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2025-07-28T01:45:16Z

Koordinatendarstellung

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{{Dieser Artikel|befasst sich mit dem Produkt zweier Vektoren im Raum; für weitere Bedeutungen siehe [[Kreuzprodukt (Begriffsklärung)]].}}

[[Datei:Cross product parallelogram.svg|mini|Kreuzprodukt]]
Das '''Kreuzprodukt''', auch '''Vektorprodukt''', '''vektorielles Produkt''' oder '''äußeres Produkt''', ist eine [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] im dreidimensionalen [[Euklidischer Raum#Euklidische Vektorräume|euklidischen Vektorraum]], die zwei [[Vektor]]en wieder einen Vektor zuordnet. Um es von anderen Produkten, insbesondere vom [[Skalarprodukt]], zu unterscheiden, wird es im deutsch- und englischsprachigen Raum mit einem [[Malzeichen|Malkreuz]] <math>\times</math> als Multiplikationszeichen geschrieben (vgl. Abschnitt ''[[#Schreibweisen|Schreibweisen]]''). Die Bezeichnungen ''Kreuzprodukt'' und ''Vektorprodukt'' gehen auf den Physiker [[Josiah Willard Gibbs]] zurück; die Bezeichnung ''äußeres Produkt'' wurde von [[Hermann Graßmann]] geprägt.<ref>{{Literatur |Autor=Max Päsler |Titel=Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung |Verlag=Walter de Gruyter |Datum=1977 |ISBN=3-11-082794-8 |Seiten=33}}</ref>

Das Kreuzprodukt der Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> ist ein Vektor, der [[Orthogonalität|senkrecht]] auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein [[Rechtssystem (Mathematik)|Rechtssystem]] bildet. Seine Länge entspricht dem [[Flächeninhalt]] des [[Parallelogramm]]s, das von den Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> aufgespannt wird.

In der Physik tritt das Kreuzprodukt an vielen Stellen auf, zum Beispiel im [[Elektromagnetismus]] bei der Berechnung der [[Lorentzkraft]] oder des [[Poynting-Vektor]]s. In der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] wird es bei Drehgrößen wie dem [[Drehmoment]] und dem [[Drehimpuls]] oder bei Scheinkräften wie der [[Corioliskraft]] benutzt.

== Schreibweisen ==
Je nach Land sind für das Vektorprodukt zum Teil unterschiedliche Schreibweisen gebräuchlich. Im englisch- und deutschsprachigen Raum wird für das Vektorprodukt zweier Vektoren <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math> für gewöhnlich die Schreibweise <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> verwendet, in Frankreich und Italien wird dagegen die Schreibweise <math>\vec{a}\wedge\vec{b}</math> bevorzugt. In Russland wird das Vektorprodukt oft als <math>[\vec{a}\ \vec{b}]</math> oder <math>[\vec{a},\vec{b}]</math> notiert.

Die Schreibweise <math>\vec{a}\wedge\vec{b}</math> und die Bezeichnung ''äußeres Produkt'' werden nicht nur für das Vektorprodukt verwendet, sondern auch für die Verknüpfung, die zwei Vektoren einen sogenannten ''Bivektor'' zuordnet, siehe [[Graßmann-Algebra]].

== Geometrische Definition ==
[[Datei:RHR.svg|mini|Rechte-Hand-Regel]]
[[Datei:Flächeninhalt Parallelogramm Kreuzprodukt.png|mini|Flächeninhalt des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms]]
[[Datei:Cross product parallelogram.gif|mini|Abhängigkeit des Kreuzproduktes und seines Betrags vom Winkel]]
Das Kreuzprodukt <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> von zwei Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> im dreidimensionalen Anschauungsraum ist ein Vektor mit folgenden drei Eigenschaften:<ref>{{Literatur |Autor=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=190}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Goebbels, Ritter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden |Auflage=4. |Datum= |Seiten=513}}</ref>

* Der Vektor <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> ist sowohl zu <math>\vec a</math> als auch zu <math>\vec b</math> [[orthogonal]], und damit orthogonal zu der von <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> aufgespannten Ebene.

* Er ist so orientiert, dass <math>\vec a, \vec b</math> und <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> in dieser Reihenfolge ein [[Rechtssystem (Mathematik)|Rechtssystem]] bilden. Mathematisch heißt das, dass die drei Vektoren <math>\vec a, \vec b</math> und <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> gleich orientiert sind wie die Vektoren <math>\vec e_1</math>, <math>\vec e_2</math> und <math>\vec e_3</math> der [[Standardbasis]]. Im physikalischen Raum bedeutet es, dass sie sich wie Daumen, Zeigefinger und abgespreizter Mittelfinger der rechten Hand verhalten ([[Drei-Finger-Regel|Rechte-Hand-Regel]]).

* Der Betrag von <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> gibt den Flächeninhalt des von <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> aufgespannten [[Parallelogramm]]s an. Für <math>\vec a, \vec b \neq \vec 0 </math> lässt sich diese Eigenschaft mithilfe der Formel
*:<math>|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\, |\vec{b}|\, \sin\theta </math>,
:ausdrücken, wobei <math>|\vec a|</math> und <math>|\vec b|</math> die Längen der Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> sind und <math>\sin \theta\,</math> der [[Sinus]] des eingeschlossenen Winkels <math>\theta = \sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> ist.<ref group="A">Ist einer der Vektoren <math>\vec a, \vec b </math> der Nullvektor, so ist <math>\theta = \sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> nicht erklärt.</ref>

Die drei Eigenschaften des Kreuzprodukts lassen sich in einer Formel zusammenfassen:
:<math>
\vec{a}\times\vec{b}
=\begin{cases}\displaystyle
|\vec{a}||\vec{b}|
\sin\theta \, \vec{n}, &\text{falls } \vec a, \vec b \neq \vec 0, \\ \vec 0 & \text{sonst,} \end{cases}
</math>
wobei der Vektor <math>\vec{n}</math> derjenige zu <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math> senkrechte [[Einheitsvektor]] ist, der diese zu einem Rechtssystem ergänzt.

== Darstellung in kartesischen Koordinaten ==
In einem rechtshändigen [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] bzw. im [[Euklidischer Raum|reellen Koordinatenraum]] <math>\R^3</math> mit der Standardorientierung lassen sich die Koordinaten des Kreuzprodukts direkt aus den Koordinaten der beteiligten Vektoren berechnen. Ist <math>\vec a = (a_1, a_2, a_3)^T</math> und <math>\vec b = (b_1, b_2, b_3)^T</math>, so gilt<ref>{{Literatur |Autor=Goebbels, Ritter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden |Datum=2023 |Seiten=513}}</ref>
: <math>
\vec{a}\times\vec{b}
=
\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_2b_3 - a_3b_2 \\
a_3b_1 - a_1b_3 \\
a_1b_2 - a_2b_1
\end{pmatrix}\,.
</math>

Diese Formel für die kartesischen Koordinaten des Kreuzprodukts wird auch zur Definition des Kreuzprodukts verwendet.<ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens et al. |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=709}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]], Boris Springborn |Titel=Lineare Algebra |Auflage=20. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2025 |ISBN=978-3-662-71260-3 |Seiten=317}}</ref>

Ein Zahlenbeispiel:
: <math>
\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 \\
3 \cdot (-7) - 1 \cdot 9 \\
1 \cdot 8 - 2 \cdot (-7)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-6 \\
-30 \\
22
\end{pmatrix}\,.
</math>

Eine Merkregel für diese Formel beruht auf einer symbolischen Darstellung über die [[Determinante]]. Dabei notiert man eine <math>(3 \times 3)</math>-Matrix, in deren erster Spalte die Symbole <math>\vec e_1</math>, <math>\vec e_2</math> und <math>\vec e_3</math> für die [[Standardbasis]] stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors <math>\vec a</math> und die dritte von denen des Vektors <math>\vec b</math> gebildet. Diese Determinante berechnet man nach den üblichen Regeln, zum Beispiel indem man sie nach der ersten Spalte [[Laplacescher Entwicklungssatz|entwickelt]]
:<math>\begin{align}
\vec a \times \vec b &=\det \begin{pmatrix}\vec e_1 & a_1 & b_1 \\ \vec e_2 & a_2 & b_2 \\ \vec e_3 & a_3 & b_3\end{pmatrix}\\
&= \vec e_1 \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}
- \vec e_2 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}
+ \vec e_3 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \\
&= (a_2 \,b_3 - a_3 \, b_2) \, \vec e_1 + (a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3) \, \vec e_2 + (a_1 \, b_2 - \, a_2 \, b_1) \, \vec e_3 \,,
\end{align}
</math>
oder mit Hilfe der [[Regel von Sarrus]]:
:<math>\begin{align}
\vec a \times \vec b &= \det \begin{pmatrix}\vec e_1 & a_1 & b_1 \\ \vec e_2 & a_2 & b_2 \\ \vec e_3 & a_3 & b_3\end{pmatrix}\\
&= \vec e_1 \, a_2 \, b_3 + a_1 \, b_2 \, \vec e_3 + b_1 \, \vec e_2 \, a_3 \\
&\quad - \vec e_3 \, a_2 \, b_1 - a_3 \, b_2 \, \vec e_1 - b_3 \, \vec e_2 \, a_1 \\
&= (a_2 \,b_3 - a_3 \, b_2) \, \vec e_1 + (a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3) \, \vec e_2 + (a_1 \, b_2 - \, a_2 \, b_1) \, \vec e_3 \,.
\end{align}
</math>

Mit dem [[Levi-Civita-Symbol]] <math>\varepsilon_{ijk}</math> schreibt sich das Kreuzprodukt als
: <math> \vec{a}\times\vec{b} = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_i b_j \vec e_k\,.</math>

=== Herleitung der Koordinatendarstellung ===
Führt man im euklidischen Raum ein rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem mit den Basiseinheitsvektoren <math>\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3</math> ein, so erhält man direkt aus der [[#Geometrische Definition|geometrischen Definition]] und der [[#Antikommutativität|Antikommutativität]]

:<math>\begin{array}{lll}
\vec e_1 \times \vec e_1 = \vec 0, & \vec e_1 \times \vec e_2 = \vec e_3, & \vec e_1 \times \vec e_3 = -\vec e_2, \\
\vec e_2 \times \vec e_1 = -\vec e_3, & \vec e_2 \times \vec e_2= \vec 0, & \vec e_2 \times \vec e_3 = \vec e_1, \\
\vec e_3 \times \vec e_1 = \vec e_2, & \vec e_3 \times \vec e_2 = -\vec e_1, & \vec e_3 \times \vec e_3= \vec 0. \\
\end{array}</math>

Drückt man zwei Vektoren <math>\vec a, \vec b</math> mithilfe der Basiseinheitsvektoren aus, so liest sich deren Kreuzprodukt als

:<math>\vec a \times \vec b = \left(a_1 \vec e_1 + a_2 \vec e_2 + a_3\vec e_3\right)\times \left(b_1 \vec e_1 + b_2 \vec e_2 + b_3\vec e_3\right).</math>

Unter Vorwegnahme der Bilinearität des Kreuzprodukts (siehe [[#Eigenschaften|Eigenschaften]]) lässt sich die rechte Seite ausmultiplizieren:

:<math>\vec a \times \vec b =a_1b_1 \left(\vec e_1 \times \vec e_1\right)+a_1b_2 \left(\vec e_1 \times \vec e_2\right)+a_1b_3 \left(\vec e_1 \times \vec e_3\right)+a_2b_1 \left(\vec e_2 \times \vec e_1\right)+a_2b_2 \left(\vec e_2 \times \vec e_2\right)+a_2b_3 \left(\vec e_2 \times \vec e_3\right)+a_3b_1 \left(\vec e_3 \times \vec e_1\right)+a_3b_2 \left(\vec e_3 \times \vec e_2\right)+a_3b_3 \left(\vec e_3 \times \vec e_3\right).</math>

Einsetzen der obigen Kreuzprodukte liefert

:<math>\vec a \times \vec b =a_1b_2 \vec e_3+a_1b_3 \left(-\vec e_2\right)+a_2b_1 \left(-\vec e_3\right)+a_2b_3 \vec e_1+a_3b_1 \vec e_2+a_3b_2 \left(-\vec e_1\right).</math>

Durch Zusammenfassung gleicher Terme erhält man hieraus

:<math>\vec a \times \vec b = (a_2b_3 -a_3b_2)\, \vec e_1 + (a_3b_1-a_1b_3)\,\vec e_2 + (a_1b_2-a_2b_1)\, \vec e_3.</math>

== Eigenschaften ==
[[Datei:Cross product vector.svg|mini|hochkant=0.4|Antikommutativität in einem Rechtssystem]]
Aus der geometrischen Definition ergibt sich für alle Vektoren <math>\vec a, \vec b</math> und alle reellen Zahlen <math>\alpha, \beta</math> direkt:

* <math>\vec a \times \vec a = \vec 0 </math> (alternierend)
* <math>\vec a \times \vec 0 = \vec 0 \times \vec a = \vec 0</math>.

* <math>\vec a \times \vec b = -\, \vec b \times \vec a </math> ([[Antikommutativität]]).
* <math>\vec a \times \vec b = \vec 0 \iff \vec a, \vec b </math> sind linear abhängig.
* <math>|\vec{a}\times\vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|</math> und <math>|\vec a \times \vec b| = |\vec a||\vec b| \iff \vec a \perp \vec b</math>
Das Kreuzprodukt hat folgende Eigenschaften, die man von einer Multiplikation erwartet:

# Es ist homogen in jedem Argument (''gemischtes Assoziativgesetz''):
#:<math>\vec{a}\times(\beta\,\vec{b}) = \beta\,(\vec{a}\times\vec{b}) = (\beta\,\vec{a})\times\vec{b}</math>.
# Es ist additiv in jedem Argument (''gemischte Distributivgesetze''):
#:<math>\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c</math>,
#:<math>(\vec a + \vec b) \times \vec c = \vec a \times \vec c + \vec b \times \vec c</math>.
Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen: Das Kreuzprodukt ist [[Bilineare Abbildung|bilinear]].<ref name="AmannII312313">{{Literatur |Autor=Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]] |Titel=Analysis II |Reihe=Grundstudium Mathematik |Auflage=2. |Verlag=Birkhäuser |Ort=Basel u. a. |Datum=2006 |ISBN=3-7643-7105-6 |Seiten=312–313}}</ref> Da es auch alternierend ist, handelt es sich beim Kreuzprodukt somit um eine alternierende [[Bilinearform]].

=== Jacobi-Identität ===
Das Kreuzprodukt ist nicht [[Assoziativgesetz|assoziativ]]. Stattdessen gilt die [[Jacobi-Identität]], das heißt die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte verschwindet:
:<math>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) +\vec{b}\times (\vec{c}\times\vec{a}) +\vec{c}\times (\vec{a}\times\vec{b}) = \vec{0}</math>

Aufgrund dieser Eigenschaft und den zuvor genannten bildet der <math>\R^3</math> zusammen mit dem Kreuzprodukt eine [[Lie-Algebra]].

=== Beziehung zur Determinante ===
Für jeden Vektor <math>\vec v</math> gilt
:<math> \vec v \cdot (\vec a \times \vec b) = \operatorname{det} (\vec v, \vec a, \vec b) </math>.
Dabei bezeichnet der Malpunkt das [[Skalarprodukt]]. Durch diese Bedingung ist das Kreuzprodukt eindeutig bestimmt:<ref name="AmannII312313" />

Für jeden Vektor <math>\vec v</math> gilt:
Sind zwei Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> gegeben, so gibt es genau einen Vektor <math>\vec c</math>, so dass <math> \vec v \cdot \vec c = \operatorname{det} (\vec v, \vec a, \vec b) </math> für alle Vektoren <math>\vec v</math> gilt. Dieser Vektor <math>\vec c</math> ist <math>\vec a \times \vec b</math>.

=== Graßmann-Identität ===
Für das wiederholte Kreuzprodukt von drei [[Vektor]]en (auch ''doppeltes Vektorprodukt'' genannt<ref>{{Literatur |Autor=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=191}}</ref>) gilt die ''Graßmann-Identität'' (auch ''Graßmannscher Entwicklungssatz'', nach [[Hermann Graßmann]]). Diese lautet:
:<math>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \,\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\, \vec{c}</math>
bzw.
:<math>(\vec{a}\times\vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\, \vec{b}\ - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \,\vec{a},</math>

wobei die Malpunkte das [[Skalarprodukt]] bezeichnen.
In der Physik wird oft die Schreibweise
:<math>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b} \,(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}\,(\vec{a} \cdot \vec{b}) \,,</math>
verwendet. Nach dieser Darstellung wird die Formel auch ''BAC-CAB-Formel'' genannt.
In Indexschreibweise lautet die Graßmann-Identität
:<math>\sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}</math>.
Hierbei ist <math>\varepsilon_{ijk}</math> das [[Levi-Civita-Symbol]] und <math>\delta_{ij}</math> das [[Kronecker-Delta]].

=== Lagrange-Identität ===
Für das [[Skalarprodukt]] von zwei Kreuzprodukten gilt die ''Lagrange-Identität''<ref>{{Literatur |Autor=Gerhard Merziger, Thomas Wirth |Titel=Repetitorium höhere Mathematik |Auflage=6. |Verlag=Binomi-Verlag |Ort=Hannover |Datum=2010 |ISBN=978-3-923923-34-2 |Seiten=134}}</ref>
:<math>(\vec{a}\times\vec{b}) \cdot (\vec{c}\times\vec{d})
= (\vec{a}\cdot\vec{c}) (\vec{b}\cdot\vec{d}) - (\vec{b}\cdot\vec{c}) (\vec{a}\cdot\vec{d})
</math>.
Insbesondere gilt

:<math>(\vec a \times \vec b )\cdot (\vec a \times \vec b ) = |\vec a |^2 |\vec b |^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2</math>.

:

=== Kreuzprodukt aus zwei Kreuzprodukten ===
: <math>\begin{align}
(\vec{a}\times\vec{b}) \times (\vec{c}\times\vec{d})
&=\vec{b} \cdot \det(\vec{a},\vec{c},\vec{d}) - \vec{a} \cdot \det(\vec{b},\vec{c},\vec{d}) \\
&=\vec{c} \cdot \det(\vec{a},\vec{b},\vec{d}) - \vec{d} \cdot \det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})
\end{align}
</math>

Sonderfälle:
: <math>(\vec{a}\times\vec{b}) \times (\vec{b}\times\vec{c})
= \vec{b} \cdot \det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})
</math>

: <math>(\vec{a}\times\vec{b}) \times (\vec{a}\times\vec{c})
= \vec{a} \cdot \det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})
</math>

== Kreuzproduktmatrix ==
Das Kreuzprodukt definiert für einen festen Vektor <math> \vec{w} </math> eine [[lineare Abbildung]], die einen Vektor <math> \vec{v} </math> auf den Vektor <math> \vec{w}\times \vec{v} </math> abbildet. Diese kann mit einem schiefsymmetrischen [[Tensoralgebra|Tensor]] zweiter Stufe [[Dyadisches Produkt#Koordinatenfreie Darstellung|identifiziert werden]]. Bei Verwendung der [[Standardbasis]] <math> \lbrace\vec{e}_1, \vec{e}_2,\vec{e}_3\rbrace </math> entspricht die lineare Abbildung einer [[Matrix (Mathematik)|Matrixoperation]]. Die [[schiefsymmetrische Matrix]]

:<math> {W}=\sum_{i=1}^3 (\vec{w}\times \vec{e}_i)\otimes\vec{e}_i
=\left(\begin{array}{ccc}
0& -w_3& w_2\\
w_3& 0& -w_1\\
-w_2& w_1& 0
\end{array}\right) </math>    mit    <math> \displaystyle\vec{w}
=\sum_{i=1}^3 w_i \vec{e}_i
=\left(\begin{array}{c}
w_1\\
w_2\\
w_3
\end{array}\right) </math>

leistet das Gleiche wie das Kreuzprodukt mit <math> \vec{w} </math>, d. h. <math> {W}\vec{v}=\vec{w}\times \vec{v} </math>:

:<math> \left(\begin{array}{ccc}
0& -w_3& w_2\\
w_3& 0& -w_1\\
-w_2& w_1& 0
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}
-w_3 v_2+w_2 v_3\\
w_3 v_1-w_1 v_3\\
-w_2 v_1+w_1 v_2
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
w_1\\
w_2\\
w_3
\end{array}\right)
\times
\left(\begin{array}{c}
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{array}\right) </math>.
Die Matrix <math>W</math> heißt ''Kreuzproduktmatrix''. Sie wird auch mit <math>[\vec w]_{\times}</math> bezeichnet. In Indexnotation gilt
:<math>W_{ij} = - \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} w_k</math>
mit
:<math>\sum_{j=1}^3 W_{ij} v_j = (\vec w \times \vec v)_i</math>.

Bei gegebener schiefsymmetrischer Matrix <math> {W} </math> gilt

:<math> {W}=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 W_{ij}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j = -W^{{T}} </math>,
wobei <math> {W}^{{T}} </math> die [[Transponierte Matrix|Transponierte]] von <math> {W} </math> ist, und man erhält den zugehörigen Vektor aus
:<math> \vec{w}=-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 W_{ij}\vec{e}_i \times \vec{e}_j </math>.

Hat <math>\vec w</math> die Gestalt <math> \vec{w} = \vec{b}\times\vec{a} </math>, so gilt für die zugehörige Kreuzproduktmatrix:
:<math> {W} = [\vec w]_{\times}= \vec{a}\otimes\vec{b}-\vec{b}\otimes\vec{a} </math> und <math> W_{ij}= a_i b_j - b_i a_j </math> für alle <math>i, j</math>.
Hierbei bezeichnet „<math>\otimes</math>“ das [[Dyadisches Produkt|dyadische Produkt]].

== Polare und axiale Vektoren ==
Bei der Anwendung des Kreuzprodukts auf vektorielle [[physikalische Größe]]n spielt die Unterscheidung in ''polare'' oder ''Schubvektoren'' (das sind solche, die sich wie Differenzen zweier Ortsvektoren verhalten, zum Beispiel [[Geschwindigkeit]], [[Beschleunigung]], [[Kraft]], [[elektrische Feldstärke]]) einerseits und ''axiale'' oder ''Drehvektoren'', auch ''[[Pseudovektor]]en'' genannt, andererseits (das sind solche, die sich wie Drehachsen verhalten, zum Beispiel [[Winkelgeschwindigkeit]], [[Drehmoment]], [[Drehimpuls]], [[magnetische Flussdichte]]) eine wichtige Rolle.

Polaren oder Schubvektoren ordnet man dabei die ''Signatur'' (oder ''Parität'') +1 zu, axialen oder Drehvektoren die Signatur −1. Bei der vektoriellen Multiplikation zweier Vektoren schließlich multiplizieren sich diese Signaturen: zwei Vektoren mit gleicher Signatur liefern ein axiales, zwei mit verschiedener Signatur ein polares Vektorprodukt. Operationell ausgedrückt: Ein Vektor überträgt seine Signatur auf das Kreuzprodukt mit einem anderen Vektor, wenn dieser axial ist; ist der andere Vektor dagegen polar, bekommt das Kreuzprodukt die entgegengesetzte Signatur.

== Vom Kreuzprodukt abgeleitete Operationen ==
=== Spatprodukt ===
{{Hauptartikel|Spatprodukt}}

Die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form
:<math>(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math>
wird als Spatprodukt bezeichnet. Das Ergebnis ist eine Zahl, die dem orientierten Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten [[Parallelepiped|Spats]] (Parallelepipeds) entspricht. Das Spatprodukt lässt sich auch als Determinante der benannten drei Vektoren darstellen

:<math>V = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \det \left(\vec a, \vec b, \vec c\right). </math>

=== Rotation ===
{{Hauptartikel|Rotation eines Vektorfeldes}}

In der [[Vektoranalysis]] wird das Kreuzprodukt zusammen mit dem [[Nabla-Operator]] <math>\nabla</math> verwendet, um den [[Differentialoperator]] „Rotation“ zu bezeichnen.
Ist <math>\vec V</math> ein [[Vektorfeld]] im <math>\R^3</math>, so ist
:<math>
\operatorname{rot}\vec{V} =
\nabla \times \vec{V} =
\begin{pmatrix}
\frac \partial {\partial x_1} \\[.5em]
\frac \partial {\partial x_2}\\[.5em]
\frac \partial {\partial x_3}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}V_1\\[.5em] V_2\\[.5em] V_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x_2} V_3 - \frac{\partial}{\partial x_3} V_2 \\[.5em]
\frac{\partial}{\partial x_3} V_1 - \frac{\partial}{\partial x_1} V_3 \\[.5em]
\frac{\partial}{\partial x_1} V_2 - \frac{\partial}{\partial x_2} V_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial V_3}{\partial x_2} - \frac{\partial V_2}{\partial x_3} \\[.5em]
\frac{\partial V_1}{\partial x_3} - \frac{\partial V_3}{\partial x_1} \\[.5em]
\frac{\partial V_2}{\partial x_1} - \frac{\partial V_1}{\partial x_2}
\end{pmatrix}
</math>
wieder ein Vektorfeld, die Rotation von <math>\vec V</math>.

Formal wird dieses Vektorfeld also als Kreuzprodukt des Nabla-Operators und des Vektorfelds <math>\vec V</math> berechnet.
Die hierbei auftretenden Ausdrücke <math>\tfrac \partial {\partial x_i} V_j</math> sind jedoch keine Produkte, sondern Anwendungen des Differentialoperators <math>\tfrac \partial {\partial x_i} </math> auf die Funktion <math>V_j</math>. Deshalb sind die oben angeführten Rechenregeln wie z. B. die Graßmann-Identität in diesem Fall nicht gültig. Stattdessen gelten für doppelte Kreuzprodukte mit dem Nabla-Operator [[Nabla-Operator#Rechenregeln|besondere Rechenregeln]].

== Kreuzprodukt im n-dimensionalen Raum ==
Das Kreuzprodukt lässt sich für beliebige Dimension <math>n \ge 2</math> auf den <math>n</math>-dimensionalen Raum <math>\mathbb{R}^n</math> verallgemeinern. Dabei ist das Kreuzprodukt im <math>\mathbb{R}^n</math> kein Produkt von zwei Faktoren, sondern von <math>n-1</math> Faktoren.

Das Kreuzprodukt <math>\vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}</math> der Vektoren <math>\vec a_1, \dots , \vec a_{n-1} \in \R^n</math> ist dadurch charakterisiert, dass für jeden Vektor <math>\vec v \in \R^n</math> gilt
:<math> \vec v \cdot (\vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}) = \operatorname{det} (\vec v, \vec a_1, \dots, \vec a_{n-1}). </math>

In Koordinaten lässt sich das Kreuzprodukt im <math>\R^n</math> wie folgt berechnen.
Es sei <math>\vec e_i </math> der zugehörige <math>i</math>-te [[Standardbasis|kanonische Einheitsvektor]]. Für <math>n-1</math> Vektoren
: <math>
\vec a_1
=
\begin{pmatrix}a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1}\end{pmatrix}, \
\vec a_2
=
\begin{pmatrix}a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n2}\end{pmatrix}, \
\dots, \
\vec a_{n-1}
=
\begin{pmatrix}a_{1\, (n-1)} \\ a_{2\, (n-1)} \\ \vdots \\ a_{n\, (n-1)}\end{pmatrix} \in \R^n
</math>
gilt
:<math> \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1} = \det
\begin{pmatrix}
\vec e_1 & a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} \\
\vec e_2 & a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\vec e_n & a_{n1} & \dots & a_{n(n-1)}
\end{pmatrix},
</math>
analog zu der [[#Komponentenweise Berechnung|oben erwähnten Berechnung]] mit Hilfe einer Determinante.

Der Vektor <math> \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}</math> ist orthogonal zu
<math>\vec a_1,\vec a_2, \dotsc , \vec a_{n-1}</math>. Die Orientierung ist so, dass die Vektoren
<math> \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}, \vec a_1,\vec a_2, \dotsc , \vec a_{n-1}</math> in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden.
Der Betrag von <math> \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}</math> ist gleich dem <math>(n-1)</math>-dimensionalen Volumen des von <math>\vec a_1,\vec a_2, \dotsc , \vec a_{n-1}</math> aufgespannten [[Parallelotop]]s.

Für <math>n = 2</math> erhält man dabei kein Produkt, sondern nur eine lineare Abbildung
: <math>\R^2 \to \R^2; \
\begin{pmatrix} a_1 \\a_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a_2 \\ -a_1 \end{pmatrix}</math>,
die Rotation um 90° im Uhrzeigersinn.

Hieran ist auch zu erkennen, dass die Komponentenvektoren des Kreuzprodukts inklusive des Ergebnisvektors in ''dieser'' Reihenfolge – anders als aus dem <math>\R^3</math> gewohnt – im Allgemeinen ''kein'' Rechtssystem bilden; diese entstehen nur in reellen [[Vektorraum|Vektorräumen]] mit ungeradem <math>n</math>, bei geraden <math>n</math> bildet der Ergebnisvektor mit den Komponentenvektoren ein Linkssystem. Dies liegt wiederum daran, dass die [[Basis (Vektorraum)|Basis]] <math>( \vec a_1, \vec a_2, \dotsc, \vec a_{n-1}, \vec a_1 \times \vec a_2 \times \dotsb \times \vec a_{n-1})</math> in Räumen geradzahliger Dimension nicht dasselbe ist wie die Basis <math>(\vec a_1 \times \vec a_2 \times \dotsb \times \vec a_{n-1}, \vec a_1, \vec a_2, \dotsc, \vec a_{n-1})</math>, die per Definition (siehe oben) ein [[Rechtssystem (Mathematik)|Rechtssystem]] ist. Zwar würde eine kleine Veränderung der Definition dazu führen, dass die Vektoren in der erstgenannten Reihenfolge im <math>\R^n</math> stets ein Rechtssystem bilden, nämlich wenn in der symbolischen Determinante die Spalte der Einheitsvektoren ganz nach rechts gesetzt würde, diese Definition hat sich allerdings nicht durchgesetzt.

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung führt auf die [[Graßmann-Algebra|Graßmann-Algebren]]. Anwendung finden diese Algebren etwa in Formulierungen der [[Differentialgeometrie]], welche die rigorose Beschreibung der klassischen Mechanik ([[Symplektische Mannigfaltigkeit]]en), der [[Quantengeometrie]] sowie in allererster Linie der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] erlaubt. In der Literatur wird das Kreuzprodukt im höherdimensionalen und ggf. gekrümmten Raum meist indexweise mit [[Levi-Civita-Symbol]] ausgeschrieben.

== Kreuzprodukt in komplexwertigen Vektorräumen ==
Behandelt man Vektoren aus komplexen Vektorräumen, z. B. in <math>\mathbb{C}^3</math>, muss das Kreuzprodukt entsprechend angepasst werden. Die konkrete Realisation hängt dabei von der gewählten Definition des [[Standardskalarprodukt|komplexen Skalarprodukts]] ab. Wählt man das Standardskalarprodukt zweier Vektoren <math> x, y \in \mathbb{C}^3</math>, bei dem der erste Vektor als [[komplexe Konjugation]] eingeht:
:<math>\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle := \overline{x_1} y_1 + \overline{x_2} y_2 + \dotsb + \overline{x_n} y_n = \sum_{i=1}^n \overline{x_i} y_i = \vec{x}^H\vec{y}</math>,
dann wird das Kreuzprodukt wie im <math>\mathbb{R}^3</math> berechnet und das Ergebnis anschließend komplex konjugiert:
:<math>
\vec{x}\times\vec{y}
=
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}
=

\begin{pmatrix}
\overline{x_2y_3 - x_3y_2} \\
\overline{x_3y_1 - x_1y_3} \\
\overline{x_1y_2 - x_2y_1}
\end{pmatrix}\,.
</math>

== Anwendungen ==
Das Kreuzprodukt findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik, unter anderem bei folgenden Themen:

* Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen und Dreiecken im Raum

* Berechnung eines [[Normalenvektor#Normale und Normalenvektor einer Ebene|Normalenvektors einer Ebene]]

* Berechnung des [[Drehmoment]]s, des [[Drehimpuls]]es, der [[Corioliskraft]], der [[Lorentzkraft]]
* Abstandsformel für [[windschiefe]] Geraden

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Literatur ==
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra'', Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
* Steffen Goebbels, Stefan Ritter: ''Mathematik verstehen und Anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra''. 4. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-68366-8, S. 512–516.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Cross product|Kreuzprodukt}}
{{Wiktionary|Kreuzprodukt}}
* {{TIBAV |9743 |Linktext=Vektorprodukt 1 |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2010 |DOI=10.5446/9743}}
* {{TIBAV |9744 |Linktext=Vektorprodukt 2 |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2010 |DOI=10.5446/9744}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Kreuzprodukt - Versionsgeschichte

imported>Mathze: /* Koordinatendarstellung */