~2025-134842: /* Beschreibung */ N ungerade => nix Unter, Ober; Unter, Ober => nix mittl. Stelle; wurde nicht.

2025-07-05T13:17:02Z

Beschreibung: N ungerade => nix Unter, Ober; Unter, Ober => nix mittl. Stelle; wurde nicht.

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{{Dieser Artikel|behandelt den Median in der Statistik. Zum Median einer Wahrscheinlichkeitsverteilung siehe [[Median (Stochastik)]]. Zu weiteren Bedeutungen siehe [[Median (Begriffsklärung)]].}}
In der [[Statistik]] ist der '''Median''' (Plural ''Mediane'') – auch '''Zentralwert''' genannt – ein [[Mittelwert]] und [[Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lageparameter]]. Der Median der Messwerte einer [[Urliste]] ist derjenige Messwert, der genau „in der Mitte“ steht, wenn man die Messwerte der Größe nach sortiert. Beispielsweise ist für die ungeordnete Urliste 4, 1, 37, 2, 1 der Messwert 2 der Median, der in der Mitte stehende Wert der geordneten Urliste 1, 1, 2, 4, 37.

Im Allgemeinen teilt ein Median einen Datensatz, eine Stichprobe oder eine Verteilung so in zwei gleich große Teile, dass die Werte in der einen Hälfte nicht größer als der Median sind und in der anderen nicht kleiner.

== Beschreibung ==
Der Median teilt eine Liste von Werten in zwei Hälften. Er kann auf folgende Weise bestimmt werden:

* Alle Werte werden (aufsteigend) geordnet.
* Wenn die Anzahl der Werte ungerade ist, ist die mittlere Zahl der Median.
* Wenn die Anzahl der Werte gerade ist, wird der Median meist als [[arithmetisches Mittel]] der beiden mittleren Zahlen definiert, die dann '''Unter-''' und '''Obermedian''' heißen.

Eine wichtige Eigenschaft des Medians ist die [[Robuste Schätzverfahren|Robustheit]] gegenüber [[Ausreißer]]n.

* Beispiel: Sieben unsortierte Messwerte 4, 1, 15, 2, 4, 5, 4 werden nach Größe sortiert: 1, 2, 4, '''4''', 4, 5, 15; Der Median ist der Wert an der mittleren Stelle, also 4. Wenn im Beispiel durch einen Fehler eine 4 durch 46 ersetzt würde, änderte der Median sich nicht: 1, 2, 4, '''4''', 5, 15, 46. Das arithmetische Mittel hingegen spränge von 5 auf 11.

== Vergleich mit anderen Maßen der zentralen Tendenz ==
[[Datei:Comparison mean median mode.svg|lang=de|mini|hochkant=1|Vergleich zwischen Modus, Median und „Mittel“ (eigentlich: [[Erwartungswert]]) zweier [[Log-Normalverteilung]]en mit Median 1]]
Der Median ist ein spezielles [[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil]], nämlich das {{Bruch|1|2}}-Quantil. Andere wichtige [[Lageparameter (Deskriptive Statistik)|Lagemaße]] sind das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] und der [[Modus (Statistik)|Modus]].

Im Vergleich zum arithmetischen Mittel, oft Durchschnitt genannt, ist der Median [[Robuste Statistik|robuster]] gegenüber [[Ausreißer]]n (extrem abweichenden Werten) und lässt sich auch auf [[Ordinalskala|ordinal skalierte]] Variablen anwenden. Der Begriff Median (von {{laS|medianus}} ‚in der Mitte befindlich‘, ‚der Mittlere‘) entstammt der [[Geometrie]], wo er ebenfalls eine Grenze zwischen zwei Hälften gleicher Größe bezeichnet.

== Median und arithmetisches Mittel: anschauliches Beispiel ==
In einer Gruppe von zehn Personen haben alle Personen Monatseinkommen in unterschiedlicher Höhe. Eine Person erhält 1.000.000 €, die übrigen neun bekommen 1.000 €, 2.000 €, 3.000 € usw. bis 9.000 €.

Das arithmetische Mittel, der „Durchschnitt“ – das Monatseinkommen jeder der zehn Personen bei gleichmäßiger Aufteilung der Summe aller Einkommen auf sie –, beträgt in diesem Falle 104.500 €. Allerdings verdient nur eine der zehn Personen mehr als diesen Betrag, die neun anderen deutlich weniger.

Der Median dagegen ist 5.500 €. Fünf Personen verdienen mehr als das, fünf Personen weniger.

== Anwendungsbereiche ==
[[Datei:Median notenspiegel.svg|mini|hochkant=1.5|Der Median dieses [[Notenspiegel]]s ist 3−. Etwas weniger als die Hälfte der Ergebnisse ist schlechter; durch Hinzunahme der Notenstufe 3− selbst wird die Hälfte gerade überschritten.]]

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel kann der Median auch für [[Ordinalskala|ordinal skalierte]] Variablen wie beispielsweise Notenstufen, bei denen es keinen quantitativen Abstand gibt, verwendet werden. Aber auch bei [[Intervallskala|intervall-]] und [[Verhältnisskala|verhältnisskalierten]] Daten kann der Median herangezogen werden und hat dann Nachteile und Vorteile gegenüber dem arithmetischen Mittel als Lagemaß.

Für lediglich [[Nominalskala|nominal skalierte]] Variablen, deren Ausprägungen keine natürliche Rangfolge aufweisen, wie zum Beispiel eine Variable ''Geburtsland'', kann der Median nicht angewendet werden. Hier ist der [[Modus (Statistik)|Modalwert]] das einzige Lagemaß, das festgestellt werden kann.

Der Median wird in der Statistik und der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] in drei unterschiedlichen Bedeutungen angewendet:
# als [[Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lagemaß]] der [[Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] zur Beschreibung einer konkreten Liste von [[Stichprobe]]nwerten.
# in der Wahrscheinlichkeitstheorie als Median einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] oder einer [[Zufallsvariable]]n. Hier stellt der Median eine Alternative zum [[Erwartungswert]] für die Angabe eines „mittleren Werts“ dar.
# in der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]] als Median einer [[Zufallsstichprobe]] zur [[Robuste Schätzverfahren|robusten Schätzung]] unbekannter Verteilungen.

== Median einer Stichprobe ==
Ein Wert <math>m</math> ist Median einer [[Stichprobe]], wenn mindestens die Hälfte der Stichprobenelemente nicht größer als <math>m</math> und mindestens die Hälfte nicht kleiner als <math>m</math> ist.

Sortiert man die Beobachtungswerte der Größe nach, das heißt, geht man zur nach dem [[Rang (Statistik)|Rang]] geordneten Stichprobe über, so ist der Median bei einer ungeraden Anzahl von Beobachtungen der Wert der in der Mitte dieser [[Folge (Mathematik)|Folge]] liegenden Beobachtung. Bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen gibt es kein einzelnes mittleres Element, sondern zwei. Hier sind die Werte der beiden mittleren Beobachtungen sowie alle Werte dazwischen (obwohl diese möglicherweise bei keiner Beobachtung aufgetreten sind) Mediane der Stichprobe, da für alle diese Werte obige Bedingung zutrifft.

Bei [[Kardinalskala|kardinal skalierten]] Messgrößen (wenn es also sinnvoll möglich ist, die Differenz von Messwerten zu berechnen) verwendet man im Falle einer geraden Anzahl Beobachtungen meist das arithmetische Mittel der beiden mittleren Beobachtungswerte. Der Median <math>\tilde x</math> einer geordneten Stichprobe <math>(x_1, x_2, \dotsc, x_n)</math> von <math>n</math> Messwerten ist dann also

: <math>\tilde x
=\begin{cases}
x_{m+1} & \text { für ungerades n = 2m+1}\\
\frac{1}{2} (x_m + x_{m+1}) & \text { für gerades n = 2m}
\end{cases}
</math>

Diese Definition hat den Vorteil, dass bei Stichproben aus [[Symmetrische Verteilung|symmetrischen Verteilungen]] das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] und der Median im Erwartungswert identisch sind.<ref>{{MathWorld| id = StatisticalMedian| title = Statistical Median| author = }}</ref>

=== Ober- und Untermedian ===
Oft möchte man sicherstellen, dass der Median ein Element der Stichprobe ist. In diesem Fall wird alternativ zu obiger Definition bei einer geraden Anzahl <math>n = 2m</math> von Elementen entweder der Untermedian <math>\tilde x_u = x_m</math> oder der Obermedian <math>\tilde x_o = x_{m+1}</math> als ''Median'' gewählt. Im Falle einer ungeraden Anzahl <math>n = 2m+1</math> der Beobachtungen gilt natürlich wie oben <math>\tilde x = \tilde x_u = \tilde x_o = x_{m+1}</math>.

Mithilfe von [[Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion|Gauß-Klammern]] lassen sich die Indizes auch relativ kompakt durch <math>n</math> selbst ausdrücken:

: <math>\tilde x_u = x_{\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor}</math>
: <math>\tilde x_o = x_{\left\lceil \frac{n+1}{2} \right\rceil}</math>

Diese Medianbestimmung spielt beispielsweise bei [[Datenbanksystem]]en eine große Rolle, wie z. B. bei [[Selektion (Informatik)|SELECT-Abfragen]] mittels des Medians der Mediane.

=== Eigenschaften ===
Der Median <math>\tilde x</math>, und im Fall einer geraden Anzahl von Messwerten alle Werte <math>\tilde x</math> mit <math>\tilde{x}_u \le \tilde x \le \tilde{x}_o</math>, minimieren die Summe der absoluten Abweichungen, das heißt, für alle <math>x</math> gilt

: <math>\sum_{i=1}^n |\tilde x - x_i| \le \sum_{i=1}^n |x - x_i|.</math>

Der Median ist Grundlage der [[Median-Regression|Methode der kleinsten absoluten Abweichungen]] und Verfahren der [[Robuste Regression|robusten Regression]]. Das arithmetische Mittel dagegen minimiert die [[Summe der Abweichungsquadrate]], ist Grundlage der [[Methode der kleinsten Quadrate]] und der [[Regressionsanalyse]] und ist mathematisch leichter zu handhaben, jedoch nicht robust gegen Ausreißer.

Der Median kann, wie oben beschrieben, algorithmisch bestimmt werden, indem die Messwerte sortiert werden. Das ist im Allgemeinen mit Aufwand <math>\Omega(n \log n)</math> verbunden, nur auf speziellen Klassen von Eingabedaten ist <math>\mathcal{O}(n)</math> möglich (siehe [[Sortieralgorithmus]]). Es gibt aber auch Algorithmen zur Quantilsbestimmung mit linearem [[Worst-Case]]-Aufwand <math>\mathcal{O}(n)</math> sowie Algorithmen zur Abschätzung, beispielsweise die [[Cornish-Fisher-Methode]].

=== Median von gruppierten Daten ===
[[Datei:Bevölkerungspyramide Tansania 2016.png|mini|Bevölkerungspyramide Tansania 2016, der Median liegt bei geschätzt 18 Jahren]]

Vor allem in den [[Sozialwissenschaft]]en wird bei Statistiken häufig der Median geschätzt, da nicht alle Daten explizit und exakt gegeben sind, sondern nur in [[Klasseneinteilung (Statistik)|Intervallen gruppiert]] vorliegen. So wird beispielsweise bei [[Umfrage]]n selten nach dem exakten Gehalt gefragt, sondern nur nach der Einkommensklasse, also dem Bereich, in dem das Gehalt liegt. Wenn nur die Häufigkeiten jeder Klasse bekannt sind, dann lässt sich der Median einer solchen Stichprobe im Allgemeinen nur näherungsweise bestimmen. Es seien <math>n</math> die Anzahl ''aller'' Daten, <math>n_i</math> die jeweilige Anzahl der Daten der <math>i</math>-ten Gruppe und <math>u_i</math> bzw. <math>o_i</math> die entsprechenden unteren bzw. oberen Intervallgrenzen.
Zunächst wird nun die ''mediane Klasse'' (oder ''mediane Gruppe'') bestimmt, d. h., diejenige Gruppe, in die der Median (nach obiger, konventioneller Definition) hineinfällt, z. B. die <math>m</math>-te Gruppe. Die Zahl <math>m</math> ist dadurch bestimmt, dass <math>\textstyle\sum_{k=1}^{m-1} n_k < \frac{n}{2}</math>, aber <math>\textstyle\sum_{k=1}^{m} n_k \geq \frac{n}{2}</math> gilt. Wenn keine weiteren Angaben über die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Verteilung]] der Daten gegeben sind, wird z. B. [[Gleichverteilung]] postuliert, sodass man sich der [[Lineare Interpolation|linearen Interpolation]] als Hilfsmittel bedienen kann, um eine Schätzung des Medians der gruppierten Daten zu erhalten:

: <math>x_\mathrm{med} = u_m + \frac{\frac n2 - \sum\limits_{k=1}^{m-1}n_k}{n_m} \cdot (o_m - u_m)</math>

Wenn keine weiteren Angaben über die Verteilung der Daten gegeben sind, kann auch jede andere Verteilung außer der Gleichverteilung vorliegen und somit kann auch jeder andere Wert im <math>m</math>-ten Intervall der Median sein.

Im Gegensatz zur konventionellen Definition des Medians muss dieser nicht zwangsläufig ein Element aus der tatsächlichen Datenmenge sein, die in aller Regel auch gar nicht bekannt ist.

=== Beispiel ===
''Einkommen'':
{| class="wikitable"
|-
! Klasse (<math>i</math>)
! Bereich (<math>u_i</math> bis <math>o_i</math>)
! Gruppengröße (<math>n_i</math>)
|-
| 1
| mind. 0, weniger als 1500
| 160
|-
| 2
| mind. 1500, weniger als 2500
| 320
|-
| 3
| mind. 2500, weniger als 3500
| 212
|}

Man berechne

: <math>\frac n2 = \frac{212+320+160}2 = \frac{692}2 = 346.</math>

Also liegt der Median in der 2. Klasse (d. h. <math>m=2</math>), da die erste Klasse nur 160 Elemente umfasst. Somit ergibt sich als Schätzung für den Median

: <math>x_\mathrm{med} = 1500 + \frac{346-160}{320} \cdot (2500-1500) = 2081{,}25.</math>

Da die konkrete Verteilung der Daten in den Intervallen unbekannt ist, kann auch jeder andere Wert im 2. Intervall der Median sein. Der beispielhaft errechnete Wert 2081,25 kann daher bis zu 581,25 zu groß und bis zu 418,75 zu klein sein, der Fehler der Schätzung also bis zu 28 % betragen.

Eine Veranschaulichung dieses Verfahrens zur Festlegung des Medians bei gruppierten Daten ist die grafische Ermittlung mit Hilfe der [[Summenkurve]]. Hier wird der [[Abszisse]]nwert <math>x_\mathrm{med}</math> gesucht, der zum [[Ordinate]]nwert <math>\tfrac{n}{2}</math> gehört. Bei kleinerem und geradem <math>n</math> kann stattdessen auch der Ordinatenwert <math>\tfrac{n}{2}+1</math> gewählt werden.

== Andere Varianten ==
* Die [[Wohlfahrtsfunktion]] ist eine Alternative zum Median bei der Ermittlung des Masseneinkommens aus einer gegebenen Einkommensverteilung.
* Eine andere Möglichkeit als der Median, mit extremen Werten umzugehen, ist die Benutzung eines [[Getrimmter Mittelwert|getrimmten Mittelwerts]], den man ermittelt, indem man die kleinsten und größten Werte vor der Berechnung entfernt (typischerweise werden 5 % der Werte weggelassen).<ref>Hans Lohninger: [http://www.statistics4u.com/fundstat_germ/cc_meanval.html ''Grundlagen der Statistik. Mittelwert''.]</ref>
* Nach Butler<ref>{{Literatur |Autor=Christopher Butler |Titel=Statistics in Linguistics |Datum=1985}}</ref> gibt es auch eine strengere Definition von Median (die weniger gebräuchlich ist), die sagt, der Median ist der Wert, für den gilt, ''die Zahl der kleineren Werte in der Reihe ist gleich der Zahl der größeren Werte in der Reihe''. Für Spezialfälle wie 3, 3, 3, 3, 4 oder 1, 2, 3, 3, 3 gibt es ein Verfahren, mit dem man einen eindeutigen Median unter Beibehaltung der strengeren Definition berechnen kann.<ref>{{Internetquelle |url=http://homepage.ruhr-uni-bochum.de/stephen.berman/Statistik/Zentrale-Tendenz.html |titel=Zentrale Tendenz |offline=1 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20130116010101/http://homepage.ruhr-uni-bochum.de/stephen.berman/Statistik/Zentrale-Tendenz.html |archiv-datum=2013-01-16 |abruf=2016-05-09}}</ref>

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung/ Lageparameter|<math>\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix}</math>: Mathematik für die Schule |suffix=Lageparameter}}
{{Wikibooks|Statistik: Lageparameter eines Merkmals mit wenigen verschiedenen Beobachtungen|Ausführliche Erläuterungen zur Berechnung des Medians}}
* Ausnutzung der robusten Eigenschaften des Medians am Beispiel der {{Webarchiv |url=http://diegeodaeten.de/least-median-square.html |text=''Kreisausgleichung.'' |wayback=20100402014311}}.
* {{MathWorld|title=Statistical Median|id=StatisticalMedian}}
* {{EoM |Autor=A.V. Prokhorov |Titel=Median (in statistics) |Url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Median_%28in_statistics%29&oldid=11382}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4652849-0}}

[[Kategorie:Mittelwert]]

Median - Versionsgeschichte

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