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2025-07-17T23:07:51Z

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[[Datei:Snub disphenoid.png|mini|Das [[Trigondodekaeder]], ein Polyeder, das ausschließlich von 12 regelmäßigen Dreiecken begrenzt ist, die 18 Kanten bilden und die in 8 Ecken zusammenlaufen]]

Ein '''Polyeder''' (''[[Internationales Phonetisches Alphabet|IPA]]:'' [{{IPA|poliˈʔeːdɐ}}]<ref name="Krech-et-al" /><ref name="Duden online" /><ref name="Duden Aussprachewörterbuch" />, {{Audio|De-Polyeder.ogg|anhören}}; auch '''Vielflächner''' oder '''Vielflach'''; von {{grcS|πολύεδρος|polýedros|de=vielsitzig, vieleckig}})<ref>{{Literatur |Autor=[[Wilhelm Pape]], Max Sengebusch (Bearb.) |Titel=Handwörterbuch der griechischen Sprache |Auflage=3. Auflage, 6. Abdruck |Verlag=Vieweg & Sohn |Ort=Braunschweig |Datum=1914 |Online=http://images.zeno.org/Pape-1880/K/big/Pape-1880----02-0662.png |Abruf=2020-03-12 }}</ref> ist ein [[Körper (Geometrie)|dreidimensionaler Körper]], der ausschließlich von ebenen Flächen begrenzt wird.

Das Analogon im Zweidimensionalen ist das [[Polygon]].

Beispiele sind der [[Hexaeder|Würfel]] als beschränktes Polyeder und ein [[Oktant (Geometrie)|Oktant]] eines [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Koordinatensystem]]s als unbeschränktes Polyeder.

== Eigenschaften ==

Polyeder weisen neben planaren Flächen auch ausschließlich geradlinige Kanten auf, da sich planare [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] als [[Teilmenge]] von [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] nur in [[Gerade]]n schneiden.

Polyeder weisen folgende Eigenschaften auf:

'''Topologie'''
* Anzahl und Art der Seitenflächen
* Lage der Seitenflächen zueinander
* Anzahl und Länge der Kanten
* Anzahl der Ecken
* Anzahl der Flächen/Kanten in jeder Ecke

'''Größen'''
* [[Volumen]] (wenn jede Fläche eine eindeutige Orientierung hat)
* [[Oberflächeninhalt]]
* Gesamtlänge der Kanten

Einige Polyeder haben außerdem Symmetrieeigenschaften, zum Beispiel
* [[Drehsymmetrie]]
* [[Achsensymmetrie]]
* [[Punktsymmetrie]]

Die [[Platonischer Körper|platonischen Körper]] definieren außerdem [[Symmetriegruppe]]n, nämlich die [[Tetraedergruppe]], die [[Oktaedergruppe]] und die [[Ikosaedergruppe]].

== Konstruktion ==
Konstruiert werden können Polyeder sowohl auf Basis ihrer Eckpunkte als auch ihrer planaren Flächen.

=== Konstruktion aus ihren Eckpunkten ===

Konstruieren lassen sich Polyeder, indem mindestens vier Punkte (die nicht in einer Ebene liegen) durch Kanten miteinander verbunden werden. Die Eckenanzahl der entstehenden Begrenzungsflächen ist davon abhängig, wie viele Punkte jeweils in dieser Ebene liegen. Da drei Punkte je eine Ebene aufspannen, entstehen mindestens Dreiecke.
Liegen vier oder mehr Punkte „geschickt“ in einer Ebene, entstehen als Begrenzungsflächen Vier- oder Mehrecke.

=== Konstruktion aus ihren Flächen ===
Konstruieren lassen sich Polyeder, indem der Raum durch mindestens vier Ebenen geteilt wird. Die Anzahl der notwendigen Ebenen ist die Anzahl der Flächen <math>F</math> des Polyeders. Schnittpunkte zweier Ebenen bilden die Kanten des Polyeders (Anzahl <math>K</math>), die Schnittpunkte dreier oder mehrerer Ebenen die Eckpunkte (Anzahl <math>E</math>). Damit sich in einer Ecke mehr als drei Ebenen bzw. Flächen treffen, müssen sich „geschickt“ mehr als drei Ebenen in einem Punkt treffen.

== Besondere Polyeder ==
Polyeder, wie sie uns im Alltag begegnen bzw. wie man sie von der Schulmathematik her kennt (vgl. vorhergehender Abschnitt), sind dreidimensional und beschränkt, also – im Sinne der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] – [[kompakte Teilmenge]]n des dreidimensionalen euklidischen Raums. Sie zählen damit zu den [[Körper (Geometrie)|geometrischen Körpern]]. Ein Polyeder heißt dabei dreidimensional, wenn es in keiner Ebene vollständig enthalten ist. Ein Polyeder heißt beschränkt, wenn es eine Kugel gibt, in der es vollständig enthalten ist. Unbeschränkte Polyeder mit nur einer Ecke werden Polyederkegel genannt. Dazu zählen etwa die [[Dreibein (Geometrie)#Abgrenzung|Trieder]] ({{enS|''trihedron''}}).

=== Konvexe Polyeder ===
[[Datei:Dodecahedron.gif|mini|Das [[Dodekaeder]], ein platonischer Körper]]

Häufig sind dreidimensionale Polyeder zudem [[Konvexe Menge|konvex]]. Ein Polyeder heißt konvex, wenn für je zwei Punkte des Polyeders die Verbindungsstrecke zwischen diesen Punkten vollständig im Polyeder liegt. Zum Beispiel ist das nebenstehende Dodekaeder konvex. Ein Beispiel eines nicht-konvexen Polyeders ist das unten gezeigte toroidale Polyeder.

=== {{Anker|Regulär}} Reguläre Polyeder, platonische, archimedische, catalanische und Johnson-Körper ===
Polyeder können nach verschiedenen Arten von Regelmäßigkeiten klassifiziert werden. Die wichtigsten sind:
# Alle Seitenflächen sind [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige Vielecke]].
# Alle Seitenflächen sind [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]] (deckungsgleich).
# Alle [[Ecke]]n sind gleichartig, das heißt, für je zwei Ecken <math>P, Q</math> kann man das Polyeder so [[Drehung|drehen]] oder [[Spiegelung (Geometrie)|spiegeln]], dass <math>P</math> in <math>Q</math> überführt wird und das neue Polyeder mit dem ursprünglichen zur Deckung kommt.
# Alle [[Winkel]] zwischen benachbarten Flächen ([[Diederwinkel]]) sind gleich.

:{| class="wikitable"
! Klassifizierung || Anzahl || 1. || 2. || 3.
!4.|| konvex || Bemerkungen
|-
| [[Platonischer Körper|platonische Körper]] || {{0|00}}5 || {{J}} || {{J}} || {{J}}
|{{J}}|| {{J}} ||jeweils dual zu einem platonischen Körper
|-
| [[Kepler-Poinsot-Körper]] || {{0|00}}4 || {{J}} || {{J}} || {{J}}
|{{J}}|| {{X}} ||jeweils dual zu einem Kepler-Poinsot-Körper
|-
| reguläre Polyeder || {{0|00}}9 || {{J}} || {{J}} || {{J}}
|{{J}}|| '''–''' || gemeinsame Definition für platonische Körper und Kepler-Poinsot-Körper
|-
| [[Archimedischer Körper|archimedische Körper]] || {{0}}13 || {{J}} || {{X}} || {{J}}
|{{X}}|| {{J}} || jeweils dual zu einem catalanischen Körper
|-
| [[Catalanischer Körper|catalanische Körper]] || {{0}}13 || {{X}} || {{J}} || {{X}}
|{{J}}|| {{J}} || jeweils dual zu einem archimedischen Körper
|-
| reguläre [[Prisma (Geometrie)|Prismen]] geeigneter Höhe || <math>\ \ \infty</math> || {{J}} || {{X}} || {{J}}
|{{X}}|| {{J}} || die Seitenflächen sind 2 reguläre n-Ecke und n [[Quadrat]]e, Ausschlusskriterium für archimedische Körper
|-
| reguläre [[Antiprisma|Antiprismen]] geeigneter Höhe || <math>\ \ \infty</math> || {{J}} || {{X}} || {{J}}
|{{X}}|| {{J}} || die Seitenflächen sind 2 reguläre n-Ecke und 2·n gleichseitige Dreiecke, Ausschlusskriterium für archimedische Körper
|-
|reguläre [[Doppelpyramide]]n geeigneter Höhe
|<math>\ \ \infty</math>
|{{X}}
|{{J}}
|{{X}}
|{{J}}
|{{J}}
|die Seitenflächen sind 2·n [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklige Dreiecke]], Ausschlusskriterium für catalanische Körper
|-
|reguläre [[Trapezoeder]] geeigneter Höhe
|<math>\ \ \infty</math>
|{{X}}
|{{J}}
|{{X}}
|{{J}}
|{{J}}
|die Seitenflächen sind 2·n [[Drachenviereck]]e, Ausschlusskriterium für catalanische Körper
|-
| [[Johnson-Körper]] || {{0}}92 || {{J}} || {{X}} || {{X}}
|{{X}}|| {{J}} ||alle Seitenflächen sind [[Reguläres Polygon|reguläre Polygone]]
|}

=== Orthogonale Polyeder ===
Die Flächen eines orthogonalen Polyeders treffen sich im [[Rechter Winkel|rechten Winkel]]. Seine Kanten verlaufen parallel zu den Achsen eines [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]]. Mit Ausnahme des [[Quader]]s sind orthogonale Polyeder nicht konvex. Sie erweitern die zweidimensionalen [[Orthogonales Polygon|orthogonalen Polygone]] in die dritte Dimension. Orthogonale Polyeder kommen in der [[Algorithmische Geometrie|algorithmischen Geometrie]] zum Einsatz. Dort bietet ihre eingeschränkte Struktur Vorteile beim Bewältigen ansonsten ungelöster Probleme (beliebiger Polyeder). Ein Beispiel ist das Entfalten der Polyederflächen in ein polygonales Netz.

=== {{Anker|Chiral}} Chirale Polyeder ===
'''Chirale Polyeder''' sind Vielflächner, die topologisch nicht mit ihrem Spiegelbild übereinstimmen. Beispiele in drei Dimensionen sind der [[Abgeschrägter Würfel| abgeschrägte Würfel]] und das schiefe [[Dekaeder]]. Sie weisen [[Chiralität (Chemie)|Händigkeit]] auf, das heißt, sie besitzen eine rechtshändige und eine linkshändige Variante, die durch Spiegelung aufeinander abgebildet werden können.<ref>{{Literatur | Autor=Edward S. Popko | Titel=Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere | Verlag=CRC Press | Jahr=2012 | ISBN=9781466504295 | Online={{Google Buch | BuchID=WLAFlr1_2S4C | Seite=170 }}}}</ref>

=== Apeiroeder ===
[[Datei:Mucube external.png|mini|Ein reguläres Apeiroeder, das Mucube]]
Apeiroeder sind unbeschränkte Polyeder mit sich wiederholenden Strukturen.

== Polyeder im Alltag ==
[[Datei:BluePlatonicDice.jpg|mini|Die meisten Spielwürfel sind polyederförmig.]]
[[Datei:Kuppelgewächshaus aus Süden, Botanischer Garten (Düsseldorf).jpg|mini|[[Kuppelgewächshaus]] im [[Botanischer Garten Düsseldorf|Botanischen Garten Düsseldorf]]]]
Beispiele für Polyeder aus dem Alltag – verstanden als [[Körper (Geometrie)|geometrische Körper]] – sind in ihrer üblichen Bauweise – [[Schrank|Schränke]], [[Pyramide (Bauwerk)|Pyramiden]], [[Haus|Häuser]], [[Kristall]]e, [[Spielwürfel]] und [[Geodätische Kuppel]]n. Keine Polyeder sind hingegen [[Kugel]]n, [[Kegel (Geometrie)|Kegel]], Flaschen, Tortenstücke, da sie gekrümmte Randflächen besitzen.

== Eulerscher Polyedersatz und Euler-Charakteristik ==
{{Hauptartikel|Eulerscher Polyedersatz|Euler-Charakteristik}}
Für [[Konvexe Menge|konvexe]] und beschränkte Polyeder gilt der [[Eulerscher Polyedersatz|eulersche Polyedersatz]]:
:<math>E - K + F = 2</math>
Dabei ist <math>E</math> die Anzahl der [[Ecke]]n, <math>K</math> die Anzahl der Kanten und <math>F</math> die Anzahl der [[Flächeninhalt|Flächen]].

[[Datei:Toroidal polyhedron.gif|mini|Ein toroidales Polyeder, zusammengesetzt aus 48 gleichseitigen Dreiecken]]
Für [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängende]] Polyeder gilt allgemein
:<math>E - K + F = \chi</math>
mit der Euler-Charakteristik <math>\chi</math>. Für einen [[Torus]] zum Beispiel ist <math>\chi=0</math>. Das rechts abgebildete Polyeder ist ein Beispiel dafür. Es hat 24 Ecken, 72 Kanten und 48 Flächen: <math>E - K + F = 24-72+48 = 0</math>.

Für alle Polyeder ist die Anzahl der Flächen mit ungerader Eckenanzahl (die jeweils gleich der Anzahl der Kanten ist) gerade. Das folgt daraus, dass die Summe der Anzahl der Kanten aller Seitenflächen gerade ist, weil diese Summe die doppelte Anzahl der Kanten des Polyeders ist.

Außerdem ist für alle Polyeder die Anzahl der Ecken, wo eine ungerade Anzahl von Flächen (die jeweils gleich der Anzahl der Kanten ist) zusammentrifft, gerade. Das folgt daraus, dass die Summe der Anzahl der Kanten, die an den Ecken zusammentreffen, gerade ist, weil diese Summe die doppelte Anzahl der Kanten des Polyeders ist.

Für jedes konvexe Polyeder gilt die [[Ungleichung]] <math> 2 \cdot K \geq 3 \cdot F</math>, weil jede Fläche benachbart zu mindestens 3 Kanten ist und jede Kante genau 2 Flächen begrenzt. Daraus und aus der [[Gleichung]] <math>E - K + F = 2</math> ([[Eulerscher Polyedersatz]]) folgt <math> E \geq \frac{F}{2} + 2 = \left \lfloor\frac{F + 5}{2}\right \rfloor </math>. Außerdem gilt <math> 2 \cdot K \geq 3 \cdot E</math>, weil in jeder Ecke mindestens 3 Kanten zusammentreffen und zu jeder Kante genau 2 Ecken gehören. Daraus und aus dem eulerschen Polyedersatz folgt <math> E \leq 2 \cdot F - 4 </math>.

Ein konvexes Polyeder mit <math>F</math> Flächen hat also mindestens <math> \left \lfloor\frac{F + 5}{2}\right \rfloor </math> und höchstens <math> 2 \cdot F - 4 </math> Ecken. Daraus folgt außerdem, dass ein Polyeder mit <math>E</math> Ecken mindestens <math> \left \lfloor\frac{E + 5}{2}\right \rfloor </math> und maximal <math> 2 \cdot E - 4 </math> Flächen hat.
[[Datei:Conway polyhedron kdkt5daD.png|mini|150x150px|Ein Geodätisches Polyeder: minimale Anzahl von Ecken bei gegebener Anzahl von Flächen]]
Bei gegebener Anzahl von Flächen wird die minimale Anzahl von Ecken erreicht, wenn das Polyeder bei gerader Flächenzahl nur von Dreiecksflächen, bei ungerader Flächenzahl von einem Viereck und Dreiecken begrenzt wird. Das ist unter anderem beim [[Tetraeder]], beim [[Oktaeder]], beim [[Ikosaeder]], bei den [[Deltaeder]]n, bei einigen [[Catalanischer Körper|catalanischen Körpern]] und bei allen [[Doppelpyramide]]n der Fall. Weitere Beispiele sind die [[geodätischer Polyeder|geodätischen Polyeder]].
[[Datei:Goldberg polyhedron 5 3.png|mini|150x150px|Ein Goldberg-Polyeder: maximale Anzahl von Ecken bei gegebener Anzahl von Flächen]]
Bei gegebener Anzahl von Flächen wird stattdessen die maximale Anzahl von Ecken erreicht, wenn sich in jeder Ecken immer nur 3 Flächen und 3 Kanten treffen. Das ist unter anderem beim [[Tetraeder]], beim [[Würfel (Geometrie)|Würfel]], beim [[Dodekaeder]], bei einigen [[Archimedischer Körper|archimedischen Körpern]] und bei allen [[Prisma (Geometrie)|Prismen]] der Fall. Weitere Beispiele sind die [[Goldberg-Polyeder]].

Diese Polyeder weisen für eine gegebene Anzahl von Flächen (oder Ecken) auch jeweils das Minimum oder das Maximum an Kanten auf.

== Beispiele für Polyeder mit einer bestimmten Flächenzahl ==
Polyeder werden nur in Ausnahmefällen (im Allgemeinen der Körper mit maximaler Symmetrie, die platonischen Körper) nach der Anzahl der begrenzenden Flächen klassifiziert.

So versteht man unter Oktaeder (3,3,3,3,3,3,3,3) eher einen platonischen Körper als einen Zylinder mit sechsseitiger Grundfläche (6,6,4,4,4,4,4,4).

Die Anzahl von Polyedern mit verschiedenen Topologien bei gegebener Seitenanzahl wächst überexponential mit der Seitenanzahl.
* Ein Tetraeder ist eindeutig.
* Ein Pentaeder ist eine fünfseitige Pyramide oder ein dreiseitiges Prisma.
* Bei Hexaedern gibt es schon [[Hexaeder#Graphentheoretische Betrachtungen|7 konvexe und 4 konkave Polyeder]].
* Bei Oktaedern gibt es schon 257 konvexe Polyeder, hinzu kommt noch eine größere Zahl an konkaven Polyedern.
* Bei Dodekaedern gibt es schon mehr als 6 Millionen konvexe Polyeder, bei Tetradekaedern wird schon die Milliarde erreicht.

Der Name eines Polyeders weist im Allgemeinen auf dessen Verwandtschaft und dessen Konstruktionsprinzip hin, manchmal auch auf Gegenstände des alltäglichen Lebens.
Polyeder, deren Name „-dekaeder“ enden, brauchen nicht einmal 12 Flächen zu haben ([[Ausgehöhltes Dodekaeder]] mit 20 Flächen), teilweise gibt es nur in der Konstruktionskette Zwölfflächner oder Polyeder, die von einer bestimmten Polygonart 12 Flächen haben ([[Rhombenikosidodekaeder]] mit 62 Flächen).

{| class="wikitable" style="border:0;"
|+ Polyeder mit ''F '' Flächen
! rowspan="2" | Flächen
! rowspan="29" class="hintergrundfarbe-basis" style="border:0;" |
! colspan="3" | allgemein
! rowspan="29" class="hintergrundfarbe-basis" style="border:0;" |
! colspan="4" | Beispiel
|-
! Name
! Kanten
! Ecken
! Name
! Bild
! ''K''
! ''E''
|-
! colspan="8" class="hintergrundfarbe-basis" style="border:0;" |
|-
| {{0}}4 || [[Tetraeder]] || {{0|0...}}6 || {{0|0...}}4 || Dreieckpyramide || [[Datei:Tetrahedron.svg|100x100px]]
|{{0|00}}6
|{{0}}4
|-
| {{0}}5 || [[Pentaeder]] || {{0}}8...9 || {{0}}5...6 || [[Quadratpyramide]] || [[Datei:Square pyramid.png|100x100px]]
|{{0|00}}8
|{{0}}5
|-
| {{0}}6 || [[Hexaeder]] || {{0}}9...12 || {{0}}5...8 || [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] || [[Datei:Hexahedron.svg|100x100px]]
|{{0}}12
|{{0}}8
|-
| {{0}}7 || [[Heptaeder]] || 11...15 || {{0}}6...10 || verlängerte Dreieckpyramide || [[Datei:Elongated triangular pyramid.png|100x100px]]
|{{0}}12
|{{0}}7
|-
| rowspan="3" |{{0}}8
| rowspan="3" | [[Oktaeder]]
| rowspan="3" | 12...18
| rowspan="3" | {{0}}6...12
| regelm. Oktaeder
| [[Datei:Octahedron.jpg|100x100px]]
| 12
| {{0}}6
|-
| [[Tetraederstumpf]]
| [[Datei:Truncatedtetrahedron.svg|100x100px]]
| 18
| 12
|-
| [[Rhomboederstumpf]]
| [[Datei:Triangular truncated trapezohedron.png|100x100px]]
|{{0}}18
| 12
|-
| {{0}}9 || [[Enneaeder]] || 14...21 || {{0}}7...14 || verlängerte Quadratpyramide || [[Datei:Elongated square pyramid.png|100x100px]]
|{{0}}16
|{{0}}9
|-
| rowspan="2" | 10
| rowspan="2" | [[Dekaeder]]
| rowspan="2" | 15...24
| rowspan="2" | {{0}}7...16
| Fünfeck-Bipyramide
| [[Datei:Pentagon Dipyramid (Decahedron).svg|100x100px]]
|{{0}}15
|{{0}}7
|-
| pentagonales [[Trapezoeder]]
| [[Datei:Trapezohedron5.jpg|100x100px]]
| 20
| 12
|-
| 11 || [[Hendekaeder]] || 17...27 || {{0}}8...18 || ? || [[Datei:Bisymmetric Hendecahedron.svg|100x100px]]
|{{0}}20
|11
|-
| 12 || [[Dodekaeder#Andere Dodekaeder|Dodekaeder]] || 18...30 || {{0}}8...20 || regelmäßiges [[Dodekaeder]] || [[Datei:Dodecahedron.svg|100x100px]]
|{{0}}30
|20
|-
| 13 || [[Tridekaeder]] || || {{0}}9...22 || verdreht verlängerte Quadratpyramide || [[Datei:Gyroelongated square pyramid.png|100x100px]]
|{{0}}20
|{{0}}9
|-
| 14 || [[Tetradekaeder]] || || {{0}}9...24 || [[Disheptaeder]] || [[Datei:Triangular orthobicupola.png|100x100px]]
|{{0}}24
|12
|-
| 15 || [[Pentadekaeder]] || || 10...26 || verlängerte Fünfecks- Bipyramide || [[Datei:Elongated pentagonal dipyramid.png|100x100px]]
|{{0}}25
|12
|-
| 16 || [[Hexadekaeder]] || || 10...28|| zweifach erweitertes [[Antiprisma]] || [[Datei:Gyroelongated square dipyramid.png|100x100px]]
|{{0}}24
|10
|-
| 17 || [[Heptadekaeder]] || || 11...30|| erweiterte Sphenocorona || [[Datei:Augmented sphenocorona.png|100x100px]]
|{{0}}26
|11
|-
| 18 || [[Oktadekaeder]] || || 11...32|| Quadratdoppelkuppel || [[Datei:Square orthobicupola.png|100x100px]]
|{{0}}32
|16
|-
| 20 || Ikosaeder || || 12...36 || regelmäßiges [[Ikosaeder]]|| [[Datei:Icosahedron.svg|100x100px]]
|{{0}}30
|12
|-
| 22 || [[Ikosidiploeder|Ikosidiploeder]] || || 13...40|| verlängerte Fünfeckskuppel || [[Datei:Elongated pentagonal cupola.svg|100x100px]]
|{{0}}45
|25
|-
| 24 || [[Ikositetraeder|Ikositetra- eder]] || || 14...44|| [[Deltoidalikositetraeder|Deltoidal- ikositetra- eder]]|| [[Datei:Deltoidalicositetrahedron.jpg|100x100px]]
|{{0}}48
|26
|-
| 30 || Triakontaeder || || 17...56|| doppelt erweitertes abgestumpftes Hexaeder || [[Datei:Rhombictriacontahedron.svg|110x110px]]
|{{0}}60
|32
|-
|rowspan="3"| 32
|rowspan="3"| [[Triakontadiploeder|Triakontadiploeder]]
|rowspan="3"| 48...90
|rowspan="3"| 18...60
| [[Ikosaederstumpf]]|| [[Datei:Truncatedicosahedron.svg|100x100px]]
|{{0}}90
|60
|-
| [[Ikosidodekaeder]] || [[Datei:Icosidodecahedron.svg|100x100px]] || 60 || 30
|-
| [[Dodekaederstumpf]] ||[[Datei:Truncateddodecahedron.jpg|100x100px]] || 90 || 60
|-
| 60 || [[Hexakontaeder|Hexakontaeder]] || 90...174 || 32...116 || [[Pentagonhexakontaeder|Pentagonhexakontaeder]]|| [[Datei:Pentagonalhexecontahedronccw.jpg|100x100px]]
|150
|92
|}

== Dualität ==
[[Datei:Dual Cube-Octahedron.svg|mini|Ein [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] mit seinem [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|Dual]], dem [[Oktaeder]]]]
Für jedes konvexe Polyeder <math>P</math> existiert ein [[Dualität (Mathematik)|duales]] Polyeder <math>P'</math>. Das duale Polyeder <math>P'</math> hat genau eine [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] für jede [[Ecke]] von <math>P</math>, und zwei Flächen von <math>P'</math> grenzen aneinander genau dann, wenn die entsprechenden Ecken von <math>P</math> durch eine Kante verbunden sind. Die Ecken von <math>P'</math> wiederum entsprechen genau den Flächen von <math>P</math>. Anders ausgedrückt: es gibt eine [[Bijektive Funktion|bijektive]] Zuordnung der Ecken des Polyeders <math>P</math> auf die Flächen des dualen Polyeders, so dass zwei Ecken von <math>P</math> genau dann benachbart sind, wenn die zugeordneten Flächen von <math>P'</math> aneinander grenzen. Entsprechend sind auch die Kanten des Polyeders <math>P</math> den Kanten des dualen Polyeders <math>P'</math> bijektiv zugeordnet. Ebenso gibt es eine Bijektion zwischen den Flächen von <math>P</math> und den Ecken von <math>P'</math>. Das Dual des Würfels ist beispielsweise der Oktaeder (siehe Abbildung): jeder Seitenfläche des Würfels, also jedem [[Quadrat]], entspricht eine Ecke des Oktaeders (in der Abbildung ist die Ecke gerade der [[Mittelpunkt]] des Quadrats), und jeder Ecke des Würfels entspricht eine Seitenfläche des Oktaeders (die Ecke liegt genau senkrecht über dem Schwerpunkt dieses Dreiecks). Umgekehrt ist das Dual des Oktaeders wieder der Würfel.

Duale Polyeder existieren paarweise, und das Dual eines Duals ist wieder das ursprüngliche Polyeder (<math>(P')'=P</math>). Einige Polyeder sind selbst-dual, was bedeutet, dass das Dual des Polyeders mit dem ursprünglichen Polyeder kongruent ist. Solche Polyeder sind zum Beispiel das [[Tetraeder]], die [[Pyramide (Geometrie)#Gerade quadratische Pyramide|quadratische Pyramide]] und alle [[Pyramide (Geometrie)#Formeln für regelmäßige Pyramiden|regelmäßigen Pyramiden]].<ref>{{cite journal
|last1=Grünbaum
|title=Convex polytopes
|year=1969
|issue=3
|volume=1
|url=http://www.wias-berlin.de/people/si/course/files/convex_polytopes-survey-Gruenbaum.pdf
|pages=257–300
|first1=B.
|journal=[[Bulletin of the London Mathematical Society]]
|doi=10.1112/blms/1.3.257
|first2=G.C.
|last2=Shephard
|accessdate=2020-08-03
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170222114014/http://www.wias-berlin.de/people/si/course/files/convex_polytopes-survey-Gruenbaum.pdf
|archivedate=2017-02-22
|offline=yes
}}</ref>
Das Dual eines [[Platonischer Körper|platonischen Körpers]] ist selbst ein platonischer Körper. Das [[Hexaeder]] ist dual zum [[Oktaeder]] und umgekehrt, das [[Dodekaeder]] ist dual zum [[Ikosaeder]] und umgekehrt und das [[Tetraeder]] ist dual zu sich selbst. Jeder der 13 [[Archimedischer Körper|archimedischen Körper]] ist dual zu einem der 13 [[Catalanischer Körper|catalanischen Körper]] und umgekehrt.

Abstrakte Polyeder haben auch Duale, die zusätzlich erfüllen, dass sie die gleiche [[Euler-Charakteristik]] und [[Orientierbarkeit]] wie das ursprüngliche Polyeder haben. Diese Form der [[Dualität (Mathematik)|Dualität]] beschreibt jedoch nicht die Form eines dualen Polyeders, sondern nur seine [[Kombinatorisch|kombinatorische]] Struktur. Für einige Definitionen nichtkonvexer geometrischer Polyeder existieren Polyeder, deren abstrakte Duale unter derselben Definition nicht als geometrische Polyeder realisiert werden können.

== Verallgemeinerungen ==
Das Prinzip der Begrenzung des dreidimensionalen Raums durch ebene Flächen, also zweidimensionale Teile einer Ebene, lässt sich auf mehr als drei Dimensionen ausdehnen. Im Vierdimensionalen ist es das [[Polychor]], allgemein das d-dimensionale [[Polytop (Geometrie)|Polytop]]. Vielfach wird neben dem Begriff des Polytops auch der Begriff „Polyeder“ für nicht notwendigerweise dreidimensionale Räume verwendet.
* Vor allem in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] nennt man eine Teilmenge des <math> \R^n</math> ein '''Polyeder''', wenn sie '''triangulierbar''' ist, wenn sie also als [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] der [[Simplex (Mathematik)|Simplexe]] eines ''[[Simplex (Mathematik)#Euklidischer simplizialer Komplex|simplizialen Komplexes]]'' <math>\mathcal{K} \subseteq 2^{\R^n}</math> gebildet werden kann.<ref>{{Literatur|Autor=[[Egbert Harzheim]]|Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie|Reihe=DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften|Verlag=[[Wissenschaftliche Buchgesellschaft]]|Ort=Darmstadt|Jahr=1978|ISBN=3-534-07016-X|Seiten=34|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim&s5=Topologie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=533264 MR0533264] }}</ref><ref>{{Literatur|Autor=[[John M. Lee (Mathematiker)|John M. Lee]]|Titel=Introduction to Topological Manifolds (Graduate Texts in Mathematics 202)|Verlag=Springer|Ort=New York [u. a.]|Jahr=2000|ISBN=0-387-98759-2|Seiten=149}}</ref> Das [[homöomorph]]e [[Bildmenge|Bild]] eines solchen allgemeinen '''Polyeders''' bezeichnet man als '''krummes Polyeder''' und die Bilder der beteiligten Simplexe als '''krumme Simplexe'''.<ref>{{Literatur|Autor=[[Egbert Harzheim]]|Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie|Reihe=DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften|Verlag=[[Wissenschaftliche Buchgesellschaft]]|Ort=Darmstadt|Jahr=1978|ISBN=3-534-07016-X|Seiten=35|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim&s5=Topologie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=533264 MR0533264] }}</ref>
* In der [[Lineare Optimierung|linearen Optimierung]] ist ein (konvexes) Polyeder im <math> \R^n </math> definiert als der Schnitt von endlich vielen [[Halbraum|Halbräumen]].<ref>{{Literatur|Titel=Einführung in die Mathematische Optimierung|Autor=Rainer E. Burkhard, Uwe T. Zimmermann|ISBN=9783642286735|Reihe=Springer-Lehrbuch|Jahr=2013|Verlag=Springer|Ort=Berlin/Heidelberg|Seiten=19}}</ref> Nach dieser Definition ist ein Polyeder nicht notwendigerweise beschränkt. Ein beschränktes nichtleeres Polyeder wird dann als Polytop bezeichnet. Nach dem [[Zerlegungssatz für konvexe Polyeder]] ist eine Teilmenge des <math> \R^n </math> genau dann ein Polyeder, wenn sie sich als Summe eines konvexen Polytops und eines (konvexen) polyedrischen Kegels darstellen lässt.

== Weblinks ==
{{Commons|Polyhedra|Polyeder}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.polyedergarten.de/index.htm Polyedergarten] Bilder, Animationen, VRML-3D-Modelle; mit ästhetischem Anspruch
* [http://www.brefeld.homepage.t-online.de/polyeder.html Formeln für reguläre und semireguläre Polyeder]
* [http://www.korthalsaltes.com/index.html Paper Models of Polyhedra] Schablonen zum Basteln von Polyedern
* [http://www.hbmeyer.de/flechten/index.html Polyeder aus Flechtstreifen] Polyedermodelle durch Verflechten von Papierstreifen ohne Klebstoff herstellen

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Krech-et-al">
{{Literatur
|Autor=Eva-Maria Krech, Eberhard Stock, Ursula Hirschfeld, Lutz Christian Anders
|Titel=Deutsches Aussprachewörterbuch
|Auflage=1
|Verlag=Walter de Gruyter
|Ort=Berlin, New York
|Datum=2009
|ISBN=978-3-11-018202-6
|Seiten=833}}
</ref>
<ref name="Duden online">
''nur Betonung:''
{{Internetquelle
|url=https://www.duden.de/rechtschreibung/Polyeder
|titel=Polyeder, das
|hrsg=duden.de, Cornelsen Verlag GmbH, Berlin, Deutschland
|abruf=2022-12-07}}
</ref>
<ref name="Duden Aussprachewörterbuch">
{{Literatur
|Autor=Stefan Kleiner [[et al.]]
|Titel=Duden Aussprachewörterbuch
|TitelErg=Der Duden in zwölf Bänden, Band 6
|Auflage=7
|Verlag=Dudenverlag
|Ort=Berlin
|Datum=2015
|ISBN=978-3-411-04067-4
|Seiten=693}}
</ref>
</references>

{{Normdaten|TYP=s|GND=4132101-7}}

[[Kategorie:Polyeder| ]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Polyeder - Versionsgeschichte

imported>Schojoha: Verbesserung Link.