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2025-06-05T08:30:37Z

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[[Datei:Anzahl Primzahl-Zwillingspaare.png|mini|Anzahl der Primzahl-Zwillingspaare kleiner gleich n]]
Ein '''Primzahlzwilling''' ({{enS|twin prime}}) ist ein Paar aus [[Primzahl]]en, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3, 5), (5, 7) und (11, 13).

== Geschichte ==
Der Begriff ''Primzahlzwilling'' wurde erstmals von [[Paul Stäckel]] (1862–1919) benutzt.

== Definition ==
Primzahlzwilling nennt man jedes Paar <math>(p_1,\,p_2)</math> aus Primzahlen <math>p_1</math> und <math>p_2</math> mit der [[Subtraktion|Differenz]] <math>p_2 - p_1 = 2</math>.

== Eigenschaften ==
[[Datei:TwinPrimesInDivisorPlane.gif|mini|Grafische Darstellung: <br>
Y-Achse = n <br>
X-Achse = Teiler von 6n-1 ODER 6n+1 <br>
Punkt = 6n-1 ODER 6n+1 sind teilbar <br>
Parallele = Primzahl-Zwilling]]

Wie der [[Satz von Clement]] zeigt, lassen sich Primzahlzwillinge – ähnlich wie die Primzahlen wegen des mit dem Clement'schen Satz verwandten [[Satz von Wilson|Satzes von Wilson]] – durch eine einzige [[Kongruenz (Zahlentheorie)|zahlentheoretische Kongruenz]] charakterisieren.

Zudem liegt, vom Primzahlzwilling <math>(3,5)</math> abgesehen, für jeden Primzahlzwilling zwischen den beiden beteiligten Primzahlen immer eine durch 6 teilbare Zahl.

Jede [[ganze Zahl]] lässt sich nämlich in der Form <math>6n-2</math>, <math>6n-1</math>, <math>6n</math>, <math>6n+1</math>, <math>6n+2</math> oder <math>6n+3</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl ist. Zahlen der Form <math>6n-2</math>, <math>6n</math> und <math>6n+2</math> sind durch 2 teilbar und können deswegen mit Ausnahme der Zwei keine Primzahlen sein. Zahlen der Form <math>6n+3</math> oder <math>6n</math> sind durch 3 teilbar und können deswegen mit Ausnahme der Drei auch keine Primzahlen sein. Somit haben alle Primzahlen größer 3 die Form <math>6n-1</math> oder <math>6n+1</math>. Daraus folgt, dass jeder Primzahlzwilling mit Ausnahme von <math>(3,5)</math> die Darstellung <math>(6n-1,6n+1)</math> hat.

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|-
|
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|- class="hintergrundfarbe6"
! n
! 6n-1
! 6n+1
|-
| 1 || 5 || 7
|-
| 2 || 11 || 13
|-
| 3 || 17 || 19
|-
| 5 || 29 || 31
|-
| 7 || 41 || 43
|-
| 10 || 59 || 61
|-
| 12 || 71 || 73
|-
| 17 || 101 || 103
|-
| 18 || 107 || 109
|-
| 23 || 137 || 139
|-
| 25 || 149 || 151
|-
| 30 || 179 || 181
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! n
! 6n-1
! 6n+1
|-
| 32 || 191 || 193
|-
| 33 || 197 || 199
|-
| 38 || 227 || 229
|-
| 40 || 239 || 241
|-
| 45 || 269 || 271
|-
| 47 || 281 || 283
|-
| 52 || 311 || 313
|-
| 58 || 347 || 349
|-
| 70 || 419 || 421
|-
| 72 || 431 || 433
|-
| 77 || 461 || 463
|-
| 87 || 521 || 523
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! n
! 6n-1
! 6n+1
|-
| 95 || 569 || 571
|-
| 100 || 599 || 601
|-
| 103 || 617 || 619
|-
| 107 || 641 || 643
|-
| 110 || 659 || 661
|-
| 135 || 809 || 811
|-
| 137 || 821 || 823
|-
| 138 || 827 || 829
|-
| 143 || 857 || 859
|-
| 147 || 881 || 883
|-
| 170 || 1019 || 1021
|-
| 172 || 1031 || 1033
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! n
! 6n-1
! 6n+1
|-
| 175 || 1049 || 1051
|-
| 177 || 1061 || 1063
|-
| 182 || 1091 || 1093
|-
| 192 || 1151 || 1153
|-
| 205 || 1229 || 1231
|-
| 213 || 1277 || 1279
|-
| 215 || 1289 || 1291
|-
| 217 || 1301 || 1303
|-
| 220 || 1319 || 1321
|-
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|-
| 242 || 1451 || 1453
|-
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|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! n
! 6n-1
! 6n+1
|-
| 248 || 1487 || 1489
|-
| 268 || 1607 || 1609
|-
| 270 || 1619 || 1621
|-
| 278 || 1667 || 1669
|-
| 283 || 1697 || 1699
|-
| 287 || 1721 || 1723
|-
| 298 || 1787 || 1789
|-
| 312 || 1871 || 1873
|-
| 313 || 1877 || 1879
|-
| 322 || 1931 || 1933
|-
| 325 || 1949 || 1951
|-
| 333 || 1997 || 1999
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
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! 6n-1
! 6n+1
|-
| 338 || 2027 || 2029
|-
| 347 || 2081 || 2083
|-
| 348 || 2087 || 2089
|-
| 352 || 2111 || 2113
|-
| 355 || 2129 || 2131
|-
| 357 || 2141 || 2143
|-
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|-
| 378 || 2267 || 2269
|-
| 385 || 2309 || 2311
|-
| 390 || 2339 || 2341
|-
| 397 || 2381 || 2383
|-
| 425 || 2549 || 2551
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! n
! 6n-1
! 6n+1
|-
| 432 || 2591 || 2593
|-
| 443 || 2657 || 2659
|-
| 448 || 2687 || 2689
|-
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|-
| 455 || 2729 || 2731
|-
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|-
| 467 || 2801 || 2803
|-
| 495 || 2969 || 2971
|-
| 500 || 2999 || 3001
|-
| 520 || 3119 || 3121
|-
| 528 || 3167 || 3169
|-
| 542 || 3251 || 3253
|}
|}
({{OEIS|A001097}}), ({{OEIS|A077800}}) und [[Matheass]] 9.0

Mit Ausnahme von ''n''=1 ist die letzte Ziffer eines ''n'' eine 0, 2, 3, 5, 7 oder eine 8, da im anderen Fall eine der beiden Zahlen 6''n''-1 bzw. 6''n''+1 durch 5 teilbar und damit keine Primzahl wäre.

Mit einer ganzen Zahl ''n'' lässt sich jede ungerade Zahl in der Form 30''n''+1, 30''n''+3, 30''n''+5, 30''n''+7, …, 30''n''+25, 30''n''+27, 30''n''+29 (letztere auch als 30''n''-1) darstellen. Primzahlen (außer 3 und 5) sind aber nie von einer der 7 Formen 30''n''+3, 30''n''+5, 30''n''+9, 30''n''+15, 30''n''+21, 30''n''+25 und 30''n''+27, da Zahlen dieser 7 Formen stets durch 3 oder durch 5 teilbar sind.

Daher hat jedes Primzahlzwillingspaar (außer (3, 5) und (5, 7)) mit einer ganzen Zahl ''n'' genau eine der drei Formen

: (30''n''-1, 30''n''+1), (30''n''+11, 30''n''+13), (30''n''+17, 30''n''+19)

bzw. die letztere Darstellung, um die Symmetrie zu (30''n''+11, 30''n''+13) zu verdeutlichen, alternativ geschrieben als (30''n''-13, 30''n''-11).

== Sonstiges ==
Das kleinste [[Geordnetes Paar|Paar]] von Primzahlzwillingen ist <math>(3, 5)</math>; die Primzahlen <math>2</math> und <math>3</math> mit dem Abstand <math>1</math> sind gemäß Definition ''kein'' Paar von Primzahlzwillingen.

Die Zahl <math>5</math> ist die einzige Zahl, die in zwei verschiedenen Primzahlzwillingen vorkommt: <math>(3, 5)</math> und <math>(5, 7)</math>.

Das größte derzeit (Stand: 19. September 2016) bekannte Paar von Primzahlzwillingen ist

:<math> 2.996.863.034.895 \cdot 2^{1.290.000} \pm 1</math>

das sind Zahlen mit <math>388.342</math> Ziffern. Die neuen Rekordzahlen<ref>[http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1 Twin Prime Records]</ref> haben damit fast doppelt so viele Ziffern wie die Zahlen des bisherigen Rekords aus dem Jahr 2011. Das Zahlenpaar wurde von dem [[Volunteer-Computing]]-Projekt [[PrimeGrid]] gefunden.

Zwei Primzahlzwillinge mit dem Abstand von vier, also Folgen der Form <math>(p, p+2, p+6, p+8),</math> nennt man [[Primzahlvierling]]e.

== Offene Fragestellung ==
[[Datei:Primzahlzwillinge.png|mini|Vergleich der prozentualen Entwicklung der Primzahlen (blau) und Primzahl-Zwillingspaare (rot) bis n = 10.000]]
Je größere Zahlen man betrachtet, desto weniger Primzahlen findet man dort. Obwohl unendlich viele Primzahlen existieren, ist es ungewiss, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Die ''Primzahlzwillingsvermutung'' ({{enS|twin prime conjecture}}) besagt, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Sie ist eine der großen offenen Fragen der [[Zahlentheorie]].

Sowohl die prozentualen Anteile der Primzahlen als auch – auf niedrigerem Niveau – die der Primzahl-Zwillingspaare an den [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] n fallen bis zur Berechnungsgrenze n = 100.000 streng monoton, aber relativ langsam (siehe Grafik rechts). Somit deutet nichts darauf hin, dass die Primzahl-Zwillingspaare sich hinsichtlich der Unendlichkeitsvermutung signifikant anders entwickeln als die Primzahlen, deren Anzahl ja bewiesenermaßen unendlich ist. Zwar sprechen demnach die beiden Entwicklungen eher für die Existenz unendlich vieler Primzahl-Zwillingspaare als dagegen, beweisen diese jedoch nicht.<ref>[https://compulearnonline.de/mathematik/berechnungen/primzahlzwillinge/ Berechnungsgrundlagen für die Primzahlen und Primzahlzwillinge] (aus CompuLearn Mathematik)</ref>

Während die Summe der [[Kehrwert]]e der Primzahlen [[Grenzwert (Folge)|divergent]] ist ([[Leonhard Euler]]), hat [[Viggo Brun]] im Jahr 1919 bewiesen, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge konvergiert. Daraus kann man weder schließen, dass es endlich, noch, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Der Grenzwert der Summe wird [[Brunsche Konstante]] genannt und beträgt nach der neuesten Schätzung von 2002 etwa 1,902160583104.

[[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]] und [[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]] stellten 1923<ref>[[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]], [[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]]: [http://fuchs-braun.com/media/8cdd73c813c342f8ffff80d1fffffff0.pdf ''Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes''.] (PDF; 2,5 MB) In: ''Acta Mathematica'', 44, 1923, S. 1–70 (englisch).</ref> eine Vermutung über die [[asymptotische Dichte]] der Primzahlzwillinge auf (und der von anderen Primzahlkonstellationen), bekannt als ''Erste [[Hardy-Littlewood-Vermutung]]'' ({{enS|First Hardy–Littlewood conjecture}}) bzw. als Spezialfall derselben für Primzahlzwillinge. Danach ist die Anzahl der Primzahlzwillinge kleiner als <math>x</math> [[Asymptotische Analyse|asymptotisch]] durch die Formel

: <math>2\,C_2 \int_2^x\!\frac{\mathrm dt}{(\log t)^2}</math>

mit der ''Primzahlzwillingskonstanten'' ({{OEIS|A005597}})

: <math> C_2 = \prod_{p>2\atop p\;\text{prim}}\left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) = 0{,}660161815846869573927812110014 \dots</math>

gegeben. Da die Primzahlen nach dem [[Primzahlsatz]] asymptotisch eine Dichte <math>\tfrac{1}{\log t}</math> besitzen, ist die Vermutung durchaus plausibel, und auch numerisch lässt sich die asymptotische Form gut bestätigen. Sie ist aber wie die Primzahlzwillingsvermutung unbewiesen. Da aus der Vermutung von Hardy und Littlewood die Primzahlzwillingsvermutung folgt, heißt sie auch ''starke Primzahlzwillingsvermutung''.<ref>{{MathWorld|TwinPrimeConjecture|Twin Prime Conjecture}}</ref>

Nachdem [[Paul Erdős]] 1940 gezeigt hatte,<ref>[[Paul Erdős]]: ''The difference of consecutive primes''. In: ''Duke Mathematical Journal'', 6, 1940, S. 438–441 (englisch). Siehe Jerry Li: [http://www.math.washington.edu/~morrow/336_10/papers/jerry.pdf ''Erdos and the twin prime conjecture''.] (PDF; 157 kB) 2. Juni 2010 (englisch)</ref> dass eine positive Konstante <math>c < 1</math> existiert, so dass für unendlich viele Paare aufeinanderfolgender Primzahlen <math>p</math>, <math>p'</math> die Ungleichung <math>p' - p < c \log(p)</math> gilt, bemühte man sich, immer kleinere Werte für <math>c</math> zu finden. Die Mathematiker [[Dan Goldston]] und [[Cem Yıldırım]] veröffentlichten 2003 einen Beweis, mit dem sie behaupteten, bewiesen zu haben, dass <math>c</math> beliebig klein gewählt werden kann, womit es in der unendlichen [[Folge (Mathematik)|Folge]] der Primzahlen immer wieder kleine Abstände zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen gäbe. [[Andrew Granville]] fand noch im selben Jahr einen Fehler in dem 25-seitigen Beweis. Im Februar 2005 konnten Goldston, Yıldırım und [[János Pintz|Pintz]] eine Korrektur vorlegen und verwendeten darin das nach ihnen benannte [[Goldston-Pintz-Yıldırım-Sieb|GPY-Sieb]].<ref>[[Dan Goldston|D. A. Goldston]], [[János Pintz|J. Pintz]], [[Cem Yıldırım|C. Y. Yıldırım]]: {{Webarchiv|url=http://front.math.ucdavis.edu/math.NT/0508185 |wayback=20080420191006 |text=''Primes in tuples I''. }} {{arXiv|math.NT/0508185}}, 2005 (englisch); vereinfacht in D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz, C. Y. Yıldırım: [http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pja/1146576181 ''Small gaps between primes exist''.] In: ''Proceedings of the Japan Academy'', Series A 82, 2006, S. 61–65 (englisch)</ref> Diese wurde von den damaligen Fehlerfindern überprüft und als korrekt gewertet. Der neu vorgelegte Beweis verspricht nach Ansicht einiger Zahlentheoretiker, ein wichtiger Schritt zu einem Beweis der Primzahlzwillingsvermutung zu sein.<ref>''[http://aimath.org/primegaps/ May 2005: Breakthrough in Prime Number theory]'' beim American Institute of Mathematics (englisch)</ref>

Eine Verallgemeinerung der Primzahlzwillingsvermutung ist die Vermutung von Polignac ([[Alphonse de Polignac]], 1849): für jede gerade Zahl <math>n</math> gibt es unendlich viele benachbarte Primzahlen mit Abstand <math>n</math>.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/dePolignacsConjecture.html ''Polignac Conjecture''.] Mathworld</ref> Die Vermutung ist offen. Über die Dichte der Primzahlabstände <math>n</math> gibt es analog zum Fall <math>n=2</math> eine Vermutung von Hardy und Littlewood.

[[Yitang Zhang]] ([[University of New Hampshire]]) bewies im Mai 2013, dass es unendlich viele Primzahlpaare gibt, deren Abstand voneinander maximal 70.000.000 ist.<ref>[http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989 Nature Online, 2013]</ref><ref>[http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-chinese-gelingt-beweis-ueber-primzahlzwillinge-a-901000.html Mathematik: ''Chinese gelingt Beweis über Primzahlzwillinge''.] [[Spiegel Online]], 22. Mai 2013</ref><ref>[http://www.nzz.ch/wissen/wissenschaft/ein-beweis-der-primzahl-zwillings-vermutung-rueckt-naeher-1.18084809 ''Neues aus der Zahlentheorie: Ein Beweis der Primzahl-Zwillings-Vermutung rückt näher'' – Wissenschaft Hintergründe.] [[Neue Zürcher Zeitung]], 22. Mai 2013</ref> Seine Arbeit wurde im Mai 2013 in der Zeitschrift Annals of Mathematics veröffentlicht.<ref>{{cite journal |title=Bounded gaps between primes |first=Yitang |last=Zhang |journal=[[Annals of Mathematics]] |year=2014 |volume=179 |issue=3 |pages=1121–1174 |doi=10.4007/annals.2014.179.3.7 }}</ref> Auf diesem Ansatz basierend konnte die Zahl von 70.000.000 inzwischen auf nur 246 herabgesetzt werden.<ref>[http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes Bounded gaps between primes]</ref> Ein weiteres Reduzieren dieser Zahl bis auf 2 würde die Primzahlzwillings-Vermutung zwar beweisen; Experten halten dies mit dem von Zhang entdeckten Ansatz aber für unmöglich.<ref>[[Terence Tao]] [http://terrytao.wordpress.com/2013/06/30/bounded-gaps-between-primes-polymath8-a-progress-report/ ''Bounded gaps between primes (Polymath8) – a progress report''.]</ref> Schärfere Resultate als Zhang konnte im November 2013 [[James Maynard]] (damals Post-Doktorand an der University of Montreal) erzielen, der die Grenze mit einer alternativen Beweismethode auf 600 drückte. Er dehnte die Resultate auch auf höhere <math>k</math>-Tupel von Primzahlen aus und fand auch hier die Existenz unendlich vieler Cluster von Primzahlen mit oberen Schranken für den Abstand.<ref>James Maynard: ''Small gaps between primes''. {{arXiv|1311.4600}} Preprint 2013</ref><ref>Erica Klarreich: Together and alone, solving the prime gap [https://www.quantamagazine.org/mathematicians-team-up-on-twin-primes-conjecture-20131119/ (Online)]</ref>

Es gibt auch verwandte Fragestellungen in [[Funktionenkörper]]n.<ref>[https://publications.mfo.de/handle/mfo/454 Lior Bary-Soroker, Prime tuples in function fields], Mathematical Snapshots, Oberwolfach 2016</ref> Die Primzahlzwillingsvermutung für Funktionenkörper wurde 2022 von [[Will Sawin]] und [[Mark Shusterman]] bewiesen.<ref>W. Sawin, M.Shusterman: ''On the Chowla and twin primes conjectures over <math>F_q [t]</math>'', Annals of Mathematics, Band 196, 2022, S. 457–506, [https://arxiv.org/abs/1808.04001 Arxiv]</ref>

== Isolierte Primzahl ==
Eine '''isolierte Primzahl''' (vom englischen ''isolated prime'', ''single prime'' oder ''non-twin prime'') ist eine Primzahl <math>p \in \mathbb P</math>, für welche gilt:
: Weder <math>p-2</math> noch <math>p+2</math> ist eine Primzahl.
Mit anderen Worten: <math>p</math> ist ''kein'' Teil eines Primzahlzwillings.

=== Beispiele ===
* Die Zahl <math>p=23</math> ist eine isolierte Primzahl, weil <math>p-2=21 = 3 \cdot 7 </math> und <math>p+2=25 = 5 \cdot 5 </math> keine Primzahlen sind.
* Die kleinsten isolierten Primzahlen sind die folgenden:
:: 2, 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97, 113, 127, 131, 157, 163, 167, 173, 211, 223, 233, 251, 257, 263, 277, 293, 307, 317, 331, 337, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 547, 557, 563 … ({{OEIS|A007510}})

=== Eigenschaften ===
* [[Fast alle#Zahlentheorie|Fast alle]] Primzahlen sind isolierte Primzahlen.<ref>{{Internetquelle |autor=[[Neil Sloane]] |hrsg=[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]] |url=https://oeis.org/A007510 |titel=Single (or isolated or non-twin) primes – Comments |zugriff=2018-08-02}}</ref> (dabei ist ''fast alle'' im zahlentheoretischen Sinn gemeint)
* Es gibt unendlich viele isolierte Primzahlen (folgt aus obiger Eigenschaft).

== Verallgemeinerungen ==
Eine Verallgemeinerung von Primzahlzwillingen stellen [[Primzahltupel]] dar.

== Entdeckung eines Prozessorfehlers ==
Der amerikanische Mathematiker Thomas R. Nicely setzte ab März 1995 [[Personal Computer|PCs]] mit dem [[Intel Pentium|Pentium-Prozessor]] der amerikanischen Firma [[Intel]] ein und verglich die Ergebnisse mit PCs älterer Bauart. Er entdeckte dabei eine Diskrepanz bei der Berechnung der Summe über reziproken Primzahlzwillingen. Der Pentium verrechnete sich bei den Kehrwerten des Primzahlpaars (824 633 702 441, 824 633 702 443). Ein Fehler in der [[Gleitkommaeinheit]] des Prozessors, der [[Pentium-FDIV-Bug]], führte zu gelegentlich auftretenden (aber reproduzierbaren) Ungenauigkeiten. Die relative Größe des seltenen Fehlers betrug deutlich weniger als ein Promille, da stets mindestens die ersten 12 Bit korrekt waren. Der Schaden für die Umtauschaktion soll etwa 470 Millionen Dollar betragen haben.<ref>{{Literatur |Autor=[[Jochen Ziegenbalg]] |Titel=Elementare Zahlentheorie |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |ISBN=978-3-658-07170-7 |DOI=10.1007/978-3-658-07171-4 |Seiten=79–80}}</ref>

== Literatur ==
* [[Wolfgang Blum (Wissenschaftsjournalist)|Wolfgang Blum]]: ''Goldbach und die Zwillinge''. In: ''[[Spektrum der Wissenschaft]]'', Dossier 6/2009: „Die größten Rätsel der Mathematik“, ISBN 978-3-941205-34-5, S. 34–39.
* [[Karl-Heinz Indlekofer]], A. Járai: ''Largest known twin primes and Sophie Germain primes.'' In: ''Mathematics of Computation.'' Band 68, Nr. 227, 1999, S. 1317–1324.
* {{Literatur |Autor= [[Paulo Ribenboim]] |Titel=The New Book of Prime Number Records |Verlag=[[Springer Science+Business Media]] |Ort=New York |Datum=1996 |ISBN=978-1-4612-6892-5 |DOI=10.1007/978-1-4612-0759-7 |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Ribenboim&s5=New%20book&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1377060 MR1377060]}}
* {{Literatur |Autor= [[Wacław Sierpiński]] |Titel=Elementary Theory of Numbers |TitelErg=Edited and with a preface by [[Andrzej Schinzel]] |Reihe=North-Holland Mathematical Library |BandReihe=31 |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=[[Elsevier|North-Holland]] (u. a.) |Ort=Amsterdam (u. a.) |Datum=1988 |ISBN=0-444-86662-0 |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Sierpi%C5%84ski&s5=Elementary%20theory%20of%20numbers%20&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=930670 MR0930670]}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Twin primes}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|TwinPrimes|Twin Primes}}
* Jeffrey F. Gold, Don H. Tucker: [http://www.math.utah.edu/~gold/doc/char.pdf ''A characterization of twin prime pairs''.] (PDF; 123 kB) In: ''Proc. Fifth Nat. Conf. Undergrad. Res.'', 1991, Band I, S. 362–366 (englisch).
* [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1 ''The Top Twenty: Twin Primes''.] – Die 20 größten bekannten Primzahlzwillinge (englisch).
* {{TIBAV |19865 |Linktext=Primzahlzwillinge |Herausgeber=PHHD |Jahr=2012 |DOI=10.5446/19865}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Primzahlklassen}}

[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Primzahl]]

Primzahlzwilling - Versionsgeschichte

imported>Uncopy: /* Offene Fragestellung */ Kürze Stellen der Primzahlzwillingskonstante auf ein handliches Maß; die weiteren Stellen können Interessierte dem Link via {{OEIS|A005597}} entnehmen