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2025-05-15T15:56:29Z

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[[Datei:01-Parallelogramm.svg|350px|rechts]]

Ein '''Parallelogramm''' (von {{grcS|παραλληλό-γραμμος|paralleló-grammos}} „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder '''Rhomboid''' (rautenähnlich) ist ein [[Konvexe Menge|konvexes]] ebenes [[Viereck]], bei dem gegenüberliegende Seiten [[Parallel (Geometrie)|parallel]] sind.

Parallelogramme sind spezielle [[Trapez (Geometrie)|Trapeze]] und zweidimensionale [[Parallelepiped]]e. [[Rechteck]], [[Raute]] (Rhombus) und [[Quadrat]] sind Spezialfälle des Parallelogramms.

== Eigenschaften ==
Ein [[Viereck]] ist genau dann ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
* Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes [[Antiparallelogramm]]).
* Zwei gegenüberliegende Seiten sind [[Parallel (Geometrie)|parallel]] und gleich lang.
* Gegenüberliegende [[Winkel]] sind gleich groß.
* Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
* Die [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] halbieren einander.
* Die Summe der Flächen der Quadrate über den vier Seiten ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den zwei Diagonalen ([[Parallelogrammgleichung]]).
* Es ist [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] (zweizählig [[Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]]).

Für jedes Parallelogramm gilt:
* Jede Diagonale teilt es in zwei gleichsinnig [[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] [[Dreieck]]e.
* Sein [[Symmetriezentrum]] ist der [[Schnittpunkt]] der Diagonalen.
* Die Mittelpunkte der über seinen Seiten errichteten Quadrate bilden ein Quadrat ([[Satz von Thébault-Yaglom]]).

Alle Parallelogramme, die mindestens eine [[Symmetrieachse]] besitzen, sind [[Rechteck]]e oder [[Raute]]n.

== Formeln ==
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! colspan="3" |Mathematische Formeln zum Parallelogramm
|-
|'''[[Flächeninhalt]]'''
|<math>A = a \cdot h_a = b \cdot h_b = \left|\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}\right|\right|</math><br />
<math>A = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = a \cdot b \cdot \sin(\beta) = \frac {e \cdot f \cdot \sin(\theta)}{2}</math><br />Über [[Koordinatentransformation|Transformation]] in ein [[Rechteck]] mit der [[Determinante]]:<br /><math>A = \det \begin{pmatrix} a_x && b_x \\ a_y && b_y \end{pmatrix} = a_x \cdot b_y - b_x \cdot a_y</math>
| rowspan="8" |[[Datei:Parallelogram measures.svg|hochkant= 1.5 |alternativtext=|rahmenlos]]
|-
|[[Umfang (Geometrie)|'''Umfang''']]
|<math>U = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b)</math>
|-
|'''[[Innenwinkel]]'''
|<math>\alpha = \gamma, \quad \beta = \delta, \quad \alpha + \beta = 180^\circ</math>
|-
| rowspan="2" |[[Höhe (Geometrie)|'''Höhe''']]
|<math>h_a = b \cdot \sin(\alpha)</math>
|-
|<math>h_b = a \cdot \sin(\beta)</math>
|-
| rowspan="2" |Länge der [[Diagonale (Geometrie)|'''Diagonalen''']]
(siehe [[Kosinussatz]])
|<math>\begin{array}{ccl}
e & = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\beta)}
\\ & = \sqrt{a^2 + b^2 + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha)}
\end{array}</math>
|-
|<math>\begin{array}{ccl}
f & = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha)}
\\ & = \sqrt{a^2 + b^2 + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\beta)}
\end{array}</math>
|-
|'''[[Parallelogrammgleichung]]'''
|<math>e^2 + f^2 = 2 \cdot (a^2 + b^2)</math>
|}

== Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm ==
<div style="float:right;">[[Datei:Parallelogram area animated.gif|mini|260px|ohne|Animation zur Berechnung des [[Flächeninhalt]]s eines Parallelogramms. Der Flächeninhalt ist gleich dem Produkt der [[Länge (Mathematik)|Länge]] einer Grundseite <math>b</math> mit der zugehörigen [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>h</math>.]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:Parallelogrammflaeche.svg|mini|ohne|Vom großen [[Rechteck]] werden sechs Teilflächen abgezogen]]</div>
Den [[Flächeninhalt]] <math>A</math> des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen [[Rechteck]]s die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der [[Multiplikation]] kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also:

:<math>\begin{array}{cccl}
A & = & & ({\color{YellowOrange} a_x} + {\color{ForestGreen} b_x} ) \cdot ({\color{red} a_y} + {\color{blue} b_y} )\ -\ 2 \cdot ( \frac{ {\color{YellowOrange} a_x} \cdot {\color{red} a_y} }{2} +{\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{red} a_y} + \frac{ {\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{blue} b_y} }{2})
\\ & = & & {\color{YellowOrange} a_x} \cdot {\color{red} a_y} + {\color{YellowOrange} a_x} \cdot {\color{blue} b_y} + {\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{red} a_y} + {\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{blue} b_y}
\\ & & - & {\color{YellowOrange} a_x} \cdot {\color{red} a_y} \quad \quad \quad -2 \cdot {\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{red} a_y} - {\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{blue} b_y}
\\ & = & & \quad \quad \quad \quad {\color{YellowOrange} a_x} \cdot {\color{blue} b_y} - {\color{ForestGreen} b_x} \cdot {\color{red} a_y}
\end{array}</math>

== Parallelogrammgitter ==
[[Datei:Oblique Lattice.svg|mini|rechts|Parallelogrammgitter]]

Parallelogramme können ein [[Gitter (Geometrie)|Gitter]] in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] bilden. Wenn die Kanten gleich lang sind oder die [[Winkel]] [[Rechter Winkel|rechte Winkel]] sind, ist die [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] des Gitters höher. Diese repräsentieren die vier [[zweidimensional]]en [[Bravais-Gitter]].
{| class="wikitable"
![[Geometrische Figur]]
![[Quadrat]]
![[Rechteck]]
![[Raute]]
!Parallelogramm
|-
![[Bravais-Gitter]]
|quadratisches Bravais-Gitter
|rechtwinkliges Bravais-Gitter
|zentriert-rechtwinkliges Bravais-Gitter
|schiefwinkliges Bravais-Gitter
|-
![[Kristallsystem]]
|[[tetragonales Kristallsystem]]
|[[orthorhombisches Kristallsystem]]
|[[orthorhombisches Kristallsystem]]
|[[monoklines Kristallsystem]]
|- align="center"
!Bild
|[[Datei:Lattice of squares.svg|160x160px]]
|[[Datei:Lattice of rectangles.svg|160x160px]]
|[[Datei:Lattice of rhombuses.svg|160x160px]]
|[[Datei:Lattice of rhomboids.svg|160x160px]]
|}

Das Parallelogrammgitter ist eine Anordnung von [[Unendlichkeit|unendlich]] vielen [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] in der [[zweidimensional]]en [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]]. Diese Punktmenge kann formal als die [[Menge (Mathematik)|Menge]]

: <math> \left\{(t_1 \cdot \vec u,t_2 \cdot \vec v) \in \mathbb R^2 \mid \vec u, \vec v \in \mathbb R^2 \ \land \ t_1 \in \mathbb Z \ \land \ t_2 \in \mathbb Z \right\}</math>

geschrieben werden, wobei die Vektoren <math> \vec u</math>, <math> \vec v</math> die [[Richtungsvektor]]en zwischen benachbarten Punkten sind. Das Parallelogrammgitter entsteht durch eine [[affine Abbildung]] aus dem [[Quadratgitter]].<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/CubicLattice.html Cubic Lattice]</ref>

Das Parallelogrammgitter ist zweizählig [[Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]], also [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]]. Außerdem ist es [[Translationssymmetrie|translationsymmetrisch]] für alle [[Vektor]]en im zweidimensionalen euklidischen [[Vektorraum]].

== Konstruktion eines Parallelogramms ==
Ein Parallelogramm, bei dem die [[Seitenlänge]]n <math>a</math> und <math>b</math> sowie die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>h_a</math> gegeben ist, ist mit [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Zirkel und Lineal]] [[Konstruierbares Polygon#Konstruierbarkeit|konstruierbar]].

[[Datei:01-Parallelogramm Konstruktion.gif|mini|hochkant=1.6|links|Parallelogramm mit den gegebenen [[Seitenlänge]]n <math>a</math> und <math>b</math> sowie der [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>h_a</math>. Für die Konstruktion des [[Rechter Winkel#Konstruktion zeichnerisch|rechten Winkels]] ist der Punkt <math>E</math> frei wählbar. Animation mit einer Pause von 10 s am Ende.]]
{{Absatz}}

== Verallgemeinerungen ==
[[Datei:Parallelepiped-0.svg|mini|[[Parallelepiped]]]]

Eine Verallgemeinerung auf <math>n</math> [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] ist das [[Parallelotop]], erklärt als die Menge <math>\{\alpha_1 \cdot p_1 + \alpha_2 \cdot p_2 + \dotsb + \alpha_n \cdot p_n \mid 0\le\alpha_i\le 1\}</math> sowie deren [[Parallelverschiebung]]en. Die <math>p_i</math> sind dabei <math>n</math> [[linear unabhängig]]e [[Vektor]]en. Parallelotope sind [[punktsymmetrisch]].

Das [[dreidimensional]]e Parallelotop ist das [[Parallelepiped]]. Seine [[Seitenfläche]]n sind sechs paarweise [[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] und in [[Parallel (Geometrie)|parallelen]] [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] liegende Parallelogramme. Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht [[Ecke]]n, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen [[Winkel]]n zueinander zusammenlaufen.

== Satz von Varignon ==
[[Datei:Rectangle-varignon.svg|gerahmt|Für jedes [[Viereck]] ABCD ist das Mittenviereck EFGH ein Parallelogramm.]]
Nach dem [[Satz von Varignon]] gilt: Wenn man die [[Mittelpunkt]]e benachbarter Seiten eines [[Viereck]]s verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

''Beweis:''

Nach Definition gilt <math>\overline{AE}=\overline{EB}, \overline{BF} = \overline{FC}, \overline{CG} = \overline{GD}, \overline{DH} = \overline{HA}</math>.

Betrachte das [[Dreieck]] ABC. Es ist [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]] zum Dreieck EBF. Nimmt man den [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] B als Zentrum einer [[Zentrische Streckung|zentrischen Streckung]], werden A auf E und C auf F mit dem Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> abgebildet. Wegen der Eigenschaften der zentrischen Streckung sind Bildstrecke und ursprüngliche [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] [[Parallel (Geometrie)|parallel]]. Also ist <math>AC \parallel EF</math>. Ebenso zeigt man, dass <math>AC \parallel GH</math>, <math>BD \parallel FG</math>, und <math>BD \parallel HE</math>. Die [[Parallelität (Geometrie)|Parallelität]] in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] ist eine [[Äquivalenzrelation]] und damit [[Transitive Relation|transitiv]]. Also ist <math>EF \parallel GH</math> und <math>FG \parallel HE</math>.

Die gegenüber liegenden Seiten des [[Viereck]]s EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Eine andere Möglichkeit ist, mit dem [[Strahlensatz]] zu beweisen, dass <math>EF = GH</math> und <math>FG = HE</math> ist, d. h. dass die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH gleich lang sind.

Nach dem Strahlensatz gilt außerdem: Der [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] des Parallelogramms EFGH ist genau so groß wie die Summe der [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalenlängen]] im Viereck ABCD. Die [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] des Parallelogramms EFGH ist halb so groß wie die Fläche des Vierecks ABCD.<ref>Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg: [http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/pdf/pv1.pdf Varignon-Parallelogramm]</ref>

== Parallelogramme mit Quadraten ==
<div style="float:right;">[[Datei:Quadrate ueber Parallelogrammseiten Beweisfigur.svg|mini|180px|''Figur 2'']]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:Quadrate ueber Parallelogrammseiten.svg|mini|178px|''Figur 1'']]</div>
Gegeben sei ein Parallelogramm <math>ABCD</math>, über dessen Seiten Quadrate errichtet sind. Dann sind die Diagonalenschnittpunkte <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> und <math>H</math> der Quadrate [[Eckpunkt]]e eines weiteren Quadrats. ''(Figur 1)''

''Beweis:''

Die vier gelben Dreiecke <math>AEH</math>, <math>EFB</math>, <math>GFC</math> und <math>HDG</math> in ''Figur 2'' stimmen in je zwei Seiten und dem jeweils eingeschlossenen (gelben) Innenwinkel bei <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> überein. Deshalb sind sie nach dem [[Kongruenzsatz]] ''SWS'' kongruent und damit alle Seiten des Vierecks <math>EFGH</math> gleich lang. Da die Diagonalen eines Quadrats [[Orthogonalität|orthogonal]] sind, ist <math>\angle BEA</math> ein [[rechter Winkel]]. Da die beiden (gelben) Winkel <math>\angle HEA</math> und <math>\angle FEB</math> gleich groß sind, muss auch <math>\angle FEH</math> ein rechter Winkel sein. Somit ist das Viereck <math>EFGH</math> ein Quadrat.<ref name="Zeuge">Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH, [[Berlin]] 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 129/172</ref>

== Goldener Schnitt in Parallelogrammen ==
[[Datei:Parallelogramm Goldener Schnitt Iteration.svg|mini|hochkant=1.5|''Figur 3'': Flächenfüllung mit Dreiecksspiralen]]
Ein Parallelogramm, bei dem das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite gleich dem [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]] <math>\Phi</math> ist, habe einen spitzen Innenwinkel von 60°. Die kürzere Seite habe [[o. B. d. A.]] die Länge 1.

Dann lassen sich zwei Folgen [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitiger Dreiecke]] jeweils so anordnen, dass jedes Dreieck der Folge durch eine Ecke seines Nachfolgers ebenfalls im Goldenen Schnitt geteilt wird. Weil das Parallelogramm [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] zum Schnittpunkt seiner Diagonalen ist, sind die Grenzwerte der zu den beiden Folgen gehörigen Reihen identisch und füllen spiralförmig die gesamte Fläche des Parallelogramms aus. Die Flächenmaßzahlen der mittleren Parallelogramme konvergieren hierbei gegen Null (''Figur 3'').

Ist h die Höhe auf der längeren Seite des Ausgangsparallelogramms, so hat jede der beiden Dreiecksspiralen die Flächenmaßzahl
::<math>A=\frac{1}{2}\cdot\Phi\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\Phi\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{1}{4}\Phi\sqrt{3}</math>.<ref name="Walser">Hans Walser: ''Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen'', [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH [[Berlin]] 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seite 77</ref>

== Verwendung in der Technik ==
Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die sogenannte [[Parallelogrammführung]]. Beispiele:
<gallery>
Kettenschaltung-einstellen-018.jpg|Schaltparallelogramm einer [[Kettenschaltung]]
Scheibenwischer5.svg|Parallel-[[Scheibenwischer]]
JLG 450 AJ 2.jpg|[[Hubarbeitsbühne]]
Pantograph.jpg|[[Pantograph]]
</gallery>

== Siehe auch ==
* [[Parallelepiped]]
* [[Parallelotop]]
* [[Antiparallelogramm]]

== Literatur ==
* F. Wolff: ''Lehrbuch der Geometrie.'' Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 ([https://books.google.de/books?id=51EoAAAAcAAJ Online-Kopie]).
* P. Kall: ''Lineare Algebra für Ökonomen.'' Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, ISBN 978-3-519-02356-2.
* Wilhelm Killing: ''Lehrbuch Der Analytischen Geometrie.'' Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Parallelograms|Parallelogramm}}
{{Wiktionary}}
{{Wiktionary|Rhomboid}}
* {{MathWorld |id=Parallelogram |title=Parallelogram}}
* {{Webarchiv |url=http://de.bettermarks.com/mathe-portal/mathebuch/flaechen-und-umfangsberechnung-von-allgemeinen-und-speziellen-parallelogrammen.html |wayback=20150111144544 |text=''Flächen- und Umfangsberechnung von allgemeinen und speziellen Parallelogrammen.''}}. Abgerufen am 18. November 2016.
* {{Webarchiv |url=https://www.klett.de/web/uploads/assets/1f/1f19ba2c/742581_02.pdf |wayback=20161119063329 |text=''Parallelogramm und Raute.'' |format=PDF; 225 kB}}. Abgerufen am 18. November 2016.
* {{Webarchiv |url=https://www.uni-regensburg.de/mathematik/didaktik-mathematik/medien/lehre-ws11-12/modschiedler/sem8_ws1112_51762_geo_referat_5.pdf |wayback=20161130154110 |text=''Einführung in das Thema Parallelogramm.'' |format=PDF; 920 kB}}. Abgerufen am 15. Mai 2025.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Viereck]]
[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]

Parallelogramm - Versionsgeschichte

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