächeninhalt]] des [[Inkreis]]es jeweils dieselbe [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] haben, ist offensichtlich, weil der Flächeninhalt <math>\pi \cdot r_i^2 = \tfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot h_a^2 </math> des Inkreises eine [[Stetige Funktion|stetige]] und [[streng monoton]] steigende [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] mit der Funktionsvariablen <math>h_a </math> ist.

Ist zum Beispiel bei gegebener [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>h_a </math> die Raute mit dem kleinsten [[Flächeninhalt]] gesucht, dann kann man den Flächeninhalt mit [[Ungleichung]]en abschätzen.

Eine Raute mit den [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalenlängen]] <math>e </math> und <math>f </math> hat die Höhe <math>\tfrac{e \cdot f}{\sqrt{e^2 + f^2}} </math> und den Flächeninhalt <math>\tfrac{e \cdot f}{2} </math>. Das [[Quadrat]] mit der Seitenlänge <math>\tfrac{e \cdot f}{\sqrt{e^2 + f^2}} </math> hat dieselbe Höhe und den [[Flächeninhalt]] <math>\tfrac{e^2 \cdot f^2}{e^2 + f^2} </math>. Wegen der [[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel]] <math>\sqrt{e \cdot f} \leq \tfrac{e + f}{2} </math> gilt <math>\tfrac{e^2 \cdot f^2}{e^2 + f^2} \leq \tfrac{e \cdot f}{2} </math> für alle positiven Diagonalenlängen <math>e </math> und <math>f </math> und Gleichheit genau dann, wenn <math>e = f </math> ist. Daraus folgt, dass (zu jeder Höhe <math>h_a </math>) das Quadrat die Raute mit dem kleinsten Flächeninhalt ist.

== Kombinationen mehrerer Rauten ==
Zum Stern („Rautenstern“) schließen sich nur Rauten, deren [[Zentriwinkel]] (also der Winkel in der Spitze, in der man sie aneinanderlegt) gleich <math>360^\circ/n</math> mit einer natürlichen Zahl <math>n</math> ist. Sie bilden dann einen [[Stern (Geometrie)|<math>n</math>-zackigen Stern]]. Das gilt nicht für den dreidimensionalen Fall, hierbei lassen sich auch anderswinklige Rauten in ihrer Spitze aneinanderfügen und ergeben dann [[Pyramide (Geometrie)|pyramidenförmige]] Spitzen.

== Parkettierungen mit Rauten ==
* Durch seine Definition eignet sich jede Raute für eine flächendeckende [[Parkettierung]], aber nur in zwei Hauptrichtungen (siehe [[platonische Parkettierung]]). Hier bildet die [[Ebene kristallographische Gruppe#Gruppe cmm|Rautenparkettierung]] (mit ihrer Sonderform, dem [[Quadratgitter]], also einem [[Orthogonalität|orthogonalen]] Raster) eine der 17 möglichen [[Parkettierung#Periodische Parkettierungen|Symmetriegruppen der Parkettierungen]].<ref name="JSF">Bewiesen von Jewgraf S. Fedorow 1891, nach [[Ian Stewart (Mathematiker)|Ian Stewart]]: ''Fünfeckige Kacheln.'' In: ''Spektrum der Wissenschaft.'' Januar 2000, S. 106–108 (Abb. S. 108).</ref>
* Eine solche Kachelung (flächenfüllende, schiefwinklig-platonische Kachelung) findet sich auf der [[Staatsflagge Bayerns#Die Rautenflagge|Staatsflagge Bayerns (Rautenflagge)]], [[Heraldik|heraldische]] Fachsprache: ''schräg [[gerautet]].''
* Eine Besonderheit ist die aperiodische (quasikristalline) [[Penrose-Parkettierung]] zweier Rauten mit [[Innenwinkel]]n von 36° und 144° bzw. 72° und 108°.
<gallery mode="packed">
Datei:Flag of Bavaria (lozengy).svg|Rautengitter-[[Parkettierung]] in der [[Staatsflagge Bayerns#Die Rautenflagge|Staatsflagge Bayerns (Rautenflagge)]]
Datei:Isohedral tiling p4-51c.svg|Alternierende [[Parkettierung]] mit Rauten
Datei:Tiling Dual Semiregular V3-6-3-6 Quasiregular Rhombic.svg|[[Parkettierung#Duale Parkettierungen|Duale Parkettierung]] einer [[Parkettierung#Archimedische Parkettierungen|archimedischen Parkettierung]]

Datei:Penrose Tiling (Rhombi).svg|[[Penrose-Parkettierung]]
PenroseTilingFilled3.svg|[[Penrose-Parkettierung]]
</gallery>

== Polyeder mit Rauten ==
Einige [[Polyeder]] haben Rauten als [[Fläche (Mathematik)|Seitenflächen]], zum Beispiel die [[Rhomboeder]]. Die Oberfläche von [[Rhombendodekaeder]] und [[Rhombentriakontaeder]], zweier [[catalanischer Körper]], besteht aus [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] Rauten. Rhomboeder, Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder sind Polyeder, die ausschließlich von Rauten begrenzt sind. Die genannten Polyeder sind [[Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]], d. h., sie können durch [[Drehung]] um bestimmte [[Rotationsachse]]n auf sich selbst abgebildet werden.<gallery>
Datei:Rhombohedron.svg|Rhomboeder
Datei:Rhombicdodecahedron.jpg|[[Rhombendodekaeder]]
Datei:Rhombictriacontahedron.svg|[[Rhombentriakontaeder]]
</gallery>

== Rauten in Architektur, Kunst und Design ==
<gallery mode="packed">
07Pella02.jpg|Fußbodenmosaik in [[Pella (Pella)|Pella]], Hauptstadt des [[Makedonien (antikes Königreich)|antiken Königreichs Makedonien]]
Beauvais (60), église Saint-Étienne, croisillon nord, pignon 2.JPG|Rautendekor am Giebel des Südquerhauses der Kirche ''[[St-Étienne (Beauvais)|St Étienne]]'' in [[Beauvais]], [[Picardie]]
Chauriat 4.JPG|Rautendekor am Giebel des Südquerhauses der ''[[St-Julien (Chauriat)|St Julien]],'' [[Chauriat]], [[Auvergne]]
Andernach - Agrippastraße - Maria Himmelfahrt 08 ies.jpg|Das [[Rhombendach]] der Kirche [[Maria Himmelfahrt (Andernach)|Maria Himmelfahrt]] in Andernach
Dortmund-100706-15343-Marienkirche.jpg|[[Rhombendach]] der [[Marienkirche (Dortmund)|Marienkirche]] in Dortmund
Renault Logo 1972.svg|Logo von [[Renault]] (1972)
Victor Vasarely - artwork at Déli Pályaudvar - front.jpg|Skulptur von [[Victor Vasarely]] am [[Budapest Déli pályaudvar|Budapester Südbahnhof]]
Polstofffiltration Diamondfilter.jpg|Rautenförmige Stützsegmente bei der [[Polstofffiltration]] in der Abwasserreinigung
</gallery>

Die ''[[Rhombusleiste]]'' wird zur Verkleidung von Fassaden oder für Sichtschutzwände eingesetzt. Der Querschnitt bildet jedoch üblicherweise keine Raute, sondern ein Parallelogramm.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Rhombi|Raute|audio=1|video=1}}
{{Wiktionary|Raute}}{{Wiktionary|Rhombus}}
* [http://www.mathematische-basteleien.de/raute.htm Weiterführende Informationen, Berechnungsbeispiele und Abbildungen]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=7725343-7}}

[[Kategorie:Viereck]]
[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]

Raute - Versionsgeschichte

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