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2025-05-16T08:43:41Z

Sonderfälle und Verallgemeinerung

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[[Datei:Hexagonal Prism BC.svg|mini|Ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche]]
Ein '''Prisma''' (Mehrzahl: ''Prismen'') ist ein geometrischer [[Körper (Geometrie)|Körper]], der durch [[Parallelverschiebung]] eines ebenen [[Polygon]]s in eine Richtung entsteht, die nicht in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] des Polygons liegt. Man spricht auch von einer [[Extrusion (Geometrie)|Extrusion]] des Vielecks. Ein Prisma ist damit ein spezielles [[Polyeder]].

Das gegebene Polygon wird als ''[[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]]'' bezeichnet, die gegenüberliegende [[Seitenfläche]] als ''Deckfläche''. Die Gesamtheit aller übrigen Seitenflächen heißt ''[[Mantelfläche]]''. Die Seitenkanten des Prismas, die Grundfläche und Deckfläche verbinden, sind zueinander [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] und alle gleich lang. Grundfläche und Deckfläche sind zueinander [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]] und parallel. Der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche heißt ''[[Höhe (Geometrie)|Höhe]]'' des Prismas.

== Gerades und schiefes Prisma ==
[[Datei:Right and not-right prism.svg|mini|A: gerades Prisma; B: schiefes Prisma]]
[[Datei:Rhombohedron.svg|mini|Spezialfall eines schiefen Prismas: [[Parallelepiped]], hier sogar ein [[Rhomboeder]]]]

Erfolgt die Parallelverschiebung des Polygons [[Orthogonalität|senkrecht]] zur Grundfläche, spricht man von einem ''geraden Prisma'', ansonsten von einem ''schiefen Prisma''. Die Mantelfläche eines geraden Prismas besteht aus [[Rechteck]]en, im allgemeinen Fall besteht sie aus [[Parallelogramm]]en.

Der zu einem geraden Prisma [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] ist eine [[Doppelpyramide]].

== Reguläres Prisma ==
Ein gerades Prisma mit einem [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Vieleck]] als Grundfläche wird als ''reguläres Prisma'' bezeichnet. Alle regulären Prismen besitzen eine [[Umkugel]], weil alle [[Ecke]]n gleich weit vom [[Mittelpunkt]] entfernt sind. Der [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] ist das einzige gleichseitige Prisma mit einer [[Inkugel]].

<gallery perrow="6" widths="70">
Triangular prism.svg|[[Dreieck|dreieckiges]] Prisma
Tetragonal prism.png|[[Viereck|viereckiges]] Prisma
Pentagonal prism.png|[[Fünfeck|fünfeckiges]] Prisma
Hexagonal prism.png|[[Sechseck|sechseckiges]] Prisma
Prism 7.png|[[Siebeneck|siebeneckiges]] Prisma
Octagonal prism.png|[[Achteck|achteckiges]] Prisma
Prism 9.png|[[Neuneck|neuneckiges]] Prisma
Decagonal prism.png|[[Zehneck|zehneckiges]] Prisma
Hendecagonal prism.png|[[Elfeck|elfeckiges]] Prisma
Dodecagonal prism.png|[[Zwölfeck|zwölfeckiges]] Prisma
</gallery>

=== Formeln ===
{| class="wikitable"
|+ style="background:#C0C0FF"|Größen eines regelmäßigen Prismas (regelmäßiges ''n''-Eck mit Seitenlänge ''a'' als Grundfläche und Höhe ''h'')
|- class="hintergrundfarbe5"
|
| '''Allgemeiner Fall'''
| '''Quadratisches Prisma'''
| '''Regelmäßiges Dreiecksprisma'''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Grundfläche''' <math>A_g</math>
|<math>\left(\frac{n}{4}\cot\!\frac{\pi}{n}\right) a^2</math>
|<math>a^2</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{4} \ a^2</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]''' <math>V</math>
|<math>\left(\frac{n}{4}\cot\!\frac{\pi}{n}\right) a^2h</math>
|<math>a^2h</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{4} \ a^2h</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]''' <math>O</math>
|<math>\frac{a n}{2} \ \left(2 h + a \ \cot \frac{\pi}{n}\right)</math>
|<math>2a^2 + 4 a h</math>
|<math>\frac{\sqrt{3} a^2}{2} + 3a h</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Umkugel|Umkugelradius]]''' <math>r_u</math>
|<math>\frac{1}{2} \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{\sin^2 \frac{\pi}{n}}}</math>
|<math>\frac{1}{2} \sqrt{h^2 + 2 a^2}</math>
|<math>\frac{1}{2} \sqrt{h^2 + \frac{4 a^2}{3}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Innenwinkel]] der [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] Grundfläche''' <math>\alpha</math>
|<math>\frac{n - 2}{n} \cdot 180^\circ</math>
|<math>90^\circ</math>
|<math>60^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Winkel]] zwischen Grundfläche und [[Rechteck|Rechtecken]]''' <math>\beta_1</math>
|<math>90^\circ</math>
|<math>90^\circ</math>
|<math>90^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Winkel]] zwischen den [[Rechteck|Rechtecken]]''' <math>\beta_2</math>
|<math>\frac{n - 2}{n} \cdot 180^\circ</math>
|<math>90^\circ</math>
|<math>60^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Raumwinkel]] in den Ecken''' <math>\Omega</math>
|<math>\frac{n - 2}{n} \cdot \pi \ \mathrm{sr}</math>
|<math>\frac{\pi}{2} \ \mathrm{sr}</math>
|<math>\frac{\pi}{3} \ \mathrm{sr}</math>
|}

== Sonderfälle und Verallgemeinerung ==
Besondere Formen des Prismas sind die [[Quader]] und [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]. Bei diesen kann jede Seite als Grundfläche des Prismas aufgefasst werden.

In der ''[[Optik]]'' versteht man unter einem Prisma meistens ein gerades Prisma mit einem [[Dreieck]] als Grundfläche, siehe [[Prisma (Optik)]].

Das Prisma ist in der [[Mathematik]] ein Spezialfall des [[Zylinder (Geometrie)#Allgemeiner Zylinder|allgemeinen Zylinders]] und des [[Prismatoid|Prismatoids]].

== Symmetrie ==
Jedes Prisma mit einer [[Punktsymmetrie|punktsymmetrischen]] Grundfläche ist selbst punktsymmetrisch.

== Formeln für Volumen, Mantelfläche und Oberfläche ==
Das [[Volumen]] <math>V</math> eines Prismas ist gegeben durch
: <math>V = G \cdot h</math>,
wobei <math>G</math> den [[Flächeninhalt]] der Grundfläche und <math>h</math> die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] des Prismas bezeichnet. Aus dem [[Prinzip von Cavalieri]] folgt, dass zwei Prismen (etwa ein gerades und ein schiefes Prisma) bei gleicher Grundfläche und Höhe das gleiche [[Volumen]] besitzen.

Die [[Mantelfläche]] <math>M</math> eines geraden Prismas ist gegeben durch
: <math>M = U \cdot h</math>,
wobei <math>U
</math> für den [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] der Grundfläche und <math>h</math> für die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] des Prismas steht.

Die gesamte Oberfläche <math>O</math> eines Prismas ergibt sich aus

:<math>O = 2 \cdot G + M</math>,

wobei <math>G</math> und <math>M</math> dem Inhalt von Grundfläche und [[Mantelfläche]] entsprechen.

== Umkugel ==
Nur gerade Prismen mit einer Grundfläche, welche einen [[Umkreis]] besitzt, haben eine [[Umkugel]]. Alle regulären Prismen und alle geraden Dreiecksprismen besitzen daher eine Umkugel. Der [[Radius]] <math>R</math> der Umkugel bei gegebener Höhe <math>h</math> und gegebenem Umkreisradius <math>r</math> berechnet sich nach dem [[Satz des Pythagoras]] zu:

: <math>R = \sqrt{r^2 + \frac{h^2}{4}}</math>

== Inkugel ==
Sowohl gerade wie auch schiefe Prismen können eine [[Inkugel]] haben.

Bei gegebener [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>h</math> eines Prismas ergibt sich der [[Radius]] <math>R</math> der Inkugel zu:
: <math>R = \frac{h}{2}</math>

Voraussetzung für die Existenz einer Inkugel:

# Es gibt eine gedachte [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], die senkrecht auf allen [[Parallelogramm]]en des Mantels steht. Der Schnitt dieser Ebene mit den Parallelogrammen ergibt ein [[Polygon]].
# Das Polygon aus 1 besitzt einen [[Inkreis]].
# Der Radius dieses Inkreises beträgt <math>h / 2</math>.

== Kantenkugel ==
Nur gerade Prismen mit einem [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Polygon]] als Grundfläche und gleicher Länge aller Kanten haben eine [[Kantenkugel]]. Der Mantel solcher Prismen wird also aus [[Quadrat]]en gebildet. Bei gegebenem [[Umkreis]]radius <math>r</math> ergibt sich der [[Radius]] <math>R</math> der Kantenkugel zu:
: <math>R = r</math>

== Siehe auch ==
* [[Antiprisma]]
* [[Prismatoid]]

== Literatur ==
* {{Meyers-1905 |Lemma=Prisma |Band=16 |Seite=354 |zenoID=20007289723}}
* Bronstein, Semendjajew: ''[[Taschenbuch der Mathematik]]''. 21./22. Auflage. 1981, S. 196.
* [[Harald Scheid]], Wolfgang Schwarz: Elemente der Geometrie. 5. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-50322-5, S. 61.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Prisms (geometry)|Prismen}}
{{Wiktionary|Prisma}}
* [http://www.mathematische-basteleien.de/prisma.htm ''Prisma''.] mathematische-basteleien.de
* {{MathWorld |id=Prism |title=Prism}}

[[Kategorie:Polyeder]]

Prisma (Geometrie) - Versionsgeschichte

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