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2025-08-29T18:12:36Z

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[[Datei:Reflection of a triangle about the y axis.svg|mini|Achsenspiegelung als Beispiel einer linearen Abbildung]]

Eine '''lineare Abbildung''' (auch '''lineare Transformation''' oder '''Vektorraumhomomorphismus''' genannt) ist in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] ein wichtiger Typ von [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] zwischen zwei [[Vektorraum|Vektorräumen]] über demselben [[Körper (Algebra)|Körper]]. Bei einer linearen Abbildung ist es unerheblich, ob man zwei [[Vektor]]en zuerst addiert und dann deren Summe abbildet oder zuerst die Vektoren abbildet und dann die Bildvektoren addiert. Gleiches gilt für die [[Skalarmultiplikation|Multiplikation]] mit einem Skalar aus dem Grundkörper. Man sagt dann, dass eine lineare Abbildung mit den [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfungen]] Vektoraddition und skalarer Multiplikation ''[[Verträglichkeit (Mathematik)|verträglich]]'' ist. Es handelt sich somit bei der linearen Abbildung um einen [[Homomorphismus]] (strukturerhaltende Abbildung) zwischen Vektorräumen.

Das rechts stehende Beispiel einer [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] an der <math>y</math>-Achse verdeutlicht dies. Der Vektor <math> c</math> ist die Summe der Vektoren <math> a</math> und <math> b</math> und sein [[Bild (Mathematik)|Bild]] ist der Vektor <math> {c'}</math>. Man erhält <math> {c'}</math> aber auch, wenn man die Bilder <math> {a'}</math> und <math> {b'}</math> der Vektoren <math> a</math> und <math> b</math> addiert.

In der [[Funktionalanalysis]], bei der Betrachtung unendlichdimensionaler Vektorräume, die eine [[Topologischer Raum|Topologie]] tragen, spricht man meist von ''[[linearer Operator|linearen Operatoren]]'' statt von linearen Abbildungen. Formal gesehen sind die Begriffe gleichbedeutend. Bei unendlichdimensionalen Vektorräumen ist jedoch die Frage der [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] bedeutsam, während Stetigkeit immer vorliegt bei linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen (jeweils mit der [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]]) oder allgemeiner zwischen endlichdimensionalen [[Hausdorff-Raum|hausdorffschen]] [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]].

== Definition ==
Seien <math>V</math> und <math>W</math> Vektorräume über einem gemeinsamen [[Körper (Algebra)|Grundkörper]] <math> K </math>.
Eine Abbildung <math> f\colon V \to W </math> heißt lineare Abbildung, wenn für alle <math> x,y \in V </math> und <math>a \in K</math> die folgenden Bedingungen gelten:
* <math>f</math> ist [[Homogene Funktion|homogen]]:
*: <math>f\left(a x\right) = a f\left(x\right)</math>
* <math>f</math> ist [[Additive Funktion|additiv]]:
*: <math>f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)</math>

Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen:
:<math>f\left(ax + y\right) = af\left(x\right) + f\left(y\right)</math>
Für <math>y = 0_V</math> geht diese in die Bedingung für die Homogenität und für <math>a = 1_K</math> in diejenige für die Additivität über.

Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der [[Funktionsgraph|Graph]] der Abbildung <math>f</math> ein [[Untervektorraum]] des [[Kartesisches Produkt#Produkt zweier Mengen|kartesischen Produkts]] <math>V\times W</math> ist. Dieses wird dabei als [[Vektorraum#Direktes Produkt|direktes Produkt]] und somit als ein Vektorraum über <math>K</math> betrachtet.

== Erklärung ==
Eine Abbildung ist linear, wenn sie verträglich mit der Vektorraumstruktur ist. Sprich: Lineare Abbildungen vertragen sich sowohl mit der zugrundeliegenden Addition als auch mit der skalaren Multiplikation des Definitions- und Wertebereichs. Die Verträglichkeit mit der Addition bedeutet, dass die lineare Abbildung <math>f\colon V\to W</math> Summen erhält. Wenn wir im [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] eine Summe <math>v_3=v_1+v_2</math> mit <math>v_1,v_2,v_3\in V</math> haben, so gilt <math>f(v_3)=f(v_1)+f(v_2)</math> und damit bleibt diese Summe nach der Abbildung im Wertebereich erhalten:

:<math>\forall v_1,v_2,v_3\in V \Big( v_3=v_1+v_2 \implies f(v_3)=f(v_1)+f(v_2) \Big)</math>

Diese Implikation kann verkürzt werden, indem die Prämisse <math>v_3=v_1+v_2</math> in <math>f(v_3)=f(v_1)+f(v_2)</math> eingesetzt wird. So erhält man die Forderung <math>f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)</math>. Analog kann die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beschrieben werden. Diese ist erfüllt, wenn aus dem Zusammenhang <math>\tilde v=\lambda v</math> mit dem Skalar <math>\lambda \in K</math> und <math>v\in V</math> im Definitionsbereich folgt, dass auch <math>f(\tilde v) = \lambda f(v)</math> im Wertebereich gilt:

:<math>\forall \tilde v,v\in V\,\forall \lambda\in K \Big( \tilde v=\lambda v \implies f(\tilde v) = \lambda f(v) \Big)</math>

Nach Einsetzen der Prämisse <math>\tilde v=\lambda v</math> in die Konklusion <math>f(\tilde v) = \lambda f(v)</math> erhält man die Forderung <math>f(\lambda v) = \lambda f(v)</math>.

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Datei:Compatibility of linear map with addition 1.svg|Visualisierung der Verträglichkeit mit der Vektoraddition: Jedes durch <math>v_1</math>, <math>v_2</math> und <math>v_3=v_1+v_2</math> gegebene Additionsdreieck bleibt durch die lineare Abbildung <math>f</math> erhalten. Auch <math>f(v_1)</math>, <math>f(v_2)</math> und <math>f(v_1+v_2)</math> bildet ein Additionsdreieck und es gilt <math>f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)</math>.
Datei:Compatibility of linear map with addition 2.svg|Bei Abbildungen, die sich nicht mit der Addition vertragen, gibt es Vektoren <math>v_1</math>, <math>v_2</math> und <math>v_3=v_1+v_2</math>, sodass <math>f(v_1)</math>, <math>f(v_2)</math> und <math>f(v_1+v_2)</math> kein Additionsdreieck bilden, weil <math>f(v_1+v_2)\neq f(v_1)+f(v_2)</math> ist. Eine solche Abbildung ist nicht linear.
Datei:Compatibility of linear map with scalar multiplication 1.svg|Visualisierung der Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation: Jede Skalierung <math>\lambda v</math> bleibt durch eine lineare Abbildung erhalten und es gilt <math>f(\lambda v)=\lambda f(v)</math>.
Datei:Compatibility of linear map with scalar multiplication 2.svg|Wenn eine Abbildung nicht verträglich ist mit der skalaren Multiplikation, so gibt es einen Skalar <math>\lambda</math> und einen Vektor <math>v</math>, so dass die Skalierung <math>\lambda v</math> nicht auf die Skalierung <math>\lambda f(v)</math> abgebildet wird. Eine solche Abbildung ist nicht linear.
</gallery>

== Beispiele ==
*Für <math>V = W = \R</math> hat jede lineare Abbildung die Gestalt <math>f(x) = m x</math> mit <math>m \in \R</math>.
*Es sei <math>V = \R^n</math> und <math>W = \R^m</math>. Dann wird für jede <math>m \times n</math>-Matrix <math>A</math> mit Hilfe der [[Matrizenmultiplikation]] eine lineare Abbildung <math style="margin-left:2em">
f \colon \R^n \to \R^m</math> durch

:<math style="margin-left:2em">
f(x) = A \, x =
\begin{pmatrix}
a_{11} & \dots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{m1} & \dots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}
</math><br />definiert. Jede lineare Abbildung von <math>\R^n</math> nach <math>\R^m</math> kann so dargestellt werden.
*Ist <math>I \subset \R</math> ein offenes Intervall, <math>V = C^1(I,\R)</math> der <math>\R</math>-Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf <math>I</math> und <math>W = C^0(I,\R)</math> der <math>\R</math>-Vektorraum der stetigen Funktionen auf <math>I</math>, so ist die Abbildung <br /><math style="margin-left:2em">
D \colon C^1(I,\R) \to C^0(I,\R)</math>, <math>f \mapsto f'
</math>,<br />die jeder Funktion <math>f \in C^1(I,\R)</math> ihre Ableitung zuordnet, linear. Entsprechendes gilt für andere [[Linearer Differentialoperator|lineare Differentialoperatoren]].

<gallery widths="300" heights="200">
Datei:Streckung eines Vektors.gif|Die Streckung <math>f(x,y)=(2x,y)</math> ist eine lineare Abbildung. Bei dieser Abbildung wird die <math>x</math> Komponente um den Faktor <math>2</math> gestreckt.
Datei:Streckung der Summe zweier Vektoren.gif|Diese Abbildung ist additiv: Es ist egal, ob man erst Vektoren addiert und dann abbildet oder ob man erst die Vektoren abbildet und dann addiert: <math>f(a+b)=f(a)+f(b)</math>.
Datei:Streckung homogenitaet Version 3.gif|Diese Abbildung ist homogen: Es ist egal, ob man erst einen Vektor skaliert und dann abbildet oder ob man den Vektor erst abbildet und dann skaliert: <math>f(\lambda a) = \lambda f(a)</math>.
</gallery>

== Bild und Kern ==
Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das [[Bild (Mathematik)|Bild]] und der [[Kern (Algebra)|Kern]] einer linearen Abbildung <math>f\colon V \to W</math>.

* Das Bild <math>\mathrm {im} (f)</math> der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter <math>f</math>, also die Menge aller <math>f(v)</math> mit <math>v</math> aus <math>V</math>. Die Bildmenge wird daher auch durch <math>f(V)</math> notiert. Das Bild ist ein [[Untervektorraum]] von <math>W</math>.

* Der Kern <math>\mathrm{ker}(f)</math> der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus <math>V</math>, die durch <math>f</math> auf den [[Nullvektor]] von <math>W</math> abgebildet werden. Er ist ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die Abbildung <math>f</math> ist genau dann [[Injektivität|injektiv]], wenn der Kern nur den Nullvektor enthält.

== Eigenschaften ==
* Eine lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen <math>V</math> und <math>W</math> bildet den Nullvektor von <math>V</math> auf den Nullvektor von <math>W</math> ab:<br /><math style="margin-left:2em">
f(0_V) = 0_W </math>, denn <math>f\left(0_V\right) = f\left(0 \cdot 0_V\right) = 0 \cdot f\left( 0_V\right) = 0_W.</math>
* Eine Beziehung zwischen Kern und Bild einer linearen Abbildung <math>f\colon V \to W</math> beschreibt der [[Homomorphiesatz]]: Der [[Faktorraum]] <math>V / \mathrm {ker} (f)</math> ist [[isomorph]] zum Bild <math>\mathrm{im}(f)</math>.

== Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ==
=== Basis ===
[[Datei:Injektivität und Surjektivität linearer Abbildungen.svg|mini|Zusammenfassung der Eigenschaften injektiver und surjektiver linearer Abbildungen]]

Eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist durch die Bilder der Vektoren einer [[Basis (Vektorraum)|Basis]] eindeutig bestimmt. Bilden die Vektoren <math>b_1, \dotsc, b_n</math> eine Basis des Vektorraums <math>V</math> und sind <math>w_1, \dotsc, w_n</math> Vektoren in <math>W</math>, so gibt es genau eine lineare Abbildung <math>f \colon V \to W</math>, die <math>b_1</math> auf <math>w_1</math>, <math>b_2</math> auf <math>w_2</math>, …, <math>b_n</math> auf <math>w_n</math> abbildet. Ist <math>v</math> ein beliebiger Vektor aus <math>V</math>, so lässt er sich eindeutig als [[Linearkombination]] der Basisvektoren darstellen:
:<math>v = \textstyle\sum\limits_{j=1}^n v_j b_j</math>

Hierbei sind <math>v_1, \ldots, v_n</math> die [[Vektor#Darstellung in Koordinaten|Koordinaten]] des Vektors <math>v</math> bezüglich der Basis <math>\{b_1, \dotsc, b_n\}</math>. Sein Bild <math>f(v)</math> ist gegeben durch
:<math>f(v) = \textstyle\sum\limits_{j=1}^n v_j f(b_j) = \sum\limits_{j=1}^n v_j w_j.</math>
Die Abbildung <math>f</math> ist genau dann [[Injektivität|injektiv]], wenn die Bildvektoren <math>w_1, \dotsc, w_n</math> der Basis [[linear unabhängig]] sind.
Sie ist genau dann [[surjektiv]], wenn <math>w_1, \dotsc, w_n</math> den Zielraum <math>W</math> [[Erzeugendensystem|aufspannen]].

Ordnet man jedem Element <math>b_1, \dotsc, b_n</math> einer Basis von <math>V</math> einen Vektor <math>w_1, \dotsc, w_n</math> aus <math>W</math> beliebig zu, so kann man mit obiger Formel diese Zuordnung eindeutig zu einer linearen Abbildung <math>f \colon V \to W</math> fortsetzen.

Stellt man die Bildvektoren <math>w_j</math> bezüglich einer Basis von <math>W</math> dar, so führt dies zur Matrixdarstellung der linearen Abbildung.

=== Abbildungsmatrix ===
{{Hauptartikel|Abbildungsmatrix}}

Sind <math>V</math> und <math>W</math> endlichdimensional, <math>\dim V = n</math>, <math>\dim W = m</math>, und sind Basen <math>B = \{b_1, \dotsc, b_n\}</math> von <math>V</math> und <math>B' = \{b_1', \dotsc, b_m'\}</math> von <math>W</math> gegeben, so kann jede lineare Abbildung <math>f \colon V \to W</math> durch eine <math>m \times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>M^B_{B'}(f)</math> dargestellt werden.
Diese erhält man wie folgt:
Für jeden Basisvektor <math>b_j</math> aus <math>B</math> lässt sich der Bildvektor <math>f(b_j)</math> als Linearkombination der Basisvektoren <math>b_1', \dotsc, b_m'</math> darstellen:
: <math>f(b_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} b_i'</math>
Die <math>a_{ij}</math>, <math>i = 1, \dotsc, m</math>, <math> j = 1, \dotsc, n</math> bilden die Einträge der Matrix <math>M^B_{B'}(f)</math>:
: <math>M^B_{B'}(f) = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1j} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots &a_{mj} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}</math>
In der <math>j</math>-ten Spalte stehen also die Koordinaten von <math>f(b_j)</math> bezüglich der Basis <math>B'</math>.

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor <math>f(v)</math> jedes Vektors
<math>v = v_1 b_1 + \dotsb + v_n b_n \in V</math> berechnen:
:<math>f(v) = \sum_{j=1}^n v_j f(b_j) = \sum_{j=1}^n v_j \left(\sum_{i=1}^m a_{ij} b_i' \right) =
\sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n a_{ij} v_j \right)b_i'</math>
Für die Koordinaten <math>w_1, \dotsc, w_m</math> von <math>f(v)</math> bezüglich <math>B'</math> gilt also
:<math>w_i = \sum_{j =1}^n a_{ij} v_j</math>.

Dies kann man mit Hilfe der Matrizenmultiplikation ausdrücken:

:<math>\begin{pmatrix} w_1 \\ \vdots \\w_m \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \,
\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\v_n \end{pmatrix}
</math>
Die Matrix <math>M^B_{B'}(f)</math> heißt ''Abbildungsmatrix'' oder ''Darstellungsmatrix'' von <math>f</math>. Andere Schreibweisen für <math>M^B_{B'}(f)</math> sind <math>_{B'}f_B</math> und <math>_{B'}[f]_B</math>.

=== Dimensionsformel ===
{{Hauptartikel|Rangsatz}}
Bild und Kern stehen über den Dimensionssatz in Beziehung. Dieser sagt aus, dass die Dimension von <math>V</math> gleich der Summe der Dimensionen des Bildes und des Kerns ist:
:<math>\dim V = \dim \mathrm{ker}(f) + \dim \mathrm{im}(f)</math>

== Lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen ==
{{Hauptartikel|Linearer Operator}}

Insbesondere in der [[Funktionalanalysis]] betrachtet man lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen. In diesem Kontext nennt man die linearen Abbildungen meist lineare Operatoren. Die betrachteten Vektorräume tragen meist noch die zusätzliche Struktur eines [[Normierter Raum|normierten]] vollständigen Vektorraums. Solche Vektorräume heißen [[Banachraum|Banachräume]]. Im Gegensatz zum endlichdimensionalen Fall reicht es nicht, lineare Operatoren nur auf einer Basis zu untersuchen. Nach dem [[Bairescher Kategoriensatz|baireschen Kategoriensatz]] hat nämlich eine Basis eines unendlichdimensionalen Banachraums [[überabzählbar]] viele Elemente und die Existenz einer solchen Basis lässt sich nicht konstruktiv begründen, das heißt nur unter Verwendung des [[Auswahlaxiom]]s. Man verwendet daher einen anderen Basisbegriff, etwa [[Orthonormalbasis|Orthonormalbasen]] oder allgemeiner [[Schauderbasis|Schauderbasen]]. Damit können gewisse Operatoren wie zum Beispiel [[Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]] mithilfe „unendlich großer Matrizen“ dargestellt werden, wobei dann auch unendliche Linearkombinationen zugelassen werden müssen.

== Besondere lineare Abbildungen ==
;Monomorphismus: Ein [[Monomorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung <math>f\colon V \to W</math>, die [[Injektivität|injektiv]] ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.
;Epimorphismus: Ein [[Epimorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung <math>f\colon V \to W</math>, die [[Surjektivität|surjektiv]] ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von <math>W</math> ist.
;Isomorphismus: Ein [[Isomorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung <math>f\colon V \to W</math>, die [[bijektiv]] ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix [[Reguläre Matrix|regulär]] ist. Die beiden Räume <math>V</math> und <math>W</math> bezeichnet man dann als isomorph.
;Endomorphismus: Ein [[Endomorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Räume <math>V</math> und <math>W</math> gleich sind: <math>f\colon V \to V</math>. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix.
;Automorphismus: Ein [[Automorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume <math>V</math> und <math>W</math> gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix.

== Vektorraum der linearen Abbildungen ==
[[Datei:Vektorraum linearer Abbildungen.svg|mini|400px|Bildung des Vektorraums L(V,W)]]

Die Menge <math>L(V,W)</math> der linearen Abbildungen von einem <math>K</math>-Vektorraum <math>V</math> in einen <math>K</math>-Vektorraum <math>W</math> -manchmal auch als <math>\text{Hom}_K(V,W)</math> geschrieben- ist ein Vektorraum über <math>K</math>, genauer: ein Untervektorraum des <math>K</math>-Vektorraums aller Abbildungen von <math>V</math> nach <math>W</math>.
Das bedeutet, dass die Summe zweier linearer Abbildungen <math>f</math> und <math>g</math>, komponentenweise definiert durch
: <math> (f+g) \colon x \mapsto f(x) + g(x),</math>
wieder eine lineare Abbildung ist und dass
das Produkt
: <math>(\lambda f) \colon x \mapsto \lambda f(x)</math>
einer linearen Abbildung mit einem Skalar <math>\lambda \in K</math> auch wieder eine lineare Abbildung ist.

Hat <math>V</math> die Dimension <math>n</math> und <math>W</math> die Dimension <math>m</math>, und sind in <math>V</math> eine Basis <math>B</math> und in <math>W</math> eine Basis <math>C</math> gegeben, so ist die Abbildung
:<math>L(V,W) \to K^{m\times n},\ f \mapsto M_C^B(f)</math>
in den [[Matrizenraum]] <math>K^{m\times n}</math> ein Isomorphismus. Der Vektorraum <math>L(V,W)</math> hat also die Dimension <math>m \cdot n</math>.

Betrachtet man die Menge der linearen Selbstabbildungen eines Vektorraums, also den Spezialfall <math>V=W</math>, so bilden diese nicht nur einen Vektorraum, sondern mit der Verkettung von Abbildungen als Multiplikation eine [[assoziative Algebra]], die kurz mit <math>L(V)</math> bezeichnet wird.

== Verallgemeinerung ==
Eine lineare Abbildung ist ein Spezialfall einer [[Affine Abbildung|affinen Abbildung]].

Ersetzt man in der Definition der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen den Körper durch einen [[Ring (Algebra)|Ring]], erhält man einen [[Modulhomomorphismus]].

== Literatur ==
* [[Albrecht Beutelspacher]]: ''Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen.'' 6., durchgesehene und ergänzte Auflage. Vieweg Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-56508-X, S. 124–143.
* Günter Gramlich: ''Lineare Algebra. Eine Einführung für Ingenieure.'' Fachbuchverlag Leipzig im Carl-Hanser-Verlag, München 2003, ISBN 3-446-22122-0.
* Detlef Wille: ''Repetitorium der Linearen Algebra.'' Band 1. 4. Auflage, Nachdruck. Binomi, Springe 2003, ISBN 3-923923-40-6.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildungen, Homomorphismus}}
{{Wikiversity|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I|Vorlesungen über lineare Algebra I}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4167700-6}}

[[Kategorie:Lineare Abbildung| ]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Lineare Abbildung - Versionsgeschichte

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