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2025-07-30T08:45:22Z

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[[Datei:Conic sections with plane.svg|mini|hochkant=1.8|Kegelschnitte:<br/> ('''1''') liefert die Parabel, ('''2''') Kreis und Ellipse, ('''3''') die Hyperbel]]

Ein '''Kegelschnitt''' (lateinisch ''sectio conica'') ist eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], die entsteht, wenn man die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]] eines [[Kegel (Geometrie)#Doppelkegel|Doppelkegels]] mit einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] schneidet. Enthält die Schnittebene die Kegelspitze, so entsteht als Schnitt entweder ein [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] oder eine [[Gerade]] oder ein sich schneidendes Geradenpaar. Ist die Spitze nicht enthalten, so entstehen die '''nicht ausgearteten''' Kegelschnitte [[Ellipse]], [[Kreis]] (eine Sonderform der Ellipse), [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] oder [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]].

Der Nachweis, dass im nicht ausgearteten Fall wirklich diese in der Ebene als [[Geometrischer Ort|Ortskurven]] definierten Kurven entstehen, lässt sich ohne Rechnung mit Hilfe der [[Dandelinsche Kugel|Dandelinschen Kugeln]] führen.<ref>''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' VEB Verlag Enzyklopädie, Leipzig, 1977, S. 325 f.</ref> Der rechnerische Nachweis wird hier im Abschnitt ''[[#Ebene Schnitte des Einheitskegels|Ebene Schnitte des Einheitskegels]]'' gegeben.

Ein Kegelschnitt kann auch als zweidimensionaler Sonderfall einer [[Quadrik]] angesehen werden und durch eine Gleichung 2. Grades, die ''[[#Allgemeine Kegelschnittgleichung|allgemeine Kegelschnittgleichung]]'', beschrieben werden.

Bettet man Ellipse, Hyperbel und Parabel in eine projektive Ebene ein, so entstehen [[Projektiver Kegelschnitt|projektive Kegelschnitte]], die alle zueinander äquivalent sind, d. h., man kann sie durch geradentreue Abbildungen ineinander überführen.
[[Datei:Ellipse-def-s.svg|250px|mini|Ellipse: Definition, ⇒ [[:File:01_Ellipse_als_Kegelschnitt.gif|Animation]]]]
[[Datei:Parabel-def-s.svg|250px|mini|Parabel: Definition]]
[[Datei:Hyperbel-def-s.svg|250px|mini|Hyperbel: Definition]]
[[Datei:Kegels-ausg-s.svg|350px|mini|''Ausgeartete'' Kegelschnitte:<br />
sich schneidendes Geradenpaar, paralleles Geradenpaar, eine Gerade, ein Punkt]]

== Gleichungen der Kegelschnitte ==
Die Kegelschnitte können in einem geeigneten x-y-Koordinatensystem durch Gleichungen 2. Grades beschrieben werden:
* ''Ellipse'' mit Mittelpunkt M im Punkt (0,0) und der Hauptachse auf der x-Achse:
*:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad b=|MS_3|, \qquad a,b\ne0\quad,</math> (s. Bild). (Für <math>a=b=r</math> ergibt sich ein Kreis.)
* ''Parabel'' mit Scheitel im Punkt (0,0) und der Achse auf der y-Achse:
*:<math>y=ax^2, \quad a=\frac{1}{4|SF|}, \qquad a\ne0\quad,</math> (s. Bild).
* ''Hyperbel'' mit Mittelpunkt M im Punkt (0,0) und der Hauptachse auf der x-Achse:
*:<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, \quad b^2=|MF_1|^2-a^2, \qquad a,b\ne0\quad,</math> (s. Bild).
* Sich ''schneidendes Geradenpaar'' mit Schnittpunkt im Punkt (0,0):
*:<math>a^2x^2-y^2=0,\ a\ne0.</math>
* ''Gerade'' durch den Punkt (0,0):
*:<math>x^2=0.</math>
* ''Punkt,'' der Punkt (0,0):
*:<math>a^2x^2+b^2y^2=0,\ a,b\ne 0.</math>
Der Vollständigkeit halber werden noch zwei weitere Fälle hinzugenommen, die nicht als eigentliche Kegelschnitte auftreten, aber auch durch Gleichungen 2. Grades beschrieben werden:
* ''Paralleles Geradenpaar:''
*:<math>x^2=a^2, \ a\ne 0.</math>
* Die ''leere Menge:''
*:<math>x^2+y^2=-1</math> oder <math>x^2=-1</math>.
Die letzten beiden Fälle können als ebene Schnitte eines geraden [[Kreiszylinder]]s auftreten. Ein Kreiszylinder lässt sich als Grenzfall eines Kegels mit Kegelspitze im Unendlichen auffassen. Deshalb nimmt man diese beiden Fälle mit zu den Kegelschnitten.

== Ebene Schnitte des Einheitskegels ==
[[Datei:Kegelschnitt-faelle-s.svg|150px|mini|Kegelschnitt-Fälle]]
Um festzustellen, dass die oben als Kegelschnitte bezeichneten Kurven/Punkte tatsächlich beim Schnitt eines Kegels mit einer Ebene auftreten, schneiden wir hier den Einheitskegel (gerader [[Kreiskegel]]) <math>K_1\colon x^2 + y^2 = z^2</math> mit einer Ebene, die parallel zur y-Achse ist. Dies ist keine Einschränkung, da der Kegel rotationssymmetrisch ist. Ein beliebiger gerader Kreiskegel ist das affine Bild des Einheitskegels <math>K_1</math> und Ellipsen/Hyperbeln/Parabeln/… gehen bei einer [[Affine Abbildung|affinen Abbildung]] wieder in ebensolche über.

Gegeben: Ebene <math>\varepsilon\colon ax + cz = d\ ,</math> Kegel <math>K_1\colon x^2 + y^2 = z^2</math>.

Gesucht: Schnitt <math>\varepsilon \cap K_1</math>.

* Fall I: <math>c = 0</math> In diesem Fall ist die ''Ebene senkrecht'' und <math>a \neq 0</math> und <math>x = d/a</math>. Eliminiert man <math>x</math> aus der Kegelgleichung, so erhält man <math>z^2 - y^2 = d^2/a^2</math>.
** ''Fall Ia:'' <math>d = 0</math>. In diesem Fall besteht der Schnitt aus dem ''Geradenpaar'' <math>t(0,1, \pm 1), \ t \in \R.</math>.
** ''Fall Ib:'' <math>d \neq 0</math>. Die obige Gleichung beschreibt jetzt eine Hyperbel in der y-z-Ebene. Also ist auch die Schnittkurve <math>\varepsilon \cap K_1</math> selbst eine ''Hyperbel.''
* Fall II: <math>c \neq 0</math>. Eliminiert man <math>z</math> aus der Kegelgleichung mit Hilfe der [[Ebenengleichung]], so erhält man das Gleichungssystem <math>(1) \quad (c^2 - a^2)x^2 + 2adx + c^2y^2 = d^2, \qquad (2) \quad ax + cz = d.</math>
** ''Fall IIa:'' Für <math>d = 0</math> geht die ''Ebene durch die Kegelspitze'' <math>(0,0,0)</math> und Gleichung (1) hat jetzt die Gestalt <math>(c^2 - a^2)x^2 + c^2y^2 = 0</math>.
**: Für <math>c^2 > a^2</math> ist der Schnitt der ''Punkt'' <math>P_0 = (0,0,0)</math>.
**: Für <math>c^2 = a^2</math> ist der Schnitt die ''Gerade'' <math>t(c,0,-a), \ t \in \R.</math>
**: Für <math>c^2 < a^2 </math> ist der Schnitt das ''Geradenpaar'' <math>t(c/ \pm \sqrt{a^2-c^2}, 1, -a/ \pm \sqrt{a^2-c^2}) , \ t \in\R .</math>
** ''Fall IIb:'' Für <math>d \neq 0</math> geht die ''Ebene nicht durch die Kegelspitze'' und ist ''nicht senkrecht.''
**: Für <math>c^2 = a^2</math> geht (1) in <math>x = - \frac{c^2}{2ad}y^2 + \frac{d}{2a}</math> über und die Schnittkurve ist eine ''Parabel.''
**: Für <math>c^2 \neq a^2</math> formen wir (1) um in <math>\frac{(c^2-a^2)^2}{d^2c^2}\left(x+\frac{ad}{c^2-a^2}\right)^2+\frac{c^2-a^2}{d^2}y^2 = 1</math>.
**: Für <math>c^2 > a^2</math> ergibt sich als Schnittkurve eine ''Ellipse'' und
**: für <math>c^2 < a^2</math> ergibt sich eine ''Hyperbel.''

Parameterdarstellungen der Schnittkurven findet man in Weblink CDKG, S. 106–107.

''Zusammenfassung:''
* Enthält die Schnittebene die Kegelspitze ''nicht,'' entstehen die ''nicht ausgearteten'' Kegelschnitte (s. Bild zu Ib, IIb), nämlich eine ''Parabel,'' eine ''Ellipse'' oder eine ''Hyperbel,'' je nachdem, ob die Kegelachse von der Schnittebene unter dem ''gleichen,'' einem ''größeren'' oder einem ''kleineren'' Winkel geschnitten wird als von den Mantellinien des Kegels.
* Liegt hingegen die Kegelspitze ''in'' der Schnittebene, entstehen die ''ausgearteten'' Kegelschnitte (s. Bild zu Ia, IIa), und zwar ein ''Punkt'' (nämlich die Kegelspitze), eine ''Gerade'' (nämlich eine Mantellinie) oder ein sich ''schneidendes Geradenpaar,'' (nämlich zwei Mantellinien).
<gallery mode="packed" heights="350">
01 Kegelschnitt-Parabel.png|Parabel<br/>Entsteht, wenn der Neigungswinkel <math>\beta</math> der Schnittebene ''gleich'' dem Neigungswinkel <math>\alpha</math> der Mantellinie des Kegels ist.
01 Kegelschnitt-Ellipse.png|Ellipse<br/>Entsteht, wenn der Neigungswinkel <math>\beta</math> der Schnittebene ''kleiner'' ist als der Neigungswinkel <math>\alpha</math> der Mantellinie des Kegels.
01 Kegelschnitt-Hyperbel.png|Hyperbel<br/> Entsteht, wenn der Neigungswinkel <math>\beta</math> der Schnittebene ''größer'' ist als der Neigungswinkel <math>\alpha</math> der Mantellinie des Kegels.
01 Kegelschnitt-Kreis.png|Kreis<br/>Entsteht, wenn die Achse des Kegels eine [[Orthogonalität|Orthogonale]] zur Schnittebene ist.
01 Kegelschnitt-Punkt-Gerade.png|Punkt<br/>Entsteht, wenn die Schnittebene durch die Kegelspitze verläuft.<br/>Gerade<br/>Entsteht, wenn die Schnittebene entlang der Mantellinie durch die Kegelspitze verläuft.
01 Kegelschnitt-Dreieck.png|Geradenpaar<br/>Entsteht, wenn die Schnittebene durch die Kegelspitze und Mantelfläche verläuft.
</gallery>

== Allgemeine Kegelschnittgleichung ==
Die ''allgemeine Gleichung für Kegelschnitte'' lautet
:<math>a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0</math>
:: (Man beachte, dass die Parameter ''a'' und ''b'' nicht diejenigen des vorhergehenden Abschnitts sind.)
Die Parameter <math>a, b, c</math> sind im Speziellen nicht alle 0. Falls <math>a=b=c=0</math> ist, beschreibt die Gleichung eine Gerade oder ganz <math>\R^2</math>.
[[Datei:Ellipse-HAT-s.svg|hochkant=1.4|mini|Ellipse: Hauptachsentransformation]]
Es soll jetzt nachgewiesen werden, dass als Lösungsmengen der allgemeinen Kegelschnittgleichung nur die obigen 8 Fälle auftreten. Das Ziel erreichen wir in zwei wesentlichen Schritten, der ''[[Hauptachsentransformation]]:''

# ''Drehung'' des Koordinatensystems zur Beseitigung des Terms <math>xy</math>.
# ''Verschiebung'' des Nullpunktes (Translation) so, dass möglichst die linearen Terme <math>\dots x + \dots y</math> verschwinden.

''1. Schritt:'' Falls <math>b\ne0</math>, führen wir die ''Drehung''
:<math>(x,y)=(x'\cos\alpha-y'\sin\alpha,x'\sin\alpha+y'\cos\alpha)</math>
: um den Winkel <math>\alpha</math> mit <math>\tan(2\alpha)=\tfrac{b}{a-c}</math> bzw. <math>\alpha=45^\circ</math>, falls <math>a=c</math>, durch.

Die Kegelschnittgleichung hat danach die Form
:<math>A x^2 + B y^2 + C x + D y + E = 0,</math> (statt <math>x',y'</math> wurde wieder <math>x,y</math> benutzt).
''2.Schritt:''
: Falls <math>A\ne0</math> ist, führt eine [[quadratische Ergänzung]] zum Term <math>A\left(x + \tfrac{C}{2A}\right)^2</math> und damit zur ''Verschiebung'' <math>x'=x+\tfrac{C}{2A}</math>.
: Falls <math>B\ne0</math> ist, führt eine quadratische Ergänzung zum Term <math>B\left(y + \tfrac{D}{2B}\right)^2</math> und damit zur ''Verschiebung'' <math>y'=y+\tfrac{D}{2B}</math>.

Nach diesen beiden Schritten hat die Kegelschnittgleichung (x’ und y’ werden wieder durch x,y ersetzt) schließlich die Form
: ''I:'' <math>ux^2+vy^2+w=0</math> mit <math> u,v\ne 0</math> oder
: ''II:'' <math>ux^2+vy+w=0</math> oder <math>uy^2+vx+w=0</math> mit <math>u\ne 0</math>.
Es können nur die obigen 8 Fälle auftreten:
: Im ''Fall I'' ergeben sich eine ''Ellipse'' oder eine ''Hyperbel'' oder die ''leere Menge,'' falls <math>w\ne 0</math> ist, oder ein ''Punkt'' oder ein sich ''schneidendes Geradenpaar,'' falls <math>w=0</math> ist.
: Im ''Fall II'' ergeben sich eine ''Parabel,'' falls <math>v\ne 0</math> ist, oder ein ''paralleles Geradenpaar'' oder eine ''Gerade'' oder die ''leere Menge,'' falls <math>v=0</math> ist.

Bei den hier durchgeführten Transformationen (Drehung, Verschiebung) wird die geometrische Form des durch die ursprüngliche Gleichung beschriebenen Kegelschnitts nicht verändert. Parameter wie Halbachsen bei Ellipsen und Hyperbel oder Brennweite bei der Parabel oder Winkel/Abstand zwischen sich schneidenden/parallelen Geraden lassen sich an dem transformierten Kegelschnitt ablesen.

''Bemerkung:''
Der quadratische Anteil der allgemeinen Kegelschnittgleichung lässt sich auch mit Hilfe einer 2×2-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] schreiben:
: <math>\begin{pmatrix}x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b/2\\b/2 & c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+dx+ey+f=0.</math>
Da eine Drehung und eine Verschiebung das Vorzeichen der [[Determinante]] <math>\delta=ac-\tfrac{b^2}{4}</math> der 2×2-Matrix nicht verändert, führt <math>\delta \neq 0</math> auf den Fall I und <math>\delta =0</math> auf den Fall II. Weiß man, dass die ursprüngliche Kegelschnittgleichung einen nicht ausgearteten Kegelschnitt darstellt, kann man an der Determinante <math>\delta</math> schon erkennen, ob es sich um eine Ellipse (<math>\delta >0 </math>), eine Hyperbel (<math>\delta <0</math>) oder eine Parabel (<math>\delta=0</math>) handelt.

''Bemerkung:''
* Da die allgemeine Kegelschnittgleichung nur bis auf einen Faktor durch die 6 Koeffizienten bestimmt ist, sind für die Bestimmung der Koeffizienten ''5 Punkte'' (Gleichungen) ''nötig.'' Aber: Nicht jede Wahl von 5 Punkten bestimmen einen Kegelschnitt eindeutig. (Gegenbeispiel: 4 Punkte auf einer Gerade, 1 Punkt nicht auf der Gerade.) Ein ''nicht ausgearteter Kegelschnitt'' (Ellipse, Hyperbel, Parabel) ist durch ''5 Punkte,'' wobei keine 3 auf einer Gerade liegen, eindeutig bestimmt. Eine elegante Formel für den nicht ausgearteten Fall benutzt eine 6×6-[[Determinante]]:
*:<math>\begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\
x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\
x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\
x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1\\
x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1\\
x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1\\ \end{vmatrix} =0 \quad,</math> (<math>(x_i,y_i), i=1, \dots, 5</math> sind die vorgegebenen Punkte. Siehe <ref>Meyberg & Vachenauer: ''Höhere Mathematik 1.'' Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-59188-5, S. 309.</ref>.)
* Ein ''Kreis'' ist schon durch 3 Punkte (nicht auf einer Geraden) eindeutig bestimmt. Die Gleichung erhält man durch die 4×4-Determinante
*:<math> \begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1 \\
x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\
x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\
x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1\\ \end{vmatrix} =0</math>.

''Beispiel:''
Der Kegelschnitt durch die 5 Punkte <math>(1,0),(-1,0),(0,1),(-1,-1),(1,1)</math> hat nach Ausrechnen obiger Determinante die Gleichung <math>-4x^2+4xy-4y^2+4=0</math> oder nach Vereinfachung: <math>x^2-xy+y^2-1=0</math>. Die Hauptachsentransformation erfolgt mit einer Drehung um <math>45^\circ</math>. Eine Verschiebung ist nicht nötig. Der Kegelschnitt hat die transformierte Gleichung <math>\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{3}{2}y^2-1=0</math> und ist eine Ellipse.

== Scheitelgleichung einer Kegelschnittschar ==
[[Datei:Kegelschnitt-schar-s.svg|250px|mini|Kegelschnitt-Schar: p fest, <math>\varepsilon</math> variabel]]
Die Schar der nicht ausgearteten Kegelschnitte, deren Achse die <math>x</math>-Achse ist und die im Punkt (0,0) einen Scheitel haben, lässt sich durch die Gleichung
*<math>y^2= 2px +(\varepsilon^2 -1) x^2 \qquad, \ p>0 \ , \varepsilon\ge 0</math>
beschreiben (zum Beweis siehe [[Hyperbel (Mathematik)#Leitlinien-Eigenschaft|Leitlinien-Eigenschaft der Hyperbel]]). Für
:<math>\varepsilon=0</math> erhält man einen ''Kreis,''
: für <math>0<\varepsilon<1</math> eine ''Ellipse,''
: für <math>\varepsilon=1</math> eine ''Parabel'' und
: für <math>\varepsilon>1</math> eine ''Hyperbel.''
<math>\varepsilon</math> ist die ''numerische [[Exzentrizität (Mathematik)|Exzentrizität]].''
:<math>2p</math> ist die Weite des Kegelschnitts, gemessen am Brennpunkt senkrecht zur Achse.
:<math>p</math> ist der ''Scheitelkrümmungskreisradius'' im Scheitel <math>(0,0)</math>.
: Für Ellipsen und Hyperbeln ist <math>\varepsilon=e/a</math>, wobei <math>a</math> die ''große Halbachse'' und <math>e</math> die ''lineare Exzentrizität'' ist. Im Fall einer Ellipse ist <math>(a,0)</math> der ''Mittelpunkt'' und <math>(a-e,0)</math> ein ''Brennpunkt.'' Im Fall einer Hyperbel ist <math>(-a,0)</math> der ''Mittelpunkt'' und <math>(e-a,0)</math> ein ''Brennpunkt.'' Im Fall einer Parabel ist <math>(\tfrac{p}{2},0)</math> der ''Brennpunkt.'' Für den Kreis (mit <math>\varepsilon=0</math>) liegt der Mittelpunkt bei <math>(p,0)</math> und der Radius ist <math>p</math>.

== Polargleichung einer Kegelschnittschar ==
[[Datei:Kegelschnitt-leitlinien.svg|mini|Kegelschnitt: zur Leitliniendefinition]]
[[Datei:Kegelschnittschar-polar.svg|250px|mini|Kegelschnittschar mit gemeinsamem Brennpunkt in Polarkoordinaten]]
Die ''Leitlinieneigenschaft'' der nicht ausgearteten Kegelschnitte lautet:
* Die Menge der Punkte der euklidischen Ebene, deren Abstände zu einer vorgegebenen Geraden <math>l</math> und einem vorgegebenen Punkt <math>F</math> die Bedingung <math> \frac{|PF|}{|Pl|}=\varepsilon>0 </math> ist konstant, erfüllen, ist eine ''Ellipse,'' falls <math>0<\varepsilon<1</math>, eine ''Parabel,'' falls <math>\varepsilon=1</math>, eine ''Hyperbel,'' falls <math>\varepsilon>1</math> ist.

Ist der Punkt <math>F</math> der Nullpunkt und hat die Gerade <math>l</math> die Gleichung <math>x=-d</math>, so gilt in [[Polarkoordinaten]] (s. Bild):
:<math> \frac{|PF|}{|Pl|}=\frac{r}{r\cos\varphi +d}=\varepsilon \ .</math>
Auflösen nach <math>r</math> liefert zunächst <math>r=\frac{\varepsilon d}{1-\varepsilon\cos\varphi} </math>. Setzt man <math>p=r(\pi/2)=\varepsilon d</math>, so erhält man die Polardarstellung der nichtausgearteten Kegelschnitte:
*<math> r=\frac{p}{1-\varepsilon\cos\varphi}</math>.
<math>p</math> ist dabei der ''Halbparameter'' (halbe Breite des Kegelschnitts am Brennpunkt) und <math>\varepsilon</math> die ''numerische Exzentrizität.''
Wählt man den Halbparameter <math>p</math> fest, so erhält man Kegelschnitte mit dem Nullpunkt als gemeinsamen Brennpunkt, und zwar
: für <math>\varepsilon=0</math> den ''Kreis'' mit Mittelpunkt <math>M=(0,0)</math> und Radius <math>R=p</math>,
: für <math>0<\varepsilon<1</math> die ''Ellipse'' mit dem Mittelpunkt <math>M=(e,0),\ e=\frac{p\;\varepsilon}{1-\varepsilon^2}</math> und den Halbachsen <math>a=\frac{e}{\varepsilon} , \ b=\sqrt{a^2-e^2}</math>,
: für <math>\varepsilon=1</math> die ''Parabel'' mit dem Scheitel <math>S=(-\frac{p}{2},0)</math> und der Gleichung <math>x=\frac{y^2-p^2}{2p}</math>,
: für <math>\varepsilon>1</math> die ''Hyperbel'' mit dem Mittelpunkt <math>M=(-e,0),\ e=\frac{p\; \varepsilon}{\varepsilon^2-1}</math> und den Halbachsen <math>a=\frac{e}{\varepsilon} , \ b=\sqrt{e^2-a^2}</math>.

== Kegelschnittbüschel ==
Sind die Gleichungen <math>f_1(x,y)=0, \ f_2(x,y)=0</math> zweier Kegelschnitte gegeben, so lassen sich durch die Linearkombination
*<math>a_1 f_1(x,y) + a_2f_2(x,y)=0</math>
der Gleichungen neue Kegelschnitte erzeugen. Da proportionale Paare <math>(a_1, a_2)</math> und <math>(ta_1, ta_2)</math> äquivalente Gleichungen ergeben und daher zum selben Kegelschnitt gehören, schreibt man die [[Linearkombination]] oft so:
*<math>(1-\mu)f_1(x,y) - \mu f_2(x,y)=0</math>
[[Datei:Kreisschar-2k.svg|mini|Kreisbüschel zu zwei vorgegebenen Kreisen (rot)]]
[[Datei:Kegschnittschar-3g.svg|mini|Kegelschnittbüschel zu 3 Geraden (rot: Kreis für <math>\mu=\tfrac{5}{9}</math>, magenta: Ellipse, blau: Parabel für <math>\mu=\tfrac{1}{5}</math>, grün: Hyperbel)]]
[[Datei:Kegelschnitt-bueschel-4p.svg|mini|Kegelschnitt-Büschel durch 4 Punkte]]
Diese Gleichung beschreibt in eindeutiger Weise durch den Parameter <math>\mu</math> jeweils einen Kegelschnitt.

'''Beispiel Kreisbüschel:'''

Für die zwei Kreisgleichungen
:<math>f_1(x,y)=(x-2)^2+y^2-1=0</math>
:<math>f_2(x,y)=(x+2)^2+y^2-1=0</math>
beschreibt <math>(1-\mu)f_1(x,y) - \mu f_2(x,y)=0</math> mit <math>\mu\ne 1/2</math> ein Büschel von Kreisen (s. Bild). (Für <math>\mu=1/2</math> heben sich die quadratischen Terme auf und es ergibt sich die Gerade <math>x=0</math>.)

'''Beispiel Kegelschnittbüschel durch 2 Punkte mit vorgegebenen Tangenten:'''

Das folgende Beispiel baut aus 3 Geraden <math>g_1, g_2, g_3</math> ein Büschel von Kegelschnitten auf. Es sei:
:<math>g_0: f_0(x,y)=y=0</math>
:<math>g_1: f_1(x,y)=y/2-x-1=0</math>
:<math>g_2: f_2(x,y)=y/2+x-1=0</math>
Dann beschreibt die Gleichung
:<math>(1-\mu)f_1(x,y)\cdot f_2(x,y) - \mu f_0(x,y)^2=0</math>
mit dem Scharparameter <math>\mu</math> ein Büschel von Kegelschnitten durch die beiden Punkte <math>P_1=g_0\cap g_1</math> und <math>P_2=g_0\cap g_2</math>. Jeder Kegelschnitt berührt die beiden Geraden <math>g_1, g_2</math> in diesen Punkten. Das Kegelschnittbüschel ist also durch die beiden Punkte <math>P_1, P_2</math> und die beiden Tangenten <math>g_1,g_2</math> in diesen Punkten bestimmt. (''Ein'' Kegelschnitt ist immer durch 5 Vorgaben eindeutig bestimmt!) Beide Kegelschnitte, mit der die Linearkombination gebildet wird, sind ausgeartete Kegelschnitte {{nowrap|(<math>f_1f_2=0</math>}} ist ein Geradenpaar und <math>f_0^2=0</math> ist eine Doppelgerade).

'''Beispiel Kegelschnittbüschel durch 4 Punkte:'''

In diesem Fall ist das Büschel eine Linearkombination zweier paralleler Geradenpaare, die sich in den 4 Punkten <math>(\pm1,\pm1)</math> schneiden (s. Bild):
:<math>a_1(x^2-1) + a_2 (y^2-1)=0</math>
Durch jeden Punkt der Ebene, der von den Grundpunkten des Büschels verschieden ist, geht genau ein (eventuell ausgearteter) Kegelschnitt des Büschels. Z. B. erhält man zum Nullpunkt <math>(0,0)</math> für <math>a_1=1, a_2=-1</math> das Geradenpaar <math>y^2=x^2</math>.

Kegelschnittbüschel werden in der Literatur ausführlich untersucht.<ref>Z. B. Barry Spain: ''Analytical Conics.'' Dover Publications, 2007, ISBN 0-486-45773-7, S. 91.</ref>

== Äquivalenz nicht ausgearteter Kegelschnitte ==
* Alle Ellipsen sind ''affine'' Bilder des Einheitskreises (s. [[Ellipse#Ellipse als affines Bild des Einheitskreises|Ellipse]]).
* Alle Parabeln sind ''affine'' Bilder der Normalparabel (s. [[Parabel (Mathematik)#Parabel als affines Bild der Normalparabel|Parabel]]).
* Alle Hyperbeln sind ''affine'' Bilder der Einheitshyperbel (s. [[Hyperbel (Mathematik)#Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel|Hyperbel]]).

Eine Ellipse ist aber mit einer ''affinen'' Abbildung ''nicht'' (z. B.) auf eine Parabel abbildbar. Ergänzt man aber die affine Koordinatenebene zu einer [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]] und fügt einer Parabel den Fernpunkt ihrer Achse hinzu, so lässt sich eine Ellipse mit einer [[Projektive Abbildung|''projektiven Abbildung'']] auf eine so erweiterte Parabel abbilden. Das Analoge gilt für eine um die zwei Fernpunkte ihrer Asymptoten ergänzte Hyperbel.
* Vom ''projektiven'' Standpunkt aus sind also alle nicht ausgearteten [[Projektiver Kegelschnitt|projektiven Kegelschnitte]] zueinander äquivalent<ref>[http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/progeo.pdf ''Projektive Geometrie.''] Kurzskript, Uni Darmstadt (PDF; 180 kB), S. 12.</ref> (s. auch Weblink CDKG, S. 251).

'''Beispiele:'''
# Die projektive Abbildung mit <math>(x,y)\to (\tfrac{x}{1+y},\tfrac{1-y}{1+y})</math> bildet den Einheitskreis <math>x^2+y^2=1</math> auf die Parabel <math>y=x^2</math> ab.
# Die projektive Abbildung mit <math>(x,y)\to (\tfrac{1}{x},\tfrac{y}{x})</math> bildet die Parabel <math>y=x^2</math> auf die Hyperbel <math>y=\tfrac{1}{x}</math> ab.

== Anwendungen und Beispiele ==
<div style="float:right;">[[Datei:MaeWestTram.jpg|mini|hochkant|Die Plastik, [[Mae West (Kunstwerk)|Mae West]] auf dem Effnerplatz ist ein [[Rotationshyperboloid]] in Form einer Hyperbel]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:Conic sections, orbits, and gravitational potential.jpg|mini|177px|Kegelschnitte beschreiben die Bahnen von Himmelskörpern]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:Catedral1 Rodrigo Marfan.jpg|mini|Kegelschnitt in der Architektur: [[Kathedrale von Brasilia]]]]</div>
Eine Anwendung finden die Kegelschnitte in der [[Astronomie]], da die [[Flugbahn|Bahnen]] der [[Himmelskörper]] genäherte Kegelschnitte sind. [[Keplerbahn|Keplerbahnen]] sind Lösungen des [[Zweikörperproblem|Zweikörperproblems]].

Auch in der [[Optik]] werden sie verwendet – als [[Rotationsellipsoid]] für [[Autoscheinwerfer]], als [[Paraboloid]] oder [[Hyperboloid]] für [[Spiegelteleskop]]e usw.

In der [[Darstellende Geometrie|Darstellenden Geometrie]] treten Kegelschnitte als Bilder von Kreisen bei Parallel- und Zentralprojektionen auf. Siehe [[Ellipse (Darstellende Geometrie)]].
{{Absatz}}

== Geschichte ==
Der griechische [[Liste von Mathematikern|Mathematiker]] [[Menaichmos (Mathematiker)|Menaichmos]] untersuchte an [[Platon]]s [[Akademie (Platon)|Akademie]] die Kegelschnitte mit Hilfe eines Kegelmodells. Er fand dabei heraus, dass sich das [[Delisches Problem|delische Problem]] auf die Bestimmung des Schnittpunkts zweier Kegelschnitte zurückführen lässt. Danach behandelte [[Aristaios von Samos]] (Aristaios der Ältere) in einem nicht mehr erhaltenen Buch das Problem der Konstruktion von Kegelschnitten in Bezug auf drei oder vier Geraden, was später in der Begründung der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] von [[René Descartes]] wieder aufgenommen wurde. [[Euklid]] schrieb vier Bücher über Kegelschnitte, die uns aber nicht erhalten sind. Die gesamten Kenntnisse der antiken Mathematiker über die Kegelschnitte fasste [[Apollonios von Perge]] in seinem achtbändigen Werk ''Konika'' zusammen, wobei Apollonios wie Euklid den synthetischen Zugang zur Geometrie bevorzugte. Die Werke von Euklid, Apollonios und Aristaios wurden ab der Renaissance in Westeuropa wieder aufgegriffen und weiterentwickelt. Die Beschreibung von Kegelschnitten durch [[Koordinate]]ngleichungen wurde von [[Fermat]] und Descartes eingeführt.

== Kegelschnitte über beliebigen Zahl-Körpern ==
Kegelschnitte lassen sich auch über beliebigen [[Körper (Algebra)|Körpern]] definieren. Es bleiben dabei erstaunlich viele Inzidenz- und Symmetrieeigenschaften erhalten. Siehe Weblink ''Projektive Geometrie,'' [[projektiver Kegelschnitt]] und für Kegelschnitte über [[Endlicher Körper|endlichen Körpern]] den Artikel [[Quadratische Menge]].

== Kegelschnitte und Benz-Ebenen ==
Kegelschnitte spielen bei den [[Benz-Ebene]]n, das sind [[Möbius-Ebene]]n (Geometrie der Kreise), [[Laguerre-Ebene]]n (Geometrie der Parabeln) und [[Minkowski-Ebene]]n (Geometrie der Hyperbeln), eine wichtige Rolle.

== Siehe auch ==
* [[Bezierkurve#Kegelschnitte als rationale Bezierkurven|Kegelschnitte als rationale Bezierkurven]]
* [[Konfokale Kegelschnitte]]
* [[Fokalkegelschnitt]]
* [[Korbbogen]], [[Himmelsmechanik]], [[Zweikörperproblem]], [[projektive Geometrie]], [[Drehquadrik]], [[Formelsammlung analytische Geometrie]].

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* {{Webarchiv | url=https://www.unet.univie.ac.at/~a9907818/kegelsch.htm | wayback=20160305033028 | text=''Kegelschnitte.''}}. Uni Wien.
* [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/progeo.pdf ''Projektive Geometrie. Kurzskript.''] Uni Darmstadt (PDF; 180 kB), S. 12–16.
* [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdg-skript-1998.pdf ''Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie.''] (CDKG) Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB).
* [https://books.google.de/books?id=iashAAAAQBAJ&pg=PA139&lpg=PA139&dq=satz+des+apollonius+beweis&source=bl&ots=DjYnsUxcba&sig=gBEb-P4qi2_VTV924K3Rb62BGdw&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwiD55CZrNbKAhWFqA4KHbqTDsE4ChDoAQhVMAk#v=onepage&q=satz%20des%20apollonius%20beweis&f=false ''Des Apollonius von Perga sieben Bücher über Kegelschnitte.'']
* [http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-99630&M=tdm J. Casey: ''A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle and conic sections.''] 1893.
* [http://users.ipfw.edu/CoffmanA/pov/lsoc.html A. Coffman: ''Linear systems of Conics.'']

== Literatur ==
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Ebene Geometrie.'' 3. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.
* Burg, Haf, Wille: ''Höhere Mathematik für Ingenieure.'' Band II, Teubner-Verlag Stuttgart, ISBN 3-519-22956-0, S. 338.
* [[Karl Rohn]], [[Erwin Papperitz]]: ''Kegelschnitte, Flächen zweiten Grades, regel-, abwickelbare und andere Flächen, Flächenkrümmung'', in: Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 3., umgearb. Aufl. De Gruyter Verlag, Berlin und Leipzig 1906 Reprint 2020. ISBN 978-3-11-238373-5.
* [[Hans Schupp (Mathematiker)|Hans Schupp]]: ''Kegelschnitte.'' Bibliographische Institut-Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich 1988, ISBN 978-3-411-03208-2.

== Belege ==
<references />

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

Kegelschnitt - Versionsgeschichte

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