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2024-07-27T15:59:50Z

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[[Datei:Pyrite from Ampliación a Victoria Mine, Navajún, La Rioja, Spain 2.jpg|miniatur|Würfelförmiger [[Pyrit]], Navajún, La Rioja, Spanien]]
[[Datei:Sphalerite-221270.jpg|miniatur|[[Sphalerit]]stufe (Größe: 2,3 × 2,3 × 1,2 cm) aus der Idarado Mine, Colorado, USA]]
Das '''kubische Kristallsystem''' gehört zu den sieben [[Kristallsystem]]en in der [[Kristallographie]].

Es umfasst alle [[Punktgruppe]]n, die in vier unterschiedlichen Richtungen jeweils eine drei[[Symmetrie (Geometrie) #Rotationssymmetrie / Drehsymmetrie|zählige]] Dreh- oder [[Drehinversion]]s<nowiki></nowiki>achse besitzen. Diese vier dreizähligen Achsen verlaufen in kubischen Kristallen entlang der vier [[Diagonale (Geometrie) #Diagonalen in der Raumgeometrie|Raumdiagonalen]] der [[Elementarzelle]]n, deren Gestalt einem [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] entspricht.

Oft werden auch drei vierzählige Drehachsen als Eigenschaft des kubischen Kristallsystems angegeben. Dies stimmt für das Achsensystem und die abstrakten kubischen Gitter, aber nicht allgemein für [[Kristallstruktur]]en, da es kubische Punktgruppen gibt, die ''keine'' vierzählige Symmetrie besitzen.

== Gittersystem ==
Das kubische Gittersystem hat die [[Holoedrie]] <math>m \bar 3 m</math>. Es gibt nur eine Möglichkeit dafür, dass in einem Gitter unterschiedliche drei[[Symmetrie (Geometrie) #Rotationssymmetrie / Drehsymmetrie|zählige]] Achsen existieren können: als [[Diagonale (Geometrie) #Diagonalen in der Raumgeometrie|Raumdiagonale]]n eines Würfels. Daher hat das kubische Gitter drei [[rechter Winkel|rechte Winkel]] und auch drei gleich lange Achsen:
* <math>a = b = c</math>
* <math>\alpha\ = \beta\ = \gamma\ = 90^\circ</math>
Die Aufstellung erfolgt im Allgemeinen gemäß dem in den [[International Tables for Crystallography]] vorgegebenen Standard.
Das kubische Gittersystem wird abgekürzt mit c (en: ''cubic'').

== {{Anker|Bravaisgitter}} Bravais-Gitter ==
[[Datei:Elementarzelle einer Kubisch primitiven Elementarzelle.png|mini|[[Elementarzelle]] einer Kubisch primitiven Kristallstruktur]]
[[Datei:Elementarzelle einer kubisch raumzentrierten Elementarzelle.png|mini|Elementarzelle einer kubisch raumzentrierten Kristallstruktur]]
[[Datei:Elementarzelle einer kubisch flächenzentrierten Kristallstruktur.png|mini|Elementarzelle einer kubisch flächenzentrierten Kristallstruktur]]
<gallery>
Lattic_simple_cubic.svg|Kubisch primitives Gitter ([[Pearson-Symbolik|Pearson-Symbol]] cP)
Lattice_body_centered_cubic.svg|Kubisch raumzentriertes Gitter (Pearson-Symbol cI)
Lattice_face_centered_cubic.svg|Kubisch flächenzentriertes Gitter (Pearson-Symbol cF)
</gallery>

Im Kubischen gibt es drei [[Bravais-Gitter]], die in der Literatur auch oft mit ihrer englischen Abkürzung bezeichnet werden:
* das primitive Gitter (sc für ''simple cubic'')
* das raum- oder innenzentrierte Gitter (krz bzw. bcc für ''body centered cubic'')
* das flächenzentrierte Gitter (kfz bzw. fcc für ''face centered cubic'').

=== Anmerkungen zur Verwendung des Begriffs Gitter ===
Die Kristallstruktur wird durch ein Gitter und eine Basis beschrieben. Das Gitter (auch [[Raumgitter]] oder Translationsgitter genannt) ist die Menge aller [[Parallelverschiebung|Translation]]s<nowiki></nowiki>vektoren, die einen Kristall in sich selbst überführen. Die Lage der Atome wird durch die Basis beschrieben.

Kristallstrukturen, die nicht nur dasselbe Kristallgitter besitzen, sondern bei denen auch dieselben [[Punktlage|Lagen]] besetzt sind (allerdings mit unterschiedlichen Atomen), bilden einen [[Strukturtyp]]. Außerhalb der Fachliteratur wird dieser Unterschied zwischen Gitter und Strukturtyp nicht immer beachtet.

Wenn es in der Elementarzelle nur ein Atom auf der Lage (0,0,0) gibt, spricht man auch von einem kubisch primitiven (bzw. raumzentrierten oder flächenzentrierten) Gitter als Strukturtyp. Enthält die Basis mehrere Atome, so spricht man auch von ineinandergestellten kubischen Gittern.

Während diese Begriffsverwendung noch vernünftig ist, so gibt es – insbesondere im Internet – auch Begriffe und damit verbundene Vorstellungen, die definitiv falsch sind.
* Die Punkte, die zur Darstellung von Bravais-Gittern verwendet werden, stellen ''keine'' Atome dar. Es gibt nämlich Strukturtypen, bei denen im Ursprung des Gitters kein Atom liegt. (Der bekannteste Strukturtyp mit dieser Eigenschaft ist die [[Hexagonales Kristallsystem#Hexagonal dichteste Kugelpackung|hexagonal dichteste Kugelpackung]] (hcp).)
* Es gibt keine kubisch-primitiven (-raumzentrierten bzw. -flächenzentrierten) Kristallsysteme; der Begriff der Zentrierung bezieht sich einzig und alleine auf ein Gitter.
* Die Begriffe hcp (''hexagonal closed packed'') und ccp (''cubic closed packed'') stehen für [[Dichteste Kugelpackung|Kugelpackung]]en, diese entsprechen Strukturtypen. Die Angaben zu [[Koordinationszahl]]en und [[Packungsdichte]] beziehen sich auch nur auf diese Strukturtypen. Es sind aber keine Gitter. Insbesondere ist fcc nicht gleich ccp! Es gibt nämlich viele weitere Strukturen, die ein kubisch flächenzentriertes Gitter besitzen. Einzig richtig ist, dass die kubisch dichteste Kugelpackung mit einem kubisch flächenzentrierten Gitter beschrieben werden kann.

=== Darstellung durch primitive Gitter ===
Die zentrierten kubischen Gitter können auch durch primitive (allerdings nicht-kubische) Gitter beschrieben werden. Der Zusammenhang zwischen den primitiven und nicht-primitiven Gittervektoren wird in folgender Tabelle zusammengestellt.
Dabei ist <math>a</math> jeweils die [[Gitterkonstante]] und ''nicht'' zwangsläufig die Länge des Vektors <math>\vec{a}</math>. Die Formel zur Berechnung findet man im Artikel zum [[Reziprokes Gitter|Reziproken Gitter]]

{| class="wikitable"
|-
! Gittertyp !! Gittervektoren des realen Gitters !! Gittervektoren des reziproken Gitters
|-
| sc-Gitter || <math> \vec{a} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \vec{b} = a \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \vec{c} = a \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math> || <math> \vec{a}' = \frac{2 \pi}{a}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \vec{b}' =\frac{2 \pi}{a}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \vec{c}' = \frac{2 \pi}{a}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
|-
| bcc-Gitter || <math> \vec{a} = \frac{a}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{b} = \frac{a}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{c} = \frac{a}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} </math> || <math> \vec{a}' = \frac{2\pi}{a} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{b}' = \frac{2\pi}{a} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{c}' = \frac{2\pi}{a} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
|-
| fcc-Gitter || <math> \vec{a} = \frac{a}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{b} =\frac{a}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{c} = \frac{a}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} </math> || <math> \vec{a}' =\frac{2\pi}{a} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{b}' = \frac{2\pi}{a} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{c}' =\frac{ 2\pi}{a} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
|}
Das reziproke Gitter eines sc-Gitters ist also wieder ein sc-Gitter.

Das reziproke Gitter eines fcc-Gitters ist ein bcc-Gitter und umgekehrt.

== Punktgruppen und ihre physikalischen Eigenschaften ==
Das kubische Kristallsystem umfasst die Punktgruppen <math>2 3, \, m \bar 3, \, 4 3 2,\, \bar 4 3 m</math> und <math>m \bar 3 m</math>. Sie bilden die kubische [[Kristallfamilie]] und können mit dem kubischen [[Holoedrie#Holoedrien im dreidimensionalen Raum|Gittersystem]] beschrieben werden.

Zur Beschreibung der kubischen Kristallklassen in [[Hermann-Mauguin-Symbolik]] werden die Symmetrieoperationen bezüglich vorgegebener Richtungen (Blickrichtungen) im Gitter-System angegeben:
* die Blickrichtung des 1. Symbols ist die ''a''-Achse <100>
* die Blickrichtung des 2. Symbols die Raumdiagonale <111>
* die Blickrichtung des 3. Symbols die Flächendiagonale <110>.

Charakteristisch für die kubischen Raumgruppen ist eine 3 (bzw. {{Oberstrich|3}}) an 2. Stelle des Symbols.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe5"
! colspan=8 | Punktgruppe (Kristallklasse)
! colspan=4 | Physikalische Eigenschaften<ref group="Anm." name="Hinweise" />
! rowspan=3 | Beispiele
|- class="hintergrundfarbe5"
! rowspan=2 | Nr.
! rowspan=2 | [[Kristallsystem|Kristallsystem]]
! rowspan=2 | Name
! rowspan=2 | [[Schoenflies-Symbolik|Schoenflies-Symbol]]
! colspan=2 | Internationales Symbol ([[Hermann-Mauguin-Symbolik|Hermann-Mauguin]])
! rowspan=2 | [[Lauegruppe|Laueklasse]]
! rowspan=2 | Zugehörige [[Raumgruppe|Raumgruppen]] (Nr.)
! rowspan=2 | [[Chiralität (Chemie)|Enantiomorphie]]
! rowspan=2 | [[Optische Aktivität]]
! rowspan=2 | [[Pyroelektrizität|Pyroelektrizität]]
! rowspan=2 | [[Piezoelektrizität|Piezoelektrizität]]; [[Frequenzverdopplung|SHG-Effekt]]
|- class="hintergrundfarbe5"
! Voll
! Kurz
|-
| 28
| rowspan="5" | kubisch
| align="left" | [[tetraeder|tetraedrisch]]-[[Pentagondodekaeder|pentagondodekaedrisch]]
| ''T''
| 23
| 23
| rowspan="2" | ''m''{{Oberstrich|3}}
| 195–199
| +
| +
| –
| +
| [[Ullmannit]] [[Natriumbromat]]
|-
| 29
| align="left" | disdodekaedrisch
| ''T''''h''
| 2/''m''{{Oberstrich|3}}
| ''m''{{Oberstrich|3}}
| 200–206
| –
| –
| –
| –
| [[Pyrit]] [[Alaune #Kalialaun|Kalialaun]]
|-
| 30
| align="left" | [[Pentagonikositetraeder|pentagon-ikositetraedrisch]]
| ''O''
| 432
| 432
| rowspan="3" | ''m''{{Oberstrich|3}}''m''
| 207–214
| +
| +
| –
| –
|[[Maghemit]] [[Ye’elimit]]
|-
| 31
| align="left" | hexakistetraedrisch
| ''T''''d''
| {{Oberstrich|4}}3''m''
| {{Oberstrich|4}}3''m''
| 215–220
| –
| –
| –
| +
| [[Sphalerit]] [[Sodalith]]
|-
| 32
| align="left" | hexakisoktaedrisch
| ''O''''h''
| 4/''m''{{Oberstrich|3}}2/''m''
| ''m''{{Oberstrich|3}}''m''
| 221–230
| –
| –
| –
| –
| [[Diamant]] [[Kupfer]]
|- class="hintergrundfarbe1"
| colspan="13" align="left" |
<references group="Anm.">
<ref group="Anm." name="Hinweise">Bei den Angaben zu den physikalischen Eigenschaften bedeutet:
:„'''−'''“ aufgrund der Symmetrie verboten
:„'''+'''“ erlaubt.
Über die Größenordnung der optischen Aktivität, Pyro- und Piezoelektrizität sowie des SHG-Effekts kann rein aufgrund der Symmetrie keine Aussage getroffen werden. Man kann aber davon ausgehen, dass stets eine zumindest schwache Ausprägung der Eigenschaft vorhanden ist.</ref>
</references>
|}

Weitere kubisch kristallisierende, chemische Stoffe siehe [[:Kategorie:Kubisches Kristallsystem]]


== Siehe auch ==
* [[Kubische Anisotropie]]

== Literatur ==
* ''[[International Tables for Crystallography]].'' Vol. A: Theo Hahn (Hrsg.): ''Space-group symmetry.'' Kluwer Academic Publishing Company, Dordrecht u. a. 1983, ISBN 90-277-1445-2.
* D. Schwarzenbach: ''Kristallographie.'' Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67114-5.
* Walter Borchard-Ott: ''Kristallographie. Eine Einführung für Naturwissenschaftler.'' 7. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-78270-4.
* {{Literatur | Autor= [[Will Kleber]], [[Hans-Joachim Bautsch]], [[Joachim Bohm (Kristallograph)|Joachim Bohm]], Detlef Klimm| Titel= Einführung in die Kristallographie| Auflage= 19.| Verlag= Oldenbourg Wissenschaftsverlag| Ort= München| Jahr= 2010| ISBN= 978-3-486-59075-3| Seiten=}}

== Weblinks ==
* [http://gastein-im-bild.info/stein/s_krikub.html kubisches Kristallsystem]
* [http://www.chemieunterricht.de/dc2/kristalle/kubisch2.htm kubische Kristalle einbeschrieben in einen Hexaeder]
* [http://www.ifg.uni-kiel.de/kubische_Formen alle kubische Kristallklassen, ihre Formen und deren stereographische Projektionen (interaktives Java-Applet)]
* [https://lp.uni-goettingen.de/get/text/6652 Berechnung von Packungsdichten verschiedener kubischer Kristalle]
* [[Mineralienatlas: kubisch]] (Wiki)

{{Navigationsleiste Kristallsysteme}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4314776-8}}

[[Kategorie:Kubisches Kristallsystem| ]]
[[Kategorie:Kristallographie]]

Kubisches Kristallsystem - Versionsgeschichte

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