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2025-05-25T20:30:49Z

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Als '''mathematische Notation''' bezeichnet man in [[Mathematik]], [[Logik]] und [[Informatik]] die Darstellung von Formeln und anderen [[Mathematisches Objekt|mathematischen Objekten]] mittels [[Mathematische Symbole|mathematischer Symbole]]. Die mathematische Notation entspricht einer [[Sprache]], die [[Formale Sprache|formaler]] ist als viele [[natürliche Sprache]]n und dennoch einige Uneindeutigkeiten enthält, wie sie für natürliche Sprachen charakteristisch sind.

== Bestandteile ==
Die mathematische Notation bedient sich spezieller Symbole
* wie <math>+, \sin, 2, x</math> für [[Mathematisches Objekt|mathematische Objekte]], etwa [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] oder [[Zahl]]en,
* [[Klammer (Zeichen)|Klammern]] für Zuordnungszwecke
* und für den Aufbau von Schablonen.

Bei den Bezeichnungen für mathematische Objekte unterscheidet man
* [[Mathematische Konstante|Konstanten]] (fixierte Werte), also allgemeingültige Bezeichnungen für häufig gebrauchte Objekte wie <math>e, \pi, 0,</math> und
* [[Parameter (Mathematik)|Variablen]] (veränderliche Werte), also zum Beispiel Bezeichnungen für Objekte, die erst noch gefunden werden müssen oder über die man etwas allgemein aussagen möchte.

== Mathematische Zeichen ==
{{Siehe auch|Liste mathematischer Symbole}}

=== Variablennamen ===
In der [[Mathematik]] werden in der Regel Buchstaben als Zeichen verwendet, wenn es sich um veränderliche [[Mathematisches Objekt|Objekte]] handelt. Für den [[Satz (Druck)|Textsatz]] wird meist eine [[Serifen]]schrift verwendet.

''Beispiele'' zu Regelfällen des verwendeten [[Alphabet]]s und des Textsatzes:
* [[Skalar (Mathematik)|Skalare]]: in [[Kursivschrift|kursiver]] Schrift: <math>a=7.</math>
* [[Vektor]]en: teilweise wie Skalare, teilweise mit übergesetztem Pfeil oder halbfett (DIN 1303): <math>\vec F \equiv\boldsymbol F=m \cdot \boldsymbol{a}.</math><br />Früher auch Buchstaben in [[Frakturschrift]]: <math>\mathfrak{F}</math> oder <math>\mathfrak{x} = \left(0\ 2\ 1 \right).</math>
* [[Komplexe Zahl|Komplexe Größen]]: wie reelle Skalare, in den Ingenieurwissenschaften häufig durch waagerechten Strich unter dem Zeichen (DIN 1304 und [[DIN 5483]]): <math>\underline z.</math>
* [[Menge (Mathematik)|Mengen]]: gewöhnliche Großbuchstaben oder bei Zahlenmengen mit [[Buchstabe mit Doppelstrich|Doppelstrich]]: <math>\mathbb{N}, A\cap B.</math>
* [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]]: vorzugsweise Großbuchstaben, gelegentlich halbfett (DIN 1303): <math>\det (M)=4</math>.<br />Früher auch Großbuchstaben in [[Frakturschrift]]: <math>\mathfrak{E} := \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.</math>
Da die Zahl der Buchstaben nicht ausreicht, werden sie oft durch '''Indizes''' (kleine, tiefgestellte Ziffern, Buchstaben oder Symbole) ergänzt: <math>\mathbb{N}_0, \vec F_\text{G}, E_\perp.</math>

=== Weitere Zeichen ===
Andere Zeichen, die z. B. Anweisungen enthalten, bekommen spezielle [[mathematische Symbole]] zugewiesen, die nur zum Teil (ursprünglich) aus Alphabeten stammen.

''Beispiele:''
{|
|Zeichen||Bedeutung||Anwendungsbeispiel
|-
| = ||[[Gleichheitszeichen]]||<math>3^2=9</math>
|-
| < ||[[Vergleichszeichen]] „kleiner als“||<math>a<7</math>
|-
| + ||[[Pluszeichen]]||<math>a+4=7</math>
|-
|<math>\sum</math>||[[Summenzeichen]]||<math>a=\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|<math>\operatorname{Re}</math>||[[Realteil]] einer komplexen Zahl||<math>\operatorname{Re} z</math>
|-
|(   )||[[Klammer (Zeichen)|Klammern]] zur Änderung der Auswertungsreihenfolge ||<math>3a+7 \neq 3(a+7)</math>
|-
|<math>\pi</math>||[[Mathematische Konstante]]||<math>\pi\approx 3{,}14159</math>
|-
|<math>\aleph_0</math>||[[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] der Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]]||<math>\aleph_0 := |\mathbb N|</math>
|}

== Operatornotation ==
Neben der Festlegung, welche Zeichen für die einzelnen [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] verwendet werden (z. B. <math>+</math> für die Addition), ist die Festlegung der Reihenfolge von Operatoren und ihren Operanden wichtig. In der heute üblichen mathematischen Notation sind viele Varianten gemischt:

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
| Name || Beschreibung || Beispiele
|-
| [[Präfixnotation]] || Operator vor Operanden || <math>\sin</math> ([[Sinus]]), <math>\cos</math> ([[Kosinus]]), <math>\ln</math> ([[natürlicher Logarithmus]]), <math>f(x)</math> ([[Funktion (Mathematik)|Funktion]] von x)
|-
| [[Umgekehrte polnische Notation|Postfixnotation]] || Operator nach Operanden || <math>!</math> ([[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]]), <math>'</math> ([[Differentialrechnung|Ableitung]])
|-
| [[Infixnotation]] || Operator zwischen Operanden || <math>=</math> ([[Gleichung|Gleichheit]]), <math>+</math> ([[Addition]]), <math>-</math> ([[Subtraktion]]), <math>\cdot</math> ([[Multiplikation]]), <math>:</math> ([[Division (Mathematik)|Division]]), <math>\circ</math> ([[Komposition (Mathematik)|Verkettung]]), <math>*</math> ([[Faltung (Mathematik)|Faltung]]), <math>\in</math> ([[Element (Mathematik)|Element]] aus), <math><, ></math> ([[Vergleich (Zahlen)|Vergleich]]), <math>\lor</math> ([[Disjunktion]]), <math>\land</math> ([[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]])
|-
| || Symbol über Operanden || <math>\bar{z}</math> ([[Komplexe Konjugation]]), <math>\widehat{f}</math> ([[Fourier-Transformation|Fourier-Symbol]]), <math>\dot{x}</math> (Ableitung)
|-
| || Klammerung des Operanden || <math>\lfloor\cdot\rfloor</math> ([[Gaußklammer]] für [[Rundung|Abrunden]]), <math>\lceil\cdot\rceil</math> ([[Aufrunden]]), <math>|\cdot|</math> ([[Betragsfunktion|Betrag]]), <math>\|\cdot\|</math> ([[Norm (Mathematik)|Norm]]), <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> ([[Skalarprodukt]]), <math>\sqrt{\ \ }</math> ([[Wurzel (Mathematik)|Wurzel]])
|-
| || Operatoranwendung ohne Symbole || <math>ab</math> ([[Multiplikation]]), <math>a^b</math> ([[Potenz (Mathematik)|Potenz]])
|-
| || Andere || <math>\frac{a}{b}</math> ([[Bruchrechnung|Bruch]]), <math>n\choose k</math> ([[Binomialkoeffizient]])
|}

=== Infixnotation ===
{{Hauptartikel|Infixnotation}}

In der [[Arithmetik]] am gebräuchlichsten ist die Infixnotation, bei der der Operator zwischen die Operanden gesetzt wird. Bei ihr wird die Rechenreihenfolge durch die [[Operatorrangfolge|Wertigkeit der Operationen]] („[[Punktrechnung vor Strichrechnung]]“) bestimmt. Durch das Setzen von Klammern kann man Teilausdrücke festlegen, die zuerst berechnet werden müssen. Beispiel:

: <math>(3 + 4 + 5) \cdot 6 \cdot 7 + 8</math>

Ein weiteres Beispiel für eine Infixnotation ist die in der [[Logik]] verwendete [[Peano-Russell-Notation]]:

: <math>(p \rightarrow q) \vee (q \rightarrow p)</math>

=== Präfixnotation ===
{{Hauptartikel|Präfixnotation}}

Ausdrücke in Infixnotation können schnell unübersichtlich werden. In den 1920er Jahren entwickelte deshalb der polnische Logiker und Philosoph [[Jan Łukasiewicz]] die [[polnische Notation]], eine Präfixnotation, die ohne Klammern auskommt. Die Operatoren werden dabei mit Großbuchstaben bezeichnet, z. B. <math>C</math> für die materiale [[Implikation]] ([[Notwendige und hinreichende Bedingung|hinreichende Bedingung]]) und <math>A</math> für die [[Disjunktion]] (Alternative). In polnischer Notation schreibt man den vorgenannten logischen Term so:

: <math>ACpqCqp</math>

=== Postfixnotation ===
{{Hauptartikel|Umgekehrte polnische Notation}}

Bei der Postfix-Notation schreibt man den Operator nach den zu verknüpfenden Argumenten; sie wird daher auch [[umgekehrte polnische Notation]] (UPN) genannt. Gelegentlich dem australischen Philosophen [[Charles Hamblin]] zugeschrieben, war sie mit hoher Wahrscheinlichkeit ebenfalls bereits Łukasiewicz bekannt. In der Logik wurde die UPN nie verwendet, sie erlangte jedoch durch Arbeiten von Hamblin einige Bedeutung in der frühen [[Informatik]] und im frühen [[Compilerbau]], weil sich Ausdrücke in UPN besonders leicht maschinell abarbeiten lassen. Aus demselben Grund übernahm sie die Firma [[Hewlett-Packard]] in den 60er Jahren für ihre wissenschaftlichen [[Taschenrechner]].

=== Andere Varianten ===

Andere klammerfreie Notationen sind die [[Begriffsschriftnotation]] von [[Gottlob Frege]], die Schreibweise des ersten [[Prädikatenlogik|prädikatenlogischen]] Systems überhaupt, sowie die [[Existential Graphs]] von [[Charles S. Peirce]]. Beide weichen zudem stark von den heute gebräuchlichen Notationen ab, weil es sich um graphische, zweidimensionale Schreibweisen handelt.

== Untersuchung mathematischer Notation ==
Mathematische Notation ist Untersuchungsgegenstand unter anderem in folgenden Bereichen:
* [[Semiotik]]
* [[Geschichte der Mathematik]]
* [[Standardisierung]] ([[Deutsches Institut für Normung|DIN]], [[Internationale Organisation für Normung|ISO]])
* [[Computeralgebra]]
* [[Programmiersprache]]n
* [[Künstliche Intelligenz]]
* [[Formale Begriffsanalyse]] und [[Verbandstheorie]]
* [[Mathematikdidaktik]]

== Siehe auch ==
* [[Liste mathematischer Abkürzungen]]

== Literatur ==
* [[Florian Cajori]]: ''A history of mathematical notations.'' 2 Bände, 1928, 1929. Dover Publications, New York 1993, ISBN 0-486-67766-4.

== Weblinks ==
* Jeff Miller: ''[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/ Earliest Uses of Various Mathematical Symbols.]''

[[Kategorie:Mathematische Notation| ]]

[[he:סימון מתמטי]]

Mathematische Notation - Versionsgeschichte

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