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2025-08-28T19:59:29Z

Beispiele

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[[Bild:Übersicht Körper.svg|mini|hochkant=1.8|Körper im Zusammenhang mit ausgewählten mathematischen Teilgebieten ([[Klassendiagramm]])]]
Ein '''Körper''' ({{enS|field}}) ist im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Algebra]] eine ausgezeichnete [[algebraische Struktur]], in der eine [[Addition]], [[Subtraktion]], [[Multiplikation]] und [[Division (Mathematik)|Division]] auf eine bestimmte Weise durchgeführt werden können.

Die Bezeichnung „Körper“ wurde im 19. Jahrhundert von [[Richard Dedekind]] eingeführt.

Die wichtigsten Körper, die in fast allen Gebieten der Mathematik benutzt werden, sind der Körper <math>\Q</math> der [[rationale Zahl|rationalen Zahlen]], der Körper <math>\R</math> der [[reelle Zahl|reellen Zahlen]] und der Körper <math>\Complex</math> der [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]].

== Formale Definition ==
=== Allgemeine Definition ===
Ein Körper ist eine Menge <math>K</math>, versehen mit zwei [[Innere zweistellige Verknüpfung|inneren zweistelligen Verknüpfungen]] „<math>+</math>“ und „<math>\cdot</math>“ (die ''Addition'' und ''Multiplikation'' genannt werden), für die die folgenden Bedingungen, die Körperaxiome, erfüllt sind:
# <math>\left(K,+\right)</math> ist eine [[abelsche Gruppe]] mit dem neutralen Element „0“.
# {{Anker|nichtNullring}}<math>\bigl(K\setminus\{0\},\cdot\bigr)</math> ist eine [[abelsche Gruppe]] mit dem neutralen Element „1“.
# Ferner gilt das [[Distributivgesetz]]:
#:<math>a\cdot\left(b+c\right) = a\cdot b+a\cdot c\,</math> und <math>\left(a+b\right)\cdot c = a\cdot c+b\cdot c\,</math> für alle <math>a, b, c \in K</math>.

=== Einzelaufzählung der benötigten Axiome ===
Ein Körper muss also folgende Einzelaxiome erfüllen:
# Additive Eigenschaften:
## <math>a+(b+c) = (a+b)+c</math> für alle <math>a, b, c \in K</math> ([[Assoziativgesetz]])
## <math>a+b = b+a</math> für alle <math>a, b \in K</math> ([[Kommutativgesetz]])
## Es gibt ein Element <math>0\in K</math>, sodass <math>0+a=a</math> für alle <math>a\in K</math> ([[neutrales Element]]).
## Zu jedem <math>a\in K</math> existiert ein additives [[Inverses Element|Inverses]] <math>-a\in K</math> mit <math>(-a)+a=0</math>.
# Multiplikative Eigenschaften:
## <math>a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c</math> für alle <math>a, b, c \in K</math> ([[Assoziativgesetz]])
## <math>a\cdot b = b\cdot a</math> für alle <math>a, b \in K</math> ([[Kommutativgesetz]])
## Es gibt ein Element <math>1\in K\setminus\{0\}</math>, sodass <math>1\cdot a=a</math> für alle <math>a\in K</math> ([[neutrales Element]]).
## Zu jedem <math>a\in K\setminus\{0\}</math> existiert ein multiplikatives [[Inverses Element|Inverses]] <math>a^{-1}\in K</math> mit <math>a^{-1}\cdot a=1</math>.
# Zusammenspiel von additiver und multiplikativer Struktur:
## <math>a\cdot (b+c) = a\cdot b+a\cdot c</math> für alle <math>a, b, c \in K</math> (Links-[[Distributivgesetz]])
## <math>(b+c) \cdot a = b\cdot a + c \cdot a</math> für alle <math>a, b, c \in K</math> (Rechts-[[Distributivgesetz]])
::Aufgrund der multiplikativen Kommutativität würde es ausreichen, nur ein Distributivgesetz anzugeben.

=== Definition als spezieller Ring ===
Ein [[Kommutativität|kommutativer]] [[Ring (Algebra)#Ring mit Eins|unitärer Ring]], der nicht der [[Nullring]] ist, ist ein Körper, wenn in ihm jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzt.

Anders formuliert ist ein Körper ein kommutativer unitärer Ring <math>K</math>, in dem die [[Einheitengruppe]] <math>K^*</math> gleich <math>K\setminus\{0\}</math> ist.

=== Bemerkungen ===
Die Definition sorgt dafür, dass in einem Körper in der „gewohnten“ Weise Addition, Subtraktion und Multiplikation funktionieren sowie die Division mit Ausnahme der [[Division (Mathematik)#Mathematischer Beweis|''nicht lösbaren'' Division durch 0]]:
* Das Inverse von <math>a</math> bezüglich der Addition ist <math>-a</math> und wird meist das ''additiv Inverse'' zu <math>a</math> oder auch das ''Negative'' von <math>a</math> genannt.
* Das Inverse von <math>a</math> bezüglich der Multiplikation ist <math>a^{-1}</math> und wird das ''(multiplikativ) Inverse'' zu oder der ''Kehrwert'' von <math>a</math> genannt.
* <math>0</math> ist das einzige Element des Körpers, das keinen Kehrwert hat, die [[multiplikative Gruppe]] eines Körpers ist also <math>K^*=K\setminus\{0\}</math>. Jegliche Lösung <math>x</math> jeder Gleichung <math>0 \cdot x = a \in K^*</math> verletzt die Ringaxiome.

''Anmerkung:'' Die Bildung des Negativen eines Elementes hat nichts mit der Frage zu tun, ob das Element selbst negativ ist; beispielsweise ist das Negative der reellen Zahl <math>-2</math> die positive Zahl <math>2</math>. Allgemein gibt es in einem Körper keinen Begriff von negativen oder positiven Elementen. (Siehe auch [[geordneter Körper]].)

=== Verallgemeinerungen: Schiefkörper und Koordinatenkörper ===
{{Hauptartikel|Schiefkörper|Ternärkörper}}

Verzichtet man auf die Bedingung, dass die Multiplikation kommutativ ist, so gelangt man zur Struktur des Schiefkörpers. Es gibt jedoch auch Autoren, die bei einem Schiefkörper explizit voraussetzen, dass die Multiplikation nicht kommutativ ist. In diesem Fall sind die Begriffe Körper und Schiefkörper [[disjunkt]] – und nicht hierarchisch zueinander, wie sie es bei [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] sind, der [[Schiefkörper]] als Körper und die hier besprochenen Körper als kommutative Körper bezeichnen. Ein Beispiel für einen echten Schiefkörper sind die [[Quaternionen]].

In der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] werden Körper zur Koordinatendarstellung von Punkten in [[Affiner Raum|affinen]] und [[Projektiver Raum|projektiven Räumen]] verwendet, siehe [[Affine Koordinaten]], [[Projektives Koordinatensystem]]. In der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]], in der auch Räume (insbesondere ''Ebenen'') mit schwächeren Eigenschaften untersucht werden, benutzt man als Koordinatenbereiche („Koordinatenkörper“) auch Verallgemeinerungen der Schiefkörper, nämlich [[Alternativkörper]], [[Quasikörper]] und [[Ternärkörper]].

== Eigenschaften und Begriffe ==
* Es gibt genau eine „0“ (Null-Element, [[neutrales Element]] bzgl. der Körper-[[Addition]]) und eine „1“ (Eins-Element, neutrales Element bzgl. der Körper-[[Multiplikation]]) in einem Körper.
* Jeder Körper ist ein [[Ring (Algebra)|Ring]]. Die Eigenschaften der multiplikativen Gruppe heben den Körper aus den Ringen heraus. Wenn die Kommutativität der multiplikativen Gruppe nicht gefordert wird, erhält man den Begriff des [[Schiefkörper]]s.
* Jeder Körper ist [[nullteiler]]frei: Ein Produkt zweier Elemente des Körpers ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
* Jedem Körper lässt sich eine [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] zuordnen, die entweder 0 oder eine [[Primzahl]] ist.
* Die kleinste Teilmenge eines Körpers, die selbst noch alle Körperaxiome erfüllt, ist sein [[Primkörper]]. Der Primkörper ist entweder isomorph zum Körper <math>\Q</math> der rationalen Zahlen (bei Körpern der Charakteristik 0) oder ein endlicher [[Restklassenkörper]] <math>\Z/p\Z</math> (bei Körpern der Charakteristik <math>p</math>, speziell bei allen endlichen Körpern, s. u.).
* Ein Körper ist ein eindimensionaler Vektorraum über sich selbst als zugrundeliegendem Skalarkörper. Darüber hinaus existieren über allen Körpern Vektorräume beliebiger Dimension (siehe Hauptartikel [[Vektorraum]]).
* Ein wichtiges Mittel, um einen Körper <math>K</math> algebraisch zu untersuchen, ist der [[Polynomring]] <math>K[X]</math> der [[Polynom]]e in einer Variablen mit Koeffizienten aus <math>K</math>.
** Man nennt einen Körper <math>K</math> ''[[algebraisch abgeschlossen]],'' wenn sich jedes nichtkonstante Polynom aus <math>K[X]</math> in Linearfaktoren aus <math>K[X]</math> zerlegen lässt.
** Man nennt einen Körper <math>K</math> ''[[Körpererweiterung#Vollkommen|vollkommen]],'' wenn kein [[irreduzibles Polynom|irreduzibles nichtkonstantes Polynom]] aus <math>K[X]</math> in irgendeiner Körpererweiterung mehrfache Nullstellen hat. Algebraische Abgeschlossenheit impliziert Vollkommenheit, aber nicht umgekehrt.
* Wenn in einem Körper eine [[Ordnungsrelation|Totalordnung]] definiert ist, die mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist, spricht man von einem [[Geordneter Körper|''geordneten Körper'']] und nennt die Totalordnung auch ''Anordnung'' des Körpers. In solchen Körpern kann man von negativen und positiven Zahlen sprechen.
** Wenn in dieser Anordnung jedes Körperelement <math>\alpha</math> durch eine endliche Summe des Einselementes übertroffen werden kann (<math>\alpha<1+1+\cdots +1</math>), sagt man, der Körper ''erfüllt das [[Archimedisches Axiom|archimedische Axiom]],'' oder auch, er ''ist archimedisch geordnet.''
* In der [[Bewertungstheorie]] werden bestimmte Körper mit Hilfe einer Bewertungsfunktion untersucht. Man nennt sie dann ''bewertete Körper.''
* Ein Körper <math>K</math> besitzt als Ring nur die trivialen [[Ideal (Ringtheorie)|Ideale]] <math>(0)=\{0\}</math> und <math>(1)=K</math>.
* Jeder nicht-konstante [[Homomorphismus]] von einem Körper in einen Ring ist [[Injektivität|injektiv]].

== Körpererweiterung ==
{{Hauptartikel|Körpererweiterung}}

Eine Teilmenge <math>K</math> eines Körpers <math>L</math>, die selbst mit dessen Operationen wieder einen Körper bildet, wird Unter- oder Teilkörper genannt. Das Paar <math>K</math> und <math>L</math> heißt Körpererweiterung <math>K \subset L</math>, <math>L/K</math> oder <math>L|K</math>. Beispielsweise ist der Körper der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math> ein Teilkörper der reellen Zahlen <math>\R</math>.

Eine Teilmenge <math>U</math> eines Körpers <math>K</math> ist ein Teilkörper, wenn sie folgende Eigenschaften hat:
* <math>0_{K}\in U</math>, <math>1_{K} \in U</math>
* <math>a,b \in U\ \Rightarrow\ a + b \in U,\ a \cdot b \in U</math> ([[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|Abgeschlossenheit]] bezüglich Addition und Multiplikation)
* <math>a \in U\ \Rightarrow\ -a \in U</math> (Zu jedem Element aus <math>U</math> ist auch das additive Inverse in <math>U</math>.)
* <math>a \in U \setminus \{0\}\ \Rightarrow\ a^{-1} \in U</math> (Zu jedem Element aus <math>U</math> mit Ausnahme der Null ist auch das multiplikativ Inverse in <math>U</math>.)

Das algebraische Teilgebiet, das sich mit der Untersuchung von Körpererweiterungen beschäftigt, ist die [[Galoistheorie]].

== Beispiele ==
* Bekannte Beispiele für Körper sind
** der Körper der [[rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] <math>(\mathbb Q, +, \cdot)</math>, d. h. die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der [[rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] mit der üblichen [[Addition]] und [[Multiplikation]]
** der Körper der [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>(\R, +, \cdot)</math>, d. h. die Menge der reellen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation, und
** der Körper der [[komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] <math>(\mathbb C, +, \cdot)</math> d. h. die Menge der komplexen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation.

* Körper können durch [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] erweitert werden. Ein wichtiger Spezialfall – insbesondere in der [[Galoistheorie]] – sind [[Algebraische Erweiterung|algebraische Körpererweiterungen]] des Körpers <math>\textstyle \Q</math>. Der Erweiterungskörper kann dabei als [[Vektorraum]] über <math>\textstyle \Q</math> aufgefasst werden.
** <math>\textstyle \Q(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2}\mid a,b \in \Q\}</math> ist ein Körper. Es genügt zu zeigen, dass das Inverse von <math>\textstyle a + b\sqrt{2} \ne 0</math> auch von der angegebenen Form ist:<br />       <math> \frac{1}{a + b\sqrt{2}} = \frac{(a - b\sqrt{2})}{(a + b\sqrt{2}) \cdot (a - b\sqrt{2})} = \frac{(a - b\sqrt{2})}{(a^{2}- 2b^{2})} = \frac{a}{(a^{2}-2b^{2})} + \frac{- b}{(a^{2}-2b^{2})}\sqrt{2}</math><br />Eine mögliche Basis von <math>\textstyle \Q(\sqrt{2})</math> ist {<math>\textstyle 1,\sqrt{2}</math>}.
** <math>\Q\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right) = \left\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mid a,b,c,d \in \Q\right\}</math> ist ein Körper mit Basis <math>\left\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\right\}</math>.

* Weitere Beispiele liefern die [[Restklassenkörper]] <math>\Z/p\Z = \mathbb F_p</math> mit <math>p</math> [[Primzahl]]<ref name="Beutelspacher-LA-7-35">{{Literatur | Autor=[[Albrecht Beutelspacher]] | Titel=Lineare Algebra | Auflage=7 | Verlag=[[Vieweg+Teubner Verlag]] | Ort=Wiesbaden | Datum=2010 | ISBN=978-3-528-66508-1 |Seiten=35–37}}</ref> und
** deren endliche [[Körpererweiterung]]en, die [[endlicher Körper|endlichen Körper]],
** allgemeiner deren algebraische Körpererweiterungen, die [[Frobeniushomomorphismus|Frobeniuskörper]], und
** noch allgemeiner deren beliebige Körpererweiterungen, die Körper mit [[Charakteristik (Algebra)|Primzahlcharakteristik]].
* Zu jeder Primzahl <math>p</math> der Körper <math>\Q_p</math> der [[p-adische Zahlen|p-adischen Zahlen]].
* Die Menge der ganzen Zahlen <math>(\mathbb Z,+,\cdot)</math> mit den üblichen Verknüpfungen ist kein Körper: Zwar ist <math>(\mathbb Z,+)</math> eine Gruppe mit neutralem Element <math>0</math> und jedes <math>a\in\mathbb Z</math> besitzt das additive Inverse <math>-a</math>, aber <math>(\mathbb{Z}\setminus \{0\},\cdot)</math> ist keine Gruppe. Immerhin ist <math>1</math> das neutrale Element, aber außer zu <math>1</math> und <math>-1</math> gibt es keine multiplikativen Inversen (zum Beispiel ist <math>3^{-1} = 1/3</math> keine ganze, sondern eine echt rationale Zahl):
** Die ganzen Zahlen bilden lediglich einen [[Integritätsring]], dessen [[Quotientenkörper]] die rationalen Zahlen sind.
* Das Konzept, mit dem sich der Integritätsring der ganzen Zahlen zum Körper der rationalen Zahlen erweitern und in diesen einbetten lässt, kann auf beliebige Integritätsringe verallgemeinert werden:
** So entsteht in der [[Funktionentheorie]] aus dem Integritätsring der auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] der komplexen Zahlenebene [[Holomorphie|holomorphen Funktionen]] der Körper der auf demselben Gebiet [[Meromorphe Funktion|meromorphen Funktionen]], und abstrakter
** aus dem Integritätsring der formalen [[Potenzreihe]]n <math>K[[x]]</math> über einem Körper <math>K</math> dessen Quotientenkörper, analog aus dem Integritätsring der formalen [[Dirichletreihe]]n,
** aus dem Ring der [[Polynom]]e in <math>n</math> Variablen, <math>K[x_1,x_2,\dots,x_n]</math>, dessen Quotientenkörper, der Körper der rationalen Funktionen <math>K(x_1,x_2,\dots,x_n)</math> in ebenso vielen Variablen.

== Endliche Körper ==
{{Hauptartikel|Endlicher Körper}}

Ein Körper ist ein endlicher Körper, wenn seine Grundmenge <math>K</math> endlich ist. Die endlichen Körper sind in folgendem Sinne vollständig klassifiziert: Jeder endliche Körper hat genau <math>q = p^n</math> Elemente mit einer Primzahl <math>p</math> und einer positiven [[natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] <math>n</math>. Bis auf [[Isomorphie (Mathematik)|Isomorphie]] gibt es zu jedem solchen <math>q</math> genau einen endlichen Körper, der mit <math>\mathbb F_q</math> bezeichnet wird. Jeder Körper <math>\mathbb F_{p^n}</math> hat die Charakteristik <math>p</math>.
Im Artikel [[Endlicher Körper#Der Körper mit 4 Elementen|Endlicher Körper]] werden die Additions- und Multiplikationstafeln des <math>\mathbb F_4</math> gezeigt bei farbiger Hervorhebung von dessen Unterkörper <math>\mathbb F_2</math>.

Im Spezialfall <math>n=1</math> erhalten wir zu jeder Primzahl <math>p</math> den Körper <math>\mathbb F_p</math>, der isomorph ist zum [[Restklassenkörper]] <math>\Z / p\Z</math> und [[Primkörper]] der (Primzahl)charakteristik <math>p</math> genannt wird. Für <math>n\ge2</math> ist <math>\mathbb F_{p^n}</math> niemals isomorph zu <math>\Z / p^n\Z</math>; stattdessen ist <math>\mathbb F_{p^n}</math> isomorph zu
:<math>(\Z / p\Z)[X]/(P)</math>,
wobei <math>K[X]</math> den Ring der [[Polynom]]e mit Koeffizienten in <math>K</math> darstellt (hier ist <math>K=\Z / p\Z</math>) und <math>P \in (\Z / p\Z)[X]</math> ein [[Irreduzibles Element|irreduzibles]] Polynom vom Grad <math>n</math> ist. In <math>(\Z / p\Z)[X]</math> ist ein Polynom irreduzibel, wenn aus <math>P=P_1\cdot P_2</math> folgt, dass <math>P_1</math> oder <math>P_2</math> ein Element von <math>\Z / p\Z</math> ist, also ein konstantes Polynom. Hier bedeutet <math>(P)</math> das von <math>P</math> [[Ideal (Ringtheorie)#Erzeugung von Idealen|erzeugte Ideal]].

== Geschichte ==
Wesentliche Ergebnisse der Körpertheorie sind [[Évariste Galois]] und [[Ernst Steinitz]] zu verdanken. Weitere Einzelheiten zur Genese des Begriffes liefert [[Wulf-Dieter Geyer]] in Kapitel 2 seines Beitrages, in dem er u. a. auf die Rolle [[Richard Dedekind]]s hinweist (siehe [[Körper (Algebra)#Literatur|Literatur]]).

== Siehe auch ==

* [[Algebraischer Zahlkörper]]
* [[Ring (Algebra)]]

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-40388-4, [[doi:10.1007/978-3-540-92812-6]].
* {{Literatur
|Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]], Reinhard Sacher
|Titel=Einführung in die Algebra
|Reihe=Teubner-Studienbücher: Mathematik
|Auflage=3.
|Verlag=[[B. G. Teubner]]
|Ort=Stuttgart
|Datum=1983
|ISBN=978-3-519-22053-4
|DOI=10.1007/978-3-322-94120-6
|Kommentar=1. Auflage 1974}}
* {{Internetquelle |autor=[[Wulf-Dieter Geyer]] |titel=Field Theory |datum=2013-11-20 |sprache=en |werk=Volume I of the Proceedings of the Winter School on Galois Theory, 15-24 February 2012, Université du Luxembourg, Luxembourg |abruf=2025-07-21 |url=https://hdl.handle.net/10993/11512}} siehe insbesondere Kapitel 2 (''„Historical remarks about the concept of field“''), Seite 29.
* Thomas W. Hungerford: ''Algebra.'' 5. Auflage. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9.
* {{Literatur
|Autor=[[Kurt Meyberg]]
|Titel=Algebra
|TitelErg=Teil 2
|Reihe=Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure
|Verlag=[[Carl Hanser Verlag]]
|Ort=München, Wien
|Datum=1975
|ISBN=3-446-12172-2}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Körperaxiome}}
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Folgerungen aus den Körperaxiomen}}
{{Wiktionary|Körper}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Körper (Algebra)| ]]
[[Kategorie:Körpertheorie| ]]

Körper (Algebra) - Versionsgeschichte

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