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2025-04-02T14:39:07Z

Formale Definition: Form

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[[File:Commutativity of binary operations (without question mark).svg|thumb|Eine Verknüpfung <math>\circ</math> ist kommutativ, wenn ''stets'' <math>x\circ y = y \circ x</math> gilt. In dieser Abbildung wird die Vorstellung einer Operation als Maschine genutzt, die aus zwei Eingaben ein Ergebnis macht. Wenn die Verknüpfung kommutativ ist, dann ist es egal, in welcher Reihenfolge die Eingaben <math>x</math> und <math>y</math> auftreten – das Ergebnis <math>x\circ y</math> ist dasselbe wie <math>y\circ x</math>.]]
Das '''Kommutativgesetz''' ({{laS|commutare|de=vertauschen}}), auf Deutsch ''Vertauschungsgesetz,'' ist eine Regel aus der [[Mathematik]]. Wenn sie gilt, können die [[Funktion (Mathematik)|Argumente]] einer [[Operator (Mathematik)|Operation]] vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz unterliegen, nennt man ''kommutativ.''

Das Kommutativgesetz bildet mit dem [[Assoziativgesetz]] und dem [[Distributivgesetz]] grundlegende Regeln der [[Algebra]].

== Formale Definition ==
Es seien <math>A</math> und <math>X</math> Mengen. Eine [[binäre Verknüpfung]] <math>*\colon A\times A\to X,\; (a,b)\mapsto a*b</math> heißt ''kommutativ'', wenn für alle <math>a,b\in A</math> die Gleichheit <math>a*b=b*a</math> gilt.

== Beispiele und Gegenbeispiele ==
[[File:Vector Addition.svg|thumb|Die Vektoraddition ist kommutativ, weil <math>\vec a+\vec b=\vec b+\vec a</math> ist.]]

=== Reelle Zahlen ===
[[File:Commutative Addition.svg|thumb|Die Addition natürlicher Zahlen ist kommutativ.]]
Für [[reelle Zahlen]] <math>a,b\in\R</math> gilt stets
:<math>a + b = b +a</math>
und
:<math>a \cdot b = b \cdot a</math>,
die Operationen [[Addition]] und [[Multiplikation]] sind also kommutativ. Die erste Formel wird auch ''Kommutativgesetz der Addition,'' die zweite ''Kommutativgesetz der Multiplikation'' genannt. Die [[Subtraktion]] und die [[Division (Mathematik)|Division]] reeller Zahlen sind dagegen keine kommutativen Operationen. Auch die [[Potenz (Mathematik)|Potenzierung]] ist nicht kommutativ (<math>2^3 \neq 3^2</math> ist ein Gegenbeispiel).

Die älteste überlieferte Form des Kommutativgesetzes der Addition ist die sumerische ''[[Fabel vom klugen Wolf und den neun dummen Wölfen]]''.

=== Skalarprodukte ===
* Das [[Skalarprodukt]] in einem reellen [[Vektorraum]] ist kommutativ, es gilt also stets <math>\langle a,b\rangle = \langle b,a\rangle</math>.
* Das Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum ist dagegen nicht kommutativ, es gilt vielmehr <math>\langle a,b\rangle = \overline{\langle b,a\rangle}</math>, wobei der Überstrich die [[komplexe Konjugation]] bezeichnet.

=== Mengenoperation ===
In der [[Mengenlehre]] sind die [[Vereinigung (Mengenlehre)|Vereinigung]] und der [[Schnittmenge|Schnitt]] kommutative Operationen; für Mengen <math>A, B</math> gilt also stets:
:<math>A\cup B = B\cup A</math> (Vereinigung)
:<math>A\cap B = B\cap A</math> (Schnitt)
Dagegen ist die [[Differenzmenge|Differenz]] nicht kommutativ. <math>A\setminus B</math> und <math>B\setminus A</math> sind also manchmal verschiedene Mengen, z. B. für <math>A=\{1,2\}</math> und <math>B=\{2\}</math>, denn dann wäre <math>A\setminus B = \{1\}</math> und <math>B\setminus A = \emptyset</math>.

=== Matrizenrechnung ===
Die Addition von [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] oder [[Körper (Algebra)|Körper]] ist kommutativ. Die [[Matrizenmultiplikation]] ist dagegen nicht kommutativ: Die Faktoren sind zwar ''manchmal,'' aber nicht ''immer'' vertauschbar.

Ebenfalls kommutativ sind die [[Skalarmultiplikation|Multiplikation von Matrizen mit Skalaren]] und die Matrizenmultiplikation im Unterring der [[Diagonalmatrix|Diagonalmatrizen]].

=== Gruppentheorie ===
Allgemein nennt man eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], bei der die [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] von Gruppenelementen kommutativ ist, [[Abelsche Gruppe|abelsch]].

=== Aussagenlogik ===
{{Hauptartikel|Aussagenlogik}}
In der Aussagenlogik gilt für die [[Junktor]]en:
*<math>\vee</math> („oder“) ist kommutativ.
*<math>\land</math> („und“) ist kommutativ.
*<math>\leftrightarrow</math> („[[logische Äquivalenz]]“) ist kommutativ.
*<math>\rightarrow</math> („wenn …, dann …“; siehe [[Implikation]]) ist nicht kommutativ.

=== Weitere Beispiele ===
Weitere Beispiele für nichtkommutative Operationen sind das [[Kreuzprodukt]] in Vektorräumen oder die Multiplikation von [[Quaternionen]].

Kommutativität ist außerdem eine wichtige Grundeigenschaft in der [[Quantenmechanik]], das Kommutieren zweier [[Observable]]n bedeutet physikalisch deren gleichzeitige genaue Messbarkeit. Nicht alle Observablen kommutieren.

== Antikommutativität ==
[[Datei:Cross product vector.svg|mini|Das Kreuzprodukt ist antikommutativ (hier ein [[Rechtssystem (Mathematik)|Rechtssystem]])]]
In einigen Strukturen mit zwei Operationen, beispielsweise beim [[Kreuzprodukt]] <math>\times</math> in Vektorräumen, gilt nicht das Kommutativgesetz, sondern stattdessen eine Art ''Gegensatz'' davon:
: <math>a \times b = -(b \times a)</math>.
Allgemeiner erfüllt das Produkt auf einer [[Lie-Algebra]], das als <math>[a,b]</math> geschrieben wird, die Antikommutativität.

== Anmerkungen ==
; [[Symmetrische Relation]]
Die Kommutativität, die das Vertauschen von Argumenten bei einer ''Operation'' erlaubt, weist Ähnlichkeit mit der Symmetrie-Eigenschaft von [[Relation (Mathematik)|Relationen]] auf, die das Vertauschen der verglichenen Elemente bzgl. der ''Relation'' erlaubt: <math>x R y</math> genau dann, wenn <math>y R x</math>.

; [[Flexibilitätsgesetz]]
Eine alternative Möglichkeit des „Um-Klammerns“ bietet das Flexibilitätsgesetz für eine [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] <math>*</math>:

:<math>a * \left( b * a \right) = \left( a * b \right) * a</math>

== Siehe auch ==
* [[Symmetrische Funktion]]
* [[Kommutatives Diagramm]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Otto Forster]] |Titel=Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen |Reihe=Analysis |BandReihe=1 |Auflage=10 |Verlag=Vieweg & Teubner |Ort=Braunschweig |Datum=2011 |ISBN=978-3-8348-1251-3 }}

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Arithmetik]]
[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]

Kommutativgesetz - Versionsgeschichte

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