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Ein '''Polynom''' ist ein [[Algebra|algebraischer]] [[Term]], der sich als Summe von Vielfachen von [[Potenz (Mathematik)|Potenzen]] einer [[Variable (Mathematik)|Variablen]] bzw. [[Unbestimmte]]n darstellen lässt:

:<math>
P(x) = a_0 + a_1x+ a_2x^2 + \dotsb + a_nx^n , \quad n \in \N_0
</math>
oder kurz mit dem [[Summenzeichen]]:
:<math>
P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i, \quad n \in \N_0.
</math>
Dabei ist <math>\textstyle \sum</math> das Summenzeichen, die Zahlen <math>a_i</math> sind die Koeffizienten (das können beispielsweise reelle Zahlen oder allgemeiner Elemente aus einem beliebigen [[Ring (Algebra)|Ring]] sein) und <math>x</math> ist die Unbestimmte.

Exponenten der Potenzen sind [[natürliche Zahl]]en. Die Summe ist außerdem stets endlich. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Unbestimmten heißen [[Formale Potenzreihe|formale Potenzreihen]].

Für Mathematik und Physik gibt es einige wichtige [[Liste spezieller Polynome|spezielle Polynome]].

In der [[Elementare Algebra|elementaren Algebra]] identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in <math>x</math> (einer [[Polynomfunktion]]). In der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen einer Polynomfunktion und einem Polynom als Element eines [[Polynomring]]s. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion oft auch als [[ganzrationale Funktion]] bezeichnet.

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: ''Leitkoeffizient,'' ''Normieren'' eines Polynoms und ''Absolutglied''.

== Etymologie ==
Das Wort ''Polynom'' bedeutet so viel wie „mehrnamig“. Es entstammt dem griech. πολύ ''polý'' „viel“ und όνομα ''onoma'' „Name“. Diese Bezeichnung geht zurück bis auf [[Elemente (Euklid)|Euklids Elemente]]. In Buch X nennt er eine zweigliedrige Summe <math>a+b</math> ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomátōn): „aus zwei Namen (bestehend)“. Die Bezeichnung ''Polynom'' geht auf [[François Viète|Viëta]] zurück: In seiner ''Isagoge'' (1591) verwendet er den Ausdruck ''polynomia magnitudo'' für eine mehrgliedrige Größe.<ref>cf. Barth, Federle, Haller: ''Algebra 1.'' Ehrenwirth-Verlag, München 1980, S. 187, Fußnote **, dort Erklärung zur Bezeichnung „Binomische Formel“</ref>

== Polynome in der elementaren Algebra ==
[[Datei:Polynomialdeg5.svg|mini|Graph einer Polynomfunktion 5. Grades]]

{{Hauptartikel|Polynomfunktion}}
Im Gegensatz zur abstrakten Algebra werden Polynome in der elementaren Algebra als Funktionen aufgefasst. Daher wird in diesem Abschnitt der Begriff Polynomfunktion anstatt Polynom verwendet.

=== Definition ===
In der [[Elementare Algebra|elementaren Algebra]] ist eine ''Polynomfunktion'' eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>P</math>, die durch einen Ausdruck der Form
:<math>P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_0 + a_1x+ a_2x^2 + \dotsb + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n </math>

mit <math>n \in \N_0</math> gegeben ist, wobei als [[Definitionsbereich]] jede beliebige {{nowrap|<math>R</math>-[[Algebra (Struktur)|Algebra]]}} in Frage kommt, wenn <math>R</math> der Wertebereich der Koeffizienten ist (siehe unten). Häufig ist dieser jedoch die Menge der [[Ganze Zahlen|ganzen]], der [[Reelle Zahlen|reellen]] oder der [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]]. Die <math>a_i</math> stammen aus einem [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math>, zum Beispiel einem [[Körper (Algebra)|Körper]] oder einem [[Restklassenring]], und werden ''[[Koeffizient]]en'' genannt.

* Alle [[Exponent (Mathematik)|Exponenten]] sind [[natürliche Zahl]]en.
{{Anker|Leitkoeffizient}}
* Als [[Grad (Polynom)|Grad]] des Polynoms wird der höchste [[Exponent (Mathematik)|Exponent]] <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> bezeichnet, für den der Koeffizient <math>a_i</math> des [[Monom]]s <math>a_i x^i</math> nicht null ist. Dieser Koeffizient heißt '''Leitkoeffizient''' (auch: ''führender Koeffizient''). (Die Schreibweise <math>\deg f</math> für den Grad des Polynoms <math>f</math> ist vom englischen Begriff ''{{lang|en|degree}}'' abgeleitet. In der deutschsprachigen Literatur findet sich häufig auch die aus dem Deutschen kommende Schreibweise <math>\mathrm{grad}\,f</math> oder <math>\mathrm{Grad}\,f</math>.)
* Das '''reverse Polynom''' zu <math>\textstyle P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i; \; a_0, a_n \neq 0</math> ist <math>\textstyle P_\text{rev}(x) = \sum_{i=0}^n a_{n-i}x^i = a_n + a_{n-1}x+ a_{n-2}x^2 + \dotsb + a_1x^{n-1} + a_0x^n </math>.<ref>[https://www3.math.tu-berlin.de/algebra/teaching/15-ws/algebra1/exercise-11.pdf math.tu-berlin.de] Prof. Bürgisser / Dr. Lairez / P. Breiding, TU Berlin, Institut für Mathematik, Fakultät II, Algebra I, WS 2015/2016, Blatt 11, Aufgabe 2, Bemerkung, abgerufen am 8. April 2023</ref>
* Die Menge aller reellen Polynomfunktionen beliebigen (aber endlichen) Grades ist ein [[Vektorraum]], der sich nicht offensichtlich mittels [[Vektor#Geometrie|geometrischer Vorstellungen]] veranschaulichen lässt.
* Für das '''Nullpolynom''', bei dem alle <math>a_i</math> Null sind, wird der Grad als <math>-\infty</math> definiert.<ref>Für die Zweckmäßigkeit dieser Setzung siehe [[Division mit Rest#Polynome|Division mit Rest]].</ref>
* Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynom ''normiert'' oder auch ''monisch''.
* Sind die Koeffizienten [[Teilerfremdheit|teilerfremd]], bzw. ist der [[Inhalt (Polynom)|Inhalt]] 1, dann heißt das Polynom ''primitiv.''

Der Koeffizient <math>a_0</math> heißt ''Absolutglied.'' <math>a_1x</math> wird als ''lineares Glied'' bezeichnet, <math>a_2x^2</math> als ''quadratisches Glied'' und <math>a_3x^3</math> als ''kubisches.''

=== Einfaches Beispiel ===
Durch

:<math>P(x) := 9x^3 + x^2 + 7x - 3{,}8</math>

ist ein Polynom dritten Grades gegeben (der höchste vorkommende Exponent ist <math>3</math>). In diesem Beispiel ist <math>9</math> der ''Leitkoeffizient'' (als Faktor vor der höchsten Potenz von <math>x</math>), die weiteren Koeffizienten lauten <math>1, 7</math> und <math>-3{,}8.</math>

=== Bezeichnung spezieller Polynomfunktionen ===

Polynome des Grades
* 0 werden ''[[konstante Funktion]]en'' genannt (z. B. <math> P(x) = -1 </math>).
* 1 werden ''[[lineare Funktion]]en'' oder genauer ''affin lineare Funktionen'' genannt (z. B. <math> P(x) = 3x + 5 </math>).
* 2 werden ''[[quadratische Funktion]]en'' genannt (z. B. <math> P(x) = -3x^2-4x + 1 </math>).
* 3 werden ''[[kubische Funktion]]en'' genannt (z. B. <math> P(x) = 4x^3-2x^2+7x + 2 </math>).
* 4 werden ''[[Polynom 4. Grades|quartische Funktionen]]'' genannt (z. B. <math> P(x) = 6x^4-x^3+4x^2+2x+2 </math>).

{{Anker|Nullstelle}} 
=== Nullstellen ===
Als ''[[Nullstelle]]n'' einer Polynomfunktion oder ''Wurzeln'' bzw. ''[[Lösung (Mathematik)|Lösungen]]'' einer Polynomgleichung werden jene Werte von <math>x</math> bezeichnet, für die der Funktionswert <math>P(x)</math> null ist, das heißt, die die Gleichung <math>P(x)=0</math> erfüllen. Eine Polynomfunktion über einem Körper (oder allgemeiner einem [[Integritätsring]]) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

Weiterhin besagt der [[Fundamentalsatz der Algebra]], dass eine komplexe Polynomfunktion (das heißt eine Polynomfunktion mit [[Komplexe Zahl|komplexen]] Koeffizienten) vom Grad <math>n \ge 1</math> mindestens eine [[Komplexe Zahlen|komplexe]] Nullstelle hat (reiner Existenzsatz). Dann gibt es genau <math>n</math> Nullstellen ([[Polynomdivision]]), wenn die Nullstellen entsprechend ihrer ''Vielfachheit'' gezählt werden. So ist beispielsweise die Nullstelle <math>x=2</math> der Polynomfunktion <math>(x-2)^2</math> eine ''doppelte''. Im Ergebnis lässt sich jede komplexe Polynomfunktion positiven Grades in ein [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] von [[Linearfaktor]]en zerlegen. Allgemein kann man zu jedem Körper <math>K</math> eine [[Algebraische Erweiterung|algebraische Körpererweiterung]] <math>L</math> finden, in der alle Polynome positiven Grades mit Koeffizienten in <math>K</math> als Polynome über <math>L</math> in Linearfaktoren zerfallen. In diesem Fall nennt man <math>L</math> den [[Algebraischer Abschluss|algebraischen Abschluss]] von <math>K</math>.

Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (zum Beispiel durch die [[pq-Formel]] für quadratische Gleichungen), dagegen lassen sich Polynomfunktionen höheren Grades nur in Spezialfällen mit Hilfe von [[Wurzelzeichen]] exakt faktorisieren. Dies ist die Aussage des [[Satz von Abel-Ruffini|Satzes von Abel-Ruffini]].

== Polynome in der abstrakten Algebra ==
{{Hauptartikel|Polynomring}}

=== Definition ===
In der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] definiert man ein Polynom als ein Element eines Polynomringes <math>R[X]</math>. Dieser wiederum ist die [[Adjunktion (Algebra)|Erweiterung]] des Koeffizientenringes <math>R</math> durch ein unbestimmtes, (algebraisch) freies Element <math>X</math>. Damit enthält <math>R[X]</math> die Potenzen <math>X^n</math> (<math>n\in\N</math>) und deren Linearkombinationen <math>\textstyle a_0+\sum_{k=1}^n a_k X^k</math> mit <math>a_k\in R</math>. Dies sind auch schon alle Elemente, d. h., jedes Polynom ist eindeutig durch die [[Folge (Mathematik)|Folge]]
:<math>(a_0,a_1,\dots,a_n,0,0,\dots)\in R\times R\times R\times\dots</math>
seiner Koeffizienten charakterisiert.

=== Konstruktion ===
Umgekehrt kann ein Modell des Polynomrings <math>R[X]</math> durch die Menge der endlichen Folgen in <math>R\times R\times R\times\dots</math> konstruiert werden. Dazu wird auf <math>R[X]</math> eine Addition „<math>+</math>“ als gliedweise Summe der Folgen und eine Multiplikation „<math>\cdot</math>“ durch Faltung der Folgen definiert. Ist also <math>a=(a_n)_{n\in \N_0}</math> und <math>b=(b_n)_{n\in \N_0}</math>, so ist
:<math>a+b:=(a_n+b_n)_{n\in \N_0}</math>
und
:<math> a\cdot b:=\left(\sum_{i=0}^{n} a_ib_{n-i}\right)_{n\in \N_0}=\left(\sum_{i+j=n} a_ib_j\right)_{n\in \N_0},</math>
<math>R[X]</math> mit diesen Verknüpfungen ist nun selbst ein kommutativer Ring, der [[Polynomring]] (in einer Unbestimmten) über <math>R</math>.

Identifiziert man die Unbestimmte als Folge <math>X:=(0,1,0,0,\dotsc)</math>, so dass <math>X^2=X\cdot X=(0,0,1,0,0,\dotsc)</math>, <math>X^3=X^2\cdot X=(0,0,0,1,0,0,\dotsc)</math> etc., so kann jede Folge <math>(a_0,a_1,a_2,\dotsc)\in R[X]</math> wieder im intuitiven Sinne als Polynom dargestellt werden als
:<math>(a_0,a_1,a_2,\dotsc)
= a_0 + a_1\cdot X + a_2\cdot X^2 + \dotsb = a_0+\sum_{n\in\N_{>0}} a_n\cdot X^n.</math>

=== Zusammenhang mit der analytischen Definition ===
Bedenkt man nun, dass nach der Voraussetzung eine natürliche Zahl <math>n\in \N_0</math> existiert, so dass <math>a_i=0</math> für alle <math>i>n</math> gilt, so lässt sich nach den obigen Überlegungen jedes Polynom <math>f\in R[X]</math> über einem kommutativen unitären Ring eindeutig schreiben als <math>f=a_0 + a_1\cdot X + \dotsb + a_n\cdot X^n</math>. Dabei ist <math>f</math> jedoch keine Funktion wie in der Analysis oder elementaren Algebra, sondern eine unendliche Folge (ein Element des Ringes <math>R[X]</math>) und <math>X</math> ist keine „Unbekannte“, sondern die Folge <math>(0,1,0,0,\dotsc)</math>. Man kann jedoch <math>f</math> als „Muster“ benutzen, um danach eine Polynomfunktion (d. h. ein Polynom im gewöhnlichen analytischen Sinne) zu bilden. Dazu benutzt man den sogenannten [[Satz über den Einsetzungshomomorphismus|Einsetzungshomomorphismus]].

Man sollte allerdings beachten, dass verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise <math>R</math> der [[Restklassenring]] <math>\mathbb Z/3\mathbb Z=\{\bar0,\bar1,\bar2\}</math>, so induzieren die Polynome <math>f,g \in (\mathbb Z/3\mathbb Z)[X]</math>
:<math>f=X(X-\bar1)(X-\bar2)=X^3-\bar3X^2+\bar2X=X^3-X</math>
und
: das Nullpolynom <math>g=0</math>
beide die [[Nullabbildung]] <math>0\in \operatorname{Abb}\left(\mathbb Z/3\mathbb Z,\mathbb Z/3\mathbb Z\right)</math>, das heißt: <math>f(x)=g(x)=\bar 0=0(x)</math> für alle <math>x\in\mathbb Z/3\mathbb Z.</math>

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen [[Integritätsring]] ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Auch die Menge der Polynomfunktionen mit Werten in <math>R</math> bildet einen Ring ([[Unterring]] des [[Funktionenring]]s), der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-[[Homomorphismus]] von <math>R[X]</math> in den Ring der Polynomfunktionen, dessen [[Kern (Algebra)|Kern]] die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

== Verallgemeinerungen ==
=== {{Anker|multivariates Polynom}} Polynome in mehreren Unbestimmten ===
Allgemein versteht man jede Summe von [[Monom]]en der Form <math>a_{i_1,\dotsc,i_n}X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n}</math> als [[multivariat]]es Polynom (in mehreren Unbestimmten):
:<math>P(X_1, \dotsc, X_n) = \sum_{i_1,\dotsc,i_n}a_{i_1,\dotsc,i_n}X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n}</math>
: Lies: ''„Groß-p von Groß-x-1 bis Groß-x-n (ist) gleich die Summe über alle i-1 bis i-n von a-i-1-bis-i-n mal Groß-x-1 hoch i-1 bis Groß-x-n hoch i-n“''

Durch eine [[Monomordnung]] ist es möglich, die Monome in einem solchen Polynom anzuordnen und dadurch Begriffe wie ''Leitkoeffizient'' zu verallgemeinern.

Die Größe <math>i_1+\dotsb+i_n</math> heißt der ''Totalgrad'' eines Monoms <math>X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n}</math>. Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt es [[Homogenes Polynom|homogen]]. Der maximale Totalgrad aller nichtverschwindenden Monome ist der ''Grad des Polynoms.''

Die maximale Anzahl der möglichen Monome eines bestimmten Grades ist<ref name="Kunz">Ernst Kunz: ''Einführung in die algebraische Geometrie.'' S. 213, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3.</ref>

: [[Binomialkoeffizient|<math>\binom{n+k-1}{k},</math>]]
: Lies: ''[[Binomialkoeffizient|„n + k − 1 über k“]]'' oder ''[[Binomialkoeffizient|„k aus n + k − 1“]]''
wobei <math>n</math> die Anzahl der vorkommenden Unbestimmten und <math>k</math> der Grad ist. Anschaulich wird hier ein Problem von Kombinationen mit Wiederholung (Zurücklegen) betrachtet.

Summiert man die Anzahl der möglichen Monome des Grades <math>0</math> bis <math>k</math>, erhält man für die Anzahl der ''möglichen Monome in einem Polynom bestimmten Grades'':
: [[Binomialkoeffizient|<math>\binom{n+k}{k}</math>]]
: Lies: ''[[Binomialkoeffizient|„n + k über k“]]'' oder ''[[Binomialkoeffizient|„k aus n + k“]]''

Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise „gleichberechtigt“, so heißt das Polynom [[Symmetrisches Polynom|symmetrisch]]. Gemeint ist, dass das Polynom sich bei Vertauschungen der Unbestimmten nicht ändert.

Auch die Polynome in den <math>n</math> Unbestimmten <math>X_1, \dotsc, X_n</math>über dem Ring <math>R</math> bilden einen Polynomring, geschrieben als <math>R[X_1, \dotsc, X_n]</math>.

=== Formale Potenzreihen ===
Geht man zu [[Unendliche Reihe|unendlichen Reihen]] der Form
:<math>f = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i</math>
: Lies: ''„f (ist) gleich die Summe von i gleich Null bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“''
über, erhält man [[formale Potenzreihe]]n.

=== Laurent-Polynome und Laurent-Reihen ===
Lässt man auch in einem Polynom auch negative Exponenten zu, so erhält man ein [[Laurent-Polynom]]. Entsprechend zu den formalen Potenzreihen können auch formale [[Laurent-Reihe]]n betrachtet werden. Es handelt sich dabei um Objekte der Form
:<math> f = \sum_{i=-N}^\infty a_i X^i.</math> Lies: ''„f (ist) gleich die Summe von i gleich minus (Groß-) n bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“''

=== Posynomialfunktionen ===
Lässt man mehrere Variablen und beliebige reelle Potenzen zu, so erhält man den Begriff der [[Posynomialfunktion]].

== Literatur ==
* Albrecht Beutelspacher: ''Lineare Algebra.'' 8. Auflage, ISBN 978-3-658-02413-0, {{DOI|10.1007/978-3-658-02413-0}}
* Michael Holz & Detlef Wille: ''Repetitorium der Linearen Algebra, Teil 2'', ISBN 978-3-923923-42-7
* Gerd Fischer: ''Lehrbuch der Algebra'', ISBN 978-3-658-02221-1, {{DOI|10.1007/978-3-658-02221-1}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/nullstellen.htm Java-Applet] zur Berechnung der (auch komplexen) Nullstellen von Polynomen maximal 24. Grades (nach dem [[Newton-Verfahren]])

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Polynom| ]]
[[Kategorie:Theorie der Polynome]]

Polynom - Versionsgeschichte

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