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2025-06-12T05:20:50Z

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Die '''Isomorphie von Graphen''' (oder '''Graphenisomorphie''') ist in der [[Graphentheorie]] die Eigenschaft zweier [[Graph (Graphentheorie)|Graphen]], strukturell gleich zu sein.

Bei der Untersuchung graphentheoretischer Probleme kommt es meist nur auf die Struktur der Graphen, nicht aber auf die Bezeichnung ihrer Knoten an. In den allermeisten Fällen sind die untersuchten Grapheneigenschaften dann invariant bzgl. [[Isomorphismus|Isomorphie]] ([[Altgriechische Sprache|gr.]] ἴσος ''ísos'' „gleich“ und μορφή ''morphé'' „Form“, „Gestalt“), die im Folgenden genauer definiert wird.

== Definitionen ==
Seien <math>G_1=\left(V_1,E_1\right)</math> und <math>G_2=\left(V_2,E_2\right)</math> Graphen desselben [[Typen von Graphen in der Graphentheorie|Typs]]. Eine [[bijektive Abbildung]] <math>p\colon V_1\to V_2</math> heißt '''Isomorphismus''' zwischen <math>G_1</math> und <math>G_2</math>, falls gilt:
*<math>\left\{v,w\right\}</math> ist Kante von <math>G_1</math> genau dann, wenn <math>\left\{p(v),p(w)\right\}</math> Kante von <math>G_2</math> ist in [[ungerichteter Graph|ungerichteten Graphen]] [[Graph ohne Mehrfachkanten|ohne Mehrfachkanten]].
*<math>\left(v,w\right)</math> ist Kante von <math>G_1</math> genau dann, wenn <math>\left(p\left(v\right),p\left(w\right)\right)</math> Kante von <math>G_2</math> ist in [[gerichteter Graph|gerichteten Graphen]] ohne Mehrfachkanten.
*<math>E_1\left(\left\{v,w\right\}\right)=E_2\left(\left\{p\left(v\right),p\left(w\right)\right\}\right)</math> in ungerichteten [[Graph mit Mehrfachkanten|Graphen mit Mehrfachkanten]], d. h., je zwei Ecken sind mit ebenso vielen Kanten verbunden wie ihre Bildecken.
*<math>E_1\left(\left(v,w\right)\right)=E_2\left(\left(p\left(v\right),p\left(w\right)\right)\right)</math> in gerichteten Graphen mit Mehrfachkanten.
*<math>\left\{v_1, \dotsc, v_k\right\}</math> ist Kante von <math>G_1</math> genau dann, wenn <math>\left\{p\left(v_1\right), \dotsc, p\left(v_k\right)\right\}</math> Kante von <math>G_2</math> ist in [[Hypergraph]]en.
Zwei Graphen heißen zueinander '''isomorph,''' falls es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Die Abbildung <math>p</math> heißt '''Automorphismus''' von <math>G_1</math> bzw. <math>G_2</math>, falls zusätzlich <math>G_1=G_2</math> gilt.

== Prüfung auf Isomorphie und Graphen-Isomorphismus-Problem ==
Zur Prüfung der Isomorphie zweier gegebener Graphen ist kein effizienter (polynomialzeitlicher) Algorithmus bekannt. Mehr noch, die [[Komplexitätstheorie|Komplexität]] des bestmöglichen Algorithmus ist bis heute noch nicht bestimmt. Insbesondere ist die Isomorphie von Graphen eines der wenigen bekannten Probleme in [[NP (Komplexitätsklasse)|NP]], für die weder bekannt ist, ob sie in [[P (Komplexitätsklasse)|P]] enthalten, noch ob sie [[NP-Vollständigkeit|NP-vollständig]] sind. Die Frage, ob das Graphen-Isomorphismus-Problem in P ist (oder ob es NP-vollständig ist) ist eines der großen offenen Probleme der Informatik. Es ist das letzte der 12 Probleme in dem Buch ''Computers and Intractability'' (1979) von [[Michael Garey]] und [[David S. Johnson]], von denen nicht bekannt ist, in welche der Komplexitätsklassen NP-vollständig oder P sie gehören (oder nicht gehören). Deshalb wurde es auch schon als eigene Komplexitätsklasse GI definiert und es wurde untersucht, ob andere Probleme GI-schwer oder GI-vollständig sind, wobei die Definitionen in analoger Weise wie bei NP-schwer und NP-vollständig erfolgen.

[[László Babai]] gab im Dezember 2015 an, einen Algorithmus gefunden zu haben, der das Problem in der Zeit <math>e^{{( \log {n} )}^{O (1)}}</math> löst (mit der Anzahl <math>n</math> der Knoten des Graphen).<ref>Babai: ''[https://arxiv.org/abs/1512.03547 Graph Isomorphism in Quasipolynomial Time.]'' Arxiv 2015. Auf seiner Homepage gab er im Januar 2017 an, dass ein von [[Harald Helfgott]] gefundener Fehler korrigiert werden konnte.</ref><ref>[https://dl.acm.org/doi/10.1145/2897518.2897542 Babai, Graph isomorphism in quasipolynomial time [extended abstract], STOC '16: Proceedings of the forty-eighth annual ACM symposium on Theory of Computing, Juni 2016, S. 684–697]</ref><ref>[https://www.quantamagazine.org/graph-isomorphism-vanquished-again-20170114 Erica Klarreich, Graph isomorphism vanquished - again], Quanta Magazine, Januar 2017</ref><ref>Harald Helfgott, Isomorphismes de graphes en temps quasi-polynomial (d'après Babai et Luks, Weisfeiler-Leman...), Seminaire Bourbaki, Nr. 1125, Januar 2017, [https://arxiv.org/abs/1701.04372 Arxiv]</ref><ref>László Babai: Groups, Graphs, Algorithms: The Graph Isomorphism Problem. Proc. ICM 2018, Rio de Janeiro, [https://people.cs.uchicago.edu/~laci/papers/ Online]</ref> Dieses Verhalten wird als ''quasipolynomial'' bezeichnet, da die Laufzeit schneller als polynomial wächst, aber einem polynomialen Verhalten nahe kommt. Die vorher beste Abschätzung stammte von Babai und [[Eugene Luks]] 1983,<ref>Babai, Luks: ''Canonical labeling of graphs.'' Proceedings of the Fifteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC ’83), 1983, S. 171–183.</ref> die die Schranke <math>e^{ O ({\sqrt{( n \cdot \log {n} )}} )}</math> angab.

== Beispiel ==
Diese beiden Graphen sind isomorph, obwohl ihre Darstellungen sich erheblich unterscheiden.
{|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
! <math>G_1 = (V_1, E_1)</math>
! <math>G_2 = (V_2, E_2)</math>
! <math>p\colon V_1 \to V_2</math>
|-
|style="padding-left:2em;padding-right:2em;"|[[Bild:Graph isomorphism a.svg|100px]]
|style="padding-left:1em;padding-right:1em;"|[[Bild:Graph isomorphism b.svg|200px]]
|align="center" style="background-color:white;"|<math>p(a) = 1</math>

<math>p(b) = 6</math>

<math>p(c) = 8</math>

<math>p(d) = 3</math>

<math>p(g) = 5</math>

<math>p(h) = 2</math>

<math>p(i) = 4</math>

<math>p(j) = 7</math>
|}

== Software ==
* ''[https://cs.anu.edu.au/people/bdm/nauty/ nauty.]'' Ein Programm zur Berechnung der [[Automorphismengruppe]]n und der kanonischen Labelings von Graphen. Zwei Graphen sind genau dann isomorph, wenn ihre kanonischen Labelings übereinstimmen.
* [[NetworkX]]. Eine freie [[Python (Programmiersprache)|Python]]-[[Programmbibliothek|Bibliothek]]<ref>{{Internetquelle |url=https://networkx.github.io/documentation/stable/reference/algorithms/isomorphism.html |titel=Algorithms - Isomorphism |werk= NetworkX 2.2 documentation |zugriff=2018-10-25 |sprache=en}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Homöomorphie (Graphentheorie)]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4158050-3}}
[[Kategorie:Grundbegriff (Graphentheorie)]]

Isomorphie von Graphen - Versionsgeschichte

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