imported>Mathze: /* Klassierte Daten */

2025-09-29T10:11:18Z

Klassierte Daten

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{{Dieser Artikel|beschreibt die Kennzahl von Stichproben. Für den Modus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung siehe [[Modus (Stochastik)]], weitere Bedeutungen sind unter [[Modus]] zu finden.}}
Der '''Modus''' (Plural ''Modi''), auch '''Modalwert''' genannt, ist ein [[Lageparameter (Deskriptive Statistik)|Lageparameter]] in der [[Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]]. Er ist definiert als der Wert, der in der Stichprobe am häufigsten vorkommt.<ref>{{Literatur |Titel=Duden Basiswissen Schule: Mathematik |Auflage=4. |Verlag=Duden Schulbuchverlag |Ort=Berlin / Mannheim /Zürich |Datum=2010 |ISBN=978-3-411-71504-6 |Seiten=343 |Abruf=}}</ref><ref name="Cleff37" /> Werden beispielsweise Klausurnoten einer Schulklasse erhoben, so entspricht der Modus der (den) Note(n), die am häufigsten vergeben wurde(n).

Im Gegensatz zu anderen Lagemaßen hat der Modus den Vorteil, dass er bereits ab [[Nominalskala|Nominalskalenniveau]] existiert. Er ist jedoch im Allgemeinen nicht eindeutig, da in einer Stichprobe mehrere Werte am häufigsten vorkommen können.

== Definition ==
Jede Merkmalsausprägung, die in einer Stichprobe am häufigsten vorkommt, heißt ein ''Modus'' der Stichprobe.<ref name="Bosch20" /> Damit ist ein Modus genau ein Gipfel der entsprechenden [[Häufigkeitsverteilung]].<ref name="Kosfeld68" /> Ein Modus kommt also nicht seltener vor als irgendeine Ausprägung desselben Merkmals.

Als Notationen für den Modus finden sich meist <math> D </math>, <math>x_\text{Mod}</math> oder <math> x_M </math>.

== Beispiele ==
=== Nominalskala ===
In der Stichprobe
: <math> (\text{Zebra}, \text{Elefant}, \text{Giraffe}, \text{Zebra}, \text{Giraffe}, \text{Antilope}) </math>

treten die Merkmalsausprägungen <math> \text{Zebra}, \text{Elefant}, \text{Giraffe} </math> und <math> \text{Antilope} </math> auf. Dabei tritt <math> \text{Antilope} </math> einmal auf, ebenso <math> \text{Elefant} </math>. Sowohl <math> \text{Zebra} </math> als auch <math> \text{Giraffe} </math> treten zweimal auf. Des Weiteren gibt es kein Merkmal, das dreimal oder öfter auftritt. Also ergeben sich als Modi
: <math> D_1= \text{Zebra} </math>

und
: <math> D_2= \text{Giraffe} </math>.

=== Ordinalskala ===
Bei einer Klassenarbeit wurden die Noten
:<math> (\text{befriedigend}, \;\text{sehr gut}, \;\text{befriedigend}, \;\text{gut}, \;\text{gut}, \;\text{ausreichend}, \;\text{mangelhaft}, \;\text{ungenuegend}, \;\text{gut}) </math>

vergeben. Die Noten <math> \text{sehr gut}, \;\text{ausreichend}, \;\text{mangelhaft} </math> und <math> \text{ungenuegend} </math> wurden je einmal vergeben, die Note <math> \text{befriedigend} </math> zweimal und die Note <math> \text{gut} </math> dreimal. Keine Note wurde mehr als dreimal vergeben, also ist der Modus
:<math> D= \text{gut} </math>.

=== Kardinalskala ===
==== Unklassierte Daten ====
Betrachtet man die Stichprobe
: <math> (1, 1, 1, 2, 10, 11, 12, 67, 72) </math>,

so kommen alle Werte bis auf die <math> 1 </math> nur je einmal vor, die <math> 1 </math> jedoch dreimal. Also ist der Modus
: <math> D=1 </math>.

==== Klassierte Daten ====
{{Belege fehlen|1=|2=Der nachfolgende Abschnitt}}
Liegen die Daten [[Klasseneinteilung (Statistik)|klassiert]] vor, dann gibt es zwei Möglichkeiten den Modus zu bestimmen.

# Grobberechnung:
#* Bestimmung der Modalklasse <math>M</math> anhand Häufigkeitsdichten <math> f_i </math> ''(Häufigkeitsdichte = Relative Häufigkeit / Klassenbreite)''
#* Klassenmitte der Modalklasse
# Feinberechnung:
#* Bestimmung der Modalklasse <math> M </math> anhand Häufigkeitsdichten <math> f_i </math>
#* <math> D= x_M^u+\frac{f_M-f_{M-1}}{2\,f_M-f_{M-1}-f_{M+1}} (x_M^o-x_M^u)</math><br />mit <math> x_M^u </math> als untere und <math> x_M^o </math> als obere Klassengrenze der Modalklasse. Fällt die Modalklasse auf die erste oder letzte Klasse, dann werden <math> f_{M-1} </math> bzw. <math> f_{M+1} </math> gleich Null gesetzt.

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
! Klausurpunkte || Note || Abs. Häufigkeit || Rel. Häufigkeit || Häufigkeitsdichte
|-
| 0–20 || 5 || 57 || 0,208 || 0,010
|-
| 20–30 || 4 || 93 || 0,339 || 0,034
|-
| 30–37 || 3 || 92 || 0,336 || 0,048
|-
| 37–46 || 2 || 29 || 0,106 || 0,012
|-
| 46–51 || 1 || 3 || 0,011 || 0,002
|-
| Summe || || 274 || 1,000 ||
|}

Die Modalklasse ist die Klasse mit der größten Häufigkeitsdichte, also '''30–37'''. Die Grobberechnung ergibt dann <math>D=33{,}5</math>, die Feinberechnung <math> D= 30+\tfrac{0{,}048-0{,}034}{2\cdot 0{,}048-0{,}034-0{,}012}\cdot (37-30)= 31{,}96 </math>.

== Eigenschaften und Vergleich ==
[[Datei:Comparison mean median mode.svg|lang=de|mini|hochkant=1|Vergleich zwischen Modus, Median und „Mittel“ (eigentlich: [[Erwartungswert]]) zweier [[Log-Normalverteilung]]en]]
Der Modus ist immer definiert, allerdings im Allgemeinen nicht eindeutig. Beides zeigt das Beispiel unter [[#Nominalskala|Nominalskala]]: Keines der gängigen Lagemaße ist in solch einem allgemeinen Rahmen anwendbar, jedoch treten bei dieser Stichprobe zwei Modi auf. Der Extremfall tritt ein, wenn alle Merkmalsausprägungen in der Stichprobe voneinander verschieden sind: Dann tritt jede genau einmal auf und damit ist jede ein Modus.

Bei Stichproben mit Ordnungsstruktur lässt sich zusätzlich zum Modus noch der [[Median]] definieren. Die beiden müssen nicht übereinstimmen, so wäre im Beispiel unter [[#Ordinalskala|Ordinalskala]] der Median
: <math> M= \text{befriedigend} </math>,

wohingegen der Modus als
: <math> D= \text{gut} </math>

bestimmt wurde. Bei Vorliegen einer Kardinalskala kann zusätzlich noch das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] bestimmt werden. Modus, Median und arithmetisches Mittel können jedoch weit auseinanderliegen. So ist der Modus im Beispiel unter [[#Kardinalskala|Kardinalskala]] zu
: <math> D= 1 </math>

bestimmt worden. Für den Median der Zahlenfolge ''1, 1, 1, 2, '''10,''' 11, 12, 67, 72'' ergibt sich
: <math> m= 10 </math>

und für das arithmetische Mittel
: <math> \overline x= (1+1+1+2+10+11+12+67+72)/9= 19{,}67</math>.

== Aufbauende Begriffe ==
Häufigkeitsverteilungen mit zwei oder mehr Modi werden als [[multimodale Verteilung]]en bezeichnet. Dabei werden Verteilungen mit zwei Modi als [[Bimodale Verteilung|''bimodal'']] bezeichnet. Verteilungen mit lediglich einem Modus werden [[Unimodale Verteilung|''unimodal'']] genannt.

== Charakterisierung der Neigung ==
In Beobachtungsreihen mit ordinal und metrisch skalierten Merkmalen kann der Modalwert als Dichtemittel bezeichnet werden. Im Vergleich mit Median und arithmetischem Mittel kann der Modus die Neigung der Verteilung – ähnlich der [[Schiefe (Statistik)|statistischen Schiefe]] – charakterisieren.<ref name="Wirtz2008" />
Die Modus-Schiefe nach [[Karl Pearson]] ist zum Beispiel definiert als

:<math> \frac{\text{Arithmetisches Mittel} - \text{Modus}}{\text{Standardabweichung}} </math>.

Folgende [[Faustregel]] setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung:<ref name="Hippel" />

* rechtsschiefe (linkssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus < Median < arithmetisches Mittel
* linksschiefe (rechtssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus > Median > arithmetisches Mittel
* unimodale symmetrische Häufigkeitsverteilung: Modus ≈ Median ≈ arithmetisches Mittel

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung/ Lageparameter|<math>\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix}</math>: Mathematik für die Schule |suffix=Lageparameter}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Cleff37">
{{Literatur
|Autor=Thomas Cleff
|Titel=Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse
|TitelErg=Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA
|Auflage=3., überarbeitete und erweiterte
|Verlag=Springer Gabler
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2015
|ISBN=978-3-8349-4747-5
|Seiten=37
|DOI=10.1007/978-3-8349-4748-2}}
</ref>
<ref name="Bosch20">
{{Literatur
|Autor=Karl Bosch
|Titel=Elementare Einführung in die angewandte Statistik
|Auflage=8.
|Verlag=Vieweg
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2005
|Seiten=20}}
</ref>
<ref name="Kosfeld68">
{{Literatur
|Autor=Reinhold Kosfeld, Hans Friedrich Eckey, Matthias Türck
|Titel=Deskriptive Statistik
|TitelErg=Grundlagen – Methoden – Beispiele – Aufgaben
|Auflage=6.
|Verlag=Springer Gabler
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2016
|ISBN=978-3-658-13639-0
|Seiten=68
|DOI=10.1007/978-3-658-13640-6}}
</ref>
<ref name="Wirtz2008">
{{Literatur
|Autor=Markus Wirtz, Christof Nachtigall
|Titel=Deskriptive Statistik – Statistische Methoden für Psychologen
|Auflage=5.
|Verlag=Juventa
|Datum=2008}}
</ref>
<ref name="Hippel">
Paul T. von Hippel: {{Webarchiv |url=http://www.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html |wayback=20200614220127 |text=''Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule.''}}. In: ''Journal of Statistics Education'', Volume 13, Number 2, 2005.
</ref>
</references>

[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]

Modus (Statistik) - Versionsgeschichte

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