imported>Alabasterstein: /* Zusammenhang mit dem Sierpinski-Dreieck */ Zusammenhang Präzisiert

2025-09-25T12:15:39Z

Zusammenhang mit dem Sierpinski-Dreieck: Zusammenhang Präzisiert

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[[Datei:PascalTriangleAnimated2.gif|mini|hochkant=0.8|Jeder Eintrag ist die Summe der zwei darüberstehenden Einträge.]]
Das '''Pascalsche''' (oder '''Pascal’sche''') '''Dreieck''' ist eine Form der grafischen Darstellung der [[Binomialkoeffizient]]en <math>\tbinom{n}{k}</math>, die auch eine einfache Berechnung dieser erlaubt. Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist. Dieser Sachverhalt wird durch die Gleichung
: <math>\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}</math>
beschrieben. Dabei kann die Variable <math>n</math> als Zeilenindex und <math>k</math> als Spaltenindex interpretiert werden, wobei die Zählung mit Null beginnt (also erste Zeile <math>n=0</math>, erste Spalte <math>k=0</math>). Beginnt man an den Rändern mit Einträgen mit dem Wert <math>1</math>, so ergeben sich dadurch genau die Binomialkoeffizienten.

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| <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> ||   ||   ||   ||  
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| <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> ||  
| <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math> ||  
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| <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math> ||  
| <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> ||  
| <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> ||  
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| <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}</math> ||  
| <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}</math> ||  
| <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}</math> ||  
| <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}</math> ||  
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| <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}</math> ||  
| <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}</math> ||  
| <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}</math> ||  
| <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}</math> ||  
| <math>\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}</math>
|}

Der Name geht auf [[Blaise Pascal]] zurück. Das pascalsche Dreieck war jedoch schon früher bekannt und wird deshalb auch heute noch nach anderen Mathematikern benannt. In [[China]] spricht man vom '''Yang-Hui-Dreieck''' (nach [[Yang Hui]]), in [[Italien]] vom '''Tartaglia-Dreieck''' (nach [[Niccolò Tartaglia]]) und im [[Iran]] vom '''Chayyām-Dreieck''' (nach [[Omar Chayyām]]).

== Geschichte ==
[[Datei:Yanghui triangle.gif|mini|Yang-Hui-Dreieck, wie es in einem Buch von [[Zhu Shijie]] aus dem Jahre 1303 beschrieben ist.]]
[[Datei:TrianguloPascal.jpg|mini|Blaise Pascals Version des arithmetischen Dreiecks im ''Traité du triangle arithmétique'']]

Die früheste detaillierte Darstellung eines Dreiecks von [[Binomialkoeffizient]]en erschien im 10. Jahrhundert in Kommentaren zur ''Chandas Shastra'', einem indischen Buch zur [[Prosodie]] des [[Sanskrit]], das von [[Pingala (Grammatiker)|Pingala]] zwischen dem fünften und zweiten Jahrhundert vor Christus geschrieben wurde. Während Pingalas Werk nur in Fragmenten erhalten blieb, verwendete der Kommentator [[Halayudha]] um 975 das Dreieck, um zweifelhafte Beziehungen zu ''Meru-prastaara'' den „Stufen des [[Meru (Mythologie)|Berges Meru]]“ herzustellen. Es war auch schon bekannt, dass die Summe der flachen Diagonalen des Dreiecks die [[Fibonaccizahl]]en ergeben. Vom indischen Mathematiker [[Bhattotpala]] (ca. 1070) sind die ersten 17 Zeilen des Dreiecks überliefert.

Annähernd zur gleichen Zeit wurde das pascalsche Dreieck im Nahen Osten von [[Muhammad al-Karadschi|al-Karadschi]] (953–1029), [[as-Samaw'al]] und [[Omar Chayyām]] behandelt und ist deshalb im heutigen [[Iran]] als Chayyām-Dreieck bekannt. Es waren verschiedene mathematische Sätze zum Dreieck bekannt, unter anderem der [[Binomischer Lehrsatz|binomische Lehrsatz]]. Tatsächlich ist es ziemlich sicher, dass Chayyām ein Verfahren zur Berechnung der <math>n</math>-ten Wurzel verwendet hat, das auf der binomischen Erweiterung und damit den Binomialkoeffizienten beruht.

Die früheste chinesische Darstellung eines mit dem pascalschen Dreieck identischen arithmetischen Dreiecks findet sich in [[Yang Hui]]s Buch ''Xiangjie Jiuzhang Suanfa'' von 1261, das ausschnittsweise in der [[Yongle-Enzyklopädie]] erhalten geblieben ist.<ref>{{Literatur |Autor=Ho Peng Yoke |Titel=Li, Qi and Shu. An Introduction to Science and Civilization in China |Verlag=Hongkong University Press |Datum=1985 |ISBN=0-486-41445-0 |Seiten=97 |Online={{Google Buch |BuchID=_P6C4JO4JCUC |Seite=97}}}}</ref> Yang schreibt darin, das Dreieck von [[Jia Xian]] (um 1050) und dessen ''li cheng shi shuo'' („Ermittlung von Koeffizienten mittels Diagramm“) genannter Methode zur Berechnung von Quadrat- und Kubikwurzeln übernommen zu haben.<ref>{{Literatur |Autor=George Gheverghese Joseph |Titel=The Crest of the Peacock. Non-European Roots of Mathematics |Auflage=3. |Verlag=Princeton University Press |Datum=2011 |ISBN=978-0-691-13526-7 |Seiten=247 |Online={{Google Buch|BuchID=ymud91nTc9YC|Seite=247}}}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Duan Yao-Yung, Kostas Nikolantonakis |Hrsg=B.S. Yadav, Man Mohan |Titel=The Algorithm of Extraction in Greek and Sino-Indian Mathematical Traditions |Sammelwerk=Ancient Indian Leaps into Mathematics |Verlag=Birkhäuser |Datum=2011 |ISBN=978-0-8176-4695-0 |Seiten=180–181 |DOI=10.1007/978-0-8176-4695-0_11}}</ref>

[[Peter Apian]] veröffentlichte das Dreieck 1531/32 auf dem Titelbild seines Buchs über Handelsberechnungen, dessen frühere Version von 1527 den ersten schriftlichen Nachweis des pascalschen Dreiecks in Europa darstellt.

1654 schrieb [[Blaise Pascal]] sein 1665 veröffentlichtes Buch ''Traité du triangle arithmétique'' (Abhandlung über das arithmetische Dreieck), in dem er verschiedene Ergebnisse bezüglich des Dreiecks sammelte und diese dazu verwendete, Probleme der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] zu lösen. Das Dreieck wurde später von [[Pierre Rémond de Montmort]] (1708) und [[Abraham de Moivre]] (1730) nach Pascal benannt.<ref>{{Internetquelle |autor=Jeff Miller |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/p/ |titel=Pacal's Triangle |werk=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics |hrsg=University of St Andrews |sprache=en |abruf=2023-12-19}}</ref>

== Anwendung ==
Das Pascalsche Dreieck gibt eine Handhabe, schnell beliebige [[Potenz (Mathematik)|Potenzen]] von [[Binom]]en auszumultiplizieren. So befinden sich in der zweiten Zeile (<math>n = 2</math>) die [[Koeffizient]]en 1, 2, 1 der ersten beiden [[Binomische Formel|binomischen Formeln]]:

: <math>(a \pm b)^2 = a^2 \ \pm\ 2\cdot a b \ + \ b^2.</math>

In der nächsten, der dritten Zeile finden sich die Koeffizienten 1, 3, 3, 1 für <math>(a \pm b)^3</math>:

: <math>(a \pm b)^3 = a^3 \ \pm\ 3\cdot a^2 b^1\ +\ 3\cdot a^1 b^2\ \pm\ b^3.</math>

Diese Auflistung kann beliebig fortgesetzt werden, wobei zu beachten ist, dass für das Binom <math> (a - b) </math> stets das [[Minuszeichen]] aus „<math> \pm </math>“ zu nehmen ist und dass, während der Exponent von <math> a </math> in jeder Formel stets um 1 abnimmt, der Exponent von <math> b </math> um 1 zunimmt. Eine Verallgemeinerung liefert der [[Binomischer Lehrsatz|Binomische Lehrsatz]].

Des Weiteren wechseln sich bei der Anwendung des Pascalschen Dreieck auf das Binom <math>(a - b)</math> mit einem beliebigen Exponenten die [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] – und + ab (es steht immer dann ein Minus, wenn der Exponent von <math>b</math> ungerade ist). Das heißt z. B.

: <math>(a - b)^4 = a^4\ -\ 4\cdot a^3 b^1\ +\ 6\cdot a^2 b^2\ -\ 4\cdot a^1 b^3\ +\ b^4.</math>

Eine zweidimensionale Verallgemeinerung ist das [[Trinomial Triangle]], in welchem jede Zahl die Summe von ''drei'' (statt im Pascalschen Dreieck: von ''zwei'') Einträgen ist. Eine Erweiterung in die dritte Dimension ist die [[Pascalsche Pyramide]].

== Folgen im Pascalschen Dreieck ==

Im Pascalschen Dreieck finden sich viele bekannte Zahlenfolgen wieder.

=== Die Diagonalen ===
Die erste Diagonale enthält nur Einsen und die zweite Diagonale die Folge der natürlichen Zahlen. In der dritten Diagonale finden sich die [[Dreieckszahl]]en und in der vierten die [[Tetraederzahl]]en. Allgemein findet man in der <math>r</math>-ten Diagonale die [[Figurierte Zahl#Reguläre figurierte Zahlen|regulären figurierten Zahlen]] der Ordnung <math>r</math>.
In jeder Diagonale steht die Folge der Partialsummen zu der Folge, die in der Diagonale darüber steht. Umgekehrt ist jede Diagonalenfolge die [[Differenzenfolge]] zu der in der Diagonale unterhalb stehenden Folge.

Allgemein gilt also
für die Dreieckszahlen
:<math>\Delta(n) = \binom{n+1}{2}</math>,
für die Tetraederzahlen
:<math>T(n) = \sum_{k=1}^{n}\Delta(k) = \binom{n+2}{3}</math>
und für die regulären figurierten Zahlen der Ordnung <math>r</math>
:<math>R(r,n) = \sum_{k=1}^{n} R(r-1,k) = \binom{n+r-1}{r}</math>.

=== Die Fibonacci-Zahlen ===
{{Hauptartikel|Fibonacci-Folge}}
[[Datei:PascalTriangleFibanacci.svg|360px|mini|Alternative Darstellung: Die Fibonacci-Zahlen als Summe der Diagonalen (rote Linien).]]

{| class="centered" style="text-align:center"
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|style="width:25px"| <math>1</math> ||style="width:25px"| 
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| <math>1</math> ||  || <math>1</math>
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| <math>1</math> ||  || <math>2</math> ||  || <math>1</math>
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| <math>\color{OliveGreen}1</math> ||  || <math>3</math> || 
| <math>3</math> ||  || <math>1</math> || 
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|  ||  ||  ||  ||  || 
| <math>\color{blue}1</math> ||  || <math>\color{red}4</math> || 
| <math>\color{OliveGreen}6</math> ||  || <math>4</math> || 
| <math>1</math> || 
|  ||  ||  ||  || 
|-
|  ||  ||  ||  || 
| <math>1</math> ||  || <math>5</math> || 
| <math>\color{blue}10</math> ||  || <math>\color{red}10</math> || 
| <math>\color{OliveGreen}5</math> ||  || <math>1</math> || 
|  ||  ||  || 
|-
|  ||  ||  || 
| <math>1</math> ||  || <math>6</math> || 
| <math>15</math> ||  || <math>20</math> || 
| <math>\color{blue}15</math> ||  || <math>\color{red}6</math> || 
| <math>\color{OliveGreen}1</math> ||  ||  ||  || 
|-
|  ||  ||  || <math>1</math> || 
| <math>7</math> ||  || <math>21</math> || 
| <math>35</math> ||  || <math>35</math> || 
| <math>21</math> ||  || <math>\color{blue}7</math> || 
| <math>\color{red}1</math> ||  ||  || 
|-
|  ||  || <math>1</math> ||  || <math>8</math> || 
| <math>28</math> ||  || <math>56</math> || 
| <math>70</math> ||  || <math>56</math> || 
| <math>28</math> ||  || <math>8</math> || 
| <math>\color{blue}1</math> ||  || 
|-
| 
| <math>1</math> ||  || <math>9</math> || 
| <math>36</math> ||  || <math>84</math> || 
| <math>126</math> ||  || <math>126</math> || 
| <math>84</math> ||  || <math>36</math> || 
| <math>9</math> ||  || <math>1</math> || 
|-
| <math>1</math> ||  || <math>10</math> || 
| <math>45</math> ||  || <math>120</math> || 
| <math>210</math> ||  || <math>252</math> || 
| <math>210</math> ||  || <math>120</math> || 
| <math>45</math> ||  || <math>10</math> || 
| <math>1</math>
|}

Die [[Summe]]n der hier grün, rot und blau markierten flachen „Diagonalen“ ergeben jeweils eine [[Fibonacci-Folge|Fibonacci-Zahl]] (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …). In diesem Beispiel ist die Summe der grünen Diagonale gleich 13, die Summe der roten Diagonale gleich 21, die Summe der blauen Diagonale gleich 34. Dass sich die „Diagonale“ manchmal nicht von einem zum anderen Ende „durchziehen“ lässt, wie im Fall der roten Diagonale, ist unerheblich.

Allgemein gilt also
:<math>F(n)=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \binom {n-k-1}{k} = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \binom {n-k-1}{n-2k-1}, n \geq 1</math>

=== Die Zeilen ===
Die Summe der Einträge einer Zeile wird als Zeilensumme bezeichnet. Von oben nach unten verdoppeln sich die Zeilensummen von Zeile zu Zeile. Dies rührt vom Bildungsgesetz des pascalschen Dreiecks her. Jeder Eintrag einer Zeile wird in der folgenden Zeile zur Berechnung zweier Einträge verwendet. Hierbei muss man das Bildungsgesetz durch das Hinzufügen von gedachten Nullen links und rechts von jeder Zeile verallgemeinern, so dass auch die äußeren Einsen jeder Zeile durch die Addition der darüberliegenden Einträge generiert werden. Da die Zeilensumme der ersten Zeile gleich eins ist, ist die Zeilensumme der <math>n</math>-ten Zeile gleich <math>2^{n-1}</math>. Dies entspricht dem folgenden Gesetz für Binomialkoeffizienten:
:<math>\sum_{k=0}^n \binom nk = \binom n0 + \binom n1 + \dotsb + \binom nn = 2^n</math>

Reiht man jeweils die Ziffern der ersten fünf Zeilen des pascalschen Dreiecks aneinander, erhält man mit 1, 11, 121, 1331 und 14641 die ersten Potenzen von 11.

Die alternierende Summe jeder Zeile ergibt Null: <math>\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom nk = 0</math>, <math>n>0</math>.

Formal folgen die drei obigen Formeln aus dem binomischen Lehrsatz <math>(1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k</math> für <math>x=1</math>, <math>x=10</math> und <math>x=-1</math>.

=== Mittlere Binomialkoeffizienten ===

Die Folge der [[Mittlerer Binomialkoeffizient|mittleren Binomialkoeffizienten]] beginnt mit 1, 2, 6, 20, 70, 252, … ({{OEIS|A000984}}).

== Zusammenhang mit dem Sierpinski-Dreieck ==
Das Pascalsche Dreieck ist mit dem [[Sierpinski-Dreieck#Zusammenhang mit dem Pascalschen Dreieck|Sierpinski-Dreieck]], das 1915 nach dem polnischen [[Mathematiker]] [[Wacław Sierpiński]] benannt wurde, verwandt. Beide Dreiecke verwenden eine einfache, aber leicht unterschiedliche [[Iteration]]svorschrift, die eine [[Ähnlichkeit (Geometrie)|geometrische Ähnlichkeit]] hervorbringt. Ein direkter Zusammenhang entsteht, wenn man das Pascalsche Dreieck [[Division mit Rest#Modulo|modulo]] 2 betrachtet, als beispielsweise die gerade Zahlen weiß einfärbt und die ungeraden schwarz. Dann ergibt sich aus dem Pascalschen Dreieck unmittelbar die Struktur des Sierpinski-Dreiecks.

== Potenzen mit beliebiger Basis ==
Für Potenzen mit beliebiger Basis existiert ein Zahlendreieck anderer Art:

: <math>
\begin{matrix}
_i\backslash^j & {n \choose 1} & {n \choose 2} & {n \choose 3} & {n \choose 4} & {n\choose 5} \\
n^1 & 1 & & & & \\
n^2 & 1 & 2 & & & \\
n^3 & 1 & 6 & 6 & & \\
n^4 & 1 & 14 & 36 & 24 & \\
n^5 & 1 & 30 & 150 & 240 & 120
\end{matrix}
</math>

Zu dieser Dreiecksmatrix gelangt man durch [[Inverse Matrix|Inversion der Matrix]] der Koeffizienten derjenigen Terme, die die Kombinationen ohne Wiederholung der Form <math>\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}</math> für <math>k = 1, 2, 3, \dots</math> usw. darstellen.

; Beispiel
: <math>\begin{pmatrix}n \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{n\,(n-1)}{2} = - 0{,}5\, n + 0{,}5\,n^2</math>.
; Lesart
: <math>n^5 = 1\,\begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} + 30\,\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} + 150\,\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} + 240\,\begin{pmatrix} n\\4 \end{pmatrix} + 120\,\begin{pmatrix} n\\5 \end{pmatrix}</math>
; Beispiel
: <math>6^5 = 1\cdot 6 + 30\cdot 15 + 150\cdot 20 + 240\cdot 15 + 120\cdot 6 = 7\,776 </math>

Das Bildungsgesetz der Koeffizienten für den Koeffizienten in Zeile <math>i</math> und Spalte <math>j</math> lautet:
: <math>E(i,j) = [ E(i-1,j-1) + E(i-1,j) ]\cdot j</math>
es gilt daher auch <math>E(i,j) = j! S(i,j)</math> mit der [[Stirling-Zahl]] <math>S(i,j)</math>.

Mit Hilfe dieses Dreiecks gewinnt man unmittelbare Einblicke in die [[Teilbarkeit]] von Potenzen. So ist jede Primzahlpotenz <math>n^p</math> für <math> p>3 </math> kongruent <math> n </math> modulo <math> 6p </math>. Dies ist im Wesentlichen der Inhalt des [[Kleiner Fermatscher Satz|kleinen Fermatschen Satzes]]; zusätzlich wird jedoch gezeigt, dass der Ausdruck <math> a^p - a </math> für alle <math> a </math> nicht nur durch <math> p </math>, sondern für <math> p>3 </math> auch durch 6 teilbar ist. Der größte gemeinsame Teiler der Matrixkoeffizienten ab dem zweiten Koeffizienten der Primzahlexponenten für <math> n </math> entspricht stets dem Nenner der jeweiligen [[Bernoullische Zahl|bernoullischen Zahl]] (Beispiel: <math> p=3 </math>: Nenner = 6; <math> p=5 </math> : Nenner = 30 usw.)

Mit diesem Zahlendreieck kann beispielsweise mühelos bewiesen werden,
dass <math>\forall n \in \mathbb{N}: n^5 - n^3 </math> durch 24 teilbar ist:
: <math> 0\cdot a+ 24\cdot b + 144\cdot c + 240\cdot d + 120\cdot e</math> (mit <math> a = \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}</math>, <math>b = \begin{pmatrix} n \\ 2\end{pmatrix}</math>, usf.)
ist stets durch 24 teilbar, da wegen <math> n \in \mathbb{N} </math> auch <math>a,b,c,d,e \in \mathbb{N}</math> sind.

== Zusammenhang mit dem Wallisschen Produkt ==
[[John Wallis]] nutzte 1655 eine schachbrettartige Interpolation zwischen den (je Dimension) figurierten Zahlenfolgen zur erstmaligen Berechnung einer Darstellung von 4/<math>\pi</math> als [[Wallissches Produkt|unendliches Produkt]].<ref>{{Webarchiv |url=http://www.alphagalileo.org/AssetViewer.aspx?AssetId=104202&CultureCode=en |text=alphagalileo.org |wayback=20151122192434 |archiv-bot=}}</ref>

== Sonstiges ==
* Über die Anzahlen, mit der eine Zahl im Pascalschen Dreieck vorkommt, gibt es die [[Singmaster-Vermutung]].
* Summiert man die ersten vier Terme jeder Reihe des Pascalschen Dreiecks, so erhält man die [[Kuchenzahl]]en.<ref>[https://oeis.org/A000125 COMMENTS der Folge A000125 in OEIS]</ref>

== Siehe auch ==
* [[Binomischer Lehrsatz]]
* [[Harmonisches Dreieck]]

== Literatur ==
* [[John Horton Conway|John H. Conway]], [[Richard Kenneth Guy|Richard K. Guy]]: ''Zahlenzauber. Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen.'' Birkhäuser Verlag, Basel 1997, ISBN 3-7643-5244-2.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Pascal's triangle|Pascalsches Dreieck}}
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Arbeiten mit Termen/ Das pascalsche Dreieck Binompotenzen|<math>{\color{BlueViolet}\begin{matrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{matrix}}</math> Mathematik für die Schule |suffix=Das pascalsche Dreieck – Binompotenzen}}
* [https://web.archive.org/web/20170316145233/http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/pascal_numberpatterns.html Muster im Pascalschen Dreieck] (englisch)
* [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/pascalmod.htm Das Pascalsche Dreieck]
* [http://www2.math.uni-wuppertal.de/~heilmann/zahlenteufel.html Besuch beim Zahlenteufel]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Diskrete Mathematik]]
[[Kategorie:Blaise Pascal]]
[[Kategorie:Blaise Pascal als Namensgeber]]

Pascalsches Dreieck - Versionsgeschichte

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