imported>Rentenbezieher: - überflüssige Blanks. Konsequent neutral bezeichnet (Hinweis auf maskuline Bezeichnung in Österreich nur in Klammern).

2025-06-26T10:47:08Z

- überflüssige Blanks. Konsequent neutral bezeichnet (Hinweis auf maskuline Bezeichnung in Österreich nur in Klammern).

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<div class="float-right">
</div>
'''Oktaeder''' bedeutet ''Achtflächner'' und bezeichnet in umfassender Bedeutung jedes Polyeder mit acht Seiten. Dazu zählen neben weitgehend unregelmäßigen Polyedern auch:
* (regelmäßige) Siebeneck-Pyramide<ref>{{Internetquelle |autor=Heim, Gunter |url=https://www.rhetos.de/html/lex/siebeneckpyramide.htm |titel=Rhetos Lexikon der Mathematik |abruf=2023-07-13}}</ref>
* (regelmäßiger) Sechseck-Pyramidenstumpf
* (regelmäßiges) Sechseckiges [[Prisma (Geometrie)|Prisma]]<ref>{{Internetquelle |autor=Heim, Gunter |url=https://www.rhetos.de/html/lex/sechseckprisma.htm |titel=Rhetos Lexikon der Mathematik |abruf=2023-07-13}}</ref>
* (regelmäßiger) [[Tetraederstumpf]]
* Viereck-[[Doppelpyramide]]
<gallery>
Datei:01 Siebeneck-Pyramide.svg|Siebeneck-Pyramide
Datei:01 Sechseck-Pyramidenstumpf.svg|Sechseck-Pyramidenstumpf
Datei:Hexagonal Prism red blue.svg|Sechseckprisma
Datei:Truncatedtetrahedron.svg|Tetraederstumpf
Datei:Tetragonal bipyramid.svg|Viereck-Doppelpyramide
</gallery>
Ist das Viereck der Viereck-Doppelpyramide ein Quadrat und sind die Kanten zu den beiden anderen Ecken genauso lang wie die Seiten des Vierecks, so ergibt sich ein regelmäßiger Achtflächner aus kongruenten Seiten, gleichlangen Kanten und gleichen Winkeln in allen Ecken.
Im allgemeinen Sprachgebrauch wird mit Oktaeder nur dieses regelmäßige Polyeder bezeichnet.

Dieser Artikel handelt im Folgenden vom Oktaeder als regelmäßiger Achtflächner.
{{Absatz}}
{| class="wikitable float-right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! colspan="2"| Oktaeder
|-
|colspan="2" style="text-align:center"| [[Datei:120px-Octahedron-slowturn.gif|Animation]]
|-
| Art der Seitenflächen
|style="text-align:center"| gleichseitige Dreiecke
|-
| Anzahl der Flächen
|style="text-align:center"| 8
|-
| Anzahl der Ecken
|style="text-align:center"| 6
|-
| Anzahl der Kanten
|style="text-align:center"| 12
|-
| [[Schläfli-Symbol]]
|style="text-align:center"| {3,4}
|-
| [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|dual]] zu
|style="text-align:center"| [[Würfel (Geometrie)|Hexaeder (Würfel)]]
|-
| [[Körpernetz]]
|style="text-align:center"| [[Datei:Octahedron flat.svg|80px]]
|-
| Anzahl verschiedener Netze
|style="text-align:center"| 11
|-
| Anzahl Kanten in einer Ecke
|style="text-align:center"| 4
|-
| Anzahl Ecken einer Fläche
|style="text-align:center"| 3
|}

Das (auch, v. a. [[Österreichisches Deutsch|österr.]]: der) regelmäßige '''Oktaeder''' [{{IPA|ɔktaˈeːdɐ}}] (von {{grcS|ὀκτάεδρος|oktáedros|de=achtseitig}})<ref>{{Literatur |Autor=[[Wilhelm Pape]], Max Sengebusch (Bearb.) |Titel=Handwörterbuch der griechischen Sprache |Auflage=3. Auflage, 6. Abdruck |Verlag=Vieweg & Sohn |Ort=Braunschweig |Datum=1914 |Online=http://images.zeno.org/Pape-1880/K/big/Pape-1880----02-0317.png |Abruf=2020-03-12}}</ref> ist einer der fünf [[Platonischer Körper|platonischen Körper]], genauer ein regelmäßiges [[Polyeder]] ''(Vielflach'', ''Vielflächner)'' mit
* 8 [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecken]] als [[Seitenfläche]]n
* 12 gleich langen Kanten und
* 6 Ecken, in denen jeweils vier Seitenflächen zusammentreffen

Es ist sowohl eine gleichseitige vierseitige [[Doppelpyramide]] mit [[Quadratisch|quadratischer]] Grundfläche – in seiner Eigenschaft als das regelmäßige [[Kreuzpolytop]] der dritten Dimension – als auch ein gleichseitiges [[Antiprisma]] mit einem [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreieck]] als [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]].

== Symmetrie ==
<div style="float:right;">[[Datei:01 Oktaeder-Quadrate.png|mini|hochkant=0.9|Drei senkrecht zueinander stehende Quadrate, die jeweils die Grundfläche einer Doppelpyramide bilden]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:01 Oktaeder-Symmetrie.png|mini|hochkant=1.1|Oktaeder mit Beispielen der Drehachsen <math>C_4, C_3, C_2</math> und zwei Symmetrieebenen (rot bzw. grün)]]</div>
Wegen seiner hohen [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] – alle [[Ecke]]n, Kanten und [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder ein [[Platonischer Körper|reguläres Polyeder]]. Es hat:
* 3 vierzählige [[Drehachse]]n <math>C_4</math> (durch gegenüberliegende Ecken)
* 4 dreizählige Drehachsen <math>C_3</math> (durch die [[Mittelpunkt]]e gegenüberliegender [[Fläche (Mathematik)|Flächen]])
* 6 zweizählige Drehachsen <math>C_2</math> (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
* 9 [[Symmetrieebene]]n (3 Ebenen durch je vier Ecken (z. B. rot), 6 Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte (z. B. grün))
* 14 [[Drehspiegelung]]en (6 um 90° mit den [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] durch je vier Ecken und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)

und ist
* [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] zum Mittelpunkt.
Insgesamt hat die [[Symmetriegruppe]] des Oktaeders – die [[Oktaedergruppe]] oder Würfelgruppe – 48 Elemente.

== Konstruktion ==
[[Datei:01 Oktaeder-Konstruktion.png|mini|hochkant=1.5|Oktaeder, Konstruktionsskizze]]
[[Euklid]] beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes [[Elemente (Euklid)|''Elemente'']], unter Proposition 14, die Konstruktion des Oktaeders.

{{Zitat
|Text=Ein Oktaeder einer Kugel mit gegebenem Durchmesser einbeschreiben.
Das Quadrat über dem Durchmesser der Kugel ist dann gleich dem doppelten Quadrat
über der Kante des Oktaeders.
|Autor=Euklid
|Quelle=Stoicheia. Buch XIII.14.
|Übersetzung=Rudolf Haller
|ref=<ref name="Haller">[http://www.opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=14&zoom=auto,-12,787 Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.14., S. 14]</ref>}}
Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgende [[Sphärische Geometrie|sphärischen Darstellung]] nur die Schritte, die für das Oktaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenannten [[Dynamische Geometrie|''Dynamische-Geometrie-Software (DGS)'']].

Gegeben sei eine [[Umkugel]], z. B mit dem Radius gleich <math>1</math> und deren Mittelpunkt <math>O</math>. Beim Bestimmen der <math>x-,\; y-</math> und <math>z-</math>Achsen eines kartesischen [[Koordinatensystem]]s ergeben sich die Punkte <math>A,\; B\; C</math> und <math>D</math> auf der Oberfläche der Umkugel.

Vorab ist die Kantenlänge <math>a</math> des Oktaeders als Verbindung des Punktes <math>A</math> mit <math>C</math>, sprich <math>|AC| = a</math>, festzulegen.<ref>[http://www.opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=24&zoom=auto,-93,32 Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.18., S. 24]</ref>

Für die eigentliche Konstruktion reichen vier Hauptschritte aus. Es beginnt mit dem Ziehen des ersten Kreises mit Richtung <math>z-</math>Achse um Mittelpunkt <math>O</math> und Radius <math>|AO|</math>. Anschließend wird der erste Eckpunkt <math>E</math> beliebig auf dem Kreis positioniert. Der darauffolgende zweite (nicht eingezeichnete) Kreis mit Richtung parallel zur <math>z-</math>Achse und Radius gleich der Kantenlänge <math>|CF|</math> um <math>E</math>, erzeugt die Eckpunkte <math>F</math> und <math>H</math>. Der dritte und letzte Kreis mit gleichem Radius und gleicher Richtung um <math>F</math> liefert den noch offenen Eckpunkt <math>G</math>. Nach dem abschließenden Verbinden der betreffenden Eckpunkte ist das Oktaeder <math>EFGHCD</math> fertiggestellt.

== Beziehungen zu anderen Polyedern ==
<div style="float:right;">[[Datei:Sterntetraeder im Würfel.svg|mini|hochkant=1|Bild 2: Zwei regelmäßige Tetraeder in einem Würfel einbeschrieben ergeben ein Sterntetraeder]]</div><div style="float:right;">[[Datei:01 Oktaeder-umschreibt Würfel.svg|mini|hochkant=1|links|Bild 1: Oktaeder (blau) mit [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|dualem]] [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] (grün). Die [[Mittelpunkt]]e (rot) der [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] [[Dreieck]]e sind die Ecken des Würfels.]]</div>
Das Oktaeder ist das zum Hexaeder ([[Würfel (Geometrie)|Würfel]]) [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale]] [[Polyeder]] (Bild 1) und umgekehrt.

Zwei [[Regelmäßiges Tetraeder|regelmäßige Tetraeder]] (siehe Bild 2: ein Tetraeder in Rottönen, das andere in Grüntönen) können in einem [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] so einbeschrieben werden, dass die [[Ecke]]n zugleich Würfelecken und die Kanten [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] der Würfelflächen sind. Die [[Vereinigungsmenge]] ist ein [[Sterntetraeder]].

Die [[Dreidimensional|dreidimensionale]] [[Schnittmenge]] der zwei Tetraeder (Bild 3) ist ein Oktaeder mit halber Seitenlänge. Setzt man auf die 8 [[Seitenfläche]]n des Oktaeders [[Tetraeder]] auf, entsteht ebenfalls ein Sterntetraeder.

Wird ein Oktaeder von einem [[Regelmäßiges Tetraeder|regelmäßigen Tetraeder]] umschrieben (Bild 4), sind die 6 [[Ecke]]n des Oktaeders die [[Mittelpunkt]]e der 6 Tetraederkanten und liegen 4 der 8 Oktaederflächen in den [[Seitenfläche]]n eines der beiden möglichen Tetraeder. Das Oktaeder entsteht also, wenn von einem Tetraeder mit doppelter Kantenlänge 4 Tetraeder mit derselben Seitenlänge abgeschnitten werden.

Mithilfe von Oktaeder und [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] können zahlreiche [[Körper (Geometrie)|Körper]] konstruiert werden, die ebenfalls die [[Oktaedergruppe]] als [[Symmetriegruppe]] haben. So erhält man zum Beispiel

* das [[Oktaederstumpf|abgestumpfte Oktaeder]] mit 8 [[Sechseck]]en und 6 [[Quadrat]]en
* das [[Kuboktaeder]] mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 [[Fläche (Mathematik)|Flächen]], und 12 [[Ecke]]n
* den [[Hexaederstumpf|abgestumpften Würfel]] mit 8 [[Dreieck]]en und 6 [[Achteck]]en

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe [[archimedische Körper]]) und

* das [[Rhombendodekaeder]] mit 8 + 6 = 14 Ecken und 12 [[Raute]]n als Flächen

als [[konvexe Hülle]] einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem [[Würfel (Geometrie)|Würfel]].
<div style="float:left;">[[Datei:Oktaeder im Tetraeder.svg|mini|hochkant=1|Bild 3: Zwei [[Tetraeder]] im [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] haben als [[Dreidimensional|dreidimensionale]] [[Schnittmenge]] ein Oktaeder mit halber Seitenlänge.]]</div><div style="float:left;">[[Datei:01 Tetraeder-umschreibt Oktaeder.png|mini|hochkant=1|Bild 4: Ein [[regelmäßiges Tetraeder]] mit doppelter Seitenlänge umschreibt ein Oktaeder. Die 6 [[Ecke]]n des Oktaeders sind dann die [[Mittelpunkt]]e der 6 Tetraederkanten.]]</div>
{{Absatz}}

== Formeln ==
Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Oktaeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.

{| class="wikitable"
|-
! colspan="3" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Oktaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
|<math> V = \frac{\sqrt{2}}{3} \; a^3 \approx 0{,}471 \cdot a^3 </math>
|rowspan="11"|
[[Datei:01 Oktaeder-Größen.png|400px]]<br /><br />
::: ohne Raumwinkel <math>\Omega</math> in den Ecken
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
|<math> A_O = 2 \sqrt{3}\; a^2 \approx 3{,}464 \cdot a^2 </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Umkugel]]radius'''
|<math> r_u = \frac{a}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 \cdot a </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
|<math> r_k = \frac{a}{2} = 0{,}5 \cdot a </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''
|<math> r_i = \frac{a}{\sqrt{6}}\approx 0{,}408 \cdot a </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Verhältnis von Volumen<br /> zu Umkugelvolumen'''
|<math>\frac{V}{V_{UK}} = \frac{1}{\pi} \approx 0{,}318 </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''Innenwinkel des<br />[[Gleichseitiges Dreieck#Berechnung und Konstruktion|gleichseitigen Dreiecks]]'''
|<math> \alpha = 60^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Winkel zwischen<br />benachbarten Flächen'''
| <math> \beta = 2\arctan\sqrt{2}\approx 109{,}47^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''Winkel zwischen<br />Grundfläche<br /> und Seitenfläche'''
|<math>\gamma =\arctan\sqrt{2}\approx 54{,}73^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Raumwinkel]] in den Ecken'''
| <math>\Omega = 8\arctan\sqrt{2}-2\pi \approx 1{,}35935\,\mathrm{sr}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]'''
| <math> \Psi = \sqrt [3] { \frac{\pi}{3\sqrt{3}} } \approx 0{,}846 </math>
|}

== Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten ==
=== Punkte des Oktaeders ===
[[Datei:Oktaeder-20-10.svg|mini|hochkant=1.2|Regul. Oktaeder]]
Ein Oktaeder mit der Kantenlänge <math>a</math> kann man sich aus zwei quadratischen [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] mit der Quadratlänge und der [[Pyramide (Geometrie)#Geometrische Eigenschaften|Seitenkantenlänge]] gleich <math>a</math> zusammengesetzt denken. Wendet man den Satz von Pythagoras auf die Höhe <math>h</math>, eine halbe Diagonale der Grundfläche und eine Seitenkante an, ergibt sich
:<math>h=\frac {a}{\sqrt{2}} </math>.
Damit lassen sich die Punkte eines regulären Oktaeders mit der Kantenlänge <math>a</math> in einem kartesischen Koordinatensystem so beschreiben:
* <math>\left(\pm\frac a 2, \pm\frac a 2, 0\right),\ \left(0, 0, \pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)</math>

=== Winkel ===
Aus der Zeichnung erkennt man, dass für den Winkel <math>\gamma</math> zwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche <math>\ \tan\gamma=\frac{h}{\frac a 2}=\sqrt{2}\ </math> gilt. Also ist der
[[Datei:Oktaeder-0-0.svg|mini|hochkant=1.2|Regul. Oktaeder: Eigenschaften]]
* ''Winkel'' zwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche gleich
:<math>\gamma = \arctan\sqrt{2} \approx 54{,}73^\circ</math>
und der
* ''Winkel'' zwischen zwei Seitenflächen ist
:<math>\beta = 2\gamma\approx 109{,}47^\circ</math>

=== Um-, In- und Kanten-Kugelradien ===
Die Kugel, die die Kanten des Oktaeders berührt, berührt das Basisquadrat der Pyramide von innen. Also ist der
* ''Kantenkugelradius'' <math>\ r_k=\frac a 2=0{,}5\;a</math>
Die Umkugel geht durch alle Oktaederpunkte und es ist der
* ''Umkugelradius'' <math>\ r_u = h = \frac {a}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71\; a</math>

Der Inkugelradius ist (im Bild) der Abstand des Nullpunktes zur Gerade in der y-z-Ebene durch die Punkte <math>\left(0, \frac a \sqrt{2}\right), \left(\frac a 2, 0\right)</math> . Sie hat die Gleichung <math>2y+\sqrt{2}z-a=0</math>. Berechnet man den Abstand mit Hilfe der [[Hessesche Normalform]] ergibt sich der
* ''Innenkugelradius'' <math>\ r_i=\frac{a}{\sqrt{6}}\approx 0{,}41\;a</math>

=== Oberfläche, Volumen ===
Die Oberfläche des Oktaeders ist die Summe der 8 Dreiecksflächen. Die Fläche eines regelmäßigen 3-Ecks ist
<math>A_3=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\;a^2\ </math>. Damit ist die
* ''Oberfläche'' des Oktaeders: <math>\ A_O=2\sqrt{3}\; a^2</math>.

Das Volumen des Oktaeders ist die Summe der Volumina der 2 quadratischen Pyramiden.
Das Volumen einer Pyramide ist <math>\tfrac{h}{3}a^2=\tfrac{a^3}{3\sqrt{2}}</math> und das
* ''Volumen'' des Oktaeders ist <math>\ V=\frac{\sqrt{2}}{3}\;a^3</math>.

=== Raumwinkel in den Ecken ===
<div style="float:right;">[[Datei:01 Oktaeder-Raumwinkel.svg|mini|hochkant=1.1|Raumwinkel <math>\Omega</math> der Oktaederecke mithilfe der Einheitskugel]]</div>
Der Raumwinkel <math>\Omega</math> ist der Flächeninhalt des in dem Bild durch rote Punkte markierten sphärischen Vierecks der Einheitskugel in der Oktaederecke. Betrachtet man nur die obere Hälfte (Pyramide) des Oktaeders, so erhält man ein sphärisches Dreieck, dessen Winkel in den unteren Punkten jeweils gleich dem halben Winkel <math>\gamma</math> zwischen Seitenflächen des Okteders ist (siehe Bild oben). Der Winkel im oberen Punkt ist gleich dem Winkel <math>\beta=2\gamma</math>. Damit hat das [[Kugeldreieck|sphärische Dreieck den Flächeninhalt]]
:<math>A_3=\gamma+\gamma+2\gamma-\pi=4\gamma-\pi</math>.
Der Raumwinkel <math>\Omega</math> ist der Flächeninhalt des sphärischen Vierecks:
<div style="float:right;">[[Datei:Raumw-oktaeder.svg|mini|hochkant=0.5|Raumwinkel <math>\theta</math>]]</div>
* <math>\Omega=2A_3=8\gamma-2\pi=8\arctan\sqrt{2}-2\pi\approx 1{,}35935\,\mathrm{sr} </math>.
Der Raumwinkel entspricht der Fläche eines [[Kugelsegment]]s auf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel <math>\theta\approx 38{,}4^\circ</math>.

== Definition als Menge von Punkten ==
Das Oktaeder kann als [[Menge (Mathematik)|Menge]] von [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] im [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] definiert werden, wo die [[Summe]] der [[Absoluter Betrag|absoluten Beträge]] der 3 [[Koordinatensystem|Koordinaten]] im [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] höchstens so groß ist wie der [[Umkugel]]radius <math> r_u = \tfrac{a}{\sqrt{2}} </math>. Formal lässt sich diese Menge aufschreiben als
:<math> \left\{x \in \mathbb R^3 \mid \left\|x\right\|_1 \le r_u \right\} = \left\{ (x_1,x_2,x_3) \mid \left\vert x_1 \right\vert + \left\vert x_2 \right\vert + \left\vert x_3 \right\vert \le r_u \right\}</math>

Dabei ist <math> \left\|x\right\|_1 </math> die [[Norm (Mathematik)#Summennorm|Betragssummennorm]] oder 1-Norm des [[Vektor]]s <math> x </math>. Für das Innere des Oktaeders gilt <math> \left\|x\right\|_1 < r_u </math> und für die Oberfläche gilt <math> \left\|x\right\|_1 = r_u </math>. Nach dieser Definition ist der [[Mittelpunkt]] des Oktaeders der [[Koordinatenursprung]] und seine [[Ecke]]n <math> (r_u, 0, 0) </math>, <math> (-r_u, 0, 0) </math>, <math> (0, r_u, 0) </math>, <math> (0, -r_u, 0) </math>, <math> (0, 0, r_u) </math>, <math> (0, 0, -r_u) </math> liegen auf den 3 Achsen des [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]].

Allgemeiner kann ein Oktaeder, das eine beliebige Lage im [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] hat, mithilfe von [[Vektor]]en definiert werden. Ist <math> \vec m </math> der [[Ortsvektor]] des [[Mittelpunkt]]s und sind <math> \vec{u} </math>, <math> \vec v </math>, <math> \vec w </math> [[Orthogonalität|orthogonale]] Richtungsvektoren, die den Mittelpunkt des Oktaeders mit 3 Ecken verbinden, also ein [[Orthogonalsystem]] des [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Vektorraum]]s <math> \mathbb R^3 </math>, dann lässt sich die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der [[Punkt (Mathematik)|Punkte]] des Oktaeders definieren als die Menge der Vektoren<ref>Susumu Onaka, Department of Materials Science and Engineering, Tokyo Institute of Technology: [https://www.researchgate.net/publication/233180064_Simple_equations_giving_shapes_of_various_convex_polyhedra_The_regular_polyhedra_and_polyhedra_composed_of_crystallographically_low-index_planes Simple equations giving shapes of various convex polyhedra: the regular polyhedra and polyhedra composed of crystallographically low-index plane]</ref>
:<math> \left\{\vec m + t_1 \cdot \vec u + t_2 \cdot \vec v + t_3 \cdot \vec w \in \mathbb R^3 \mid \left\|t\right\|_1 \le r_u \right\} = \left\{ \vec m + t_1 \cdot \vec u + t_2 \cdot \vec v + t_3 \cdot \vec w \in \mathbb R^3 \mid \left\vert t_1 \right\vert + \left\vert t_2 \right\vert + \left\vert t_3 \right\vert \le r_u \right\}</math>

== Verallgemeinerung ==
Die Analoga des Oktaeders in beliebiger [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] ''<math> n </math>'' werden als ''<math> n </math>-dimensionale [[Kreuzpolytop]]e'' bezeichnet und sind ebenfalls reguläre [[Polytop (Geometrie)|Polytope]]. Das ''<math> n </math>''-dimensionale Kreuzpolytop hat <math> 2 \cdot n </math> Ecken und wird von <math> 2^n </math> ''<math> n - 1 </math>''-dimensionalen [[Simplex (Mathematik)|Simplexen]] (als ''Facetten'') begrenzt. Das [[4D|vierdimensionale]] Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32 [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreiecke]] als [[Seitenfläche]]n und 16 [[Tetraeder]] als Facetten. Das [[Eindimensional|eindimensionale]] Kreuzpolytop ist eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]], das [[Zweidimensional|zweidimensionale]] Kreuzpolytop ist das [[Quadrat]], das [[Dreidimensional|dreidimensionale]] Kreuzpolytop ist das Oktaeder.

Ein Modell für das ''<math> n </math>''-dimensionale Kreuzpolytop ist die [[Einheitskugel]] bezüglich der [[Summennorm]]
: <math> \left\| x \right \|_1
= \left\vert x_1 \right\vert +\cdots+ \left\vert x_n \right\vert
</math> für <math> x = ( x_1 ,\dots, x_n) \in \mathbb R^n </math>
im [[Vektorraum]] <math>\R^n</math>. Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher
* die Menge
:: <math> \left\{ x \in \mathbb R^n \mid \left\|x\right\|_1 \le 1 \right\}
= \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid \left\vert x_1 \right\vert +\cdots+ \left\vert x_n \right\vert \le 1 \right\}
</math>.
* die [[Konvexe Menge|konvexe]] Hülle der <math>2 \cdot n</math> Eckpunkte <math> \pm e_i </math>, wobei <math> e_i </math> die [[Einheitsvektor]]en sind.
* der [[Schnittmenge|Durchschnitt]] der <math>2^n</math> Halbräume, die durch die [[Hyperebene]]n der Form
:: <math> \pm x_1 \pm \cdots \pm x_n = 1 </math>
: bestimmt werden und den Ursprung enthalten.

Das [[Volumen]] des ''<math> n </math>''-dimensionalen [[Kreuzpolytop]]s beträgt <math> \tfrac{(2 \cdot r)^{n}}{n!} </math>, wobei <math>r > 0</math> der [[Radius]] der [[Kugel]] um den [[Koordinatenursprung]] bezüglich der Summennorm ist. Die Beziehung lässt sich mittels [[Rekursion]] und dem [[Satz von Fubini]] beweisen.<ref>Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler, Technische Universität Berlin: [https://page.math.tu-berlin.de/~henk/preprints/henk%20richter-gebert%20ziegler&basic%20properties%20of%20convex%20polytopes.pdf Basic properties of convex polytopes]</ref>

== Netze des Oktaeders ==
Das Oktaeder hat elf [[Netz (Geometrie)|Netze]]<ref>{{Internetquelle |autor=Eric Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/RegularOctahedron.html |titel=Regular Oktahedron |titelerg=Netze |werk=MathWorld Wolfram |hrsg=A Wolfram Web Resource |abruf=2020-06-27}}</ref>. Das heißt, es gibt elf Möglichkeiten, ein hohles Oktaeder durch Aufschneiden von 5 Kanten aufzuklappen und in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] auszubreiten. Die anderen 7 Kanten verbinden jeweils die 8 [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecke]] des Netzes. Um ein Oktaeder so zu färben, dass keine benachbarten [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 2 Farben.
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:Octahedron flat.svg|mini|265px|Ein [[Netz (Geometrie)|Netz]] des Oktaeders]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:Octaedro desarrollo.gif|mini|200px|[[Animation]] eines Oktaedernetzes]]</div>
{{Absatz}}

== Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen ==
[[Datei:01 Hexaeder umschreibt Oktaeder.png|mini|hochkant=1.2|Färbungen veranschaulicht<br />Oktaeder einbeschrieben vom dualen [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]]]
Das Oktaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten [[Planarer Graph|planaren Graphen]] mit 6 [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]], 12 [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] und 8 Gebieten, der 4-[[Regulärer Graph|regulär]] ist, d. h. von jedem Knoten gehen 4 Kanten aus, sodass der [[Grad (Graphentheorie)|Grad]] für alle Knoten gleich 4 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue [[Geometrisch|geometrische]] Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Oktaedergraphen entsprechen den Ecken des Würfel.

Die [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]] des Oktaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 3 ist. Außerdem können die [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 3 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die [[Kantenfärbung]] gleich 4 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die [[Fläche (Graphentheorie)|Flächen]] oder Gebiete zu bestimmen, ist der [[Dualer Graph|duale Graph]] (Würfelgraph) mit 8 [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]], 12 [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] und 6 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Oktaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe [[bijektive Funktion]] und Abbildung oben). Die Knoten des Würfelgraphen können mit 2 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, sodass die chromatische Zahl des Würfelgraphen gleich 2 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 2 ist, sind 2 Farben für eine solche Flächenfärbung des Oktaeders oder eine Färbung der Gebiete des Oktaedergraphen nötig.<ref>{{Internetquelle |autor=Mike Zabrocki |url=http://garsia.math.yorku.ca/~zabrocki/math3260w03/hw3sln.pdf#page=3&zoom=90,-162,755 |titel=HOMEWORK #3 SOLUTIONS - MATH 3260 |hrsg=York University, Mathematics and Statistics, Toronto |seiten=3 |datum=2003 |format=PDF |abruf=2020-05-31}}</ref>

<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Octahedral graph vertex coloring.svg|mini|230px|[[Knotenfärbung]] des Oktaedergraphen]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Octahedral graph edge coloring.svg|mini|230px|[[Kantenfärbung]] des Oktaedergraphen]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Octahedral graph dual face coloring.svg|mini|230px|Flächenfärbung des Oktaedergraphen mit [[Dualität (Mathematik)|dualer]] Knotenfärbung des Würfelgraphen]]</div>
{{Absatz}}

Die 5 aufgeschnittenen [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] jedes [[Netz (Geometrie)|Netzes]] (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken ([[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]]) einen [[Spannbaum]] des Oktaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige ([[Bijektive Funktion|bijektive]]) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Oktaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als [[Dualer Graph|dualen Graphen]] jeweils einem Baum mit 8 Knoten und 7 Kanten und dem maximalen Knotengrad 3. Jede Fläche des Oktaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede [[Graphentheoretisch|graphentheoretische]] Konstellation (siehe [[Isomorphie von Graphen]]) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Oktaedergraph besitzt 32 [[Hamiltonkreisproblem|Hamiltonkreise]] und 1488 [[Eulerkreisproblem|Eulerkreise]].<ref>{{Internetquelle |autor=Eric Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/OctahedralGraph.html |titel=Octahedral Graph |werk=MathWorld Wolfram |hrsg=A Wolfram Web Resource |abruf=2020-06-27}}</ref>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Octahedral graph-Hamilton circle.svg|mini|230px|Oktaedergraph mit einem der 32 Hamiltonkreise]]</div>
{{Absatz}}

== Raumfüllungen mit Oktaedern ==
Der [[Dreidimensional|dreidimensionale]] [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] kann lückenlos mit [[Platonischer Körper|platonischen Körpern]] oder [[Archimedischer Körper|archimedischen Körpern]] gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalen [[Parkettierung]]en werden ''[[Raumfüllung]]'' genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten Oktaeder:
<gallery>
HC P1-P3.png|Raumfüllung mit Oktaeder und [[Tetraeder]]
HC A3-P3.png|[[Raumfüllung]] mit [[Kuboktaeder]] und Oktaeder
HC A2-P3.png|[[Raumfüllung]] mit [[Hexaederstumpf]] und Oktaeder
</gallery>

== Anwendungen ==
[[Datei:Alaunoktaeder.jpg|mini|Oktaedrische Alaunkristalle]]
[[Datei:Gerades-Oktaeder-Gerüst.JPG|mini|Gerades Oktaeder-Gerüst um einen Zylinder]]
In der [[Chemie]] können sich bei der Vorhersage von [[Molekülstruktur|Molekülgeometrien]] nach dem [[VSEPR-Modell]] oktaedrische [[Molekül]]e ergeben. Auch in [[Kristallstruktur]]en, wie der [[Kubisch-flächenzentriertes Gitter|kubisch flächenzentrierten]] [[Natriumchlorid-Struktur]] (Koordinationszahl 6), taucht das Oktaeder in der [[Elementarzelle]] auf, genauso in der [[Komplexchemie]], falls sich 6 [[Ligand]]en um ein [[Zentralatom]] lagern.

Einige in der Natur vorkommende [[Mineral]]e, z. B. das [[Alaun]] und auch [[Diamant]], [[kristallisieren]] in oktaedrischer Form aus.

In Rollenspielen werden oktaedrische [[Spielwürfel#Formen|Spielewürfel]] verwendet und dort als „W8“, also als Würfel mit 8 Flächen, bezeichnet.

== Siehe auch ==

* [[Oktaederzahl]]en
* [[Diederwinkel]]
* [[Polyeder]]
* [[Platonischer Körper]]
* [[Oktaeder des Grauens]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Octahedron|Oktaeder}}
{{Wiktionary}}
* [http://opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=12&zoom=90,-510,43 Euklid: Stoicheia. Buch XIII.14. Oktaeder einer Kugel ...]
* [http://www.mathematische-basteleien.de/oktaeder.htm ''Oktaeder''.] – Mathematische Basteleien

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Platonische Körper}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=4338158-3}}

[[Kategorie:Platonischer Körper]]

Oktaeder - Versionsgeschichte

imported>Rentenbezieher: - überflüssige Blanks. Konsequent neutral bezeichnet (Hinweis auf maskuline Bezeichnung in Österreich nur in Klammern).