imported>WAH: rev., Änderungen dieser Art bitte belegen, siehe Wikipedia:Belege.

2025-05-08T10:37:17Z

rev., Änderungen dieser Art bitte belegen, siehe Wikipedia:Belege.

Neue Seite

[[Datei:Klein bottle.svg|mini|upright=0.96|Zweidimensionale Darstellung der Kleinschen Flasche als [[Immersion (Mathematik)|Immersion]] im dreidimensionalen Raum]]
[[Datei:Surface of Klein bottle with traced line.svg|upright=0.75|mini|Struktur einer dreidimensionalen Kleinschen Flasche]]

Die '''Kleinsche Flasche''' (auch '''Kleinscher Schlauch''') wurde erstmals 1881<ref>{{Literatur |Autor=Felix, Klein |Titel=Über Körper, welche von confocalen Flächen zweiten Grades
begränzt sind |Sammelwerk=Mathematische Annalen |Band=18 |Datum=1881 |Seiten=410-427}}</ref> von dem deutschen Mathematiker [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] beschrieben. Sie ist ein Beispiel einer [[Orientierung (Mathematik)|nicht-orientierbaren]] [[Fläche (Mathematik)|Fläche]]. Umgangssprachlich formuliert hat sie die Eigenschaft, dass ''innen'' und ''außen'' nicht unterschieden werden können, oder anders formuliert, dass sie nur eine einzige ''Seite'' besitzt, die gleichzeitig ''innen'' und ''außen'' ist. Auf der Kleinschen Fläche kann deshalb, so wie beim [[Möbiusband]], kein [[stetig]]er [[Normalenvektor]] definiert werden. Im Gegensatz zum Möbiusband hat diese Fläche keinen [[Rand (Topologie)|Rand]].

== Konstruktion ==
Man beginnt mit einem Quadrat und klebt die Ecken und Ränder mit den entsprechenden Farben zusammen, so dass die Pfeile zueinander passen. Dies ist in der nachfolgenden Skizze dargestellt. Formell gesagt wird die Kleinsche Flasche beschrieben durch die [[Quotiententopologie]] des [[Quadrat (Geometrie)|Quadrates]] <math>[0,1] \times [0,1]</math> mit Kanten, welche die folgenden Relationen erfüllen: <math>(0,y) \sim (1,y)</math> für <math>0 \le y \le 1</math> und <math>(x,0) \sim (1-x,1)</math> für <math>0 \le x \le 1</math>.

Das Quadrat ist ein [[Fundamentalpolygon]] der Kleinschen Flasche.

Man beachte, dass diese Beschreibung das „Kleben“ in einem abstrakten Sinn meint, das versucht, die dreidimensionale Kleinsche Flasche mit sich selbst überkreuzenden Kanten zu konstruieren. Faktisch hat die Kleinsche Flasche keine sich überkreuzenden Kanten. Dessen ungeachtet ist es eine Möglichkeit, dieses Objekt in seiner Konstruktion zu veranschaulichen.

Man klebe die roten Pfeile des Quadrats zusammen (linke und rechte Kanten), so dass man einen Zylinder erhält. Man ziehe den Zylinder etwas auseinander und klebe weiterhin die Enden so zusammen, dass die Pfeile auf den Kreis passen. Dabei wird die Kreisfläche der einen Zylinderfläche durch die der anderen geschoben. Beachte, dass dieser Vorgang zur Überkreuzung von Kanten führt. Man bezeichnet dies als [[Immersion (Mathematik)|Immersion]] der Kleinschen Flasche im dreidimensionalen Raum.
<gallery mode="packed" widths="75" heights="100" style="text-align:left">
Klein Bottle Folding 1.svg|Schritt 1
Klein Bottle Folding 2.svg|Schritt 2
</gallery><gallery mode="packed" widths="150" heights="200" style="text-align:left">
Klein Bottle Folding 3.svg|Schritt 3
Klein Bottle Folding 4.svg|Schritt 4
Klein Bottle Folding 5.svg|Schritt 5
Klein Bottle Folding 6.svg|Schritt 6
</gallery>

Bettet man die Kleinsche Flasche in den vierdimensionalen reellen Raum ein, kann eine Selbstdurchdringung vermieden werden. Anschaulich geschieht dies folgendermaßen: Man nimmt die oben abgebildete Immersion in den dreidimensionalen Raum und belässt die vierte Koordinate zunächst bei null. In der Nähe der Selbstdurchdringung erhöht man den Wert der vierten Koordinate für eine der (lokalen) Komponenten stetig auf eins und senkt sie danach wieder ab. Grafisch lässt sich die vierte Koordinate durch eine unterschiedliche Farbwahl veranschaulichen.

== Beschreibung im dreidimensionalen Raum ==
[[Datei:Klein bottle glass2.jpg|mini|upright=1.05|[[Glasbläserei|Glasgeblasene]] Kleinsche Flasche]]
Wie das [[Möbiusband]] ist die Kleinsche Flasche eine zweidimensionale differenzierbare [[Mannigfaltigkeit]], die nicht orientierbar ist. Im Gegensatz zum Möbiusband kann die Kleinsche Flasche nicht ohne [[Selbstdurchdringung]] in den dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]] <math>\mathbb{R}^3</math> eingebettet werden. Sie kann also nicht in den <math>\mathbb{R}^3</math> [[Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], sondern nur [[Immersion (Mathematik)|immergiert]] werden. Ohne Selbstdurchdringung ist eine Einbettung aber in den <math>\mathbb{R}^4</math> und in höherdimensionale Räume möglich.

[[Datei:Halbe Kleinsche Flasche.png|mini|upright=1.05|Die Hälfte einer Kleinschen Flasche, gemäß der nebenstehenden Parametrisierung für <math>0 < u < 2\pi,\ 0 < v < \pi</math>.]]
Eine [[Immersierte Mannigfaltigkeit|immergierte]] Kleinsche Flasche kann für <math>0 \le u < 2 \pi </math> und <math>0 \le v < 2\pi </math> durch folgende Gleichungen im <math>\mathbb{R}^3</math> dargestellt werden:
: <math>\begin{align}
& x = b\,(1-\sin(u))\,\cos(u)+r\,\cos(v)\,(2\,e^{-(u/2-\pi)^2}-1) \\
& y = r\,\sin(v) \\
& z = h\,\sin(u) + 0.5\,r\,\sin(u)\cos(v)\,e^{-(u-3\pi/2)^2},
\end{align}</math>
wobei <math>r = 2\,-\cos(u)</math> ist. <math>b</math> ist die ungefähre Breite, <math>h</math> die ungefähre Höhe der Figur. Übliche Werte: <math>b = 2</math>, <math>h = 6</math>.

Anmerkung: Die Kleinsche Flasche lässt sich so zerteilen, dass zwei Möbiusbänder daraus entstehen (siehe die Abbildung rechts).

== Topologische Eigenschaften ==
Die [[Fundamentalgruppe]] der Kleinschen Flasche hat die [[Präsentation einer Gruppe|Präsentation]]
: <math>\pi_1(K)=\langle a,b| abab^{-1}=1\rangle</math>.
Die [[Homologiegruppe]]n sind
: <math>H_0(K)=\Z, H_1(K)=\Z\oplus\Z/2\Z, H_2(K)=0</math>.
Die Kleinsche Flasche ist die [[Orientierung (Mathematik)#Orientierung einer Mannigfaltigkeit|nicht-orientierbare]] [[Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossene]] Fläche vom [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] 2.<ref>{{MathWorld| id = Genus| title = Genus}}</ref>

Es gibt eine 2-blättrige [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] der Kleinschen Flasche durch den [[Torus]].

== Weblinks ==
{{Commonscat|Klein bottle|Kleinsche Flasche}}
* [http://www.spass-mit-mathematik.de/artikel/banchoff_klein/ Die Banchoff-Kleinsche Flasche] auf ''spass-mit-mathematik.de''
* Imker Peter: {{Webarchiv|url=http://www.pm-magazin.de/de/wissensnews/wn_id401.htm | wayback=20030317081925 | text=''Mathematiker häkeln vierdimensionale Wollmützen''.}} Internetpräsenz des ''[[P.M. Magazin]]s''
* [http://www.mathcurve.com/surfaces/klein/klein.shtml Bouteille de Klein] (französisch, gute Abbildungen) bei ''mathcurve.com''
* Konstruktion der Kleinschen Flasche als [https://www.youtube.com/watch?v=E8rifKlq5hc Video] bei [[YouTube]]
* [http://www.klein-bottle-film.com/ www.klein-bottle-film.com]: [https://www.youtube.com/watch?v=sRTKSzAOBr4&fmt=22 Kleinsche Flasche Animation] von 2010: Inklusive einer Autofahrt durch die Kleinsche Flasche und der Originalbeschreibung von Felix Klein – Video bei [[YouTube]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]

Kleinsche Flasche - Versionsgeschichte

imported>WAH: rev., Änderungen dieser Art bitte belegen, siehe Wikipedia:Belege.