imported>JollyTech: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|0 */

2025-07-09T07:24:03Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|0

Neue Seite

{{Begriffsklärungshinweis}}
Ein '''Pendel''', auch '''Schwerependel''' (früher auch '''Perpendikel''',<ref>Fritz von Osterhausen: ''Callweys Uhrenlexikon.'' Callwey, München 1999, ISBN 3-7667-1353-1.</ref> von [[Latein|lat.]] ''pendere'' „hängen“) ist ein Körper, der, an einer Achse oder einem Punkt außerhalb seines [[Massenmittelpunkt]]es [[Gelenk (Technik)|drehbar]] [[Pendelaufhängung|aufgehängt]], aufgrund der [[Schwerkraft]] um seine eigene Ruheposition schwingen kann. Seine einfachste Ausführung ist das '''Fadenpendel''', das aus einem an einem Faden aufgehängten Gewicht besteht und baulich einem [[Schnurlot]] gleicht. In diesem Sinne keine Pendel sind das [[Federpendel]] und das [[Torsionspendel]].

Eine Eigenschaft des Schwerependels ist, dass seine [[Periode (Physik)|Schwingungsdauer]] nur von der Länge des Fadens (genauer: dem Abstand zwischen Aufhängung und [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] des Pendelkörpers), nicht aber von der Art, Gestalt oder Masse des Pendelkörpers abhängt; auch fast nicht von der Größe der maximalen Auslenkung, vorausgesetzt, diese bleibt auf wenige [[Winkelgrad]] beschränkt. Dies wurde erstmals von [[Galileo Galilei]] festgestellt und nach den vertiefenden Untersuchungen durch [[Christiaan Huygens]] zur Regulierung der ersten [[Pendeluhr|genauen Uhren]] verwendet. Ein [[Sekundenpendel]] hat, je nach [[geografische Breite|geografischer Breite]] des Standorts, eine Länge zwischen 99,1 und 99,6 cm.

== Grundlagen ==
[[Datei:Ingamozgas.jpg|miniatur|Bewegung des Pendels]]
[[Datei:Wie funktioniert ein Pendel?.webm|mini|Video: Wie funktioniert ein Pendel?]]

Das Pendel besteht meist aus einem Band oder einem Stab, der am freien Ende mit einer Masse beschwert ist. Bringt man ein solches Pendel aus seiner vertikalen [[Ruhelage]], schwingt es unter dem Einfluss der [[Schwerkraft]] zurück und wird, solange keine [[Dämpfung]] erfolgt, [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]] zwischen den Scheitelpunkten als Umkehrpunkt der Bewegung um die tiefstmögliche Position des [[Massenmittelpunkt]]es – die Ruheposition – weiterschwingen. Beim Schwingen wird die [[potentielle Energie]] der Masse in [[kinetische Energie]] und wieder zurückverwandelt. In der Ruheposition liegt die gesamte Energie der Schwingung als kinetische Energie vor, am Scheitelpunkt als potentielle Energie. Im zeitlichen Mittel ist die Energie gemäß dem [[Virialsatz]] zu gleichen Teilen in kinetische und potentielle Energie aufgeteilt.

Die Regelmäßigkeit der Schwingungsperiode eines Pendels wird bei mechanischen [[Pendeluhr]]en genutzt. Ihre Pendel müssen, sollen sie [[Uhrenfehler|genau gehen]], möglichst kleine und konstante [[Amplitude]]n zurücklegen.

Man unterscheidet mathematische Pendel von physikalischen Pendeln:
Das ''[[Mathematisches Pendel|ebene mathematische Pendel]]'' und das [[Sphärisches Pendel|sphärische Pendel]] sind idealisierende [[Modell]]e zur allgemeinen Beschreibung von Pendelschwingungen. Dabei wird angenommen, dass die gesamte Masse des Pendels in einem [[Massenpunkt|Punkt]] vereinigt vorliegt, der einen festen Abstand vom Aufhängepunkt hat. Ein solches Pendel wird näherungsweise durch ein Fadenpendel realisiert. Das ''[[Physikalisches Pendel|physikalische Pendel]]'' unterscheidet sich vom mathematischen Pendel, indem bei ihm die Form und Größe des Pendelkörpers berücksichtigt wird, weshalb das Verhalten physikalischer Pendel eher dem von realen Pendeln entspricht. So ist beispielsweise die [[Periode (Physik)|Periodendauer]] eines '''Stangenpendels''', bei dem ein Pendelkörper an einer Stange – dessen Länge mit einer Stellschraube verändert werden kann – mit endlicher Masse hängt, stets kürzer als die Periodendauer eines gleich langen mathematischen Pendels, bei dem die Masse der Aufhängung vernachlässigt werden kann.<ref>Johannes Crueger: ''Schule der Physik.'' Erfurt 1870, S. 97, [https://books.google.de/books?id=J7gAAAAAMAAJ&pg=PA97&dq=Stangenpendel&hl=de&sa=X&ei=iiqkVKPKOYTcywP3qoKwCw&ved=0CCAQ6AEwAA#v=onepage&q=Stangenpendel&f=false online.]</ref> Für kleine [[Auslenkung]]en vereinfacht sich die Betrachtung der Bewegung des Pendels: Da hier die rückstellende [[Kraft]] näherungsweise [[Proportionalität|proportional]] zur Auslenkung ist, handelt es sich um einen [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillator]].

Mit dem ''[[Foucaultsches Pendel|Foucaultschen Pendel]]'' konnte die [[Erdrotation]] nachgewiesen werden: Die [[Corioliskraft]] wirkt von außen auf das Pendel, indem sie seine Schwingungsebene verändert und es von Schwingung zu Schwingung in einem wiederkehrenden Muster ablenkt.

== Hintergrund ==
=== Theorie: Harmonischer Oszillator ===
{{Hauptartikel|Harmonischer Oszillator}}
Das Pendel ist bei kleinen Auslenkungen eine gute Näherung eines mechanischen harmonischen Oszillators. Bei großer Auslenkung sind die Schwingungen zwar stetig, aber nicht mehr harmonisch. Der harmonische Oszillator ist ein bedeutendes Modellsystem in der Physik, da es ein geschlossen lösbares System darstellt. Es ist dadurch charakterisiert, dass eine Kraft proportional zur Auslenkung entgegen der Auslenkungsrichtung wirkt. Mit der Auslenkung <math>\varphi</math>, der [[Differentialrechnung|zweiten Ableitung]] nach der Zeit <math>\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}</math> und der [[Kreisfrequenz#Kennkreisfrequenz und Eigenkreisfrequenz|Kennkreisfrequenz]] <math>\omega_0</math> gilt also:
:<math>\frac{\mathrm d^2 \varphi}{\mathrm dt^2} = -\omega^2_0 \varphi</math>
Die Lösung dieser Gleichung ist periodischer Natur, die abhängig von den physikalischen [[Anfangsbedingung]]en als Summe einer [[Sinus und Kosinus|Sinus- und Kosinusfunktion]] geschrieben werden kann:
:<math>\varphi(t) = A\sin(\omega_0 t) + B\cos(\omega_0 t)</math>.
Wenn es auf die Phase nicht ankommt, kann man <math>\varphi(0) = 0</math> setzen und erhält
:<math>\varphi(t) = \varphi_\mathrm{max}\sin(\omega_0 t)</math>,
wobei <math>\varphi_\mathrm{max}</math> die Auslenkung des Pendels am Umkehrpunkt ist.

Die Bewegung, die ein harmonischer Oszillator beschreibt, heißt [[Schwingung#Harmonische Schwingungen|harmonische Schwingung]]. Nicht der strengen Definition des harmonischen Oszillators folgend, werden teilweise auch [[Dämpfung|gedämpfte]] harmonische Oszillatoren als solche bezeichnet. Diese sind derart modelliert, dass die [[Amplitude]], die maximale Auslenkung, der Schwingung mit der Zeit kleiner wird.

=== Mathematisches und physikalisches Pendel ===
{{Hauptartikel|Mathematisches Pendel|Physikalisches Pendel}}
[[Datei:Pendelschwingung.gif|mini|Schwingung eines Fadenpendels]]
Das mathematische Pendel ist das einfachste Modell eines Pendels: Ein [[Massenpunkt]] ist an einem masselosen, starren Faden aufgehängt und kann sich entsprechend nur in zwei Dimensionen auf einer Kreisbahn um die Aufhängung bewegen. Sein einziger Freiheitsgrad ist die Auslenkung um eine [[Gleichgewichtslage]] oder Ruheposition und die [[Gewichtskraft]] wirkt als rückstellende Kraft auf den Massenpunkt. Bei hinreichend kleiner Auslenkung kann das mathematische Pendel als harmonischer Oszillator beschrieben werden. Die Kreisfrequenz hängt dabei nur von der Fadenlänge <math>l</math> und der [[Erdbeschleunigung]] <math>g</math> ab:
:<math>\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}</math>
Die Verallgemeinerung des mathematischen Pendels in drei Dimensionen heißt [[sphärisches Pendel]]. Dessen gekoppeltes Gleichungssystem besitzt keine einfache allgemeine Lösung mehr.

Das physikalische Pendel berücksichtigt im Gegensatz zum mathematischen Pendel die Ausdehnung des Pendelkörpers und die Masse des Fadens. Die Kreisfrequenz des physikalischen Pendels hängt entsprechend auch von seiner Masse <math>m</math> und seinem [[Trägheitsmoment]] <math>I</math> ab, während <math>l</math> als Abstand des [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkts]] von der Aufhängung präzisiert werden muss:
:<math>\omega = \sqrt{\frac{mgl}{I}}</math>
<math>I</math> ist das Trägheitsmoment bei Rotation um den Aufhängepunkt.
Die Formel gilt ebenfalls nur bei kleiner Auslenkung.

=== Anisochronismus ===
Die Kreisfrequenz <math>\omega</math> bzw. die Schwingungsdauer <math>T=\tfrac{2\pi}{\omega}</math> ist nur näherungsweise von der maximalen Pendelauslenkung <math>\varphi_\mathrm{max}</math> unabhängig, denn das rückstellende [[Drehmoment|Moment]], das die Schwerkraft auf das Pendel ausübt, ist nicht proportional zu <math>\varphi</math>, sondern zu <math>\sin\varphi</math>. Darum tritt [[Mathematisches Pendel#Exakte Lösung|Anisochronismus]] auf: eine Pendeluhr geht umso langsamer, je größer der Pendelausschlag <math>\varphi_\mathrm{max}</math> wird. Für nicht zu große <math>\varphi_\mathrm{max}</math> kann die Periodendauer abhängig vom Pendelausschlag zu
:<math>T(\varphi_\mathrm{max}) \approx T_0 \left(1+\frac{1}{16}\varphi_\mathrm{max}^2\right)</math>
berechnet werden, wobei <math>\varphi_\mathrm{max}</math> im [[Radiant (Einheit)|Bogenmaß]] einzusetzen ist.

== Gekoppelte Pendel ==
{{Hauptartikel|Gekoppelte Pendel|Doppelpendel}}
Bei zwei gekoppelten Pendeln üben zwei Pendel eine von beiden Auslenkungen abhängige Kraft aufeinander aus. Zum Beispiel verbindet man zwei gleiche Fadenpendel durch eine Feder miteinander, um im Demonstrationsexperiment die [[Eigenschwingung]]en und das Phänomen der [[Schwebung]] zu beobachten. Gebundene Atome (z. B. in einem [[Molekül]] oder in einem Festkörper) können oft näherungsweise durch ein Modell von vielen gekoppelten Pendeln beschrieben werden. Mehr als zwei gekoppelte Pendel können komplexe Schwingungsmuster zeigen, wenn die Grundschwingung von anders geformten Eigenschwingungen (oder Schwingungs[[moden]]) mit höheren [[Eigenfrequenz]]en überlagert wird.

Beim [[Doppelpendel]] wird an der Masse eines Pendels ein zweites Pendel angebracht. Es dient unter anderem der Demonstration von [[Chaosforschung|chaotischen]] Prozessen, da die Bewegung chaotisch sein kann.

== Federpendel ==
{{Hauptartikel|Federpendel|Drehschwinger mit Spiralfeder}}
[[Datei:Torsion-pendulum.ogv|Video: Ein Torsionspendel|miniatur]]
Federpendel sind keine Pendel im eigentlichen Sinne, denn sie verfügen im Unterschied zum Schwerkraftpendel über eigene Rückstellkräfte, die von der Schwerkraft unabhängig sind.

Es gibt u. a. folgende Varianten:
* Der lineare Federschwinger (auch Federpendel) nutzt die Rückstellkraft einer gespannten Schraubenfeder. Bei horizontalen Federschwingern schwingt eine Masse waagerecht zwischen zwei gespannten Federn.
* Drehschwinger führen eine Kreisbewegung aus und besitzen ein [[Torsionsträgheitsmoment]]:
** Das [[Torsionspendel]] (Drehpendel) schwingt an einem sich verdrehenden, d. h. unter [[Torsion (Mechanik)|Torsionsmoment]] stehenden Draht oder Band.
** Drehschwinger mit Spiralfeder (z. B. [[Unruh (Uhr)|Unruh]]) nutzen die rückstellende Kraft einer [[Spiralfeder]].

== Anwendungen ==
* Mithilfe des [[Foucaultsches Pendel|Foucaultschen Pendels]] kann die [[Erdrotation]] sichtbar gemacht werden.
* Nur etwa 1,5 cm kurze Pendel dienen in Automatikgurten von Autos dem Detektieren von starker Horizontalbeschleunigung binnen kurzem Weg und Auslösen der Arretierung (neben zwei Fliehkraft-Klinken an der Spule).
* [[Klettern|Kletterer]] an einem Sicherungsseil hängend können sich durch wiederholtes Abstoßen zum Pendeln bringen, um seitlich versetzt eine Position zum Weiterklettern zu erreichen. Andererseits birgt ein Sturz in ein nach oben schräg verlaufendes Seil die Gefahr des Auspendelns und Anschlagens am Fels.
* Sensoren, die ein Rücken oder Kippen eines Gegenstandes detektieren, etwa um Diebstahl anzuzeigen, enthalten im einfachsten Fall ein Pendel mit einem elektrischen Schleifkontakt in Neutralposition.
* Schlagpendel dienen der Bestimmung der [[Kerbschlagzähigkeit]] und anderer Festigkeitsgrößen von Materialien oder Werkstücken.
* Die [[Abrissbirne]] soll insbesondere senkrechte Mauern und Beton durch waagrechten Stoß demolieren. Es gibt auch Rammböcke, die an 2 Pendelarmen hängen, deren obenliegende Griffe von 4 Personen geführt werden.
* Eine an einem Tau pendelnd zur Schiffsbordwand schwingende Flasche soll bei einer [[Schiffstaufe]] zerschellen.
* Eine [[Schaukel]] ist ein an zwei Seilen oder Ketten aufgehängtes Sitzbrett (oder eine Stange) für Vergnügungs- oder Artistikzwecke.
* Die [[Schiffsschaukel]] im Vergnügungspark, ein starres Pendel mit Gondel, wird von den darin stehenden Personen mit Körperkraft und -schwung aufgeschaukelt.
* Die Künstlerin [[Carolee Schneemann]] „zeichnet kinetisch“ an einem Seil hängend.<ref>''[http://salzburg.orf.at/news/stories/2750451/ Körper in Kunst verwandelt: Carolee Schneemann.]'' Bei: ''ORF.at.'' 2. Jänner 2016, abgerufen am 2. Jänner 2016.</ref>
* Tänzer an Sicherungsseilen mit selbst einhändig bedienbaren Abseilgeräten können an einer etwa vertikalen Wand durch Laufen und Abstoßen seitliches Pendeln auslösen, sich schrittweise ablassen und damit ein weithin sichtbares Ballett vollführen.
* Pendeln spielt eine Rolle bei der Akrobatik am [[Trapez (Sport)|Trapez]] und [[Vertikaltuch]] sowie beim [[Turnen]] an [[Ringeturnen|Ringen]] und am [[Kletterseil]].
* Das [[Balancieren]] eines Stabs oder einer Leiter ist das Führen eines starren umgekehrten Pendels alleine durch Unterstützen an einem Punkt.
* Das [[Riefler-Pendel]] steigerte die Ganggenauigkeit von [[Pendeluhr]]en auf besser als eine [[Zehntelsekunde]] pro Tag.
* Die [[Pendelfigur]] ist ein Spielzeug.
* In der [[Esoterik]] ist das [[Siderisches Pendel|siderische Pendel]] zu finden.

== Siehe auch ==
* [[Horizontalpendel]]
* [[Kugelstoßpendel]]
* [[Hesssches Pendel]]
* [[Inverses Pendel]]

== Literatur ==
* [[Christian Kassung]]: ''Das Pendel. Eine Wissensgeschichte.'' 2007, ISBN 978-3-7705-4554-4.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Pendulums}}
{{Wiktionary}}
* Klassifizierung und Auflistung von [http://www.techniklexikon.net/d/pendel/pendel.htm über 20 verschiedenen Pendeltypen] mit Formeln und Abbildungen.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4173651-5}}

[[Kategorie:Pendel| ]]
[[Kategorie:Uhrentechnik]]
[[Kategorie:Schwingungslehre]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Pendel - Versionsgeschichte

imported>JollyTech: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|0 */