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Die '''Peano-Axiome''' (auch '''Dedekind-Peano-Axiome''' oder '''Peano-Postulate''') sind fünf [[Axiom]]e, welche die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] und ihre Eigenschaften charakterisieren. Sie wurden 1889 vom italienischen Mathematiker [[Giuseppe Peano]] formuliert<ref name="Peano">Peano: Arithmetices principia nova methodo exposita, Turin 1889</ref> und dienen bis heute als Standardformalisierung der [[Arithmetik]] für [[Metamathematik|metamathematische]] Untersuchungen. Während die ursprüngliche Version von Peano in [[Prädikatenlogik zweiter Stufe]] formalisiert werden kann, wird heute meist eine schwächere Variante in [[Prädikatenlogik erster Stufe]] verwendet, die als [[Peano-Arithmetik]] bezeichnet wird. Mit Ausnahme von Vertretern des [[Ultrafinitismus]] wird die Peano-Arithmetik in der Mathematik allgemein als korrekte und konsistente Charakterisierung der natürlichen Zahlen anerkannt. Andere Formalisierungen der natürlichen Zahlen, die mit der Peano-Arithmetik verwandt sind, sind die [[Robinson-Arithmetik]] und die [[Primitiv rekursive Arithmetik]].

[[Richard Dedekind]] bewies bereits 1888 den sogenannten [[Isomorphiesatz von Dedekind]], dass alle [[Modell (Logik)|Modelle]] der Peano-Arithmetik mit Induktionsaxiom zweiter Stufe [[isomorph]] zum Standardmodell <math>\N</math> sind, d. h., dass die Struktur der natürlichen Zahlen so bis auf Benennung eindeutig charakterisiert wird. Dies gilt dagegen nicht für die erststufige [[Formalisierung]], aus dem [[Satz von Löwenheim-Skolem]] folgt die Existenz von paarweise nicht isomorphen Modellen (u. a. Modellen jeder unendlichen Kardinalität), die die Peano-Axiome erfüllen.

== Axiome ==
=== Ursprüngliche Formalisierung ===
Peano betrachtete ursprünglich 1 als kleinste natürliche Zahl.<ref>1889 in ''Arithmetices Principia.'' S. 1.</ref> In seiner späteren Version der Axiome, die im Folgenden modern notiert sind, ersetzte er 1 durch 0.<ref>
1898 in: ''Opere scelte III.'' S. 216 (original mit Operator n+ statt n').</ref> Die Axiome haben dann folgende Form:

# <math>0 \in \N</math>
# <math>\forall n (n \in \N \Rightarrow n' \in \N)</math>
# <math>\forall n (n \in \N \Rightarrow n'\neq 0)</math>
# <math>\forall n, m (m,n\in\N \Rightarrow (m' = n' \Rightarrow m = n))</math>
# <math>\forall X (0\in X \land \forall n (n \in \N \Rightarrow (n\in X \Rightarrow n'\in X)) \Rightarrow \N \subseteq X)</math>

Diese Axiome lassen sich folgendermaßen verbalisieren, wobei <math>n'</math> als „[[Nachfolger (Mathematik)|Nachfolger]] von <math>n</math>“ gelesen wird:
# 0 ist eine natürliche Zahl.
# Jede natürliche Zahl <math>n</math> hat eine natürliche Zahl <math>n'</math> als Nachfolger.
# 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
# Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
# Enthält die [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>X</math> die 0 und mit jeder natürlichen Zahl <math>n</math> auch deren Nachfolger <math>n'</math>, so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von <math>X</math>.

Das letzte Axiom heißt ''Induktionsaxiom'', da auf ihm die Beweismethode der [[Vollständige Induktion#Etymologie und Geschichte|vollständigen Induktion]] beruht. Es impliziert insbesondere, dass jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element hat. Mit ihm lassen sich [[Addition]] und [[Multiplikation]] auf <math>\N</math> [[rekursive Definition|rekursiv definieren]]:<ref>Peano: Opere scelte III, S. 221 und 229</ref>

: <math>m+ 0 := m\,</math>
: <math>m+ n' := (m + n)'\,</math>

: <math>0 \cdot m := 0</math>
: <math>n' \cdot m := (n \cdot m) + m</math>

Die Eins definierte Peano als Nachfolger der Null:<ref>Peano: Opere scelte III, S. 220</ref>
: <math>1:=0'\,</math>
Aus dieser Definition folgt mit der Additionsdefinition für den Nachfolger <math>\,n'=n+1</math>.

Peano setzte als Rahmen eine [[Klassenlogik#Klassenlogik im engeren Sinn|Klassenlogik]] voraus.<ref name="Peano" /> Sein Axiomensystem ist auch in der [[Mengenlehre]] interpretierbar oder auch in der [[Prädikatenlogik zweiter Stufe]], da neben Zahlenvariablen im Induktionsaxiom auch die Mengenvariable <math>X</math> vorkommt.

=== Formalisierung in der Prädikatenlogik erster Stufe ===
{{Hauptartikel|Peano-Arithmetik}}
Die ursprüngliche Formalisierung enthält im Induktionsaxiom eine Quantifikation über Mengen von Objekten (siehe oben). Da aber in der [[Prädikatenlogik erster Stufe]] nicht über Mengen von Objekten quantifiziert werden kann, wird für die Formalisierung in der Logik der ersten Stufe das Induktionsaxiom durch ein schwächeres ''[[Axiomenschema]]'' in der Prädikatenlogik erster Stufe ersetzt. Dieses hat die folgende Form:

* <math>(\phi(0) \land \forall n (\phi(n) \Rightarrow \phi(n'))) \Rightarrow \forall n \; \phi(n)</math> für alle Formeln <math>\phi (x)</math>

: Gilt <math>\phi(0)</math> und folgt für jede Zahl n aus <math>\phi(n)</math> die Gültigkeit von <math>\phi(n')</math>, dann gilt die Formel <math>\phi(n)</math> für jede natürliche Zahl n.

Für jede Formel <math>\phi (x)</math> muss das entsprechende Induktionsaxiom hinzugefügt werden; die erststufige Version der Peano-Arithmetik enthält also eine [[unendliche Menge]] von Axiomen.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* [[Richard Dedekind]]: ''Was sind und was sollen die Zahlen?'' Braunschweig, 1888
* [[Giuseppe Peano]]: ''[https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog Arithmetices principia, nova methodo exposita].'' Turin, 1889.
* [[Hans Hermes]]: ''Einführung in die mathematische Logik'', B. G. Teubner Stuttgart, 2. Aufl. 1969, Verlags-Nr. 2201

[[Kategorie:Mathematische Logik]]
[[Kategorie:Zahl]]

[[hu:Giuseppe Peano#A természetes számok Peano-axiómái]]

Peano-Axiome - Versionsgeschichte

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