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{{Dieser Artikel|behandelt den Mittelpunkt in der Geometrie; zu anderen gleichnamigen Bedeutungen siehe [[Zentrum]], zum Schriftzeichen ''Mittelpunkt'' siehe [[Mittelpunkt (Schriftzeichen)]] und [[Mittelpunkt (Diakritisches Zeichen)]], zu geografischen Mittelpunkten siehe [[Liste geographischer Mittelpunkte]].}}

[[Datei:Mittelpunkte-multi.svg|mini|hochkant=1.5|Beispiele mit Mittelpunkten: Strecke, Kreis, Ellipse, Quader, Kugel, Ellipsoid]]
Der Begriff '''Mittelpunkt''' steht in der Geometrie in engem Zusammenhang zur Punktsymmetrie:<ref>[[Karl Peter Grotemeyer|K. P. Grotemeyer]]: ''Analytische Geometrie.'' Sammlung Göschen, 1962, S. 113.</ref>
* Ist eine Punktmenge <math>\mathcal P</math> in der [[Euklidische Ebene|Ebene]] oder im [[Euklidischer Raum|Raum]] zu genau einem Punkt <math>M</math> [[punktsymmetrisch]], so nennt man <math>M</math> den ''Mittelpunkt'' von <math>\mathcal P</math>.

''Beispiele mit Mittelpunkt:''
# [[Strecke (Geometrie)|Strecke]]
# [[Kreis]], [[Ellipse]], [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]
# [[Quadrat]], [[Rechteck]], [[reguläres Polygon]] mit einer ''geraden'' Anzahl von Ecken
# [[Quader]], [[Kugel]], [[Ellipsoid]], [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]
# [[Torus]]

Quadriken, die einen Mittelpunkt besitzen, nennt man ''Mittelpunktsquadriken''.<ref>Grotemeyer, S. 113</ref>

Beispiele ''ohne'' Mittelpunkt: [[Dreieck]], reguläres Polygon mit einer ungeraden Zahl von Ecken, [[Parabel (Mathematik)|Parabel]], [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]].

Beispiele mit ''mehreren'' Symmetriepunkten: ein paralleles Geradenpaar, ein Zylinder.<br>
Punktmengen, die punktsymmetrisch zu wenigstens ''zwei'' Punkten sind, sind dann auch gegenüber wenigstens einer Verschiebung invariant, da die Hintereinanderausführung zweier Punktspiegelungen eine [[Parallelverschiebung]] (Translation) ist.

Der Begriff Mittelpunkt ist typisch für die [[affine Geometrie]]. [[Projektive Geometrie|Projektiv]] entspricht der Mittelpunkt einer Strecke zwei Punktepaaren in [[Harmonische Teilung|harmonischer Lage]]. Ein Kreis oder Ellipse hat projektiv keinen Mittelpunkt, denn ein nichtausgearteter Kegelschnitt ist projektiv zu ''jedem'' Punkt <math>Z</math> nicht auf dem Kegelschnitt symmetrisch, d. h. es gibt eine [[Zentralkollineation|zentrale Involution]] mit Zentrum <math>Z</math>, die den Kegelschnitt invariant lässt.

In der Physik nennt man den Schwerpunkt von Massen ''[[Massenmittelpunkt]]''.

== Beispiele in Koordinaten ==
;Mittelpunkt einer Strecke
Sind zwei Punkte <math>A=(x_A,y_A)</math> und <math>B=(x_B, y_B)</math> der Ebene in [[Kartesisches Koordinatensystem#Das Koordinatensystem im zweidimensionalen Raum|kartesischen Koordinaten]] gegeben, so hat der Mittelpunkt <math>M</math> der Strecke <math>[AB]</math> die Koordinaten<ref>{{Literatur |Autor=Andreas Filler |Titel=Elementare Lineare Algebra |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2011 |Reihe=Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II |ISBN=978-3-8274-2412-9 |Seiten=55 |Abruf=}}</ref>
:<math>x_M = \frac{x_A+x_B}{2} \;</math>und <math>\; y_M = \frac{y_A + y_B}{2}</math>.
Die Mittelpunktskoordinaten sind also jeweils das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] der Koordinaten der Randpunkte.

Für eine Strecke im Raum mit den Endpunkten <math>A=(x_A,y_A, z_A)</math> und <math>B=(x_B, y_B, z_B)</math> sind die Koordinaten des Mittelpunkts entsprechend gegeben als
:<math>x_M = \frac{x_A+x_B}{2}, \; y_M = \frac{y_A+y_B}{2}, \; z_M = \frac{z_A+z_B}{2} \;</math>.
;Mittelpunkt von Kreis, Ellipse
Der Mittelpunkt des Kreises mit der Gleichung <math>\;(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\;</math> ist <math>M=(x_0,y_0)</math>.<br>
Der Mittelpunkt der Ellipse mit der Gleichung <math>\; \tfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\tfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\; </math> ist <math>M=(x_0,y_0)</math>.<br>
Bei Kugel und Ellipsoid ist jeweils eine Koordinate mehr.
;Torus
Der Torus mit der Gleichung
:<math>\left(x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2\right)^2 = 4R^2\left(x^2+y^2\right)</math>
hat <math>M=(0,0,0)</math> als Mittelpunkt. Die Symmetrie am Nullpunkt ist an dem ausschließlichen Auftreten von Quadraten der Koordinaten leicht zu erkennen.

== Mittelpunkte besonderer Kreise ==
In der Geometrie wird das Wort Mittelpunkt auch zur Kennzeichnung von Mittelpunkten besonderer Kreise geometrischer Objekte verwendet:
# [[Umkreismittelpunkt]], [[Inkreismittelpunkt]] eines Dreiecks.
# [[Krümmungsmittelpunkt]] ist der Mittelpunkt des Krümmungskreises in einem Kurvenpunkt.
# [[Schmiegkreis]]mittelpunkt in einem Kurvenpunkt.

== Siehe auch ==
* [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]
* [[Mittenpunkt]]
* [[Optischer Mittelpunkt]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Centre (geometry)|Mittelpunkt}}
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<References />

[[Kategorie:Euklidische Geometrie]]

Mittelpunkt - Versionsgeschichte

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